第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析
4.1 学习要求
（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；
（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；
（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；
（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；
（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；
（6）掌握系统的零极点分析。
4.2 本章重点
（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域； （2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；
（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用； （4）线性时不变系统的复频域分析方法；
（5）系统函数与零极点的概念及s 域系统特性分析； （4）)(s H 与系统稳定性；
4.3 本章的内容摘要
4.3.1拉普拉斯变换
（1）单边拉普拉斯变换的定义
正变换 0()()st X s x t e dt -
∞
-==?
逆变换 1
()()2j st j x t X s e ds j σσ
π+∞-∞
=?
式中，0ωσj s +=。
（2）收敛域
把使信号()x t 的拉氏变换存在的s 值的范围称为()X s 的收敛域（Region of Convergence ），缩写为ROC ，可以用下面极限表示：
0)(lim =-∞
→t t e t x σ 0σσ>
上式表明，极限在0σσ>条件下为零，在S 平面上0σσ>就是收敛域。0σ称为收敛坐标，通过0σ的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图4-1所示。
图4.1 s平面中的收敛域
（3）常见函数的拉普拉斯变换
如表4-1所示。
4.3.2 拉普拉斯变换的性质
如表4-2所示。
4.3.3拉普拉斯逆变换
求()X s 的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。但是，实际问题中，()X s 一般为s 的有理分式，可以将()X s 展开部分分式，然后利用单边拉普拉斯变换的性质并结合常用变换对求逆变换。这种方法称为部分分式展开法。
含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成s 的多项式，或变换成两个s 的多项式之比。它们都称为s 的有理式，一般具有如下形式
1110
1
110
()()()m m m m n
n n b s b s b s b B s X s A s s a s a s a ----++++==++++L L 式中，系数(0,1,2,,1)i a i n =-L 、(0,1,2,,)i b i m =L 都为实数，n 和m 是正整数。
要把()X s 展开部分分式，必须先求出()0A s =的根。为了便于分解，将()A s 写作以下形式
12()()()()n A s s p s p s p =---L
式中，12,,,n p p p L 为()0A s =方程式的根，也称为()X s 的极点。
同理，()B s 也可改写为
12()()()()n m B s b s z s z s z =---L
式中，12,,,n z z z L 为()0B s =方程式的根，也称为()X s 的零点。
按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：
1、极点为实数，无重根
112()()
()()()()()n
i i n i
K B s B s X s A s s p s p s p s p ====----∑L
其中()()
i
i i s p K s p X s ==-，所以，1
1
()[()]()i n
p t
i
i x t L X s K e
u t -===
∑
2、包含共轭复数极点
这种情况仍可以采用上述实数极点求分解系数的方法。
12*11
()
()()()K K B s X s s j s j s j s j K K
s j s j αβαβαβαβαβαβ
=
=+
--+++-++=
+
+-++
式中，*
21K K =。令11j K K e ?=，则有
11()j j K e K e X s s j s j ??
