14.3空间直线和平面的位置关系（两课时）
一、教学内容分析
空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.
课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理. 要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，会在简单图形中进行有关距离的确定与计算.
空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.
前面我们已研究了两异面直线所成的角，本节研究直线与平面所成的角
课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景.接着借助图14—22引出了一系列概念.
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
求直线和平面所成的角的方法是：
射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算.
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤.
空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：
线线平行 或找一直线在平面内作
线面平行 平面与平面相交得交线
经过直线作或找
线线平行
在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.
理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等. 培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.
在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化归和转化的数学思想方法.
三、教学重点及难点
空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，空间距离的确定与计算.
斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影
空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；空间平面和平面平行的性质定理
四、教学流程设计
1.复习
直线与平面的位置关系
直线在平面上（平面经过直线）直线与平面相交（于点）直线与平面平行
或//l l l l A l A
l l l ααα
ααααα≠
???
?=?
=??I I （注意集合语言的表示）
2. 学习新课
① 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直. 表示为：l ⊥ α
其中，这条直线称为垂线，垂线和平面的交点叫做垂足
举例子：正方体的侧棱垂直于地面的任何一条直线 注意：任何一条改成无数条直线可以吗？不可以
直线与平面垂直的判定定理：
定理2:如果直线l 与平面α上的的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面. 已知：，则,,,,m n m n M l m l n l ααα?=⊥⊥⊥苘
直线与平面垂直的性质：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线.
②. 空间距离概念
空间中由于点，线，面的概念，引出彼此之间的概念 （1）空间点到直线距离 设M 是直线l 外一点，过点M 作直线l 的垂线相交于N （或垂足为N ），则垂线段MN 的长称为点M 到直线l 的距离.
如图，正方体，棱长为，求点分别到直线,，和的例距离.
111111111ABCD A B C D a A CD D B CD BD -
（立体几何计算的顺序：①作图②证明③计算）只详讲第三，四题 解：
（3）连接1A D ，面11CD ADD A ⊥
1CD A D
∴⊥，
故点到直线的距离等于线段的长11A CD A D
1A D =，
所以到直线1A CD
（4）连接作垂足为111,,A B A H BD H ⊥
故点到直线的距离等于线段的长111A BD A H 在中，111
1111
A B A D Rt A BD A H BD ?=
（注意：垂线段所在平面和面积法）
（2） 点到平面距离
设M 是平面外一点，过点M 作平面α 的垂线，垂足为N ，则垂线段MN 的长称为点M 到平面α的距离.
()()如图，正方体，棱长为，求：
点分别到平面和平面的距离点到平面例离.
的距1111111111112ABCD A B C D a A B BCC D DBB A A BCD - 解：()连接11111A C D B O =
面11111111111A O D B A O D DBB D D A O ⊥???⊥?⊥??
，
∴故点到面的距离，等于线段的长11111A D DBB A O
112
A O a =
所以点到面111
2A D D B B a ()连接112AB A B H = ，在正方形中
111ABB A AH A B ⊥
面面11111111A D ABB A AH A A B H B A A D ≠⊥??
????
⊥?
11AH D A BC ∴⊥面
11A D A BC AH 故点到面的距离等于线段的长
, 2
AH a =
11A D A BC 所以点到面 （3） 直线与平面平行的距离
直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等. 直线与平面平行，则直线上任取一点到平面的距离称为直线和平面的距离.
()()111111111112ABCD A B C D a A A B BCC A A D DBB -如图，正方体，棱长为，求：
直线到平面的距离；直例 线到平面的距离.
解：()1111//A A B BCC 面
1111A B B BCC ⊥ 面
11111A A B BCC A B 故直线到面的距离等于线段的长
11A B a =
111A A B BCC a 所以直线到面的距离等于
()
1112//A A D DBB 面
1111A O D DBB ⊥ 面
11111A A D DBB A O 故直线到平面的距离等于线段的长
112
A O a =
1112A A D DBB a 所以直线到平面
（4） 两平行平面之间的距离
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离都相
等.
两平面平行，则一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面的距离.
11111111ABCD A B C D a A B C D ABCD -如图，正方体，棱长为，求：平面到平面例 的距离.
