必修四三角函数的图像与性质题型归纳

三角函数的图像与性质题型归纳

【知识点1 正弦曲线、余弦曲线】

1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2.图象

【知识点2 正弦函数、余弦函数的图象和性质】

函数 正弦函数y ＝sinx

余弦函数y=cosx

定义域 R R 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性

最小正周期2π

最小正周期2π

单调区间

增区间]2222[πππ

π+-

k k ，；减区间]2

3222[π

πππ++k k ， 增区间[]22k k πππ-，

减区间[]22k k πππ+，

最值点

最大值点(2,1)2

k π

π+；最小值点(2,1)2

k π

π-

-

最大值点()21k π，

最小值点()2,1k ππ+-

对称中心

()0k π，

(,0)2

k π

π+

对称轴

2

x k π

π=+

x k π=

【知识点3 正弦型函数和余弦型复合函数的性质】

函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -； （3）单调区间

求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．

比如：由)(2

22

2Z k k x k ∈+

≤+≤-π

π?ωπ

π解出x 的范围所得区间即为增区间，

由 )(2

322

2Z k k x k ∈+

≤+≤+π

π?ωπ

π解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性

正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性． ①对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2

k k z π

?π=±∈时为偶函数； ②对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2

k k z π

?π=±∈时为奇函数．

（5）周期

函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期为2T π

ω

=．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数sin y x =比较可知，当()2

x k k z π

ω?π+=±

∈时，

函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2

x k k z π

ω?π+=±

∈解出，其对称中心的横坐标

()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-??

∈

???

． 同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由()x k k z ω?π+=∈解出，对称中心的横坐标由

()2

x k k z π

ω?π+=±

∈解出．

【知识点4 正切函数的图象】 正切函数R x x

y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠

ππ

2

的图象，称“正切曲线”

1．定义域：?

??

?

??∈+≠z k k x x ,2|ππ

， 2．值域：R

由正切函数的图象可知，当()2

x k k z π

π<

+∈且无限接近于

2

k π

π+时，tan x 无限增大，记作

tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）

；当()2

x k k z π

π>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x

趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2

x k k z π

π=+

∈为正切函数的渐进线．

3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 【知识点5 正切型复合函数的性质】

1．定义域：将“x ω?+”视为一个“整体”．令,2

x k k z π

ω?π+≠+∈解得x ．

2. 值域：(),-∞+∞ 3．单调区间：（1）把“

x ω?+”视为一个“整体”；

（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2

y x x k k z π

π=≠+

∈的相同（反）

；（3）解不等式，得出x 范围． 特别注意：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2

k k z π

?=

∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||

T πω=．

题型梳理

(一) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的定义域 例1．（2019·浙江高一期中）函数1

tan 2

4y x π??=+ ???的定义域是（ ）

A.{|2,}2

x x k k Z π

π≠+∈

B.{|4,}2

x x k k Z π

π≠+∈

C.{|,}28

k x x k Z ππ

≠

+∈ D.{|,}8

x x k k Z π

π≠+

∈

【解析】令x+（k ∈Z ），解得：x

（k ∈Z ），

故函数的定义域为{x|x

，k ∈Z}

例2．（2019秋?安福县校级期中）函数22(2cos 21)y x lg x =-+的定义域为 ．

【答案】解：∵函数2

2(2cos 21)y x lg x =-+，∴2202cos 210x x ?-≥?+>?

，即

22

1

cos 22

x x ?≤≤?

?>??． 化简可得 22

22222,33x k x k k Z ππ

ππ?-≤≤?

?+>>-∈?

?

，解得33x ππ-<<． 【变式训练1】．（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）函数tan 2y x =的定义域为___________________

【解析】由于正切函数tan y x =为,2x x k k Z ππ??≠+∈????

，

解不等式()22

x k k Z π

π≠

+∈，得()24

k x k Z ππ

+≠

∈， 因此，函数tan 2y x =的定义域为2,4k x x k Z ππ

??+≠

∈????

， 故答案为：2,4k x x k Z ππ

??+≠

∈????