αβαβ
-=+
+-++ 3、有多重极点
111121
111()
()()()()()
k k k K K K E s X s s p s p s p D s -=
++++---L 其中，1
1
111
1()(1)!i i s p i d K X s i ds
-=-=-
单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积
分法。
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数st
e s X )(在围线中所有极点的留数运算，即
[]1()()st
L X s X s e -??=??∑极点
的留数
1、()
()()
B s X s A s =
为有理真分式，且只有n 个单值极点k p 1
1
()Re [();]()()k
n
n
st
st
k k s p k k x t s X s e p s p F s e =====-∑∑
2、()
()()
B s X s A s =
为n 阶有理真分式，且有r 阶重极点1p 及()n r -阶单值极点 1
1111()()()(1)!r r st
s p r d x t s p X s e r ds
-=-??=-??-
()()k
n
st
k
s p k n r
s p X s e
==-+
-∑
4.3.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系
双边拉氏变换的积分限是取t 从-∞到+∞，而()x t 所乘因子为复指数st
e
-，s j σω=+，它涉及全部
s 平面。如果不改变积分限，而是将复指数的σ取零值，也即局限于s 平面的虚轴，则得到傅立叶变换。
双边拉氏变换为广义的傅立叶变换。如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子st
e
-，但将积分限限制于
0到+∞就得到单边拉氏变换。在取傅立叶变换时，若当0t <满足函数()0x t =，并将()x t 乘以衰减因子
st e -也就成为单边拉氏变换。
如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数()x t 为有始信号，即当0t <时()0x t =，
然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算：
（1）当00σ>时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换；
（2）当00σ<时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。而且以s j ω=代换，就可以由()X s 求()X j ω，即()
j (j )s X X s ω
ω==；
（3）当00σ=时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的s j ω=代换关系。这时由()X s 求()X j ω，除把()X s 中的s 以j ω代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。 4.3.5 线性系统复频域分析 （1）零状态响应
系统的零状态响应可按以下步骤求解：
(1) 求系统输入()x t 的单边拉普拉斯变换()X s ； (2) 求系统单位冲激响应的拉氏变换()H s ；
(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换()zs Y s ，()()()zs Y s X s H s =； (4) 求()zs Y s 的拉普拉斯逆变换()zs y t 。
（2）系统常系数微分方程的拉氏变换解
拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s 域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。具体步骤如下：
（1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换；
（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换；
（3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。
4.3.6 系统函数与系统特性
（1）系统函数的定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数，即：
()
()()
zs Y s H s X s =
（2）由系统函数确定系统的单位冲激响应
由于()()()zs Y s H s X s =，当系统的激励为()t δ时，零状态响应为()h t ，故
[()}()[()]()L h t H s L t H s δ==
即系统的冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成了一对拉普拉斯变换对，()h t 和()H s 分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 ) 1[
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε
第四章 连续时间系统的复频域分析 一、试写出几个常用信号的拉式变换 二、求下列函数（1）（2）的单边拉式变换（3）（4）的反变换。 1）t e t t f 21)1()(-+==2)2(3++s s 2）t e t t f 222)(-==3)2(2 +s 3）3524)(23+++=s s s s F 4）5 2)(24++=s s s s F 三、已知函数)4()()(--=t A t A t f εε，求)22(-t f 的拉式变换。 四、求图中各信号的拉式变换 五、已知某系统的输入-输出关系，其系统方程为 )(3)(')(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++各激励)()(t t f ε=，初始状态1)0(=-y ， 2)0('=-y ，试求系统的响应)(t y 。
六、图a 所示的电路，激励为)(t u s ，求零状态响应)(t u c 。设（1） )(5)(3t e t u t s ε-=， （2）)(2cos 5)(t t t u s ε=。 七、)(t f 如图中所示，试求： 1）)(t f 的拉式变换； 2）利用拉式变换性质，求的拉式变换和)12()12 1(--t f t f 八、已知如图所示零状态电路，求电压)(t u 。 图a RC 电路
九、已知系统函数1216732)(23++++= s s s s s H 试画出系统的并联模拟框图和级联模拟框图。 十、若描述LTI 系统的微分方程为)()(')('2)(''t f t f t y t y +=+，并已知1)0(=y ，2)0('=y ，激励信号)(t f 如图所示，试求系统的响应)(t y
第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=
第四章习题 4.6求下列周期信号的基波角频率 Ω和周期T 解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■ rad∕s,周期= 4 s (3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 s Ω (5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s 4 12 ⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s 4.7用直接计算傅里叶系数的方法， 求图4-15所示周期函数 的傅里叶系数（三角形式或指数形式） (1) e j100t (2) cos[,t - 3)] (3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t) (5) π π cos( t) sin( t) 2 4 (6) JEJITE cos( t) cos( t) cos( t) 2 3 5 -2 -1 O 1 2 3 r (IJ)
图4-15
f >~ 十 解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有 H , 4? - 1 ≤ r ≤ 4?+ 1 /⑺=I I ∣07 4? + 1 < r < 4? + 3 由此可得 -T u rt = ~? ' τ fit) cost nΩt)dt = -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —? 乙-.：—2 I （2｝周期丁=2?0 =年=兀，则有 由此可得 1 + e -jrhr 2π( I - √ ) 所含有的频率分量 )dr = 2 J -[ 2『亍 =Wl f(t)sm(ττΩt)dt = 1 J -T 2 ——SIn nπ （才），= om 小山 （竽）出 I Sin(Jrt) 9 fm =! 0, 2? ≤ r ≤ 2? + 1 2? + 1 < r < 2? + 2 F ri ]ft 1 Γl = TJV Cf)^dr = ?J r ∣ /(r)e -7iβ, dr — -7- Sin(^f)e - dr -I ZJV 4.10利用奇偶性判断图 4-18示各周期信号的傅里叶系数中 扣 =O* ± 1 * + 2??
