2013最新北师大版数学八上第二章实数全章导学案b5

北师大版八年级上册 第二章 实数

【学习课题】：§2.1认识无理数（1）

【学习目标】：通过拼图活动感受无理数产生的实际背景和引入的必要性 【学习重点】：如何说明一个数是有理数 【学习难点】：对有理数不够用的理解 【学习过程】： 学习准备：

1. 有理数的概念：--------------和--------------，统称为有理数

2. 数的分类：

正整数 如------------------

整数 零

负整数 如----------------------

有理数

正分数 如----------------------

分数

负分数 如---------------------- 也可以这样分类：

------------------ 如1，2

1

，2.5

有理数 ---------------------

-------------------- 如-2，-3.5，6

5

- 练习：把下列各有理数填在相应的大括号里

12，-3，+1，

31，-1.5，0，0.2，413 ，5

3

4- 正数： （ ） 负数：（ ）

整数： （ ） 分数：（ ） 正分数：（ ） 负分数：（ ） 解读教材：

阅读教材第21页 3. 活动

做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？ 画出你的做法：

设大正方形的边长为a 分米，a 满足的条件为（ ） a 是整数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a 是分数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a 是有理数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- 总结：

在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数 即时练习：

将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？ （ ） 挖掘教材：

4.如下图，正方形ABCD 的面积为|（ ） 设它的边长为b,则b 满足的条件为（ ）

b 是有理数吗？ ( )

即时练习：

如下图，正三角形ABC 的边长为2，高为h,则h 满足的条件为（ ） h 是有理数吗？ ( )

反思小结：

5.现实生活中，除了有理数之外，还存在着不是有理数的数，如：------------，-------------

【达标检测】： 6.长、宽分别为3、2的长方形，它的对

角线的长可能是整数吗？（ ）

可能是分数吗？ （ ）

7.上图是4个边长为1的正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。 请写出2条长度是有理数的线段：--------------、------------------- 请写出2条长度不是有理数的线段：--------------、-------------------

8.请在方格纸上按照如下要求设计直角三角形并用字母表示： （1）使一边边长不是有理数 （2）使两边边长不是有理数 （3）使三边边长不是有理数 【资源链接】：

2

1

A

B

C

D

2 A B C h

A E D H

O F B G C

毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（约前580-约前500）为代表人物的一个学派。

毕达哥拉斯学派有一个信条：一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用有理数来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。

§2.1认识无理数（2）

【学习目标】：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想

2.会判断一个数是有理数还是无理数

【学习重点】：1.无理数概念的理解 2.无理数的判断 【学习难点】：无理数的估算 【学习过程】： 学习准备：

1.整数可以表示成（ ）限小数

如：3可以表示成小数3.0

2.分数可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数

如：

2

1

可以表示成小数0.5 3

1

可以表示成小数.3.0

总结：

有理数总可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数 练习：

把下列各数表示成小数

2=（ ）

54=（ ） 95=（ ） 45

8 =（ ） 解读教材：

阅读教材第34-36页

3.面积为2的正方形的边长a 是多少？

分析：由下图可知

面积：1 < 2< 4 边长：( )

面积为1

面积为4

面积为2

1

1 a

a

2

2

借助计算器探索a的整数部分、十分位、百分位……分别是几？

问：边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？

答：假设a算到某一位时，它的平方恰好等于2，这时a是一个有限小数，那么它的平方一定也是一个（）限小数，而不可能是2，这与假设矛盾，故假设不成立。

所以a不可能是（）限小数。

所以还可以继续算下去，而且不循环，即

a是一个（）限（）小数，a=1.41421356……

挖掘教材：

4.

精确到百分位为（）

事实上，b也是一个（）限（）小数，b=2.236067978……

即时练习：

借助计算器估计体积为2的正方体的棱长c=( )

5.无限不循环小数叫做（）

如上面的数a,b,c

π=3.14159265……是一个无限不循环小数，因此π是一个（）理数

0.585885888588885……（相邻的两个5之间8的个数逐次加1）是一个（）限（）小数，因此是

一个无理数

即时练习：

你能找到其它的无理数吗？你能举出一些有关无理数的实例吗？

6.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？

(1)π=3.14159265……

(2)2=1.41421……

（3）1.21021002100021……（相邻的两个21之间0的个数逐次加1）

（4）0.

.

.

75=0.575757……

（5）8=22

（4）是有理数，（1）、（2）、（3）、（5）是无理数即时练习：

(1)3.14

(2) 3

4

-

(3) 0.1010001000001 是有理数， 是无理数 反思小结：

7.我们可借助计算器对无理数进行估算，并且在判断一个数是无理数还是有理数时须明确： (1)（ ）限小数或（ ）限循环小数是有理数 (2)（ ）限不循环小数是无理数 【达标检测】：

8.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？

(1)0.4583

(2) 3..

7 (3)π- (4)7

1-

(5)18

是有理数， 是无理数

【资源链接】：你能发现右图中各Rt 三角形斜边的规律吗？

【学习课题】 §2.2平方根（一）

【学习目标】1、了解算术平方根的概念。

2、会用根号表示一个数的算术平方根。

3、培养自主学习、合作交流、探索发现的学习方式 【学习重点】了解算术平方根的概念和性质。 【学习难点】对算术平方根意义的理解。 【学习过程】

一、学习准备：1、阅读教材P26 二、解读教材 （一）导入

1、我们学了加减乘除四则运算，知道加法的逆运算是 、乘法的逆运算是 ，乘方有逆运算吗？如果有是什么运算？

2、小颖家客厅是面积为64平方分米的正方形，这个正方形客厅的边长是多少？

解答：设正方形客厅的边长为x 分米，则可得方程： ，因为x>0，所以x= . 3、思考：问题2可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”吗？ （二）、解读教材：平方根 1、算术平方根概念

1 1 1

1 1

※阅读教材P26完成填空

（1）已知一个正数x 的平方等于a,即x 2

=a （a>0），那么这个正数x 叫做a 的 ，记为“a ”，读作“根号a ”，此符号“”读作 ，a 与 x 的关系是a x （填 ＜，＞，﹦），

即(a )2

=a.

