第二章 稳态导热
本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力
第一节 通过平壁的导热
1-1 第一类边界条件 研究的问题：
（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。（属一维导热问题）
（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。 （3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度
1w t 和2w t ，21w w t t >。（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）
求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。 方法1 导热微分方程：
采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。
导热微分方程式为：022=dx
t
d （2-1）
边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）
对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）
这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：??
???=-=
11221w
w w t c t t c δ （2-4）
最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ
2
11--
= （2-5）
由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），
const t t dx dt w w =-=δ
1
2 （2-6）
热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δ
λ
λ
2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :
t A qA ?==Φδ
λ W （2-8）
考虑导热系数随温度变化的情况：
对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=??
?
??dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：
??
?
???++-+??
? ??
+=+)(211212121121
122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x t
t t t b b t b t w w w w w δ
12211)(2112
2-??????+++??? ??+=??? ??+
说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。
对上式求导得：???
?????+??? ??-=)1/(222bt dx dt b dx t
d
因为 01>+bt ，02
>??
?
??dx dt
所以 0>b ? 02
2 d ? 曲线是向上凸的； 0dx t d ? 曲线是向上凹的。 通过平壁的导热热流密度为： () ?? ????++-=+-=-=2121211)1(00w w w w t t b t t dx dt bt dx dt q λδλλ 式中，()m w w t t b λλλλ=+=?? ????++22112 1 021 则 )(2 1 w w m t t q -= δ λ 从上式可以看出，如果以平壁的平均温度2 2 1w w m t t t +=来计算导热系数，则平壁的热流密 度仍可用导热系数为常数时的热流密度计算式： δ λ2 1w w m t t q -= 多层平壁（复合壁）的导热问题 多层壁（复合壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的平壁。 以下讨论三层复合壁的导热问题，如图所示。 假设条件：层与层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说通过层间分界面时不会发生温度降。 已知各层材料的厚度为： 1δ、2δ、3δ ，导热系数为：1λ、2λ、3λ，且均为常数。多层壁的最外两侧表面分别维持均匀稳定的温度1w t 和4w t ，且41w w t t >。 求：该多层平壁中的温度分布和通过平壁的导热量。 设两个接触面的温度分别为2w t 和3w t 。 此问题是无内热源一维稳态导热。整个过程是由三个换热环节串联而成，每个环节的热流密度是相等的。 ∑=-= ++-= 3 1 ,3 ,2,1,4 14 1i i w w w w R t t R R R t t q λ λλλ （三层平壁单位面积的总热阻等于各层热阻之和） 1,12λqR t t w w -= )(2,1,3,143λλλR R q t qR t t w w w +-=+= 因为每层平壁的温度分布都是直线，各层中直线的斜率是不同的，所以多层平壁中的温度分布是一条折线。 对于n 层多层平壁，热流密度：∑=+-= n i i w w R t t q n 1 ,1 1λ 1-2 第三类边界条件 研究的问题： （1）几何条件：设有一厚度为δ的无限大平壁。。 （2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。 多层平壁的导热 （3）边界条件：给出第三类边界条件，即：在0=x 处，界面外侧流体的温度为1f t ，对流换热表面传热系数为1h ；在δ=x 处，界面外侧流体的温度为2f t ，对流换热表面传热系数为 2h 。 求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。 常物性、无内热源、一维稳态导热过程的导热微分方程式仍为：022=dx t d 边界条件：)(010 1==-=-x f x t t h dx dt λ )(22f x x t t h dx dt -=-==δδ λ 解得：)(1121212 1f f f f t t k h h t t q -=++-= λδ 1 111h q t t f w ? -= 2 11)1( 212h q t h q t t f f w ?+=+?-=λδ 求出1w t 、2w t ，就可得出平壁中的温度分布：x t t t t w w w δ 2 11-- = 补充：对于上述的常物性、无内热源、一维稳态导热问题，如果给定第二类边界条件，会出现什么情况？ 第二类边界条件：10C q x == 和 2C q x ==δ 由于是无内热源，稳态导热，所以21C C =，这意味着，上述两个条件是一致的，实际上就是一个条件。 根据这样一个条件，不能求出方程022=dx t d 的通解 21c x c t +=中的两个待定常数1c 和2c 。 问题的解为不定解。 所以，对于一维稳态导热问题，必须具有两个独立的边界条件才能确定出惟一的解。 第二类边界条件下的温度分布曲线： 根据 dx dt q λ-=，得 C dx dt dx dt x x == ==δ ，所以平壁内的温度分布曲线为已知斜率C 的一 簇平行直线。 t w 1 工程上会遇到这样一类平壁：无论沿宽度还是厚度方向，都是由不同材料组合而成——复合平壁。在复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。 如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。 复合平壁中，由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的温度场是二维或三维的。 简化处理：当组成复合平壁的各种不同材料的导热系数相差不大时，可近似当作一维导热问题处理。 复合平壁的导热量： ∑?= Φλ R t 式中，t ?——两侧表面棕温差； ∑λR ——总导热热阻。 ∑+++ +++ ++= 3 322 111 11 1 E D A E C A E B A R R R R R R R R R R λλλλλλλλλλ 工程中常用圆管作为换热壁面，如锅筒、传热管、热交换器及其外壳。