. 【变式训练2】．（2018·福建高一月考）函数2sin(2)1y x π=-- ）

A.5{|22,}66x k x k k Z π

πππ+

≤≤+

∈ B.5{|,}66x k x k k Z ππ

ππ+≤≤+∈

C.2{|22,}33x k x k k Z ππππ+≤≤+

∈ D.5{|,}1212

x k x k k Z ππ

ππ+≤≤+∈

【解析】要使函数有意义，则2sin （π﹣2x ）﹣1≥0，即sin2x≥12

， 则2kπ+

6π≤2x≤2kπ+56π，k ∈Z ，则kπ+12π≤x≤kπ+512

π，k ∈Z ， 即函数的定义域为5{|,}1212

x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.故选：D ． (二) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的值域

例3．（2019·黑龙江鹤岗一中高一期末（文））在[]0,2π上，满足sin x ≥

的x

的取值范围是( ) A ．0,

3π??

????

B ．5,33ππ??

?

??

? C ．5,6π??

π?

???

D ．2,33ππ???

???

【解析】∵[0，2π]上，满足sin x ≥

x 的取值范围：3π≤x 23π≤．故选：D ．

例4．设a 为常数，且1,02a x π>≤≤，则函数()2

cos 2sin 1f x x a x =+-的最大值为（ ） A. 21a - B. 21a + C. 21a -- D. 2a

【解析】()()2

222cos 2sin 11sin 2sin 1sin ,f x x a x x a x x a a =+-=-+-=--+， 02,x π∴≤≤

1sin 1x ∴-≤≤，又1a >，所以最大值在sin 1x =是时取到， ()()2

2max 121,f x a a a ∴=--+=-综上

所述，故选B .

【变式训练1】．（2019·宁夏高一期末）函数()sin 0y b a x a =+<的最大值为1-，最小值为5-，则

()tan 3y a b x =+的最小正周期为______.

【解析】令[]sin 1,1t x =∈-，所以y at b =+，由于0a <，所以y at b =+在[]1,1-上单调递减，即有

15

b a b a -=-??

+=-?，解得2,3a b =-=-，()tan 3tan(9)tan9y a b x x x =+=-=-，故最小正周期为9T π

=. 【变式训练2】．（2018·北京高一期末）已知函数()πf x 2sin x .6?

?=+

??

?

()

I 若点(P 1,在角α的终边上，求：cos α和πf α6?

?- ??

?的值；

()II 若ππ

x ,32??

∈-???

?

，求()f x 的值域．

【解析】（1）因为点(P 1,在角α的终边上，所以sin α=1cos 2α=.

所以2sin 2sin 666f πππααα?

?

?

?-

=-+== ? ??

??

?（2）令6

t x π

=+

，则原函数化为()2sin g t t =.因为,32x ππ??

∈-

????

，所以263t ππ-≤≤， 注意到sin y t =在,62ππ??-

????单增，在2,23ππ??????单减，且max 2sin 222y g ππ??

=== ???

，

而2sin 166g ππ????-

=-=- ? ?????，222sin 13

3g π

π??

==>- ?

??

，即()f x 的值域为[]1,2-.

【变式训练3】．（2019·济南市历城第二中学高一期中）已知函数()),4

f x x x R π

=-∈.

(1)求函数()f x 得单调增区间；(2)求函数()f x 在区间,82ππ??

-????

的最值. 【解析】 (1)由2224

k x k π

-π+π≤-≤π，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调区间是3,88k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

.

(2)∵,82x ππ??

∈-

????

，则32,424x πππ??-∈-????，cos(2)42x π??-∈-????，

∴max ()f x =min ()1f x =-.

(三) 求正弦函数 余弦函数以及正切函数的单调性 例5．函数tan 24y x π?

?

=+

??

?

的单调递增区间是______. 【答案】3,,2828k k k ππππ??

-+∈

??

?Z 【解析】令2,2

4

2

k x k k π

π

π

ππ-

<+

<+

∈Z ，解得

328k x ππ-< ,28

k k ππ<+∈Z . 例6.（2019·浙江高一期末）函数()sin 2x 4f x π?