（2） “0”的算术平方根是 ，即0= 。

（３）12= ，“1”的算术平方根是 ，即1= 。 2、求一个正数的算术平方根 ※阅读教材26例1完成填空 【说明】

（1）①10000的意义是什么？

10000 =

②81

25的意义是什么？81

25=

③2)51(的意义是什么？2)5

1(=

④计算：36.0 =______; 64=______ ; 12149 =_______;

04.0 =______; 2

5 =_______

3、例题解析

例：自由下落物体下落的距离s （米）与下落时间t(秒)的关系为s=4.9t 2

.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：s=19.6代入公式s=4.9·

得：19.6=4.9t 2

=4

t=4 t=2

答：铁球到达地面需要2秒。三、挖掘教材：

四、反思小结：

1、什么叫着算术平方根，你记住了吗？

2、“a ”表示什么意义？

3、a 中的“a ”取值范围？

【达标检测】

1、 求下列各数的算术平方根：

81，36，

16

9，17，0.81，104

.

2、 小颖家客厅是面积是64平方米，客厅地面正好由100块大小完全一样的正方形地砖铺成，每块地砖

边长是多少米？ 解：

【资源链接】“5”的算数平方根

因为22

=4, 所以4=2;32

=9所以9=3；5等于多少？因为9>5>4, 所以2>5>3, 5的值是一个大于2且小于3的无限不循环小数因此我们在计算时一般不计算出它的值,即“5”的算术平方根就是“ 5”。

【学习课题】 §2.2 平方根（二）

【学习内容】 平方根

【学习目标】1.平方根的概念；

2.会进行有关平方根的计算；

3.理解算术平方根与平方根的联系与区别。 【学习重点】平方根的概念和性质。 【学习难点】对平方根定义的理解。 【学习过程】 一、课前准备：

1、算术平方根的概念

2、阅读教材P27-28 二、解读教材： （一）导入

1、16=4， 也就是42

= 。还有其他的数的平方等于16吗？ 2、平方等于

64

9

的数有几个？平方等于0.81的有几个？ （二）平方根的有关概念

※请结合教材内容，完成以下内容：

1.如果一个数x 的平方等于a ，即x 2

=a ，那么这个数x 就叫做a 的 或叫做 。 2.求一个数a 的平方根的运算，叫做 ，其中a 叫做 。 三、挖掘教材： 议一议

1.一个正数有几个平方根？ 因为：

（1）（+4）2

= ，（-4）2

= ，“16”的平方根有 、 ； （2）（+

83）2= ，（-83）2= ，“ 64

9

”的平方根有 、 ； （3）（+0.9）2

= ，（-0.9）2

= ，“0.81”的平方根有 、 ；

所以： 正数a 有 （几个） 平方根，一个是a 的 ，另一个是“ ”，它们互为 。这两个平方根合起来可以记作“ ”，读作“ ”。 2.“0”有几个平方根

-0= ，+0= ，因此“0”有 （几个）平方根，它是 ; 3.负数有没有平方根,即一个数的平方可能为负数吗？

（+2）2

= ，02

= ，（-2）2

= ，其他的数呢？因此， （有或没有）一个数的平方为负数，即负数没有平方根。

4.（1）（64）2= ；（2）（121

49）2= ；（3）（2.7）2

= ；

（4）对于正数a 即a>0,（a ）2

= ； 四、反思拓展：

1、平方根的有关概念：平方根、开平方？

2、正数、0、负数关于平方根有什么性质？

3、平方根与算术平方根有什么区别？

两者的区别与联系是

【达标检测】

1、求下列各数的平方根：

1.44，0，8，49

100，441，196，104

2、填空

（1）25的平方根是 ；（2）2)5(- = ； （3）(5)2

= .

【资源链接】乘方的逆运算

二次乘方与开平方互为逆运算。

【学习课题】 §2.3 立方根

【学习目标】1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

2、能运用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方根互为逆运算。 【学习重点】立方根概念的理解。 【学习难点】立方根的计算。 【学习过程】

学习准备：

32= =-2

)3( 30= 3

)2

1(=

4±= =9 81-= 25

1

±

= 解读教材：

1、如果一个数x 的立方等于a ，即 ，那么这个数x 叫做a 的 ，记作 。注意，根指数“3”不能省略。

2、正数有 个正的立方根，零的立方根是 ，负数有 个负的立方根。

3、求一个数a 的 的运算叫做开立方。

4、计算中常用的公式：33)(a = ， 3

3a = 。

挖掘教材：

1、求下列各数的立方根。

①-64 ②

125

8

③ 0.216 ④ 0 ⑤ 1000 ⑥ 4 ⑦ -9 解:①364-= ②3

125

8

= ③3216.0= ④30= ⑤31000= ⑥34= ⑦39-= .

方法小结：

（1）由于开立方运算与立方运算互为 运算，熟记常用的立方运算十分有益。

（2）3a 中的a 是有理数的立方时，a 开立方的结果为 ，结果不带根号，当a 不是有理数的立方时，结果不是 ，如34。

2、求下列各式的值：

3

8=()3

3

= ，

3

8-=()3

3

= ，3

64

1=()3

3

=

3

3)3(-= ， 33)125(= ， 327-=()3

3

-=

分析：用公式33)(a =a 或33a =a ，求解较为简便。 即时练习：

求下列各数的立方根。 ①0.001 ② -1 ③ 216

1

-

④ 8000 ⑤ 278 ⑥ -512

问题思考:

1、一个数总有平方根吗？总有立方根吗？

2、一个正方体边长变为原来的2倍，体积变为几倍？

体积变为变来的27倍，边长变为原来的几倍？1000倍呢？

达标检测：

一、填空：

1、64的平方根是 ，立方根是 。

2、-0.001的立方根是 , 25的立方根是 .