圆筒受力均匀、强度高、制造方便。 3-1 第一类边界条件 研究的问题： （1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为1r ，外半径为2r ，长度为l ，长度l 远大于壁厚。（忽略轴向热流，热流只沿径向） （2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数λ为常数。 （3） 边界条件：圆筒壁内、外表面分别维持均匀稳定的温度1 w t 和2w t ，且21w w t t >。（为 第一类边界条件，同时说明过程是稳态的） 求：圆筒壁内的温度分布及通过圆筒壁的导热量。 根据以上条件知，这是一个常物性、无内热源、一维、稳态导热问题。由于温度场是轴对称的，所以采用圆柱坐标系。 导热微分方程为： 0)(=dr dt r dr d 圆筒壁边界条件为： 11 w r r t t == 22 w r r t t == 微分方程的通解为：21ln c r c t += 根据边界条件，得出： 121ln 21r r t t c w w -= 和 11 22ln ln 2 11r r r t t t c w w w -+= 则圆筒壁的温度分布为：112ln ln 211r r r r t t t t w w w --= 或 112 ln ln 211d d d d t t t t w w w --= 由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分布。 圆筒壁的导热量 在无限大平壁中，热流密度是常数，但在圆筒壁中，不同半径处的热流密度并不相等。（dr dt q λ -=，但dr dt 不等于常数，它是r 的函数） 在稳态情况下，通过长度为l 的圆筒壁的导热量是恒定的，即： dr dt A A q λ-=?=Φ W （A 是圆筒壁的面积，在不同的r 处，有不同的A 值） 在圆筒壁内，取一个半径为r ，厚度为dr 的微圆筒壁来分析，此时，rl A π2=，则： dr dt l r ??-=Φπλ2， 而 r r r t t dr dt w w 1 ln 1 212?-= 解得：1 2ln 22 1r r t t l w w -? =Φπλ （可见，Φ与r 无关，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化，在不同的r 处，通过的热流量是相等的。） 将Φ写成热阻形式，则：1 2ln 212 1r r l t t w w πλ-= Φ W 式中， 1 2 ln 21r r l πλ是长度为l 的圆筒壁的导热热阻，W K / 通过每米长圆筒壁的热流量为： 1 2 ln 212 1r r t t l q w w l πλ-= Φ= m W / 单位长度圆筒壁的导热热阻为： 1 2 ln 21r r R l πλ λ= W K m /? 多层圆筒壁的导热 多层圆筒壁：由几层不同材料紧密结合所构成的圆筒壁。 利用串联热阻跌价原理求解。该部分自学。 ∑∑=+=++-= -= n i i i i w w n i i l n w w l d d t t R t t q n 111 ,1 ,ln 21 1,11πλλ [例2-4] 自学。注意：求各层直径时，应是δ2+d 。对于圆管外，用几层材料进行保温时，应将导热系数少的材料设置在内侧。对平壁有这种要求吗？ 3-2 第三类边界条件 研究的问题： （1）几何条件：单层圆筒壁面，内半径为1r ，外半径为2r ，长度为l ，)(12r r l ->>。 （2）物理条件：无内热源，圆筒壁材料的导热系数λ为常数。 （3） 边界条件：已知1r r =一侧的流体的温度为1f t ，对流换热表面传热系数为1h ，2 r r =一侧流体的温度为2f t ，对流换热表面传热系数为2h ，且1f t >2f t 。 求：圆筒壁内的温度分布及通过圆筒壁的导热量。 这是一个常物性、无内热源、一维、稳态、导热问题。由于温度场是轴对称的，所以采用圆柱坐标系。 导热微分方程为： 0)(=dr dt r dr d 圆筒边界条件为： )(221 11 111r r f r r t t r h r dr dt ==-??=?-ππλ )(2222 2 222f r r r r t t r h r dr dt -??=?-==ππλ 在第一类边界条件中，已求出圆筒壁内的温 度变化率： r r r t t dr dt w w 1 ln 1 212?-= 根据傅立叶定律的表达式，任意r 处，单位长度圆筒壁的导热量为： dr dt r q l ? ?-=πλ2 这样，可将边界条件式改写为：)(2111 11w f r r l t t r h q -??==π )(2222 22f w r r l t t r h q -??==π 而圆筒壁的导热量为：1 2ln 212 1r r t t q w w l πλ-= 在稳态导热过程中，2 1 r r l l r r l q q q ====，可见在上述三个方程中，又三个未知数：l q 、1 w t 和2w t ，方程是可解的。 解得：22121121 ln 21212 1r h r r r h t t q f f l ππλπ?+ +?-= W/m 或 2212111 ln 2112 1d h d d d h t t q f f l ππλπ?+ +?-= W/m 也可表示为：)(21f f l l t t k q -?= 式中，l k ——传热系数，表示冷、热流体之间温差为1℃时，单位时间通过单位长度圆筒壁的传热量，W/(m ·K)。 单位长度圆筒壁的传热热阻为：2 212111 ln 2111d h d d d h k R l l ππλπ?+?+?== W K m /? 1 1111d h q t t l f w π?? -= ??? ? ??+??-=??+=121122ln 21 11 122 d d d h q t d h q t t l f l f w πλππ 根据 11 2 ln ln 211r r r r t t t t w w w -- = 可求出圆筒壁中的温度分布。 对多层圆筒壁，热流体通过圆筒壁传给冷流体的热流量为： 1 211111 ln 2112 1+=+?++?-= ∑n n i i i i f f l d h d d d h t t q ππλπ [例2-5] 课后自学。 [思考题] 若平壁与圆筒壁的材料相同，厚度相同，温度条件相同，且平壁的表面积等于圆筒的内表面积，试问：哪一种情况导热量大？ 3-3 临界热绝缘直径 工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层。 问题：覆盖热绝缘层是否在任何情况下都能减少热损失？保温层是否越厚越好？为什么？ 分析圆管外覆盖有一保温层的情况。 对于冷、热流体之间的传热过程，给定第三类边界条件，则传热过程的热阻为： x x ins l d h d d d d d h R ππλπλπ22121 1 11 ln 21ln 211+++= 下面分析一下l R 随保温层外径x d 的变化情况。 对于一个管道进行分析时，l R 中的前两项热阻的值是确定的，在选定了保温材料后，ins λ也就确定了。这样，l R 的后两项热阻的数值随保温层的x d 而变化。 当↑x d ，???????↓↑增加，外表面的对流换热量，导热量减少x x ins d h d d ππλ221ln 21 但对l R ，随着x d 的增大（保温层加厚），先是逐渐减小，然后又逐渐增大，有一极小值。（相应地，l k 先增大，然后减小，l k 有极大值） 对l q ，随着x d 的增大，先是增大，然后减小，有一极大值。 临界热绝缘直径c d ：对于总热阻l R 为极小值时的保温层外径。 令 012112=??? ? ???-=x ins x x l d h d dd dR λπ 得 2 2h d d ins c x λ== （c d 只取决于ins λ和2h ，c d 不一定大于2d ） 从图中可见： （1）当c d d <2时，如果管道保温后的外径x d 在32~d d 之间，这时 管道的传热量l q 反而比没有保温层时更大，直到3d d x >时，才起到减少热损失的作用。 （2）当c d d >2时，l R 及l q 均是x d 的单调函数，用保温层肯定能减少热损失。 c d 的大小与ins λ和2h 有关，2h 主要取决于管道周围的环境，难以人为控制，但可以通过 选用不同的保温材料来改变c d 的值，使2d d c <，以达到只要使用保温材料就能保证减少热损失的目的。