?

=-

??

?

的最小正周期为_____；单调递增区间为_______．

【解析】因为()sin 24f x x π??=- ??

?，所以222T W πππ===， 因为3222,()2

4

2

8

8

k x k k x k k Z π

π

π

π

π

ππππ-

+≤-

≤

+?-

+≤≤

+∈， 所以增区间为3,()88k k k Z ππππ??-

++∈????

【变式训练1】．（2018·

浙江高一期中）函数y =

_______，值域为_______.

【解析】由题意，可知sin 0x ≥，根据正弦函数图象，得()()221k x k k Z ππ≤≤+∈，即函数y 的定义

域为()()2,21k k k Z ππ+∈????，此时0sin 1x ≤≤，则函数y 的值域为[]01

，，从而问题可得解. 【变式训练2】．（2019·宁夏高一期末）函数()sin 26f x x π?

?

=-

??

?

的单调减区间为（ ） A ．5,()36k k k ππππ??++∈?

???

Z B ．,()63k k k ππππ??-++∈????Z

C ．5,()1212k k k ππππ??-++∈????Z

D ．5,()63k k k ππππ??

-+-+∈????

Z 【解析】

sin y x =的单调减区间为32,2()22ππππ??

++∈????

k k k Z ， 3222()2

62π

π

π

ππ∴

+-

+∈k x k k Z ,解得5()36

ππππ++∈k x k k Z ∴函数的单调减区间为5,()36k k k ππππ??

++∈????

Z .故选A . 【变式训练3】．若函数sin y a b x =-的最大值为3

2，最小值为12

-． （1）求a ，b 的值；

（2）求函数sin y a x =-取得最大值时的x 的值； （3）请写出函数sin y a x =-的图象的对称轴．

【解析】（1）因为11sinx -≤≤,所以当0b >时，有3,2

1,2a b a b ?

+=????-=-??

解得121.a b ?=???=?，

当0

b<时，有

2

1

2

a b

a b

-=

??

?

?+=-

??

，

，

解得

1

2

1.

a

b

?

=

?

?

?=-

?

，

（2）由（1）知

1

2

a=，所以函数

1

sin sin

2

y a x x

=-=-，所以当

π

2π()

2

x k k

=-∈Z时，函数sin

y a x

=-

取得最大值．

（3）函数

1

sin sin

2

y a x x

=-=-，所以其图象的对称轴方程为

π

π()

2

x k k

=+∈Z．

(四) 五点法画函数图像

例7.（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数

（1）用五点法作出函数的简图；

（2）写出函数的值域与单调区间.

【解析】（1）列表如下：

3 5 3 1 3

（2）由上图可知函数的值域，

当，即当时为增函数.

当，即当时为减函数.

函数的单调增区间为：（），减区间为：

【变式训练1】．已知函数

π

()2sin2

6

f x x

??

=+

?

??

．

（1）求函数()

f x的最小正周期及其单调递减区间；

（2）用“五点法”画出函数()

y f x

=在

7π5π

,

1212

??

-??

??

上的图象（列表并作图），由图象研究并写出()

y f x

=的

图象在区间,1212-

???

?上的对称轴和对称中心． 【解析】（1）最小正周期2π

π2T ==．由ππ3π2π22π()262

k x k k +++∈Z ， 得π2π

ππ()63

k x k k +

+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π()63k k k ?

?

++∈???

?

Z ． （2）列表如下，

从图象上可以直观看出，函数()y f x =的图象在区间7π5π,1212??-????上有—个对称中心π,012??

- ???

，无对称轴． （五）求正弦函数 余弦函数以及正切函数的周期

例8.（2019·北京高考模拟）已知函数sin y x ω=(0)ω>在(0,)4

π

上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为____．

【解析】因为函数sin y x ω=(0)ω>在(0,)4

π

上有最大值，没有最小值， 所以，只需

3242πππωω

<≤，解得26ω<≤.故答案为26ω<≤ 例9.（2019·浙江高二期中）设函数()2sin 24f x x π??

