山东省日照市 二○○八年中等学校招生考试
数 学 试 题以及答案
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷两部分．第Ⅰ卷4页为选择题，24分；第Ⅰ卷8页为非选择题，96分；全卷共12页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD 】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．考试时，不允许使用科学计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．只用下列图形不能镶嵌的是 A ．三角形
B ．四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
2．下列计算结果正确的是 A ．4332222y x xy y x -=?- B ．2253xy y x -=y x 22- C ．xy y x y x 4728324=÷ D ．49)23)(23(2-=---a a a
3．在平面直角坐标系中，若点P (m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值范围为 A ．－1＜m ＜3
B ．m ＞3
C ．m ＜－１
D ．m ＞－１
4．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．
将纸片展开，得到的图形是
5．若关于x 的一元二次方程0235)1(2
2=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的
值等于
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
6．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ⅠABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则ⅠABC 的面积是
A ．10
B ．16
C ．18
D ．20 7．若A （1,413y -
），B （2,45y -），C （3,4
1y ）为二次函数2
45y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．132y y y <<
8．如图所示，AB 是ⅠO 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与ⅠBCE 相等的角有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5 个
y
x
图 1
O
A B D
C P 4 9
图 2
B
E
D
A
C
O
B ．
C ．
山东省二○○八年中等学校招生考试
数 学 试 题
第Ⅱ卷（非选择题 共96分）
注意事项：
1．第Ⅰ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 题号 二 三
总分 17 18 19 20 21 22 23 得分
二、填空题：本大题共8小题，每小题填对得4分，共32分．只要求填写最后结果．
9．在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学计数法表示为__________帕（保留两位有效数字）．
10．如图，已知AB ⅠCD ，BE 平分ⅠABC ， ⅠCDE ＝150°，则ⅠC ＝__________．
11．分解因式:ab b a 8)2(2+- =____________．
12．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 ．
13．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 ．
14．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：
所剪次数 1
2 3 4 … n 正三角形个数 4
7
10
13
…
a n
则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．
得 分
评 卷 人
A
B
C
D
E
15．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是 “上升数”的概率是 ．
16．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
Ⅰ AD =BE ； Ⅰ PQ ∥AE ；
Ⅰ AP =BQ ；
Ⅰ DE =DP ； Ⅰ ⅠAOB =60°．
恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．
三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分6分)
先化简，再求值：
11a b a b ??- ?-+??÷22
2b a ab b
-+，其中21+=a ，21-=b ．
18．(本题满分8分)
振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右得 分 评 卷 人 得 分
评 卷 人
A
B
C E D
O
P Q
各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？
人数
/元
得分评卷人
19．(本题满分8分)
为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
20．(本题满分10分)
在梯形ABCD中，ABⅠCD，ⅠA=90°，AB=2，BC=3，CD=1，
E是AD中点．
求证：CE⊥BE．
得分评卷人
A C
B
D E
21． (本题满分10分)
如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，ⅠDAC ＝15°．
（1）求B ，D 之间的距离；
（2）求C ，D 之间的距离．
22．(本题满分10分)
（1）探究新知：
如图1，已知ⅠABC 与ⅠABD 的面积相等，
试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
得 分 评 卷 人 得 分 评 卷 人
A
B
C 中山
路
文化路
D
和平
路
45° 15°
30° 环城路 E
F A B
D C
图 1
（2）结论应用：
① 如图2，点M ，N 在反比例函数x
k
y
（k ＞0）的图象上，过点M 作ME Ⅰy 轴，过点N 作NF Ⅰx 轴，垂足分别为E ，F ．
试证明：MN ⅠEF ．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．
23．(本题满分12分)
在ⅠABC 中，ⅠA ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M
得 分 评 卷 人
O y
N M 图 2 E
F x N
x O
y D
M
图 3 N
点作MN ⅠBC 交AC 于点N ．以MN 为直径作ⅠO ，并在ⅠO 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示ⅠＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，ⅠO 与直线BC 相切？
（3）在动点M 的运动过程中，记ⅠＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
山东省二○○八年中等学校招生考试 数学试题参考解答及评分意见
评卷说明：
1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．
2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．
3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
A
B C M N
D
图 2 O A B C M N P 图 1
O A
B
C M N 图 3
O
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C B A
B
D
二、填空题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．8106.4?；10．120°；11．2)2(b a +；12．
2
π
；13．28元；14．13+n ；15．5216．①
②③⑤．
三、解答题 (本大题共7小题，共64分)： 17．(本题满分6分)
解：原式＝2
2
2))(()()(b ab a b
b a b a b a b a +-÷+---+ ……………………………2分 ＝b b a b a b a b 2
)())((2-?+- …………………………………………3分
＝b
a b a +-)(2． ……………………………………………………………4分
当21+=a ，21-=b 时，
原式＝
222
2
22=?． …………………………………………………6分 18．(本题满分8分) 解：（1）设捐款30元的有6x 人，则8x +6x =42．
∴ x =3． …………………………………………………………2分 ∴ 捐款人数共有：3x +4x +5x +8x +6x =78（人）． ……………………3分 （2）由图象可知：众数为25（元）；由于本组数据的个数为78，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是25（元），故中位数为25（元）．…………………6分
(3) 全校共捐款：
（9×10+12×15+15×20+24×25+18×30）×
78
1560
=34200（元）．……………8分 19．(本题满分8分)
解：设生产奥运会标志x 套，生产奥运会吉祥物y 套．根据题意，得
??