解：1111//A B C D ABCD 平面平面
1A A ABCD ⊥ 面
11111A B C D ABCD A A 故平面到平面的距离等于线段的长
1A A a =
1111A B C D ABCD a 所以平面到平面的距离等于
（5）异面直线距离
a b MN a b M N MN a b M N a b 设直线与直线是异面直线，若直线分别与直线，，，那么直线叫做异面直线，的；垂足，之间的距离叫垂直且相交于公垂线异面直线，做的距离
注意：,a b 异面直线的公垂线存在且唯一
()()111111111112ABCD A B C D a A A B C A A B D -如图，正方体，棱长为，求:
异面直线和的距离；异面直线和例 的距离.
、
111111.
ABCD A B C D a E AB A E CC -如图，正方体，棱长为，为棱中点，求异面直线和例的距离
3. 直线与平面所成的角
（1）直线与平面斜交的定义
当直线l 与平面α 相交且不垂直时，叫做直线l 与平面α 斜交. l 叫做平面α 的斜线，l 与平面α 的交点M 叫做斜足. （2）直线与平面所成的角
设直线l 与平面α 斜交于点M . 过l 上任意点A 作平面 α 的垂线，垂足为O ，称点O 为点A 在平面α 上的射影；而直线OM 称为直线l 在平面α 上的射影.
将直线l 与其在平面α 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平面 α 所成的角. 规定： 当直线l ⊥平面α 时，直线l 与平面α 所成的角为90o. 当直线l //α 或直线l 在α上 时，直线l 与平面α 所成的角为0o. 结论： 所以，若设直线l 与平面α 所成的角为θ , 则其取值范围是 0o≤ θ ≤ 90o.
()()()()1111111111112134ABCD A B C D A B ABCD B D ABCD BC D B BD D B ACB -如图正方体，求下列直线与平面所成角
和平面所成角；和平面所成角；和平面所成角；和平面例所成角；
()()9024212.
2ABC A AB AC PA ABC PA E PC BE BE ABC BE PAB ∠=?==⊥=V 如图，已知，，，，
平面，，为中点，连接，
求与平面所成角；求与平面所成角例
()()()1111111111111233ABCD A B C D AB B A BCD C A BC D B AC -=如图正方体，棱长，求
求到平面距离；求到平面距离；
求到平面例距离.
()()()111111111111
8,6,102341ABCD A B C D AB AD AA E AB AB B C AC B C A E B C -===如图，长方体，，为中点，求下列异面直线距离
与与与例
空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线． 知识点二平行直线 1．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示： 2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 例3、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为 AB、BC的中点，求证：EF∥A1C1. a∥b b∥c a∥c C D B A1 C B1 D C D
青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校
课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D
1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不
是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理
点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；
题型一空间中直线位置关系的判断 【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 题型二公理4及等角定理的应用 【例2】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点． (1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
【例3】在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。. 【例4】 如图，在正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小． 5．已知长方体 1111D C B A A B C D -中，M 、N 分
别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个 （C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥b ，b 与c 所成的角为030，则a 与c 所成的角也为030； （3）a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12
《平面上两条直线的位置关系》 第1课时相交与平行 教学目标： 1.知识与能力： 了解同一平面上两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种， 理解平行线的概念. 2.过程与方法 经历探索平行公理及其直线平行关系的传递性的内容，理解并 掌握此内容.会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线. 3.情感态度与价值观 联系实际生活学习几何，感受几何知识的现实意义. 教学重点： 理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容 教学难点： 对平行公理及直线平行关系的传递性的理解. 教学过程： 一、快乐启航 1.经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？ 2.线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？ 3.同一平面内两条直线的位置关系有哪些? 二、我会自主学习 1.观察P72的图形 说出这些直线的不同的位置关系？相交、重合、不相交也不重合（平行） 平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合.归纳 得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念. 关键：有没有公共点 2.平行线概念：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。 3.直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD。
4.用三角板画平行线AB∥CD. 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行 线的问题． 方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）. 5.P72的注意内容. 6.说一说：生活中的平行线的实例. 三、我会合作交流探究 7.做一做 任意画一条直线a，并在直线a外任取一点A，通过点A画直线a的平行线，看 能画出几条？（学生画图，实际上只能画一条） 8.归纳：经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行 9.直线的平行关系具有传递性： 设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c,那么a∥c 因为如果直线a与c不平行，就会相交于一点p，那么过p点就有两条直线 与直线b平行，这是不可能的，所以a∥c 四、我会归纳总结 1.2.平行线：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线 3.基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.平行的传性：平行于同一条直线的两条直线平行，如果b∥a，c∥a，那 么b 五、快乐摘星台 1下列说法正确的是（）