（工程上，一般2d 均会大于c d ，只有当2d 较小时，才需要注意临界绝缘直径的问题。工程上， 尽可能要求2d d c <） [思考题] 解释现象：某厂一条架空敷设的电缆使用时发现绝缘层超温，为降温特剥去一层绝缘材料，结果发现温度更高。 答：电缆外径小于了临界热绝缘直径时，导热热阻随半径增大的变化率小于对流换热随半径减小的变化率，使散热能力随半径增加而增加。剥去一层绝缘材料后，半径减小，散热能力下降，绝缘层温度更高。 第五节 通过肋壁的导热 第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热： A h A A h t t f f 21112 1++-= Φλδ 为了增加传热量，可以采取哪些措施？ （1）增加温差)(21f f t t -，但受工艺条件限制。 （2）减小热阻： 1）金属壁一般很薄（δ 很小）、热导率很大，故：导热热阻一般不大，可忽略。 2）增大h 1、h 2，(但提高h 1、h 2并非任意的)。 3）增大换热面积A 。 强化传热的基本思路：强化传热?降低热阻?降低串联热阻的最大项（主要矛盾） 对流换热热阻 ↑ ↓= hA R h 1 在表面传热系数不变的情况下，要降低对流换热热阻，就必须扩大对流换热面积。其方法之一就是对传热表面进行肋化（加装肋片）。 肋片：指依附于基础表面上的扩展表面 常见肋片的结构：针肋、直肋、环肋等 应用：工程应用十分广泛，如 汽车水箱、空调系统的蒸发器、冷凝器、锅炉的空气预热器、省煤器、散热器等。 肋片导热的作用及特点： ① 作用：增大对流换热面积及辐射散热面，以强化换热 ② 特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： Φ≠const 。 肋片分析的任务： ① 确定沿肋片高度方向的温度分布； ② 确定肋片的散热量。 一、通过等截面直肋的导热（稳态情况下） 等截面直肋：从平直基面上伸出，而本身又具有不变截面的肋。 设肋片的高度为l ，宽度为L ，厚度为δ。肋片的横截面积为δ?=L A L ，肋片的横截面的周边长度为)(2δ+=L U 。 肋基的温度为0t =const ，金属肋片的导热系数为λ，周围流体的温度为f t ，肋片与流体的对流换热表面传热系数为h 。 求：肋片中的温度分布及通过该肋片的散热量。 采用直角坐标系，原点设在肋基处。 为简化分析，作以下假定： （1）肋片的宽度L 很大 ? 不考虑温度沿该方向的变化?肋片的温度分布是二维温度场，即),(y x f t =，此时传热情况是： 在x 方向，即沿肋片高度方向，热量从肋基以导热方式导入，随后热量继续沿 x 方向传递； 在y 方向，通过对流换热从肋片表面向周围介质散热。 （2）导热系数λ和表面传热系数h 均为常数。 （3）λ大，l <<δ? 肋片沿厚度方向的温度变化很小 ? 可认为任一横截面上的温度分布几乎是均匀 的，截面上各点温度与截面中心的温度一致?温度只是在沿肋片高度方向发生明显变化，温度分布是沿x 方向的一维温度场。 （4）肋片顶端视为绝热。 从能量平衡入手分析该问题： 在距肋基x 处，取一微元dx ，研究该微元的能量平衡。 在x 处导入的热量x Φ，应等于dx x +处导出的热量dx x +Φ和从表面传入流体的热量c Φ，即： c dx x x Φ=Φ-Φ+ 根据傅立叶定律和牛顿冷却公式有： ()f L L L t t dx hU dx dx t d A dx dt A dx dt A -??=?? ????---??? ?? -22λλλ 由于是微元段，认为各处温度是相同的 整理得：()f L t t hU dx t d A -=22λ ? ()f L t t A hU dx t d -=λ2 2 记 L A hU m λ= 1/m 则 )(22 2f t t m dx t d -= 从导热微分方程式来分析上述问题： 这里的肋片导热是常物性、有内热源、一维、稳态导热。（为什么按有内热源来处理？原因：肋片表面与周围流体的对流换热，可表示为：)(f s s t t h y t -=??-λ ，而根据分析作出的简化是：)(x f t = ? 0=??y t ，这样得出：f s t t =，这是不合理的。所以在这种情况下，无法用导热与对流换热间的关系来描述出对流换热。为了反映出这部分对流换热的热量，这时可以把对流换热看作是与导热同时存在的内热源，对流换热是从肋片带走热量，所以应为负的内热源。） 导热微分方程为： 022=+λ V q dx t d 由于肋片沿x 方向的对流换热量是变化的，所以内热源强度也沿x 方向变化。对微元段dx 分析其内热源强度V q ： 该段的对流换热量为：dx U t t h f c ??-=Φ)( c Φ是正值 则微元段 内热源强度为：)()(f L l f c V t t A hU dx A dx U t t h dV q --=???--=Φ-= 则描述等截面直肋的导热微分方程式为： ())(2 2 2f f L t t m t t A hU dx t d -=-=λ 边界条件： ?? ? ? ? ====0 00l x x dx dt t t 引入过余温度θ：f t t -=θ 则上述方程变为：??? ?? ????=====00022 2l x x dx d m dx d θθθθθ 解得等截面直肋温度分布为： [])()(0 )()(0ml ch x l m ch e e e e ml ml x l m x l m -=++=----θθθ 令l x =，得肋端的温度为：) (0 ml ch l x θθ = = 据能量守恒定律知，肋片散入外界的全部热流量都必须通过 x=0 处的肋基截面。据傅里叶定律得知通过肋片散入外界的热流量为： =-=Φx L dx d A θ λ 而 )(/)]([0ml ch x l m sh m dx d --=θθ )(00 ml th m dx d x θθ-== )()()]([000ml th A hU ml th mA ml th m A L L L θλθλθλ==--=Φ W 几点说明： （1）上述推导中忽略了肋端的散热。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，可以获得较精确的结果。 若必须考虑肋端对流散热时，可采用一种简便的方法：即用假象高度2 'δ + =l l 代替实际 高度l ，然后仍认为端面是绝热时的计算式来计算肋片的散热量。这种想法是基于：为了照顾端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。 （2）上述分析近似认为温度场是一维的。对于肋片，当05.0/≤=λδh Bi 时，这样分析引起的误差不超过1%。对于短而厚的肋片，温度场是二维的，上述算式不适用。实际上，肋片表面上表面传热系数h 不是均匀一致的，这时需要用数值解法。 （3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定的条件才能增加散热量。设计肋片时要注意这一点。（参考《传热学》俞佐平等编） [例2-6] 一铁制的矩形直肋，厚度mm 5=δ，高度mm l 50=，宽度m L 1=。已知肋片材料的导热系数)/(58K m W ?=λ，肋表面与周围介质之间的表面传热系数)/(122K m W h ?=，肋基的过余温度℃800=θ。求肋片的散热量和肋端的过余温度。 [解] 05.0001.058 005 .012<=?= = λ δ h Bi ，因此可以用解析法进行计算。 1 求肋片的散热量 m L m 1005.0=<=δΘ，L L U 2)(2≈+=∴δ，δL A L = 则 m h A hU m L /110.9005 .05812 22=??=== λδλ 假象的肋高：m l l 0525.00025.005.02 '=+=+ =δ 478.00525.010.9'=?=ml 4446.0)478.0()('==th ml th W ml th mA L 86.934446.080005.01.958)(0=????==Φθλ 2 求肋端过余温度 455.005.010.9=?=ml 105.1)455.0()(==ch ml ch ℃ml ch l 4.72105 .180 ) (0 == = θθ 二、肋片效率 （fin efficiency ） 由等截面直肋的导热分析知，肋片表面温度从肋基至肋端是逐渐降低的。所以肋片表面的平均温度m t 必然低于肋基温度0t 。