3、已知一个数的立方是-0.027，则这个数为 。

4、立方根等于它本身的数是 。 二、判断

1、一个数的立方根有两个，它们互为相反数。 （ ）

2、负数没有立方根。 （ ）

3、一个数的立方根与这个数同号。 （ ）

4、如果一个数有立方根，则它一定有平方根。 （ ）

5、3±是27的立方根。 （ ）

6、32

)8(±=4±。 （ ）

7、互为相反数的两数的立方根互为相反数。 （ ） 三、求下列各数的立方根

①-0.008 ②9

10- ③ 100 ④ 343

216

-

【资源链接】

1、求下列各式中的x 。

①1253

=x ② 017293

=-x 2、若023253=++x ，求17+x 的立方根。

【学习课题】： §2.4 估算

【学习目标】：能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。 【学习重点】：掌握无理数估算的方法。 【学习难点】：掌握无理数估算的方法，并能比较两个数的大小。 【学习过程】： 学习准备：

（a ）2= （a ≥0），（3a ）3= （a 为任意实数）

解读教材：

1． 完成下列空格：

某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2。

（1） 公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

（2） 如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 解：设公园的宽为x 米，则有x 2=200000 ( )2 = 160000 < 200000 < 5002 4402= , 4502= ∴ < x <

误差小于10米 注意：误差小于10米是指估算到十位。 ∴ x 应为 或 。

（3） 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米） 解：设圆形花圃的半径为R 米，则πR 2=800，R 2 ≈254.7 152= ，162 = ∴ < R <

误差小于1 注意：误差小于1是指估算到个位。 ∴ R 应为 或 。

练习1：下列计算结果是否正确，说明判断理由？ ①

43.0 ≈0.066

② 3

900 ≈96 ③ 2536≈60.4 ④

35.0≈0.6

挖掘教材：

2． 估算下列数的大小： （1）3800 （误差小于1） 解： 93= ，103

∴ <3800 < ∴ 3800≈ 或 。

（2）6.13 （误差小于0.1） 解： 32= ，42=

∴ <6.13 < 3.62= ，3.72= ∴ <6.13 < ∴ 6.13 ≈ 或 。

3． 比较下列数的大小

54与7.5

解： （54）2= ，7.52= 注意：将两数平方后比较大小

∴ 54 7.5 （填 < 或＞）

4．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的

3

1

，则梯子比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？

练习2：比较下列各组数的大小：

①② 5-1 2

反思小结：

5.估算无理数的方法是：

① 通过平方（立方）运算采用“夹逼法”，确定其值所在的范围。 ② 根据问题中，误差允许的范围内取出近似值。 6．“误差小于”与“精确到”意义不同。

如：精确到1米是四舍五入到个位，答案只有一个。

本章中误差小于1米，就是估算到个位，误差小于10米，就是估算到十位，答案不惟一。 达标检测：

1． 下列各题估算结果正确的是（ ） A ．35.0≈ 0.059 B. 3

10≈ 2.6 C. 1234≈ 35.1 D. 3

26900 ≈ 299.6

2．估算下列数的大小。 ①3260（误差小于1） ②7.25（误差小于0.1） ③3120（精确到个位） 2． 比较下列各组数的大小 ① 1.0与34 ②

220与3

30 扩展：1.大于-317且小于310的整数有 。 2.比较三个数：2.45，6，315的大小？

【学习课题】 §2.6 实数

【学习目标】1.了解无理数和实数的意义。

2.了解实数与数轴上的点成一 一对应关系。

3.掌握实数性质和实数的绝对值。 【学习重点】会按两种标准对实数进行分类；会求一个实数的相反数和绝对值。 【学习难点】实数的分类。 【学习过程】 学习准备

1、有理数包括 和 。

2、任何一个有理数都可以写成 或者 小数的形式。

3、任何有限小数或循环小数都是 。

4、有理数的分类：（1）按定义分类: （2）按大小分类：

有理数?

??

有理数?

??

5、无理数：无限不循环小数叫做 .无理数的小数位数是 ，而且是不 。 解读教材 1、（自学教科书38-39内容，并回答以下问题） （1）我们所学的数的范围扩大到了 范围。

（2）_______和_______统称实数,数轴上的点与_______一一对应.

2、a 是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；如果a ≠0,那么它的倒数为

即时练习1、下列各数中:①1914526，②0,③230.0 -,④,722⑤5

2,⑥22

π, ⑦,41 ⑧,π-⑨ 00033030030003.0________是有理数, ________是无理数? 挖掘教材

例1:把下列各数写出相应的集合内:①6

5-

,②312,③0.259,④32π

,⑤256-⑥0,⑦3729-,⑧

0.325325325…,⑨37

.3 ,⑩-4.313313331…. ★思路点拨：无理数几种常见的类型：

（1）无限不循环小数；（2）π及含π的数；（3）有规律但不循环的无限小数； （4）带根号但开方开不尽的方根。 解：（1）正实数集合{ …};（2）负实数集合{ …};

（3）有理数集合{ …};（4）无理数集合{ …}. 例2：求下列的各数的相反数及绝对值:（1）364- （2）3－π

例3：求下列各式中的实数x （1）|x|=4

3

； （2）|x|=3

即时练习 1、把①1.414,②

,722③,3-④5

π,⑤,1415.3⑥,32+⑦,41.3 ⑧,93 ⑨

36，⑩ 0。分别填入相应的括号中:

分数:{ };整数: { };负数:{ };

正数:{ };有理数:{ };无理数:{ } 2、下列说法中正确的有（填序号）_________________.

（1）无限小数都是无理数; （2）无理数都是无限小数; （3）有理数都是有限小数. （4）带根号的数都是无理数. （5）不带根号的数都是有理数. （6）无理数就是开方开不尽的数. （7）开方开不尽的数是无理数. （8）数轴上所有的点都表示实数; （9）0的相反数,倒数,绝对值都是0; （10）0是最小的实数;

（11）0与π都是无理数. （12）实数包括有限小数和无限小数. 3、若|X-3|=5，则x= .

4、在数轴上与原点距离为2的点所表示的数是 。

【反思拓展】

1、无理数几种常见的类型：(1) (2) (3) (4)

2、 =a ?

?? （0;0;0 a a a =）

即:一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是 ；0的绝对值是 。 3、实数包括 和 。 【达标检测】 1、选择题：（1）绝对值和算数平方根都等于本身的数是（ ） A.1或-1 B. 1或0 C.-1或0 D1、-1、0 （2）下列各组数中，互为相反数的是（ ）

A.-2与2

)2(- B.-2与38- C.-2与2

1

-

D.|-2|与2 2、3-2的相反数是 ，绝对值是 。 3、|x-1|=2,则x= .