课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
空间直线与直线的位置关系 A.异面直线定义 文字叙述：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 图形表示：如图. 记法：直线a 与b 异面. B.直线与直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系： 2.异面直线的判定方法： 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 注：反证法；反证法是证明两直线异面的主要方法，目前不掌握. 3.平行公理（平行线的传递性） 平行于同一条直线 的两条直线互相平行. 作用：判断空间两条直线平行的依据. 4.等角定理 空间中如果两个角的的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 . 5.异面直线所成的角 （1）定义：设直线,a b 是异面直线，经过空间任意一点O 作a '∥a 、b ∥b '，则把a '与b '所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（夹角）. （2）异面垂直：两条异面直线所成角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作a b ⊥. 注：空间垂直关系有相交垂直和异面垂直两种. （3）两条异面直线所成角范围：(0,]2 πθ∈. （4）求异面直线所成角的步骤： 作 、 证 、 求 . 作出异面直线所成角的方法是 平移，平移一条或两条直线，转化为相交线所成的角 . 注：平移过程常利用特殊位置上的点来实现，如利用已有的平行线来实现平移，或利用相似三角形平行关系、平行四边形对边平行关系实现平移 . A .平行公理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上. （1）若E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形. （2）要使四边形EFGH 是平行四边形，请问E ，F ，
第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2
点、直线、平面之间的位置关系 1、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是 （0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 3、求异面直线所成角步骤： A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B 、证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角 4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 5、空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点． 三种位置关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α 6、平面与平面之间的位置关系 平行——没有公共点；α∥β。相交——有一条公共直线。α∩β＝b
空间中直线与直线之间的位置关系 [新知初探] 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： 2．空间两条直线的位置关系 位置关系特点 相交同一平面内，有且只有一个公共点 平行同一平面内，没有公共点 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 [点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面 直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． a∥b b∥c?a∥c. (2)符号表述：} 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. (3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. [点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． (2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系
中得到了广泛的应用． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线无公共点，则这两条直线平行() (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行() (3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线() (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)× 2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是() A．共面B．平行 C．异面D．平行或异面 解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于() A．30°B．30°或150° C．150°D．以上结论都不对 解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°. 两直线位置关系的判定 [典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． [解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内． (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内． [答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 (1)判定两条直线平行或相交的方法
平面上直线的位置关系和度量关系知识要点 1. 直线、射线、线段的联系和区别 联系： 射线、线段是直线的一部分，把射线反向延长，而线段向两方延长，就得到一条直线。 区别： 直线没严密的定义，只能说明像一根拉紧无限长的线，可用两个大写字母或一个小写字母表示，无始无终，没有端点，向两方向延伸，并且两点确定一条直线。射线是直线上一点和它一旁的部分，可用两个大写字母表示，顶点字母写在前面，也可用小写字母表示，有一端点，可向一方向延伸，线段是直线上两点和它们之间的部分。可用两大写字母表示，或一个小写字母表示，有两个端点，不可延伸，并且两点之间，线段最短。 2. 角的定义： ①有公共端点的两条射线组成的图形。 ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到 另一个位置组成的图形。 3. 线段的比较 角的比较： 方法一：度量法 线段的度量工具是刻度尺。 角的度量工具是量角器。 方法二：叠合法。 4. 线段与角的换算： 5. 线段的中点： 它是把一条线段分成两条相等的线段的点。 6. 角的平分线是把一个角分成两个相等的角，并且以这个角 的顶点为端点的一条射线。 7. 角的分类： 特殊角：周角平角直角0°角