肋片表面平均温度的高低，直接影响着肋片表面的对流换热量。于是，提出了一个如何评价换热壁面加肋后的散热效果问题。肋片效率就是衡量肋片散热有效程度的指标。 肋片效率定义：肋片的实际散热量Φ与假设整个肋表面都处于肋基温度0t 时的理想散热量0Φ的比值。 00)()(θθηm f f m f t t hUl t t hUl = --=ΦΦ= 对等截面直肋， ? ??=Φ=Φ000)(θθλhUl ml th mA L ? ml ml th l m ml th m hUl ml th m A L f ) ()()(2 0===ΦΦ=λη m θ的计算：)()]([1)()()]([11000000ml th ml x l m sh m ml lch dx ml ch x l m ch l dx l l l l m θθθθθ=-???? ??-?=-== ?? 可见，肋片效率是小于1的。 影响肋片效率的因素有：肋片的几何形状和尺寸、肋片材料的导热系数、肋片表面与周围介质的表面传热系数。 f η随ml 的变化情况： 当7.2=ml 时，99.0)(>ml th ，7.2>ml 时，)(ml th 的值变化不大，趋于1。 ? 这时f η可以认为与ml 成反比关系（ml f 1 = η），ml ↑，f η↓。当m 值一定时，随着肋片高度l 的增加，开始散热量增加迅速，后来逐渐减小，最后趋于已渐进值。（当ml 超过2.7后，增加l 对散热量没有作用，这反映出肋片高度增大到一定程度后，如果再继续增高，就会导致肋片效率的急剧降低，达不到进一步增大肋片散热量的效果） ml 数值大的肋片，其肋端的过于温度低 ? 肋片表面的m t 低 ? 肋片的效率低。 ml 数值较小时，肋片具有较高的效率（参看课本图2-16）。所以，在l 一定时，m 取较小值是有利的。 L A hU m λ=，m 小 ? ?? ? ??取小值一定时，和在较大的材料 选用L A U h λλ L A U 取决于肋片的几何形状和尺寸。 %80>f η的肋片经济适用。 （在某些场合下，采用变截面肋片，可提高f η，也减轻肋片重量） 实际上，一般将f η与ml 的关系绘成图。这里给出了矩形直肋和等厚度环肋的f η与ml 的关系图。图中横坐标已进行了变换。 2 3 22l f h l h l A hU ml L λλδλ=≈= δδδl f L A L L U L =??? ? ???=≈+=2)(2Θ是肋片的纵剖面面积。 对等截面直肋：21 23 )2(f h l ml c c λ=，其中，2δ+=l l c ，δc l f = 对等候度环肋（剖面为矩形）： 21 23 )2(f h l ml c c λ=，其中，2δ+=l l c ，c c l r r +=12，δc l f = 计算肋片散热量Φ的一般步骤： （1）根据参数计算f η（按公式或者查图表） （2）计算0Φ（假定肋表面所有温度与肋基温度相等） （3）0Φ?=Φf η 设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难易程度、价格、空间位置的限制等。 [思考题] 1 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 答：这一观点是不正确的，计算公式表明，肋片散热量：)(0ml th A hU L θλ=Φ，与ml 的的双曲正切成正比，而双曲正切是单调增加函数，所以散热量不会随高度增加而下降。 2 对于一等截面直肋，设肋根温度为0t ，周围介质温度为f t ，且f t t >0。试定性画出沿肋高方向的温度分布，并扼要分析在设置肋片时，肋片高度是否越长越好。 答：肋片温度随高度成指数关系下降。肋片高度增加时散热表面增加，单肋效率下降，虽然换热量也在增加，但因换热器的体积、重量和成本增加，肋片并非越高越好。肋片散热量与ml 的双曲正切成正比，而双曲正切是以1为极值的单调增加函数，ml 为1.5时，其值已超过0.9。 第五节 通过接触面的导热 两个固体表面直接接触时，即使宏观上看来是非常平整的表面，他们的表面也仍是粗糙的，是点接触，而非面接触（接触只发生在一些离散的接触面上）。这样就给导热带来额外的热阻——接触热阻。 接触热阻(thermal contact resistence)：由于接触面间的不密实而产生的附加热阻。 接触热阻导致在接触面上出现温差，对传热不利。 接触热阻：Φ ?= c c t R K/W ① 在Φ不变时，↑c R ，则↑?c t ② 在c t ?不变时，↑c R ，则↓Φ 1 产生并影响接触热阻的主要因素： （1） 接触表面的粗糙度； （2） 表面接触时施加压力的大小； （3） 两接触面之间形成的空隙中气体的热物性。 2 减小接触热阻的措施： （1）减小接触表面的粗糙度； （2）增加接触压力； （3）在两接触表面之间加一层具有高导热系数和高延展性的材料； （4）在接触面之间涂以具有良好导热性的油脂。（减小气体存在空间）。 当接触热阻与接触固体的导热热阻相当时，应考虑接触热阻对导热过程的影响。 思考题： 1、一常物性、无内热源的单层长圆筒壁，内、外半径分别为1r 和2r ，其内、外表面分别维持均匀恒定的温度1w t 和2w t 。试分别就1w t >2 w t t t x A B t w t w 传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题 §3 — 3 一维非稳态导热的分析解 本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。 一、无限大平板的分析解 已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且> t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。 解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。对 于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0 （边界条件） （边界条件） 对偏微分方程分离变量求解得： （3-10 ） 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。 其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。 由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特 征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12) 二、非稳态导热的正规状况阶段 1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系 前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2 时，采用以下简化结果：（3-13 ） 其中特征值之值与Bi 有关。 由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ） 此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要 【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 思考题 1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点 答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数 hA cv c ρτ= ,形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。 3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。 4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物 理过程及数学处理上都有些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x)和边界条件(Bi数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算 所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6.