?=+=+②
00300103①0020054.
y x ,y x ……………………………………………2分
①×2－②得：5x =10000．
∴ x =2000． ………………………………………………………………6分 把x =2000代入①得：5y =12000．
∴ y =2400．
答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．………8分 20．(本题满分10分)
证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．……………… 1分
∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形． AD=CF , BF=AB -AF=1．……………………………… 3分 在R t △BCF 中， CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22．
A C
B D
E F
∴ AD=CF=22．……………………………………………………………… 5分 ∵ E 是AD 中点， ∴ DE=AE=
2
1
AD=2．…………………………………………………… 6分 在R t △ABE 和 R t △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3， EB 2+ EC 2=9=BC 2．
∴ ∠CEB ＝90°．…………………………………………………………… 9分 ∴ EB ⊥EC ． …………………………………………………………………… 10分 21．(本题满分10分) 解：（1）如图，由题意得，∠EAD =45°，∠FBD =30°． ∴ ∠EAC =∠EAD +∠DAC =45°+15°=60°． ∵ AE ∥BF ∥CD ，
∴ ∠FBC =∠EAC =60°．
∴ ∠DBC =30°． …………………………2分 又∵ ∠DBC =∠DAB +∠ADB ，
∴ ∠ADB =15°．
∴ ∠DAB =∠ADB ． ∴ BD =AB =2．
即B ，D 之间的距离为2km ．… …………………………………………………5分 （2）过B 作BO ⊥DC ，交其延长线于点O ， 在Rt △DBO 中，BD =2，∠DBO =60°．
∴ DO =2×sin60°=2×
32
3
=,BO =2×cos60°=1．………………………………8分 在Rt △CBO 中，∠CBO =30°，CO =BO tan30°=3
3， ∴ CD =DO －CO =3
3
2333=
-
（km ）． 即C ，D 之间的距离为
3
3
2km ． ………………………………………………10分 22．(本题满分10分)
（1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ， 垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分
∴ CG ∥DH ．
∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，
∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．
∴ AB ∥CD ． ……………………………3分
（2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分
设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．
∵ 点M ，N 在反比例函数x
k
y =（k ＞0）的图象上， ∴ k y x =11，k y x =22．
O A B
C 中山
路
文化路
D 和
平路
45° 15° 30° 环城路
E
F A B D
C 图 1 G H
x
O
y
N M E
F
∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．
∴ S △EFM ＝k y x 21
2111=?， ………………5分
S △EFN ＝
k y x 21
2122=?． ………………6分 ∴S △EFM ＝S △EFN ． ……………… 7分
由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分
② MN ∥EF ． …………………10分 （若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．） 23．(本题满分12分) 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM AN AB AC
=，即43x AN
=．
∴ AN ＝4
3
x ． ……………2分
∴ S =2133
248
MNP AMN S S x x x ??==
??=．
（0＜x ＜4） ………………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2
1
MN ． 在Rt △ABC 中，BC ＝2
2
AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM MN AB BC =，即45x MN
=．
∴ 54MN x =
， ∴ 5
8
OD x =． …………………5分
过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5
8
MQ OD x ==
． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC
=．
∴ 5
5258324
x
BM x ?=
=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝
49
96
． ∴ 当x ＝49
96
时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………………7分
（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．
∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ．
x
O
y D N
M
图 3
E
F
A
B
C
M
N
D 图 2
O Q
A
A B
C
M
N
P
图 1 O
∴ △AMO ∽ △ABP ．
∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜x ≤2时，2Δ8
3
x S y PMN ==．
∴ 当x ＝2时，233
2.82
y =
?=最大 …………………………………………8分 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．
∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ， ∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．
∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．
∴ 2
PEF ABC
S PF AB S ????= ?
??． ∴ ()2
322
PEF S x ?=
-． ……………………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ??=-＝()2
22339266828
x x x x --=-+-．……………………10分
当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2
98283x ??
=--+ ???
．
∴ 当8
3
x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………………11分 综上所述，当8
3
x =时，y 值最大，最大值是2． ……………………………12分
A B
C
M N 图 4
O E
F