4、已知a 、b 是实数，且12+a +（3b-2)2

=0.求实数a+b 2

的相反数的倒数的值。 【资源链接】

1、若数轴上表示x 的点在原点的右边，则化简|3x+2x |的结果是（ ）

A.-4x

B.4x

C.1-2X

D.2x

2、已知：x 是10的整数部分，y 是10的小数部分，求()

1

10--x y 的平方根。

【学习课题】 §2.7 二次根式（1）

【学习目标】1、理解二次根式的意义，以及它的性质 ()

a a =2

()0≥a 。

2、会用不等式求二次根式的被开方数中字母的取值范围。 【学习重点】1、二次根式的意义

【学习难点】1、二次根式有意义的条件；2、()

a a =2

()0≥a 与2a 的区别与联系.

【学习过程】

学习准备1、如果a x =2

，那么x 叫做a 的 。

2、一个正数a 有 个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的 ，记作 ，如：5的算数平方根记作 。 解读教材

1、二次根式的定义：式子a (0≥a )叫做二次根式。如：

2、23x 、12+a 等都是二次根式。理解二次根式的定义应把握两点（1）含有二次根号“”；（2）字母a 可以表示数也可以表示代数式，但是

它们必须是非负数，否则a 无意义。

即时练习：（1）、判断下列根式是否是二次根式： ①3-；②

3- ③

()3

3- ④38 ⑤a -

分析：判定一个式子是否是二次根式，主要观察两方面，第一，被开方数是否非负；第二，是否有二次根号。

2、当a 时a 有意义；当a 时a 无意义。

即时练习： x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）3-x

（2（3）1||+x 解（1）：要使3-x 有意义，则X-3≥0 即X ≥3. （2）： （3）：

3、形如b a （≥a 0）的式子，也叫二次根式，它表示b 与a 的乘积。如：23表示2×3，33

1

表示

31×3。特别提醒：如果b 为带分数必须写成假分数的形式.如131×2应写成

234

，而不能写成123

1

. 4、因为a （a ≥0）表示a 的算数平方根，当然也是a 的平方根，根据平方根的定义，

()a a =2

()0≥a 。

所以

()

()

()

()

____22____;94____;0____;2____;42

2

2

2

2

==???

? ??=== 即时练习

1、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）x 34- （2）x x -+-22 （3）12+x （4）()2

m -

2、计算（1）2531??? ?? （2） 2

321??

?

??- （

3）(2

（4）

2

? ? （5）

()213-

3、已知822--+-=x x y ，求x y 的平方根和立方根。

【反思拓展】

1、二次根式a （0≥a ），它表示一个 的算数平方根，因此它一定是 ，也就是说，式子a ，包含两个非负数（1）被开方数a ，即0≥a ；（2）a 本身

，即2、

()2

a 表示a 的 的平方，因此只有在a 时，它才有意义。而

2a 表示的是2

a 的 ，因为无论a 为任何实数，2

a 都是 数，所以2a 总是有意义的。由此可见，只有当a 时，才有

()2

a =

2a = 。

【达标检测】

1、a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? （1）3+a （2） 12-a （3）－a 2

（4）2a - （5）()21-a （6）

322+a

2、计算: （1）()2

11 （2）()2

58 （3）(

)

2

2x

（4）2

727???

? ??- （5）()012

>??? ??a a a

3、化简:(

)

|3|322

a a a ----

4、若,03342

=-+??

?

??-b a a 求b a 的值.

【资源链接】

若5的小数部分为,5a b ，求a b +的值。 分析： 一个数的小数部分是指去掉整数部分后所余的大于0而小于1的部分.

【学习课题】 §2.7 二次根式（2）

【学习目标】1、理解积的算术平方根的性质，并会用这一性质化简被开方数不含分母的二次根式； 2、能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。

3、会进行简单的二次根式的乘法运算。 【学习重点】1、非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

()0,0≥≥?=b a b a ab

2、ab b a =?(a ≥0,b≥0)

a = 并运用它化简被开方数含字母的二次根式； 【学习过程】 学习准备

（1）___94=?,___94=?

（2）___01.0100=?___01.0100=? 从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来. 2、式子:

()()()()254254-?-=-?-对不对?不对,请说明理由.

3.计算____.====

从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来.

解读教材

1、 （1）ab =a ?b 成立的条件是_______;b a ?=ab 成立的条件是 。 （2）

()()b a b a ?

+=+11 成立的条件是_____ 。

2、化简（1）8116? （2）2000 （3）108

（4（5 （6

3、计 算 （1）（2）（3） （4）

(

)

2

15+ （5）

(

)1

2+(

)

12-

即时练习 1、填空: 44162+?-=

-x x x 成立的条件是_________.

2、化简:（1）8116? （2）18 （3） 48

3、化简: （1（2）

()215- （3）

34y （4） 328n m （ 0,0

m n ≥≥） 挖掘教材

例：如果正方形的边长是a ,面积是S ,（1）如果S =180㎡,求a ; （2）如果S =242㎡,求a ;

解：(1) 正方形的面积S=a 2

, 又S=180 ∴ a 2

=180 a=180=65 (2)

【反思小结】

1、ab =a ?b （ ），积的算数平方根，等于积中各因式的 的积。注意：a ≥0 , b ≥0是公式成立的条件。

2、公式ab b a =?()0,0≥≥b a ，将二次根式相乘转化为被开方数相乘，运算结果要尽量化简，将根号内能开得尽得因式移到根号外面。 【达标检测】 1、化简: （1） 25636? （2）

49.081.0? （3）()0362>x x

（4） 33x （5） 54332??- （6）c b a 2343

2、计算（1 （2）(2 （34 （4

3、解答

（1）、若数轴上表示x 的点在原点的左边，则化简3x

（2）、 若

()。a a a

a 的值求|21|1,1||2

----=

【资源链接】

1、对于题目“化简求值”:,2112

2

-++a a

a 其中,51=a ,甲,乙 两人的解答不同.

甲的解答是: 549211112112

2

2=-=-+=?

?? ??-+=-++a a a a a a a a a a a ; 乙的解答是: 5111112112

2

2

==-+=??

? ??-+=-++a a a a a a a a a a . 谁的解答是错误的?为什么?

【学习课题】 §2.7 二次根式(3)

【学习目标】1、能够用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质乘法分配律 熟练进行简单的二次根式的乘法运算； 2、会进行分母有理化。

3、通过

()0,0≥≥?=b a b a ab 及

)0,0a b =≥ ；

b a =b

a

（0,0≥≥b a 0,0)a b =≥>的学习培养学生的逆向思维能力。

【学习重点】二次根式的乘法运算；理解同类二次根式，并会合并同类二次根式。

【学习难点】分母有理化。 【学习过程】 学习准备

1、化简：（1） 313? （2） 20

95? （3

（4）)

1

1 （5）10253?

