相交线与平行线
一、选择题
1.如图，直线∥，直线与、都相交，如果∠1=50°，那么∠2的度数是（）
A. 50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°
【答案】C
【解析】：∵a∥b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠1=180°-50°=130°.
故答案为：C.
【分析】其中将∠2的邻补角记作∠3，利用平行线的性质与邻补角的意义即可求得∠2的度数.
2.如图，AB∥CD，且∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的大小是（）
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°【答案】B
【解析】：∵∠DEC=100°，∠C=40°，
∴∠D=40°，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D=40°，
故答案为：B．
【分析】首先根据三角形的内角和得出∠D的度数，再根据二直线平行，内错角相等得出答案。
3.如图，若l1∥l2， l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3
个 D. 4个【答案】D
【解析】如图，
∵l1∥l2， l3∥l4，
∵∠2=∠4，∠1+∠2=180°，
又∵∠2=∠3，∠4=∠5，
∴与∠1互补的角有∠2、∠3、∠4、∠5共4个，
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行同位角相等，同旁内角互补得出∠2=∠4，∠1+∠2=180°，再根据对顶角相等得出∠2=∠3，∠4=∠5，从而得出答案。
4.如图，直线，若，，则的度数为（）
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】：∵∠1=42°，∠BAC=78°，
∴∠ABC=60°，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠ABC=60°，
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形的内角和得出∠ABC的度数，再根据二直线平行内错角相等即可得出答案。
5.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A,B,C，直线n分别交直线a、b、c于点D,E,F,若, ,则的值应该（）
A. 等于
B. 大于
C. 小于
D. 不能确定
【答案】B
【解析】：如图，过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N
∵a∥b∥c
∴AD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等）
∵AC=AB+BC=2+4=6
∴
设MB=x，CN=3x
∴BE=x+4，CF=3x+4
∵
∵x＞0
∴
故答案为：B
【分析】过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出BM和CN的关系，设MB=x，CN=3x，分别表示出BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。
6.把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则
的度数是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠2=∠3=45°，∠3=∠4=30°，
故∠1的度数是：45°+30°=75°．
故答案为：C．
【分析】作直线l平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质可求出∠1的度数。
7.如图1，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）
40° C. 60°
D. 70°
【答案】A
【解析】：如图
∵AB∥CD
∴∠A=∠1=70°
∵∠1=∠C+∠E
∴∠E=70°-40°=30°
故答案为：A【分析】根据平行线的性质求出∠1的度数，再根据三角形的外角性质，得出∠1=∠C+∠E，然后代入计算即可求解。
8.如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】：∵a∥b，∴∠3=∠4.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，由此即可得出答案.
9.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。
59° C. 60°
D. 69°【答案】B
【解析】：∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
10.如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为（）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 70°【答案】B
【解析】：如图，过点C作CF∥DE
∵AB∥DE
∴CF∥DE∥AB
∴∠B=∠BCF=70°，∠D+∠DCF=180°
∵∠D=140°
∴∠DCF=180°-140°=40°
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=70°-40°=30°
故答案为：B【分析】过点C作CF∥DE，根据已知可证得CF∥DE∥AB，再根据平行线的性质，求出∠BCF 和∠DCF的度数，即可求解。
11.如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）
A.∠4，∠2
B.∠2，∠6
C.∠5，∠4
D.∠2，∠4
【答案】B
【解析】：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故答案为：B.
【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。根据此定义即可得出答案.
12.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）
A.14°
B.15°
C.16°
D.17°
【答案】C
【解析】：如图：
依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD，
∴∠1=∠CBE，
又∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC -∠2=60°-44°=16°，
即∠1=16°.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC -∠2，带入数值即可得∠1的度数.
二、填空题
13.如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=________度．
【答案】40
【解析】：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=140°，
∴∠2=180°﹣∠1=40°，
故答案为：40．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补即可得出答案。
14.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B，若∠1=45°，则∠2=________。
【答案】135°
【解析】：∵a∥b∴∠1=∠3=45°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=180°-45°=135°
故答案为：135°
【分析】根据平行线的性质，可求出∠3的度数，再根据邻补角的定义，得出∠2+∠3=180°，从而可求出结果。
15.如图，五边形是正五边形，若，则________．
【答案】72
【解析】：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°.