试说明Bi数的物理意义。o Bi→及∞ Bi各代表什么样的换热 → 条件?有人认为, ∞ → Bi代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么? 第三章 思考题 1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点 答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cv c ρτ= ,形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。 3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。 4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有 些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x )和边界条件(Bi 数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由 是： 这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6. 试说明Bi 数的物理意义。o Bi →及∞→Bi 各代表什么样的换热条件?有人认为, ∞→Bi 代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么? 答；Bi 数是物体内外热阻之比的相对值。o Bi →时说明传热热阻主要在边界，内部温度趋于均匀，可以用集总参数法进行分析求解；∞→Bi 时，说明传热热阻主要在内部，可以近似认为壁温就是流体温度。认为o Bi →代表绝热工况是不正确的，该工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。 7. 什么是分非稳态导热问题的乘积解法,他的使用条件是什么? 【2-1】一食品冷藏室由内层为19 mm 厚的松木，中层为软木层，外层为51 mm 厚的混凝土所组成。内壁面温度为-17.8 ℃,混凝土外壁面温度为29.4 ℃。松木、软木和混凝土的平均热导率分别为, 3, W/(m ·K)，要求该冷藏室的热损失为15W/m 2。求所需软木的厚度及松木和软木接触面处的温度。 解：三层平壁的导热。 1）所需软木的厚度2b 由 ∑=-=3141i i i b T T q λ 得 151 .0019.00433.0762.0051.08.174.29152+++=b 解得： m b 128.02= 2）松木和软木接触面处的温度3T 由 151 .0019 .08.17153+==T q 解得：9.153-=T ℃ 解题要点：多层平壁热传导的应用。 【2-2】为减少热损失，在外径为150 mm 的饱和蒸汽管道外加有保温层。已知保温材料的热导率λ=+ 198 T(式中T 为℃),蒸汽管外壁温度为180 ℃,要求保温层外壁温度不超过50 ℃,每米管道由于热损失而造成蒸汽冷凝的量控制在1×10-4 kg/(m ·s)以下,问保温层厚度应为多少(计算时可假定蒸汽在180 ℃下冷凝)。 解：保温层平均热导率为： )./(126.02 501801098.1103.04K m W =+??+=-λ 由于本题已知的是蒸汽管道外壁面温度，即保温层内壁面温度，故为一层导热。 由 )()(21 221r r Ln T T L Q -=λπ 得： )()(21 221r r Ln T T L Q -=πλ （1） 式中：m W L Wr L Q /9.2011 103.20191013 4=???==- 将其及其它已知数据代入式（1）得： )075 .0()50180(126.029.2012r Ln -??=π 解得：m r 125.02= mm m 5005.0075.0125.0==-=∴δ壁厚 解题要点：单层圆筒壁热传导的应用。 【2-8】烤炉内在烤一块面包。已知炉壁温度为175 ℃，面包表面的黑度为,表面温度为100 ℃,表面积为 5 m 2，炉壁表面积远远大于面包表面积。求烤炉向这块面包辐射 传递的热量。 解：两物体构成封闭空间，且21S S <<，由下式计算辐射传热量： W T T S Q 0.65)448373(0645.085.01067.5) (448424111012-=-????=-=-εσ 负号表示炉壁向面包传递热量。 解题要点：辐射传热的应用，两个灰体构成的封闭空间。 【2-10】在逆流换热器中，用初温为20 ℃的水将1.25 kg/s 的液体［比热容为 kJ/(kg ·K)、密度为850 kg/m 3 ］由80 ℃冷却到30 ℃。换热器的列管直径为Φ25 mm ×2.5 mm,水走管内。水侧和液体侧的对流传热系数分别为850 W/（m 2·K ）和1 700W/（m 2·K ）,污垢热阻可忽略。若水的出口温度不能高于50 ℃，求水的流量和换热器的传热面积。 第三章 非稳态导热分析解法 1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ 2）物体的温度随时间而作周期性变化 1）物体的温度随时间而趋于恒定值 如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的 表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为 0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的t 0 。 如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温 度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也 逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定， 如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面 参与换热与不参与换热的两个不同阶段。 （1）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （2）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 传热学第三章对流传热 一、名词解释 1．速度边界层：在流场中壁面附近流速发生急剧变化的薄层。 2．温度边界层：在流体温度场中壁面附近温度发生急剧变化的薄层。 3．定性温度：确定换热过程中流体物性的温度。 4．特征尺度：对于对流传热起决定作用的几何尺寸。 5．相似准则(如Nu,Re,Pr,Gr,Ra)：由几个变量组成的无量纲的组合量。 6．强迫对流传热：由于机械(泵或风机等)的作用或其它压差而引起的相对运动。7．自然对流传热：流体各部分之间由于密度差而引起的相对运动。 8．大空间自然对流传热：传热面上边界层的形成和发展不受周围物体的干扰时的自然对流传热。 9．珠状凝结：当凝结液不能润湿壁面(θ>90?)时，凝结液在壁面上形成许多液滴，而不形成连续的液膜。 10．膜状凝结：当液体能润湿壁面时，凝结液和壁面的润湿角(液体与壁面交界处的切面经液体到壁面的交角)θ<90?，凝结液在壁面上形成一层完整的液膜。 11．核态沸腾：在加热面上产生汽泡，换热温差小，且产生汽泡的速度小于汽泡脱离加热表面的速度，汽泡的剧烈扰动使表面传热系数和热流密度都急剧增加。 12．膜态沸腾：在加热表面上形成稳定的汽膜层，相变过程不是发生在壁面上，而是汽液界面上，但由于蒸汽的导热系数远小于液体的导热系数，因此表面传热系数大大下降。 二、填空题 1．影响自然对流传热系数的主要因素有：、、、、、。 (流动起因，流动速度，流体有无相变，壁面的几何形状、大小和位置，流体的热物理性质) 2．速度边界层是指。 （在流场中壁面附近流速发生急剧变化的薄层。） 温度边界层是指。 （在流体温度场中壁面附近温度发生急剧变化的薄层。） 3．流体刚刚流入恒壁温的管道作层流传热时，其局部对流传热系数沿管长逐渐，这是由于。 （减小，边界层厚度沿管长逐渐增厚） 4．温度边界层越对流传热系数越小，强化传热应使温度边界层越。 （厚，簿） 5．流体流过弯曲的管道或螺旋管时，对流传热系数会，这是由于。 （增大，离心力的作用产生了二次环流增强了扰动） 第二章 稳态导热 本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力 第一节 通过平壁的导热 1-1 第一类边界条件 研究的问题： （1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。（属一维导热问题） （2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。 （3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度 1w t 和2w t ，21w w t t >。（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的） 求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。 方法1 导热微分方程： 采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。 导热微分方程式为：022=dx t d （2-1） 边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2） 对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3） 这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：?? ???=-= 11221w w w t c t t c δ （2-4） 最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ 2 11-- = （2-5） 由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度）， const t t dx dt w w =-=δ 1 2 （2-6） 热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δ λ λ 2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 : t A qA ?==Φδ λ W （2-8） 考虑导热系数随温度变化的情况： 对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=?? ? ??dx dt dx d λ 解这个方程，最后得： ?? ? ???++-+?? ? ?? +=+)(211212121121 122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x t t t t b b t b t w w w w w δ 12211)(2112 2-??????+++??? ??+=??? ??+ 说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。 对上式求导得：??? ?????+??? ??-=)1/(222bt dx dt b dx t d 因为 01>+bt ，02 >?? ? ??dx dt 所以 0>b ? 02 2 第二章 3.导热系数为常数的无内热源的平壁稳态导热过程，试问，若平壁两侧给定边界条件Tw1和Tw2，为什么这一导热过程的温度分布与平壁的材料无关？相同的平壁厚度，不同的平壁材料，仍给定第一类边界条件，热流密度是否相同？ （1）温度分布为 12 1w w w t t t t x δ -=- (设12w w t t >) 其与平壁的材料无关的根本原因在 coust λ=（即常物性假设） ，否则t 与平壁的材料有关 （2）由 dt q dx λ =- 知，q 与平壁的材料即物性有关 6.同上题，若已知边界条件为第三类，即已知Tf1，h1，Tf2，h2.试倒通过空心球壁热量的计算公式和球壁的传热热阻。 9.某教室有一层厚度为240mm 的砖层和一厚度为20mm 的灰泥构层。现安装空调设备，并在内表面加贴一层硬泡某塑料，是导入室内的热量比原来少了80%。已知砖的导热系数λ=0.7W/(m*k)，灰泥为λ=0.58W/(m*k)，硬泡某塑料的导热系数为λ=0.06W/(m*k)，试求出硬泡某塑料厚度。 已 知 ： 12240,20mm mm δδ==， 120.7/(),0.58/()W m k W m k λλ=?=? 3210.06/(),0.2W m k q q λ=?= 求：3δ 解： 设两种情况下的内外面墙壁温度12w w t t 和保持不变， 且12w w t t > 由题意知：12 112 12 w w t t q δδλλ-= + 12 23 12123 w w t t q δδδλλλ-= ++ 再由： 210.2q q =，有 12 12 3 12 1212 123 0.2 w w w w t t t t δδδδδλλλλλ--=+++ 22 131 3 1 2 tw 1 q tw 2 1 1 λ1 2 λ2 tw 1 tw 2 q 1 1λ1 2λ 2 3λ 3 传热学杨世铭第四版第二章答案 第二章 思考题 1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅立叶定律的一般形式为：n x t gradt q ??-=λλ＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流密度矢量。 2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何 获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x ?+?+?=，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。 3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。 答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：① 第一类边界条件：)(01ττf t w =>时， ② 第二类边界条件：)()(02τλτf x t w =??->时 ③ 第三类边界条件：)()(f w w t t h x t -=??-λ 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。 答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。 7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。 6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？ 答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。 9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 第二章 思考题 1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅立叶定律的一般形式为： n x t gradt q ??-=λλ＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流 密度矢量。 2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x ?+?+?=，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。 3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。 答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：① 第一类边界条件：)(01ττf t w =>时， ② 第二类边界条件： )()( 02τλτf x t w =??->时 ③ 第三类边界条件： )()( f w w t t h x t -=??