解读教材

1、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其关键是确定有理化因式。根据公式()

a a =2

，

可知a 的有理化因式是 ；根据平方差公式，可知b a ±的有理化因式是b a ，y b x a ±的有理化因式是 。

2、计算（分母有理化）:

（1）

（2） （3） （4

3、化简下列二次根式：（1）=20 ；=45 ；

=5

1

。 （2）=12 ；=48 ；

=3

1

。 （1）中各式化简后，被开方数都是 ，所以20、45、

5

1

叫做同类二次根 （2）中各式化简后，被开方数都是 ，所以12、48、

3

1

也叫做同类二次根式。 与合并同类项类似，可以合并同类二次根式，比如()a a a a -=-=-212；

2016年新青岛版数学八年级下册第七章《实数》全章导学案(最新整理)

7.1算术平方根 【学习目标】 1.理解算术平方根的概念。 2.会求正数的算术平方根。【知识准备】 1. 一个正方形的面积是4，它的边长是 。 2. 一个正方形的面积是9，它的边长是 。 3. 一个正数的平方是16，这个数是 。【自学提示】 自学课本第40页的内容，完成下列知识：1. 算术平方根： 记作： 读作： 2. 特别地规定0的算术平方根是 ，即 。3. ()2= (a ) a 0≥想一想，为什么上面的式子中a 0？≥【问题积累】你遇到的疑惑： 【共同释疑】 例1 求下列各数的算术平方根：（1） 49 （2）100 （3） （4）0.6416 9 对应练习 求下列各数的算术平方根： （1）36 （2）0 （3）1 （4） （5） （6）（-0.3）2 9125 16例2铺一间面积为60m 2的教室的地面，需用大小完全相同的240块正方形地板砖。每块地 板砖的边长是多少？ 对应练习 一个正方形运动场地的面积是625m 2，它的边长是多少？【当堂测试】 1.算术平方根等于它本身的数是 。 2.判断 （1）5是25的算术平方根；（ ）（2）9是3的算术平方根；（ ）（3）6是的算术平方根；（ ） 36

（4）-1是1的算术平方根。（ ）3.计算 （1） （2） （3） 14449 25 10000（4） （5）（）2 （6） （ ）2 0049.04100 814.计算﹙ 选做题﹚（1） － （2） ×01.025.09425 9（3）×﹙﹣﹚ （4）× 1610012136.0324 225 7.2 勾股定理 【学习目标】 1、经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验. 2、掌握勾股定理，会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. 3、尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题方法的多样性.【知识准备】 直角三角形、正方形及梯形的面积计算公式： ， ， . =△S =□S =梯形S 【自学提示】 一、自学教材第43页-44页例1内容，完成下列题目： 1、图7-3①中四边形Ⅰ的形状是 ，它的面积是 .1S 2、图7-3①中四边形Ⅱ的形状是 ，它的面积是 . 2S

新北师大版数学八上第二章教案

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 1．不等关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：在小学，学生已经学过一些关于不等关系的相关知识，知道生活大量存在着不等关系的量，了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义，能比较两数的大小，并能用数学的语言表达。 学生活动经验基础：在相关的知识学习过程中，经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程，初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力，为分析量与量之间的关系积累了一定的经验，并在学习过程中形成了一定的合作交流能力，为进一步展开不等式的学习奠定了基础。 二、教学任务分析 （一）教学目标： 1、知识与技能目标 ①理解不等式的意义。 ②能根据条件列出不等式。 ③能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。 2、过程与方法目标 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。 3、情感与态度目标 感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式解决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。 （二）教学重点： ①通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。 ②根据实际问题建立合理的不等关系。 三、教学过程分析 本节分为七个教学环节：第一环节引入新课、第二环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。 第一环节：创设情景，引入新课 活动内容：寻找相等的量和不等的量

师：我们学过等式，等式的定义是什么？ 生：表示相等关系的式子叫等式。 师：我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。同时，我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量。 师：比如，研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时；体育考试中合格的分数要不低于60分。请同学们也举一些不等关系的例子。 生1：每天我都比他早起5分钟。 生2：我的年龄不小于13岁。 生3：我的体重不低于30公斤 （同学们各抒己见） 活动目的：通过这一活动，希望学生体会不等关系如相等关系一样处处存在，培养学生观察生活、乐于探究的品质。 活动效果：学生举出了许多反映不等关系的例子，不仅能从数字上，还能从实际生活中去体会不等关系。 第二环节：问题提出 师：如何用式子来表示不等关系呢？ 师：展示投影片A （1）某厂今年的产值是a元，预计明年年产值增长率高于20%，如果明年的产值是b元，那么b和a满足的关系式是。 （2）如果某等腰三角形的底边用a cm表示，这边上的高为4 cm，如果这个三角形的面积不大于8 cm2，那么a应该满足的关系式为。（注意：不大于的含义）（3）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为 a cm、b cm、c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。 活动目的：在总结前面学生举例的基础上，提出问题，引起学生进一步思考，初步尝试运用不等式表示不等关系。 活动效果：学生尝试运用不等式表示不等关系。 第三环节：活动探究 活动内容： 投影B 某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm(x≤5)的装潢条镶嵌（不计接缝），

七年级数学(下)实数全章导学案

6.1平方根导学案（第1课时） 设计 杨振军 审核 时间 课时 班级 姓名 小组 批改 一、教学目标1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. 三、自主探究 学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ 答：因为52 ＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。 （二） （自主完成下表） 正方形的面积 9 16 36 1 425 边长 这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的 . 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根，16叫4的 . 说说6和36这两个数之间的关系？说说1和1这两个数呢？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根 请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读） 如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作a （板书：a 的算术平方根记作a ）. （指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a 叫做被开方数，a 表示a 的算术平方根. 四、精讲精练 根号 被开方数 a

第二章 实数预习导学案

第一讲 认识无理数 探究点一：无理数的概念及认识 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．14，－53，0.58·· ，－0.125，－5π，0.35，22 7 ，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)． 方法总结：有理数与无理数的主要区别． (1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示． (2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能． 练习巩固： 1．在实数3.14，2 5 ，3.3333 3，0.412?? ，0.10110111011110…，π， 中，有（ ） 个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3.a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 是有理数时，一定有（ ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 5.已知a 为有理数，b 为无理数，则a +b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 6.设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简 111c m m m d a b ?? ÷++- ??? 的结果是 . 探究点二：用“夹逼法”求无理数的近似值 例2：正数x 满足x 2 ＝17，则x 精确到十分位的值是________． 方法总结：估计x 2 ＝a (a >0)中的正数x 各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位、…上的数，从而确定x 的值． 第二讲 平方根 探究点一：算术平方根的概念 【类型一】 求一个数的算术平方根 例1：求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)214 ； (3)0.36； (4)412－402 .