例4-1 求下列函数的拉氏变换 拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以 表示 单边拉氏变换,以 表示 双边拉氏变换.若文字中未作说明,则 指单边拉氏变换.单边拉氏变换只研究 的时间函数,因此,它和傅里叶变换 之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面.本例只讨论时移 定理.请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。 例4-2 求三角脉冲函数 如图4-2（a ）所示的象函数 和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。 方法一：按定义式求解 方法二：利用线性叠加和时移性质求解 方法三：利用微分性质求解 方法四：利用卷积性质求解 方法一：按定义式求解 ()() 1-=t tu t f ()s F ()t f ()s F B ()t f 0≥t ()()[]()()()[]s e s s t u t u t L t tu L s F -??? ??+=-+--=-=1111112()t f ()?????<<-<<=其它 02t 1 21t 0 t t t f ()() ( ) () 2 22222221101010102 1011 1 2221112112s s s s s s s st st st st st st st e s e s e s e s e s s e s e s dt te dt e dt e s e s t dt e t dt te dt e t f s F -------------∞--=-++-+--=-++??? ??-=-+==? ??? ?? --- --
专业课习题解析课程 第2讲 第一章信号与系统（二）
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ=
（4）) t fε= (sin )(t （5）) t f= r )(t (sin
（7）)( t f kε )(k 2 = （10）)(])1( 1[ k f kε )(k = - +
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
（2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε
第2章 线性时不变连续系统的时域分析 2.6本章习题全解 2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k 。刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为)(t F S ，求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。 题图2-1 解：由机械系统元件特性，拉力k F 与位移x 成正比，即k F kx = 又()()t x t v d ττ-∞ = ? 所以，()()()t k F t kx t k v d ττ-∞ ==? 刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得 ()()()()t s d F t fv t k v d m v t dt ττ-∞ --=? 整理得22()()()()s d d d m v t f v t kv t F t dt dt dt --= 2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(t i s ，试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2 解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()C L S i t i t i t += （1） 根据电容特性，()()C C d i t C u t dt = （2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()C C L L d u t R i t L i t R i t dt +=+ （3） 将21()()()()C L L C d u t L i t R i t R i t dt =+-代入（2）得 2212()()()()C L L C d d d i t LC i t R C i t R C i t dt dt dt =+-（4） ()()()C S L i t i t i t =-代入（4）得， 22112()()()()()()S L L L S L d d d d i t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt -=+-+ 整理得，21 212()11 ()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC +++=+ （5） 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-，即11 () ()()L S u t i t i t R =- 代入（5）得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC +-+-+-=+ 整理得，22 1211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt ++ +=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为 )(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =，1)0(=-y ,1)0('=-y ，试计算)0(+y 和)0('+y 值。 解：将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0(' +y 方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ，设
西安电子科技大学844信号与系统
第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =
（7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ=
（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε=
（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
第四章习题答案 收集自网络 4.1 由于复指数函数是LTI 系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI 系统分析 中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI 系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI 系统特征函数的信号。 在本题中，我们将验证这一结论。 (a) 对单位冲激响应()()h t t δ=的LTI 系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。 (b) 如果一个LTI 系统的单位冲激响应为()()h t t T δ=-，找出一个信号，该信号不具有st e 的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。 (c) 如果一个稳定的LTI 系统的冲激响应()h t 是实、偶函数，证明cos t Ω和sin t Ω实该系统的特征函数。 (d) 对冲激响应为()()h t u t =的LTI 系统，假如()t φ是它的特征函数，其特征值为λ，确定()t φ应满足的微分方程，并解出()t φ。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。 解：(a) ()()h t t δ=的LTI 系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值 为1。 (b) ()()h t t T δ=-，∴()()x t x t T →-。如果()x t 是系统的特征函数，且特征值为 1，则应有()()x t x t T =-。满足这一要求的冲激序列为()()k x t t kT δ∞ =-∞ = -∑。 若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得： 1 ()()()2 k k x t t kT δ∞ =-∞=-∑， 特征值为1/2。 ()2()k k x t t kT δ∞ =-∞ = -∑， 特征值为2。 (c) 1cos ()2 j t j t t e e ΩΩ-Ω= +
一 填空（20） 1. 已知的频谱在)(1t f ),(11ωω?的区间内不为0，的频谱函数在)2(2f ),(22ωω?区 间内不为0，且12ωω>现对信号进行理想取样，则奈亏斯特取样率为 )(*)(21t f t f 3. 非周期连续信号的频谱是 的。 2. 已知一信号x(t)的频谱)(ωj X 的带宽为1ω，则的频谱的带宽为 )2(2t x 4. 求付氏变换1? 8．设为一带限信号，其截至频率)(t f rad/s 8=m ω。现对取样，则不发生混叠时的最大间隔 )4(t f =max T 5 求付氏变换 ?)(,t δ 9. 设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )3(t f ?t 06. 求付氏变换cos ω 10设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )(2t f ?t 07. 求付氏变换sin ω 12设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )()(2t f t f + 13从信号频谱的连续性和离散性来考虑，周期信号的频谱是 。 14．连续周期信号)6cos(3)2cos()(t t t f ππ+=的傅立叶级数 =n a =n b 11设为一带限信号，最高频率是100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率 )(t f )2(*)(t f t f 二 选择题 1．对信号f (t ) = cos (πt +30°) +2sin(4πt +45°)，当取样间隔 T 至多为何值时，f (t )就能唯一地由均匀取样样本f (kT ) (k = 0，1，2，···)确定。 (A) 0.25 s (B) 0.5s (C) 1s (D) 2s
4-1. 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。 ()()()()()()t at t e t t e t δεδε---+---21 2(2) 3 213 解：(1) ()s F s s -=+ +2121 e (2) ()332s F s s a e -=-+ 4-3. 利用拉变的基本性质，求下列函数的拉氏变换。 ()())()()()()()[()()]()()()() t t t t t t t t t t t t t t δ -----++---+-+- 2121 (2 3 [12e ] 5 e 2 7 e e 12εεεεεε解： () ()()()()()()()()()32 2212221121 3 11e e 115 7 e 11 21 s s s F s F s s s s s s F s F s s s s s -+--=+=+-++=-= ++++++ 4-4. 求图示信号的拉氏变换式。 解： ()();22 22112a e e s s F s s s s --=-- ()()()235e 2e e e s s s F s s ---=+- △4-5. 解：()(),();()(),(). f f f f =∞==∞=201030005 4-6. 求下列函数的拉氏反变换。 ()()() ()() s se s s s s s s s -++++++++2 222226191542 4 6 43144 解：()()()()1542 1e 3 t f t t -=-ε. ()()()()()()[]();t t t t f t t t ------=-+--32234e e 3e e 2εε ()()[()]().262e 4e t t f t t t ε --=+-