=- ??

?

，则函数()f x 的最小正周期为______；单调递增

区间为______. 【解析】

2ω=，222

T π

ππω

∴=

=

=，由222242k x k πππ

ππ-+-

+，k Z ∈， 得38

8

k x

k π

π

ππ-

++，k Z ∈，故答案为：(1). π (2). 13,,88k k k Z ππππ??

-++∈????

例10.（2019·永昌县第四中学高一期末）函数1

3tan 2

4y x π??=-

???的最小正周期是（ ）

A ．

4

π B ．

2

π C ．π

D ．2π

【解析】由题意可知，函数1

3tan 24y x π??=- ???

的最小正周期212

T π

π==，故选：D.

【变式训练1】．（2019·湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =

B ．sin y x =

C ．tan

2

x

y = D ．cos 4y x =

【解析】A 选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误； B 选项，根据函数的图像得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；

C 选项，函数的最小正周期为=21

2

π

π

，所以该选项错误；

D 选项，函数的最小正周期为2=42

ππ

，所以该选项错误.故选：B

【变式训练2】．（2019·广东高一期末）下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =

B ．cos y x =

C ．1

sin

2

y x = D ．cos 2y x =

【解析】对于选项A, sin y x =的最小正周期为2π,

对于选项B, cos y x =的最小正周期为2π, 对于选项C, 1

sin 2

y x =的最小正周期为4π, 对于选项D, cos 2y x =的最小正周期为π, 故选D. （六）奇偶性 对称轴与对称中心

例11.（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理））函数()2sin()2

f x x π

=+在其定义域上是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既非奇函数也非偶函数

D ．不能确定

【解析】函数()2sin()2

f x x π

=+

2cos x =，此时函数为偶函数，故选：B.

例12.（2019·天水市第一中学高一期末（文））函数3sin 26y x π?

?

=- ??

?

图像的一条对称轴方程为（） A ．3

x π

=-

B ．3

x π

=

C ．6

x π

=

D ．6

x π

=-

【解析】依题意有2,6

2

x k k Z π

π

π-

=

+∈，解得,32

k

x k Z π

π=

+∈ ，故选B 【变式训练1】．（2019·云南高一期末）已知函数，则下列结论不正确的是（ ） A.

是

的一个周期

B.

C.

的值域为R

D.

的图象关于点对称

【解析】A ．的最小正周期为，所以是

的一个周期，所以该选项正确；

B. 所以该选项是错误的；

C. 的值域为R ，所以该选项是正确的；

D.

的图象关于点

对称,所以该选项是正确的.故选：B

【变式训练2】．（2019·湖南高一期末）函数图像的一个对称中心是（ ）

A.

B.

C.

D.

【解析】由题得,所以，所以图像的对称中

心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选：B

【变式训练3】．（2019·辽宁高一期中）函数()tan()6

f x x π

=+的图象的一个对称中心是（ ）

A ．(

,0)3

π

B ．(

,0)4

π

C ．(

,0)2

π

D ．(

,0)6

π

【解析】由正切函数的对称中心(

,0),()2

k k Z π

∈可以推出()f x 对称中心的横坐标满足 ()6262k k x x k Z ππππ+=?=-+∈，带入四个选项中可知，当1k =时，3x π=.

故,03π??

???

是图像的一个对称中心，选A. （七）求正弦函数 余弦函数以及正切函数的综合应用

例13.（2019·山西高一期中）函数3cos 24y x =+()x R ∈是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为2π的奇函数

【解析】2T π

πω

=

=，()3cos(2)43cos 24()f x x x f x -=-+=+=，所以函数最小正周期为π，是

偶函数，因此本题选A.

例14.已知函数()2cos 44f x x π?

?

=-

??

?

.

(1)求函数()f x 的最大值以及相应的x 的取值集合；

(2)若直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴，求实数m 的值. 【解析】 (1)∵()2cos 44f x x π??

=-

??

?

，∴()f x 的最大值为2，此时42,4

x k k π

π-

=∈Z ，

∴所求x 的取值集合为|()16

2k x x k π

π??=+

∈???