第6章：实数复习课 导学案

课题：第6章《实数》复习导学案 课型 复习课 学习目标：1、巩固实数的有关概念和相关性质。 2、熟练运用实数的有关性质进行运算、化简，以及实数的实际应用。 学习重点：巩固实数的有关概念和相关性质。 学习难点：熟练运用实数的有关性质进行运算、化简，以及实数的实际应用。 学习过程：一、 知识结构： 二、 专题一 你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？ 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 性质 正数 0 负数 是本身的数 二次备课（或学生笔记栏）： 开立方 开平方 互为逆运算 实数 实数

学习过程：1.说出下列各数的平方根和算术平方根。 （1） 169 （2）0.16 （3）2 25 14 （4） 102 （5）︳—29 7 ︳ 2.说出下列各数的立方根： （1） -0.008 （2） 0.512 （3）— 64 27 3.说出下列各式的值 （1） — 81； （2）3 125； （3） ()225-； （4） — 3 027.0； （5）36 25 ± 三、 专题二 常见的无理数： 1、把下列各数填入相应的集合内： -8.6， 5，9， 32，179 ，3 64，0.99，-π，0.76 （1）有理数集合：﹛ ﹜ ； （2）无理数集： ﹛ ﹜ ； （3）正实数集合：﹛ ﹜ ； （4）负实数集合：﹛ ﹜ ； 2、判断下列说法是否正确： （1） 实数不是有理数就是无理数。 （ ） （2） 无限小数都是无理数。 （ ） （3） 无理数都是无限小数。 （ ） （4） 带根号的数都是无理数。 （ ） （5） 两个无理数之和一定是无理数。 （ ） （6） 所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点 都表示有理数。 （ ） 四、 分层练习： 第一组题目： 1.判断对错： （1）2- 、2-都没有意义.（ ） （2）0.01是0.1的算数平方根.（ ） 二次备课（或学生笔记栏）： 教学反思（学习小结）

北师大版八年级数学上 第二章

初中数学试卷 第二章 1 认识无理数 同步练习 一、选择题 1.下列数中是无理数的是（ ） A.0.12??32 B.2π C.0 D.7 22 2.下列说法中正确的是（ ） A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 3.下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数

D.无限不循环小数是无理数 4.在直角△ABC 中，∠C =90°，AC = 23，BC =2，则AB 为（ ） A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 二、填空题 6.在0.351，－3 2，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333,5.411010010001…中，无理数的个数有______. 7.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数. 8.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 9.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 10.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米(精确到0.01). 三、解答题 11.已知：在数－43，－??24.1,π,3.1416,3 2,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数； （3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接. 12.我们知道，无限不循环小数叫无理数.试根据无理数的意义，请你构造写出两个无理数.

八年级上册第二章《实数》2.2.2平方根导学案

2.2.2平方根（2） 【教学目标】： 1.了解平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. 【教学重难点】： 平方根与算术平方根的区别与联系. 平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二 次方根）。 注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。 3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。其中a 叫做被开方数。 ???<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a 探讨，总结： 平方根与算术平方根的联系与区别 联系： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根，算术平方根都是0. 区别： (1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”. (2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a . (4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0只有一个平方根，它是0本身。负数没有平方根。一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数。正数a 的正的平方

新人教版七年级下数学第六章实数导学案

平方根导学案（第1课时） 一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点：算术平方根的概念. 三、自主探究 （自主完成下表） 算术平方根呢:________________________________________________ 为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作____.a 叫做______a 的算术平方根. 四、1、 求下列各数的算术平方根：（要注意解题格式，解题格式要与课本上的相同） (1)49 64 ； (2)0.0001. 2、填空：(1)因为_____2 =64，所以64的算术平方根是______＝______； (2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____________； (3)因为_____2 = 1649，所以1649的算术平方根是____________. 3、求下列各式的值： ＝______；______；______； ______；＝______；＝______. 4、根据112 ＝121，122 ＝144，132 ＝169，142 ＝196，152 ＝225，162 ＝256，172 ＝289，182 ＝ 324，192 ＝361，填空并记住下列各式： _______，_______，_______， _______，_______，_______， _______，_______，_______. 5、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2 ＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？