第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 A T 0 -T 0 t ) (~t x ? ??? ??2 /τO 2/τ- 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[T 0/2，T 0/2]的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 A -A 1 0.5 -1 t ) (~t x ? ??? ??-0.5 -2 2 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [1/2，3/2]的表达式为
1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并 加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ =
⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(221t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ? ∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ? ∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2(sin π δ ⑸ ? ∞ ∞ --++dt t t t )1()2(3δ ⑹ ? --11 2)4(dt t δ 1-12试求下列积分： ⑴ ? ∞ -'-=t d t x ττδτ)()1()(1 ⑵ ?∞ --=t d t x ττδτ)()1()(2 ⑶ ? ∞ ---= t d u u t x ττττ)]1()([)(3
信号与线形系统重要公式 第一章：信号与系统 1.1单位阶跃函数ε(t) 单位冲激函数δ(t ) 1.2冲激函数的性质： '''''() () () ()()(0)() ()()(0) ()()(0)()(0)() ()()(0)()()(1) (0) n n n f t t f t f t t dt f f t t f t f t f t t dt f f t t dt f δδδδδδδδ ∞ -∞ ∞-∞∞ -∞ ===-=-=-??? 1111111' ' ' 11111''11()()()() ()()()()() ()()()()()() ()()() f t t t f t t t f t t t dt f t t t dt f t f t t t f t t t f t t t f t t t dt f t δδδδδδδδ∞ ∞ -∞ -∞ ∞-∞ -=--=-=-=----=-??? '' ()() () 1()()11()()11()()n n n at t a at t a a at t a a δδδδδδ== = ()()() () ()()()()n n n n t t n t t n δδδδ-=-=-为偶数为奇数 1.3线形系统的性质： 齐次性 可加性 [()]()T af af ?=? 1212[()()][()][()]T f f T f T f ?+?=?+? 11221122[()()][()][()]T a f a f a T f a T f ?+?=?+? 零输入响应，零状态响应，全响应 ()[{(0)},{0}]x y T x ?= ()[{0}, {()f y T f ?=? ()()()x f y y y ?=?+? 第二章 连续系统的时域分析法 全解=齐次解（自由响应）()h y t +特解（强迫响应）()p y t 全响应=零输入响应()x y t +零状态响应()f y t ()()()h p y t y t y t =+= ()()x f y t y t + 零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 ()x y t 表示。 零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所 引起的响应，用()f y t 表示。
第四章 随机信号与线性系统 4.１ 引言 确定系统、系统输入、系统输出三者之间的关系是信号与系统分析的中心任务。如果线性系统的输入是随机信号，其输出也是随机信号。此时，对系统输出的测量结果只是随机信号的一次实现，并且随机信号的傅氏变换（如果存在）也是随机信号。因此，随机信号与线性定常系统之间的关系通常是用输入、输出的一、二阶统计特性和系统的特性来表示。 线性系统（因果的）对确定信号的响应分为稳态响应和暂态响应（过渡过程）。类似地，线性系统（因果的）对随机信号的响应可分为平稳情况和非平稳情况。 １．随机信号的渐近平稳性 定义：假设随机信号)(t Y 的一、二阶矩存在（二阶矩过程），若极限 {}==∞→∞ →)()(lim lim t Y E t t y t μ 常数 (4-1) lim ∞ →t {})()()(),(lim τττy t y R t Y t Y E t t R =+=+∞ → (4-2) 成立，则称该随机信号是渐近平稳的。 换句话说，对于渐近平稳的随机信号)(t Y ，存在充分大的T ，在T t >以后，)(t Y 是平稳 的。 2．线性系统响应的渐近平稳性 根据系统理论，线性系统的响应)(t Y 为系统单位冲激响应)(t g 和输入)(t X 的卷积，即 )()()()()(t X t g d t X g t Y *=-=?∞ ∞ -τττ (4-3) 【对于因果系统: )()()()()()()(0 t X t g d t X g d t X g t Y t *=-=-= ?? ∞ ∞ -ττττττ 对于连续单输入－单输出线性系统，如果输入信号)(t X 是随机的，则输出信号)(t Y 也是随机信号，)(t Y 的每一个样本)(t y 由)(t X 的样本)(t x 与所给定系统的冲激响应)(t g 的卷积求得，即 )()()()()(t x t g d t x g t y *=-=?∞ ∞ -τττ (4-3) 】 将式(4-3)两边求数学期望值，得 {}{}??∞ ∞ -∞∞ -*=-=-==)()()()()()()()(t t g d t g d t X E g t Y E t x x y μττμττττμ 由此可见，系统输出)(t Y 的期望值)(t y μ等于输入)(t X 的期望值)(t x μ与系统单位冲激响应 )(t g 的卷积，即 )()()(t t g t x y μμ*= (4-4) 系统输出)(t Y 的自相关函数),(τ+t t R y 为 {})()(),(ττ+=+t Y t Y E t t R y {}))()(())()((ττ+*+?*=t X t g t X t g E { } ))()(())()((222111??∞ ∞ -∞∞ --+?-=τττττττd t X g d t X g E