?

Z . (2)令4()4

x k k π

π-=∈Z ，则()416

k x k ππ

=

+∈Z .∵直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴， ∴()416

k m k ππ

=

+∈Z . 【变式训练1】．（2016·天津高一期末）给出下列五个命题： ①函数

的一条对称轴是

；②函数

的图象关于点（,0）对称；

③正弦函数在第一象限为增函数； ④若，则

，其中；

⑤函数

图像与直线

有且仅有两个不同的交点，则取值范围为

.

以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号） 【解析】①将

代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数

的图象关于点

对称,包括点

；③

,③错误；④利用诱导公式

,可得不同于

的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线

仅有有两个不同的交点，则

．故答案应填①②⑤.

【变式训练2】．已知函数()sin (0)3f x x πωω?

?

=+

> ??

?

的最小正周期是4π，则ω=______，若335f πθ?

?+= ??

?，则cos θ=______ .

【解析】根据周期的公式2||T πω=

，所以221

42

T ππωπ=

==， 则：13sin()cos 326325f πππθθθ?

?

+

=++== ?

?

?，27cos 2cos 1225

θθ=-=-由于

四、迁移应用

1.（2019春?南湖区校级月考）已知函数()2sin(2)13

f x x π

=--的定义域为 ．

【答案】{}7,4

12

x k x k k Z π

π

ππ+

≤≤+

∈ 2.（2019秋?黄冈期末）函数sin cos y x x =+的定义域是 ． 【答案】2,2,2k k k Z πππ??

+

∈ ??

?

． 3.（2019秋?射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[

6

x π

∈，

2]3

π

的值域 ． 【答案】415,

8??

????

4（2019春?淄博校级月考）函数3sin 3sin x

y x

-=

+的值域为 ．

【答案】1,22

??????

．

5.（2019?上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23

π

为最小正周期．

（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间． 解：（1）f （x ）＝3sin （3x +

）．

（2）对称轴方程为,312k x k Z ππ=

+∈．增区间为22,,3

4312k k k Z ππππ??

-+∈?

???． 6.（2018秋?嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π

=-+∈的最小值为1．

（Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间． 【答案】∴m ＝3．,6

x k k Z π

π=-∈．

（Ⅱ）π，增区间为,,6

3k k k Z π

πππ??

-

+

∈???

?

．

7.（2019春?郑州期末）已知函数()sin()(04

f x x π

ωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．

（Ⅰ）求3(

)4

f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π

-

，]2

π

上的图象．

解：（1）2

-

；（2）画出函数在区间上的图象如图所示：略 8.判断下列函数的奇偶性：

（1）()2f x x ；（2）33()sin(

)42

x f x π

=+；

（3）()f x =． 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数，也是偶函数． 9.判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x x

f x x x

--=

++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．

解：（1）非奇非偶函数；（2）偶函数． 10.求2cos(2)6y x π

=-单调性对称轴对称中心．

【答案】增区间为5,,1212k k k Z ππππ??-

+∈???

?．减区间为7,,1212k k k Z ππππ?

?++∈???

?． 对称中心为,0212k ππ??+

???

． 11.变式训练1：求函数的对称轴，对称中心

（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123

f x x π

=-+．

解：（1）对称轴方程为：128x k ππ=

-，对称中心1

,0,2

8k k Z ππ??-∈ ???

（2）对称中心52,1,3k k Z ππ?

?+

∈ ??

?，对称轴方程为：22,3

x k k Z ππ=+∈ 13.（2019春?靖远县期末）已知函数1()2cos()212

f x x π

=+．

（1）求()f x 的单调递增区间（2）求不等式()1f x >的解集． 解：（1）单调递增区间为134,4,66Z k k k Z ππππ??

--+∈????

； （2）不等式的解集为544,62

k x k k Z ππ

ππ-

+<<+∈．

14.（2019秋?福建月考）已知函数())4f x x π-，[,]82x ππ

∈-

（1）求函数()f x 的单调区间．

（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ

-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．

解：（1）单调递增区间为,88ππ??-

????；单调减区间为,82ππ??