【分析】延长AB交 l 2于点F，根据二直线平行内错角相等得出∠2=∠3，根据正五边形的性质得出∠ABC=108°,根据领补角的定义得出∠FBC=72°,从而根据∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°。
16.将一个含有角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若，则________．
【答案】85°
【解析】如图，作直线c//a，
则a//b//c，
∴∠3=∠1=40°，
∴∠5=∠4=90°-∠3=90°-40°=50°，
∴∠2=180°-∠5-45°=85°
故答案为：85°
【分析】过三角形的顶点作直线c//a，根据平行线的性质即可打开思路。
17.如图，MN分别交AB、CD于点E、F，AB∥CD，∠AEM＝80°，则∠DFN为________．
【答案】80°
【解析】：∵∠AEM＝80°，
∴∠AEM=∠BEN=80°
∵AB∥CD
∴∠BEN=∠DFN=80°
故答案为：80°
【分析】根据对顶角相等求出∠BEN的度数，再根据平行线的性质证得∠BEN=∠DFN，就可得出答案。18.如图，点在的平分线上，点在上，，，则的度数为________ ．
【答案】50
【解析】：∵DE∥OB
∴∠EDO=∠1=25°
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠1=25°
∴∠AED=∠AOC+∠EDO=25°+25°=50°
故答案为：50【分析】根据平行线的性质求出∠EDO的度数，再根据角平分线的定义，求出∠AOC的度数。再利用三角形外角的性质，可求出∠AED的度数。
19.如图所示,AB∥EF,∠B=35°,∠E=25°,则∠C+∠D的值为________
【答案】240°
【解析】如图，过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM=∠B=35°，∠EDN=∠E=25°，∠MCD+∠NDC=180°，
∴∠BCD+∠CDE=35°+180°+25°=240°.
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，根据平行线的传递性可得过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由平行线的性质可得∠BCM=∠B=35°，∠EDN=∠E=25°，∠MCD+∠NDC=180°，所以∠BCD+∠
CDE=35°+180°+25°=240°.
20.如图,若按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角,并使∠1=120°,则∠2的度数为________
【答案】150°
【解析】：过点B作BD∥CE
∴∠2+∠4=180°
∵AF∥CE
∴AF∥BD
∴∠1+∠3=180°
∴∠3=180°-120°=60°
∵∠3+∠4=90°
∴∠4=90°-60°=30°
∴∠2=180°-∠4=180°-30°=150°
故答案为：150°【分析】过点B作BD∥CE，可证得∠2+∠4=180°，再证明AF∥BD，得出∠1+∠3=180°，再根据已知求出∠3，∠4的度数，然后利用∠2=180°-∠4，求出结果。
三、解答题
21.如图,已知AD平分∠CAE,CF∥AD,∠2=80°,求∠1的度数.
【答案】解:∵CF∥AD,
∴∠CAD=∠2=80°,∠1=∠DAE,
∵AD平分∠CAE,
∴∠DAE=∠CAD=80°,
∴∠1=∠DAE=80°
【解析】【分析】根据平行线的性质证明∠CAD=∠2=80°,∠1=∠DAE，再根据角平分线的定义，求出∠DAE 的度数，即可求出∠1的度数。
22.如图,已知AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,求∠3的度数.
【答案】解:如图,过点E向左作EF∥AB,
则∠BEF=∠1=50°.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED+∠2=180°.
∵∠2=110°,
∴∠FED=180°-∠2=70°.
∴∠BED=∠BEF+∠FED=50°+70°=120°.
∴∠3=180°-∠BED=180°-120°=60°.
【解析】【分析】过点E向左作EF∥AB，结合已知可得出EF∥CD，根据平行线的性质可证得∠BEF=∠1=50°，∠FED+∠2=180°，可求出∠FED、∠BED的度数，然后利用平角的定义可求解。
23.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10 ，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10 × =5 ，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5 ，
∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ．
【解析】【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据三角形的内角和正切函数的定义得出∠ABC的度数，BC的长度，根据两平行线的性质由锐角三角函数得出BMBC×sin30°，CM=BC×cos30°，再根据等腰直角三角形的性质得出MD=BM，进而根据线段的和差得出结论。
24.如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B=∠C+10°，∠D=∠E=105°。
（1）求∠F的度数．
（2）计算∠B-∠CGF的度数是________．（直接写出结果）
（3）连结AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD，并说明理由。
【答案】（1）∵AF∥DE
∴∠F+∠E=180°
∠F=180°-105°=75°
（2）115°
（3）∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD
∵AF∥DE
∴∠1+∠ADE=180°
∠ADE+∠CGF=180°
∴∠1=∠CGF
∴BC∥AD
【解析】（2）延长DC交AF于点K
∠B-∠CGF=∠C+10°-∠CGF=∠GKC+10°=∠D+10°=115°
【分析】（1）根据二直线平行，同旁内角互补，得出∠F+∠E=180°即可得出∠F的度数；
（2）延长DC交AF于点K，根据等量代换得出∠B-∠CGF=∠C+10°-∠CGF，根据三角形的外角定理得出∠C+10°-∠CGF=∠GKC+10°，根据二直线平行内错角相等得出∠GKC+10°=∠D+10°，从而得出答案；（3）∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，理由如下：根据二直线平行，同旁内角互补，由AF∥DE得出∠1+∠ADE=180°，又∠ADE+∠CGF=180°，根据同角的补角相等得出∠1=∠CGF，根据同位角相等，两直线平行得出BC∥AD。