一、填空题 1．傅里叶变换的性质反映了信号的____域特性与频域特性的关系。 2．连续系统的频域分析是以___________为基本信号，任意信号在满 足条件下，都可以分解为不同频率的基本信号的加权叠加和。 3．周期信号满足狄里赫利条件时，可以展开成傅里叶级数，其中傅 里叶系数n a = 。 4．傅里叶反变换的定义式是：____________________________。 5．常数1的频谱函数是 。 ６．对连续时间信号进行均匀冲激取样后，就得到 时间 信号。 二、单项选择题（在每小题的备选答案中，选出一个正确答案，并将 正确答案的序号填在括号内。） 1、一个连续系统，如果其输出与输入信号频谱满足关系： ()()d j t Y j Ke F j ωωω-=，则简称该系统为（ ）系统。 A ．因果 B ．无失真传输 C ．不稳定 D ．平衡 ２、连续系统的频域分析是以____________信号作为基本信号，满足 狄里赫利条件的信号都可以依此加以分解。 A 、 st e - B 、j t e ω- C 、st e D 、j t e ω 三．判断题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） １．周期矩形脉冲信号的频谱是离散频谱。 （ ） ２．若()()f t F j ω?，那么信号(2)f t 的频宽将是()f t 频宽的1/2倍。（ ）
四．画图题 １．已知信号()f t 的频谱函数波形如图所示，试画出()()cos()y t f t t π=?的频谱图。 五、简单计算下列式子 1、 ?[cos(500)]t π ２、?[]()t T δ+ 六．计算题 １．一个LTI 系统的频率响应 22, 60 (), 06 0, j j e H j e π πωωω-?-<
专业课习题解析课程 第2讲 第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=
解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) t f= r ) (sin (t （7）) f kε = t ) ( 2 (k
（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
第二章部分习题参考答案 2-5 一个线性系统对()t δτ-的响应为()()(2)r h t u t u t ττ=--- （1）该系统是是不变的吗？ （2）是因果的吗？ 解： (1) ()()(2)() ()()(2)() r r h t u t u t f t h t u t u t f t ττττττττ=---=-=-----=-∴是时不变的。 (2) ()0 0 2 0h t t t τττ≡<<<∴因果系统，有，本题，非零范围在当大于时是因果系统。 2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。 121212(-) 1(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)1 1 (1) 0 (2) ()t t t t t t t f t u t f t e u t f t f t f f t d u e u t d e e d e e e t f t ααταατ αατ αατττττττ α α δ-+∞-∞ +∞---∞ --==>*= ==?= ?= -≥=? ? ? ，解：，2121212() ()cos(45) ()()()cos[()45] cos(45) (3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()() t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττ ω+∞-∞ =+*= -+=+=+--=---*? ，解：，解： τ τ
2 2 2 2 21211 2 11()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)22 11 -(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3) 2 2 ()*()()1,()0 123, (1-)(1)2 1(1)--(12 t t f t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ =+++ =<=<<+=+- =++?2 2 2 -1 1 2 2 2 2 2 12111)-2 2 2 123, (1-)(1)-2 2 1()2(1)-2(1-)(-1)2 111 21---15 2 2 2 3, ()*()0. t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+ = <<+=+=+++=++ + =++>=? 121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)] f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττ δδωττ ωω+∞∞ +∞∞ ==+== +?=+? ? -212-212--2-220 (5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t t t t t f t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d e e d τ ττττ ττττ +∞∞ ==?==???= ?=?? ? ?