关系角： 数量关系的角：互为余角互为补角位置关系的角： 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 数、位关系角：邻补角 范围角：钝角、锐角 8. 角的性质： ①互余的两个角和为90° ②互补的两个角和为180° ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 9. 点与直线的位置关系 ①点在直线上 ②点在直线外 10. 平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。 11. 平行线的几个结论： ①平行公理及推论： 公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 ②平行线的性质与判定： 两直线平行 12. 垂直的概念、结论 ①两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中每一条直线叫另一条的垂线，交点叫垂足。
空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线 ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗 ⑤什么是空间等角定理 ⑥什么叫做两异面直线所成的角 ⑦什么叫做两条直线互相垂直
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(必修2) 一、知识结构 1． 2．空间中平行、垂直间的转化关系 二、学习目标 1．直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系，抽象出空间直线、平面之间的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解可以作为推理依据的公理和定理。 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。 等角定理 。。。。 2．以空间的上述公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。 判定定理在选修2-1中在证明，性质定理要求证明。 3．运用获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三、课时安排 全章约需10+2课时 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 ------------------- 3课时 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 --------------------3+1课时
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质--------------------3+1课时 小结----------------------------------1课时 四、教学建议 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（3课时） 第一课时平面 教学内容平面的概念；平面的画法和表示；平面的基本性质。 学习目标 1．了解平面的概念，理解平面的无限延展性。 2．会正确地用图形和符号表示点、直线、平面及其它们之间的位置关系，初步掌握文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化。 3．了解作为以后推理依据的三个公理。 教学重点文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化，三个公理的作用。 要点分析 1．三种语言间的联系 图形语言——考察对象第一次抽象的产物，形象、直观的语言。 文字语言——对图像的描述、解释与讨论。 符号语言——对文字语言的简化和再次抽象。 在对空间图形的认识中，注意有序的建立三种数学语言间的联系，合理使用三种数学语言描述图形的性质，加深对图形性质的理解。 课本按照图形语言——文字语言——符号语言——三种语言综合描述的顺序安排学习内容。 注意：符号语言只是借用集合符号，读法仍用几何语言。 2．两个重要模型 四面体、长方体作为图形语言的载体作用——典型性、简明性、直观性、概括性、趣味性。 建议：要求学生能熟练画出四面体、长方体，利用这两个模型理解所学概念、定理，发展几何直观能力，提高空间想象力。 3．平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：用直线的直刻划平面的平，是判断直线在平面内的依据。 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面的依据。 课本并没有给出常用的三个推论，只是在练习题中以判断题的形式涉及，建议学生将其作为重要结论使用，但不涉及推论字眼。 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
空间直线与直线的位置关系 新课讲授： 公理4 问题1：平面中直线的平行传递性？ 问题2: 利用教室内实例寻找空间中直线平行的传递性. 公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行. 公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁. （1） 等角定理 问题1：初中学习的等角定理？如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补 空间仍然成立 等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视. 证明： （三）例题分析 例1：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11B C ，AD 的中点，求证 ：EC F A //1 例2 如图，正方体中，过P 作1DD 的平行线 例3 在长方体1111ABCD A B C D -中，求证：111D AC AC B ∠=∠. 例4 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边中点. （1） 判断四边形EFGH 形状； （2） 若空间四边形中对角线AC=BD ，判断四边形EFGH 形状； （3） 四边形EFGH 什么情况下为矩形？ A B C D
（4） 结合（2）、（3） （5） 第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？ （6） 若E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且11 ,33 CF CB CG CD = =，判断四边形EFGH 形状. 例5在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是11,AA CC 中点，判断四边形1BED F 的形状并加以证明. 例6 在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在1111,C D C B 上，且满足11,AE C G AF C H ==，联结11,,,A F A E CH CG ,求证：1EA F GCH ∠=∠ 例7空间四边形ABCD 的各边中点依次为E 、F 、G 、H ，连结EG 、FH. （1）求证：EG 与HF 互相平分 （2）若BD=2，AC=4，求2 2 EG HF +的值. 例7 如图,A 是ΔBCD 所在平面外一点,M,N 分别是ΔABC 和ΔACD 的重心,若BD=6,求MN 的长. 异面直线 一、引入课题 提问：空间中两直线的位置关系：有平行、相交.除此以外，还有其他位置关系吗？ 二、讲授新课 （2） 异面直线 1、定义： 2、与平行直线、相交直线的区别： D C A B M N E F
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：
β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα
空间中直线与直线之间的位置关系教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 共面直线