????

；

（28

x π

=

，最小值为1-，此时2

x π

=

．

15.已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2

π

，值域为[5-，1]．

（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π

=--的最小值并求出对应x 的集合．

解：（1）2,1;2,7a b a b =-===-（2）略． 16.已知函数23

()sin cos 2

f x x a x =+-

，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；

（2）对于区间[0，)2π

上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．

解：（1）14-

；（2）实数a 的取值范围是5,2?

?-∞ ??

?．

高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数的基本关系

高中数学必修三角函数常考题型同角三角函数 的基本关系 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-

同角三角函数的基本关系 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2 α＋cos 2 α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即 sin α cos α＝tan_α ? ?? ??其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】 题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】 (1)已知sin α＝12 13 ，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－4 5 ，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2 α＝1－sin 2 α＝1－? ????12132＝? ?? ??5132 ，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－ 513，tan α＝sin αcos α＝－125 . (2)sin 2 α＝1－cos 2 α＝1－? ????－452＝? ?? ??352 ， 因为cos α＝－4 5 <0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3 4；当α是第 三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3 4 .

【类题通法】 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin2α，求得 cos α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos2α，求得 sin α的值，再由公式tan α＝sin α cos α 求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝sin α cos α ＝m?sin α＝ m cos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝± 1 1＋m2 ，sin α＝ ± m 1＋m2 的值． 【对点训练】 已知tan α＝ 4 3 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝ sin α cos α ＝ 4 3 ，得sin α＝ 4 3 cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得 16 9 cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝ 9 25 . 又α是第三象限角，故cos α＝－ 3 5 ，sin α＝ 4 3 cos α＝－ 4 5 . 题型二、化切求值 【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．

高中数学必修4三角函数综合测试题

必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π

7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点

人教版数学必修四三角函数复习讲义

人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，

()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．

高中数学必修4三角函数教案

任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =

a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以

必修4三角函数的图像和性质专题练习

三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A

高一数学必修4三角函数知识点及典型练习

第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角 终边相同的角的集合}{ |2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距 离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2 2 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 * 正弦 : 余弦 & 正切 》 4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ? ?±=±?? ±=?? ±?±=??

5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα? ?=?=-=-=-???= -? 余弦二倍角公式变形： 222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=- 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质

必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

必修四第一章三角函数测试题(含答案)

必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝?

必修4三角函数的诱导公式专项练习题

训练专题化设计 能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1. 已知sin(π+α)=4 5 ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 【 】 (A)－ 5 3 (B) 53 (C)±5 3 (D) 5 4 2. 若cos100°= k ，则tan ( -80°)的值为 【 】 (A) (D) 3. 在△ABC ，则△ABC 必是 【 】 (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P (3a ，4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 【 】 (A)－45 (B)－35 (C)±3 5 (D)±4 5 5. 设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 【 】 (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B +=sin 2 C 二、填空题 6. 若1cos()2A π+=-，则sin()2 A π +的值是 . 7. 若cos() (||1)6m m πα-=≤，则2 sin()3 πα-是 . 8. 计算： tan(150)cos(570)cos(1140) tan(210)sin(690) -??-??-?-??-?= . 9. 化简：sin 2( 3π－x )+sin 2(6 π +x )= . 10. = . 三、解答题 11. 化简23 tan()sin ()cos(2) 2cos ()tan(2) π πααπααπαπ-?+?---?-. 12. 设f (θ)=322 2cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++-，求f (3π )的值.