-λ 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。 答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。 7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。 6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？ 答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。 9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 答：错误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值，不会因为高度的增加而发生变化。 10 在式（2-57）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。 答：由于式（2-57）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿x 方向和y 方向的数值相等并为常数。 11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均与温度为f t 的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗？ 答：能，因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对称分布。 习题 第一章: 1-1 对于附图所示的两种水平夹层，试分析冷、热表面 间热量交换的方式有何不同？如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用哪一种布置？ 解：（a ）中热量交换的方式主要有热传导和热辐射。 （b ）热量交换的方式主要有热传导，自然对流和热辐射。 所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用（ a ）布置。 1-2 一炉子的炉墙厚13cm ，总面积为20m 2 ，平均导热系数为 1.04w/m 〃k ，内外壁温分别是520 ℃及50 ℃。试计算通过炉墙的热损失。如果所燃用的煤的发热量是 2.09 ×10 4 kJ/kg ，问每天因热损失要用掉多少千克煤？ 解：根据傅利叶公式 每天用煤 1-3 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中，得到下列数据：管壁平均温度t w = 69 ℃，空气温度t f = 20 ℃，管子外径d= 14mm ，加热段长80mm ，输入加热段的功率8.5w ，如果全部热量通过对流换热传给空气，试问此时的对流换热表面传热系数多大？ 解：根据牛顿冷却公式 1-4宇宙空间可近似的看作0K 的真空空间。一航天器在太空中飞行，其外表面平均温度为250K ，表面发射率为0.7 ，试计算航天器单位表面上的换热量？ 解：航天器单位表面上的换热量 1-5附图所示的空腔由两个平行黑体表面组成，孔腔内抽成真空，且空腔的厚度远小于其高度与宽度。其余已知条件如图。表面 2 是厚δ= 0.1m 的平板的一侧面，其另一侧表面 3 被高温流体加热，平板的平均导热系数λ=17.5w/m ? K ，试问在稳态工况下表面3 的t w3 温度为多少？ 解： 表面1 到表面2 的辐射换热量= 表面2 到表面3 的导热量 第二章: 热物理过程的数值模拟Numerical Simulation of Thermophysics Process 讲稿 主讲：李隆键 第一章概论 1．1流动与传热过程的予测方法及特点 流动、传热、燃烧问题是热工类各专业和机械类动力机械专业所研究和解决的主要问题之一，燃烧问题实际上是有化学反应的流动与传热问题，推而广之，在所有热物理过程中，几乎都涉及到流动、传热问题。 预测的重要性： ①在规定设计参数的相应的结构下，热物理过程是否满足要求，达到预定的指 标？要预测； ②优化设计，不同方案的比较，要预测； ③减少设计、生产、再设计和再生产的费用； ④减少设计更改； ⑤减少试验和测量次数。 问题的核心：速度场、温度场（传热量）、浓度场等。 一、热物理问题的予测方法：理论分析法、实验测定、数值模拟 1、理论分析 以数学分析为基础，求解描述热物理过程的定解问题，获得函数形式的解，表示求解区域内物理量连续分布的场（速度场、温度场、浓度场……）。 控制方程+单值条件（数学模型）→理论解（分析解，解析解） 根据解的准确程度，又可再分为： （1）精确分析解（严格解） 特点：函数形式的解；它在求解区域精确地满足定解问题。 具体解法：直接积分法、分离变量法、积分变换法、热源法、映射法。 （2）近似分析解法 特点：函数形式的解，在求解区域上近似地满足定解问题（但在总量上满足相应的守恒原理，动量守恒、动量守恒、能量守恒、质量守恒）。 具体解法：积分法（从积分方程出发） 变分近似解法 摄动法（从微分方程出发） 2、实验测定 （1）纯实验法 （2）相似理论实验法：同类相似，减少变量数目→减少工作量，得到规律性结 传热学思考题参考答案 第一章： 1、用铝制水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍安然无恙。而一旦壶内的水烧干后水壶很快就被烧坏。试从传热学的观点分析这一现象。 答：当壶内有水时，可以对壶底进行很好的冷却（水对壶底的对流换热系数大），壶底的热量被很快传走而不至于温度升得很高；当没有水时，和壶底发生对流换热的是气体，因为气体发生对流换热的表面换热系数小，壶底的热量不能很快被传走，故此壶底升温很快，容易被烧坏。 2、什么是串联热阻叠加原则，它在什么前提下成立？以固体中的导热为例，试讨论有哪些情况可能使热量传递方向上不同截面的热流量不相等。 答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各 串联环节热阻的和。例如：三块无限大平板叠加构成的平壁。例如通过圆筒壁，对于各个传热环节的传 热面积不相等，可能造成热量传递方向上不同截面的热流量不相等。 第二章： 1、扩展表面中的导热问题可以按一维问题处理的条件是什么?有人认为,只要扩展表面细长,就可按一维问题处理,你同意这种观点吗? 答：条件：（1）材料的导热系数，表面传热系数以及沿肋高方向的横截面积均各自为常数（2）肋片温度在垂直纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析（3）表面上的换热热阻远远大于肋片中的导热热阻，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的（4）肋片顶端可视为绝热。并不是扩展表面细长就可以按一维问题处理，必须满足上述四个假设才可视为一维问题。 2、肋片高度增加引起两种效果:肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热流量会下降，试分析该观点的正确性。 答：的确肋片高度增加会导致肋效率下降及散热表面积增加，但是总的导热量是增加的，只是增加的部分的效率有所减低，所以我们要选择经济的肋片高度。 第三章： 1、由导热微分方程可知，非稳态导热只与热扩散率有关,而与导热系数无关。你认为对吗？答：错，方程的边界条件有可能与λ有关，只有当方程为拉普拉斯方程和边界条件为第一边界条件时才与λ无关。 2、对二维非稳态导热问题，能否将表面的对流换热量转换成控制方程中的内热源产生的热量？ 答：不能，二维问题存在边界微元和内边界微元，内边界微元不一定与边界换热，所以不存在源项。 第四章： 1、在第一类边界条件下，稳态无内热源导热物体的温度分布与物体的导热系数是否有关？为什么？ 答：无关，因为方程为拉普拉斯方程，边界为第一边界条件均与λ无关。 2、非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何防止这种不稳定性？ 