北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4

《2.6.1实数》导学案

科目：数学 第二章 实数 课型：新授课 主备人： 审核人： 班级： 小组： 姓名： 第1页 共2 页 有了真正的方法，还是不够的；还要懂得运用它。——（英）狄德罗 第2页 共2 页 《2.6．1实数》导学案 【学习目标】1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。 【重点】1．了解实数意义，能对实数进行分类；2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数. 【难点】建立实数概念及分类 预 习 案 一、预习自学 1、复习：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？ 把下列各数分别填入相应的集合内： 32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0， 0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） : 正有理数{ } ，负有理数{ } 正无理数 { }，负无理数 实数 2、 实数（按定义分） 或实数（按正负分） 实数 探 究 案 学习过程： 一、实数的相关概念 1．在有理数中，数4的相反数是 绝对值是 当a 不为0时，它的倒数是 2． 2，0，—π的绝对值分别是 2：想一想： ⑴．3—π的绝对值是 。 ⑵．a 是一个实数，它的相反数是 ，它的绝对值是 ，当a ≠0时，它的倒数是 。 议一议P39 （1）如图，OA =OB ，数轴上A 点对应的数 它介于哪两个整数之间？ （2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？无理数都能标到数轴上吗? 将— 2标到以上数轴上；在以上数轴上作出5对应的点。 总结：（1）每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个 都表示一个实数，即实数与数轴上的 是一一对应的；（2）在数轴上， 边的点表示的数总比 边的点表示的数大。 归纳总结：本节课我们学习了哪些知识？1．实数的定义；2．实数的两种分类方法；3．实数的相关概念；4．实数的大小比较；5．实数与数轴上点之间的对应关系。 实数的概念：有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。按定义分：实数可以分为有理数 和无理数；整数和分数都是有理数，即有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 按正负分：实数可以分为正实数、0、负实数；正实数分为正有理数和正无理数；正有理数分为正整数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。如下图； 实数 注：对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。π也是无理数。 随堂练习 书P39随练 1、2、3 2、判断题 （1）、开方开不尽的数是无理数（ ） （2）、无理数就是开方开不尽的数（ ） （3）、数轴上的点都可以用有理数表示（ ）（4）、无理数都可以用数轴上的点表示（ ） （5）、任意两个有理数之间都有有理数，所以，有理数可以铺满整个数轴（ ） （6）、任意两个无理数之间都有无理数，因此，无理数可以铺满整个数轴（ ） （7）、任意两个有理数的和还是有理数（ ）（8）、任意两个无理数的和还是无理数（ ） 拓展与提高 1、 书P40 习题2.8 课后反思 1 -2 ????? ????????? ?负无理数负有理数负实数零正无理数正有理数正实数

《实数》导学案1

第六章 实 数 6.3 实 数 第1课时 实 数 （导学案） （2011人教版七年级下册） 学习目标 1、知识与技能：了解无理数实数的概念，并能将实数按要求进行分类。了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数。 2、过程与方法：经历实数概念和实数与数轴上点之间关系的学习，让学生体会从特殊到一般，数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观：在探究新知的过程中，让学生学会合作与交流，培养学生团队合作意识。 学习重点 正确理解实数的概念及其分类。 学习难点 正确理解实数的概念及其与数轴的关系。 学习过程 一、情景导入 1、 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？ 52= 35-= 274= 119= 911= 2. 任意写一个分数，把它化成小数，是否仍然具有这个特征？整数能写成小数的形式吗？ 思考 由此你可以得到什么结论？ 二、新知探究 探究（一）：无理数的概念 1、我们在前面探究了2有多大时，它是整数吗？它是分数吗?它是什么数？学过的数是否都是有理数呢？请举例说明。 2、常见的无理数有哪些形式？ 思考:π 是无理数吗？1.010 010 001 000 01…是无理数吗？ 探究（二）、实数的分类 思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类吗？你能给实数分类吗？ 探究（三）、实数与数轴上的点 思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A 点，则数轴上表示点A 的数是多少？ 思考2：你能在数轴上表示出2和2-吗？ 0 -2 -1 1 3 2 4

把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 . 由思考1、2我们可以得到实数与数轴上的点之间有什么关系？ 三、巩固练习 1.判断快枪手——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） （5）无理数一定都带根号. （ ） 2. 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 39，1 4，7，π，16-，5-，38-，49，0，25，0.3737737773…… 无理数 有理数 正实数 负实数 3.下列说法正确的是（ ） A.a 一定是正实数 B. 22 17 是有理数 C. 22是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 4.有一个数值转换器，原理如下，当输x =81时，输出的y 是 （ ） A 、9 B 、3 C 、3 D 、3± 四、课堂小结 通过本节课的学习，你觉得自己有哪些收获愿意和同学们一起分享呢？ 五、课后作业 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 0 -2 -1 1 3 2 4

北师大版八年级数学上册第二章试题含答案

北师大版八年级数学上册第二章试题含答案 (满分：120分 考试时间：120分钟) 分数：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．在实数－15，3－27，π 2 ，16，8，0中，无理数的个数为( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列属于最简二次根式的是( B ) A.8 B. 5 C. 4 D. 13 3．规定用符号[m ]表示一个实数m 的整数部分，例如：??? ?23＝0，[3.14]＝3.按此规定，[10＋1]的值为( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．如图，在Rt △PQR 中，∠PRQ ＝90°，RP ＝RQ ，边QR 在数轴上．点Q 表示的数为1，点R 表示的数为3，以Q 为圆心，QP 的长为半径画弧交数轴负半轴于点P 1，则点P 1表示的数是( C ) A ．－2 B ．－2 2 C ．1－2 2 D ．22－1 5．化简二次根式－8a 3的结果为( A ) A ．－2a －2a B ．2a 2a C ．2a －2a D ．－2a 2a 6．(2020·孝感)已知x ＝5－1，y ＝5＋1，那么代数式x 3－xy 2 x （x －y ）的值是( D ) A ．2 B. 5 C ．4 D ．2 5 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．(2020·徐州)7的平方根是 ±7 ． 8．已知a 是10的整数部分，b 是10的小数部分，则(b －10)a 的立方根是 －3 ． 9．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，则a ＋b m ＋m 2－cd 的值为 1 .

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量_含答案

第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

实数复习课导学案(含答案)

实数复习课导学案 一、复习目标： 1、对本章的知识点进行整合，形成知识网络（重点） 2、进一步熟悉本章的重要知识点的应用（难点） 二、复习流程： （一）、回忆整理 1、实数的有关概念：算术平方根 无理数 勾股数组 平方根 开平方 立方根 开立方 实数 2、勾股定理：勾股定理 逆定理 3用计算器求平方根和立方根 （二）、交流提高：（同学间、小组间对上述教学内容交流一下，谈收获，形成知识结构） （三）典例剖析： 1、已知实数x.y 满足（2x-3y-1）2+22+-y x =0 求2x-5 3y 的平方根。 （非负数的性质） 2、比较-53和-43的大小。 （负无理数的比较） 3、实数a 对应的点在数轴上的位置如图所示， 则a,-a, a 1,a 2的大小关系是＿ （用“<”连接） （四）巩固练习： <一>选择：1、化简4)2(-的结果是（ ） A-4 B.4 C.±4 D.无意义