必修4三角函数单元测试题(含答案)

三角函数 单元测试 一、选择题 1．sin 210=o （ ） A ． B ． C ．12 D ．12 - 2．下列各组角中，终边相同的角是 ( ) A ．π2k 或()2k k Z π π+∈ B ． (21)k π+或(41)k π± )(Z k ∈ C ．3 k π π± 或k ()3 k Z π ∈ D ．6 k π π+ 或()6 k k Z π π± ∈ 3．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 5．为了得到函数2sin(),36 x y x R π =+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图 像上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍（纵坐标不变） C ．向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向右平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6．设函数()sin ()3f x x x π? ?=+∈ ?? ?R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ?? ? ??? ，上是增函数 B ．在区间2π? ? -π-??? ?，上是减函数

C ．在区间84ππ?? ????，上是增函数 D ．在区间536ππ?? ???? ，上是减函数 7．函数sin()(0,,)2 y A x x R π ω?ω?=+>< ∈的部分图象如图所示， 则函数表达( ) A ．)48sin(4π+π-=x y B ．)48sin(4π -π=x y C ．)48sin(4π-π-=x y D ．)4 8sin(4π +π=x y 8． 函数sin(3)4 y x π =-的图象是中心对称图形,其中它的一个对称中心是 ( ) A ．,012π??- ??? B ． 7,012π??- ??? C ． 7,012π?? ??? D ． 11,012π?? ??? 9．已知()21cos cos f x x +=，则 ()f x 的图象是下图的 ( ) A B C D 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,4x ∈时，()2f x x =-，则 （ ） A ．11sin cos 22f f ??? ?< ? ???? ? B ． sin cos 33f f ππ??? ?> ? ???? ? C ．()()sin1cos1f f < D ．33sin cos 22f f ??? ?> ? ???? ? 二、填空题 11．若2cos 3 α=，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___ 12．若tan 2α=，则22sin 2sin cos 3cos αααα++=___________ 13．已知3sin 4πα??+= ???，则3sin 4πα?? - ??? 值为 14．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为 32 π 的周期函数，若

高中必修四三角函数知识点总结

§04. 三角函数 知识要点 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y = αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

必修4三角函数公式大全(经典)

三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)]

必修4三角函数地诱导公式专项练习题

训练专题化设计能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级：姓名：座号：一、选择题 1. 已知sin(π+α)= 4 5 ，且α是第四象限角，则c os(α－2π)的值是【】 (A) －3 5 (B) 3 5 3 (C) ± 5 (D) 4 5 2. 若cos100 °= k，则t an ( - 80°)的值为【】 (A) －1 k k 2 (B) 1 k k 2 (C) 1 k k 2 (D) － 1 k k 2 3. 在△ABC 中，若最大角的正弦值是2 2 ，则△ABC 必是 【】 (A) 等边三角形(B) 直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P(3a，4a)（a≠0），则s in(450 -°α)的值是【】 (A) －4 5 (B) － 3 5 3 (C) ± 5 4 (D) ± 5 5.设A，B，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是【】 (A)cos( A +B)=cosC (B)sin( A+ B)=sin C(C)tan( A+B )=tanC (D)sin A B 2 =sin C 2 二、填空题 6. 若 1 cos( A) ，则s in( A) 的值是. 2 2 2 7. 若cos( ) m (| m |≤1) ，则s in( ) 6 3 是. 8. 计算：t an( 150 ) cos( 570 ) cos( 1140 ) tan( 210 ) sin( 690 ) = . 9. 化简：sin 2( 2( 2( －x)+sin 3 6 +x)= . 10. 化简： 1 2sin10 cos10 2 cos10 1 cos 170 = . 三、解答题 11. 化简 2 tan( ) sin ( ) cos(2 ) 2 3 cos ( ) tan( 2 ) . 12.设f(θ)= 3 2 2cos sin (2 ) cos( ) 3 2 2 2cos ( ) cos(2 ) ，求f( 3 )的值.

必修四三角函数知识点经典总结

高一必修四：三角函数 一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广： 在平面，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1)正角，负角，零角：见上文。 (2)象限角：角的终边落在象限的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角：(21)x k απ=++ 终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ (6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 (7)成特殊关系的两角 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型： 1.表示终边位于指定区间的角. 例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2, 2 α α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式. 例3:①写出终边在y 轴上的集合.