答：物理意义：显示格式计算温度时对时间步长和空间步长有一定的限制，否则会出现不合 数值传热学第二章作业 2—1： POWER=input('POWER=?'); L1=input('L1=?'); M1=input('M1=?'); XL=input('XL=?'); YL=input('YL=?'); for i=2:L1 XF(i)=XL*((i-2)/(L1-2))^POWER; end for j=2:M1 YF(j)=YL*((j-2)/(M1-2))^POWER; end X(1)=0; for i=2:L1-1 X(i)=(XF(i)+XF(i+1))/2; end X(L1)=XF(L1); Y(1)=0; for j=2:M1-1 Y(j)=(YF(j)+YF(j+1))/2; end Y(M1)=YF(M1); for j=2:M1-1 plot(X(1),Y(j),'b.'); plot(X(1),Y(2), 'b.'); plot(X(L1),Y(j),'b.'); hold on end for i=2:L1-1 for j=1:M1 plot(X(i),Y(j),'b.'); hold on end end for i=2:L1 m=[XF(i),XF(i)]; n=[0,M1]; plot(m,n,'b-.'); hold on end for j=2:M1 m=[YF(j),YF(j)]; n=[0,L1]; plot(n,m,'b-.'); hold on end xlabel('x'); ylabel('y'); title('POWER= ') 运行结果如下： 2—3： 解：由2 2 2 1()u 2u u u x x y η ???== =???得： 原方程的守恒形式为： 2 2 2()2u u x y η ??=?? 对方程两端在t ?时间间隔内对其控制容积积分，把可积的部分积出后得： 22()t t s n e w t u u dtdy +?-? ? = 2t t e w t n s u u dtdx y y η+?????????-?? ? ????????? ? ? 选定2 u 随y 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿y 方向不变，则 2222 ()=y ()t t t t s n e w e w t t u u dtdy u u dt +?+?-?-? ? ? 选定2 u 随t 而变化的规律，这里采用阶梯式显式，则 2 2 ()t t e w t y u u dt +??-? = ()()22t t e w u u t y ??-?????? 选定 u y ??随x 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿x 方向不变，则 22t t t t e w t t n s n s u u u u dtdx x dt y y y y ηη+?+?????????????????-=?-???? ? ? ? ?????????? ???????? ? ? 选定 u y ??随t 而变化的规律，这里采用阶梯显式，则 2t t t n s u u x dt y y η+??????????-?? ? ???? ?????? = 2t t n s u u t x y y η?? ??????-???? ? ??????????? 进一步选取u 随x,y 分段线性变化，则 22 2 2 E P e u u u += ， 22 2 w 2 W P u u u += 热流问题的数值计算 物理问题数值解的基本思想 把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 (如速度场,温度场,浓度场等),用一系列有限 个离散点(称为节点,node)上的值的集合来代替; 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程 (称为离散方程,discretization 大规模科学计算的重要性 传热与流动问题数值计算是应用计算机求解热量传 递过程中的速度场,温度场等的分支学科,是大规模 科学计算的重要组成部分,其重要性不言而喻. 2005年美国总统顾问委员会向美国总统提出要大 力发展计算科学以确保美国在世界上的竞争能力. 波音公司实现了对航空发动机的网格数达10亿量 级的直接数值模拟,以研究所设计发动机的性能. 现代科学研究的三大基本方法及其关系 课程简介 第二章 思考题 1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅立叶定律的一般形式为： n x t gradt q ??-=λλ＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流 密度矢量。 2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x ?+?+?=，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。 3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。 答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：① 第一类边界条件：)(01ττf t w =>时， ② 第二类边界条件： )()( 02τλτf x t w =??->时 ③ 第三类边界条件： )()( f w w t t h x t -=??-λ 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。 答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。 7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。 6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？ 答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。 9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 答：错误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值，不会因为高度的增加而发生变化。 10 在式（2-57）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。 答：由于式（2-57）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿x 方向和y 方向的数值相等并为常数。 11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均与温度为f t 的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗？ 答：能，因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对称分布。 习题传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题
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第一章 绪论
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER 2007年10月16日, 西安
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equation);求解所建立起来的代数方程以获得所求
解变量的近似解.
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理论分析
Analytical
实验研究
Experimental
数值模拟
Numerical
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1. 学时- 30学时理论教学;6学时计算机作业 2. 考核- 平时作业/计算机大作业/考试: 20/30/50 3. 方法- 理解,参与,应用 努力将与数学处理相对应的物理背景联系起来理解. 4. 助手- 于乐 5. 参考教材-《计算流体力学与传热学》,中国建筑 工业出版社,1991
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