2、下列各式无意义的是（ ） A 、23- B 、33)3(- C 、2)3(- D 、310- 3、若a 是b 的一个平方根，则b 的平方根是（ ） A 、a B 、—a C 、±a D 、a 2 4、25的算术平方根是（ ） A 、5 B 、5 C 、-5 D 、±5 5、414，226 ，15三个数的大小关系是（ ） A 、414<15< 226 B 、226<15< 414 C 、414<226<15 D 、226<414<15 6、估算24+3的值（ ） A 、在5和6之间 B 、在6和7之间 C 、在7和8之间 D 、在8和9之间 <二>、填空题 1、25的算术平方根是————。 2、如果3+x =2那么（x+3）2=————。 3、若2)1+-a （是一个实数，则a=＿＿＿ 4、若xy=-2,x-y=52-1,则 (x+1)(y-1)=＿＿ 5、若22-a 与｜b+2｜是互为相反数，则（a-b ）2=＿＿ 6、若a 3=b 4，那么b b a +2的值是＿＿＿ （五）课堂总结 1、针对练习中出现问题的原因 2、总结思想方法 （六）拓展提升 1、已知5+11的小数部分为a,5-11的小树部分为b. (1)求a+b 的值 （2）求a-b 的值 2、物体自由下落的高度h(米)和下落的时间（秒）的关系是：在地球上大约是h=4.9t 2,

北师大版八年级数学上册第2章实数(培优试题)

第二章实数 2.1认识无理数 专题无理数近似值的确定 1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（） A．x是有理数 B．x取0和1之间的实数 C．x不存在 D．x取1和2之间的实数 2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．

答案： 1．D 【解析】∵面积为3的正方形的边长为x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故选D. 2．解：（1）边长为5cm. （2）设大正方形的边长为x，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25， ∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间. 3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.

第二章 实数全章教案-

第二章实数 1．数怎么又不够用了 第一课时 数怎么又不够用了（1） 教学目标 1．通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习它的必要性。 2．进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 重点：对无理数的感识 难点：对无理数的认识 教学过程 一、复习 1．什么叫有理数，举出例子。 2．勾股定理的内容？若Rt △ABC 的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。 二、创设问题情境，引导学生思考，引入课题 出示投影（一）P25页首图文1 教师指出：随着人类的认识不断发展，人们发现，现实生活中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习元理数、实数、平方根、立方根的概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题。 出示课题：数怎么不够用了. 三、师生共同参与教学活动，获得生活中大量存在的不是有理数的认识 1．拼图活动 （1）让学生把准备好的两块边长相同的正方形，通过剪一剪、拼一拼，拼成一个大的正方形。 （2）鼓励学生充分思考，交流并给予引导。（3）教师把学生的几种做法在全班展示。 2．对拼图的结果作进一步分析 （1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a 可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。 （4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 教师鼓励学生充分进行思考、交流，给予适时引导。 学生的回答可能是。“l 2 ＝1，22 ＝4，32 ＝9……越来越大，所以a 不可能是整数。”“（ 2 1）2 ＝ 4 1，（ 3 2） 2 ＝9 4……结果都是分数，所以a 不可能是分数。”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a 不可

最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)

第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________ 4

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）合作探究 例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________ )(2=a 2)3(

八年级上册第二章《实数》：2.4公园有多宽 导学案

八年级上册第二章《实数》： 2.4公园有多宽导学案 教学目标：能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小. 教学重难点：掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小. 【学习过程】： 某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少? 引导问题：公园的宽有1000米吗？那么怎么计算出公园的长和宽. 解：设公园的宽为x 米,则它的长为2x 米,由题意得： x ·2x=400000, 2x 2=400000, . （2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？ a 的 估计值 估计方法 误差(m)允许范围 10010<

6 x 例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. 20 ; ② 0.3; 500; ④ 2536≈60.4 例2 你能估算它们的大小吗？(误差小于1). 估算无理数的方法是： （1）通过平方运算，采用“两边夹原理”，确定真正值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。 （3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m 是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m ，答案在真正值左右1m 都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m 就是估算到个位，误差小于10m 就是估算到十位。 例3 与12的大小吗？你是怎样想的？ 解： 例5 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时， （1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？ ： 解：设梯子稳定摆放时的高度为x 米，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的3 1，根据勾股定理有 即x 2= ,

第六章实数全章学案(共7课时)

6.1平方根（第一课时） 学习目标： 1、 理解数的算术平方根的概念，并会用符号表示。 2、 理解平方与开平方是互为逆运算。 3、 会求一些非负数的算术平方根。 自学指导： 认真学习课本40—46页的内容，完成下列要求： 1、a 中被开方数a 的范围怎样。0的算术平方根的意义。 2、完成例1，注意例1的书写格式。 3、学习例3的内容，注意50与7是怎样比较的。 4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。 展示内容： 1、 ∵ 2 2 = ∴ 4的算术平方根是 即 ∵ 2 )43( = ∴ 16 9 的算术平方根是 即 2、∵正数a 的算术平方根是a ， ∴2的算术平方根是 ∵4的算术平方根是2， ∴4 = 3、求下列各数的算术平方根： ⑴ 0.0025 ⑵ 121 ⑶ 2 3 ⑷ 2(3)- ⑸ 7 4、求下列各式的值： （1）1 （2）25 9 （3）()2-

5、计算下列各式： （1）4 9 — 49 （2）16 9 1 —144 + 81 （3）25× 36 1 6、求下列各等式中的正数x （1）2x = 169 （2） 42x — 121 = 0 7、比较下列各组数的大小。 （1）140与12 （2）2 1 5—与0.5 6.1 平方根（第二课时） 一、 学习目标 1、 理解平方根的概念 2、 了解开平方的定义 3、 掌握平方根的性质 二、 自学指导

认真阅读40－46页内容，完成下列要求： 1、 说明：一个正数a 的算术平方根有＿＿个，平方根有＿＿个，并且互为＿＿＿＿， 0的平方根是＿＿＿。 2、 负数有没有平方根，为什么？ 3、 注意根号前的符号 4、 自学20分钟后，进行展示活动 三、 展示内容 1、 填表： 2、 计算下列各式的值: （1） （2 ）－ （3）± （4）－ 3、 平方根起源于正方形的面积，若一个正方形的面积为A ，那么这个正方形的边长为 多少？ 4、 判断下列说法是否正确 （1 ）5是25的算术平方根（ ） （2） 65是36 25的一个平方根（ ） （3） ()42 -的平方根是－4（ ） （4）0的平方根与算术平方根都是0（ ） 5、下列各式是否有意义，为什么？ （1） －3（2）3 -（3） () 22 -（4） 10 2 1