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

高中数学必修4三角函数测试题答案详解之欧阳文创编

三角函数 时间：2021.03.12 创作：欧阳文 一、选择题 1．已知 为第三象限角，则2 α 所在的象限是()． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在()． A ．第一、二象限B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π 5tan ? ?? ??3π4－＝()． A ．－4 3 3B ．4 33C ．－4 3D ． 43 4．已知tan θ＋θ tan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于()． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝5 1 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于 ()． A ．－43 B ．－34 C ．43 D ．34 6．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是

()． A ．若，是第一象限角，则cos ＞cos B ．若，是第二象限角，则tan ＞tan C ．若，是第三象限角，则cos ＞cos D ．若 ， 是第四象限角，则tan ＞tan 7．已知集合A ＝{|＝2k π± 3 π2，k ∈Z }，B ＝ { | ＝4k π±3π 2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π±3π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为()． A ．A ? B ? C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos(＋)＝1，sin ＝31 ，则 sin 的值 是()． A ．31 B ．－31 C ．3 22D ．－32 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为()． A ．??? ? ?2π ，4π∪??? ??4π5 ，πB ．??? ??π ，4π C ．??? ??4π5 ，4πD ．??? ??π ，4π∪ ??? ??23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移 动3π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原

数学必修四三角函数公式总结与归纳

数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]，

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos

最新数学必修四三角函数题型分类

三角函数题型分类总结 题型一：求值（ 1）直接求值：一般角 0 至 360 度之间的角 第一象限的角 （ 2）已知 sin A ，求 cos A 或 tan A ： sin 2 记住两类特殊的勾股数： 3、4、5；5、12、 13 2 sin con 1 tan con 3）运用公式化简求值 （4）齐次式问题 （ 5） 终边问题（ 6）三角函数在各象限的正负性 1、 sin330 = tan690 ° = sin 585o = 2、（ 1）（07 全国 Ⅰ ） 12 是第四象限角， cos ，则 sin 13 （ 2）（ 09 北京 文） 若 sin 4 ,tan 0 ，则 cos 5 （ 3） （07 陕西 ） 已知 sin 5 4 4 ,则 sin cos = 5 （ 4）（ 07 浙江）已知 cos （ ） 3 ，且 | | ，则 tan ＝ 2 2 2 3、 是第三象限角， sin （ ） 1 ，则 cos = 2 cos(5 ) 2 sin cos 4、 若 tan 2 , 则 = sin cos 5、 cos 2sin 2, 则 在第 _______ 象限； cos sin 6、 （08 北京）若角 的终边经过点 P （1， 2），则 cos = 已知 tan( ) 3,则 cos( ) sin (3 - ) = __________ tan 12 , 则 sin 2sin cos 3cos 2 = ________ 3 若 cos 2 ， 是第四象限角 , 则 sin （ 3 2 ) sin( 3 已知 sin 3 ，则 sin 3 值为 ______ ； 7 、 8 、 9 、 2 4 4 )cos( 10、 11、 2sin cos 3sin ， cos 1、设 a sin( )， b cos( ） ， c tan( 11 ) ，则 4 A ． a b c 2、已知 tan160 B ． a c b ＝ a ，则 sin2000 o 的值是 C ． b c a D ． b a c

高中数学必修四 三角函数综合测试题

第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若α， 是第一象限角，则cos α ＞cos B ．若α， 是第二象限角，则tan α ＞tan C ．若α， 是第三象限角，则cos α ＞cos D ．若α， 是第四象限角，则tan α ＞tan 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1 ，则sin β 的值是( )．

数学必修四-三角函数复习提纲

高一必修四：三角函数 一 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1、角概念的推广： 在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1)正角，负角，零角 ：见上文。 (2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈?=,180|ο ββ 终边在y 轴上的角的集合： { } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ 终边在坐标轴上的角的集合：{ } Z k k ∈?=,90|ο ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+ (5)与α终边反向的角： (21)x k απ =++ 终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|ο ο ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{ } Z k k ∈-?=,45180|ο οββ (6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο 180 (7)成特殊关系的两角 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=ο ο 180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：ο ο 90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型： 1.表示终边位于指定区间的角. 例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,2 α α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式. 例3:①写出终边在 y 轴上的集合. ②写出终边和函数 y x =-的图像重合,试写出角α 的集合.