5.2圆的对称性（1）
一、学习目标
1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程
2、理解圆的中心对称性及有关性质
3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
重点：理解圆的中心对称性及有关性质
难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
二、知识准备：
1、什么是中心对称图形?
2、我们采用什么方法研究中心对称图形?
三、学习内容：
1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '
⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A
⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流
_______________________________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.
你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：
（1）若AB=CD ，则 ，
（2）若AB= CD ，则 ，
（3
'，则 ，
5么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？
’ ’ C ︵ ︵
例题2、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？
四、知识梳理：1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
五、达标检测：
1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。
2、1.如图,在⊙O中
, = ,∠1=30°,则∠2=__________
3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
4. ⊙O中，直径AB∥CD弦，?
=
?
60
度数
AC，则∠BOD=______。
5. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
6.如图，AB是直径，BC
︵
＝CD
︵
＝DE
︵
，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是。
B
A
7.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。求证：AC=BD 教后反思：
B
AC = BD
圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备： 1、什么是中心对称图形? 2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容： 1、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3 '，则 ， 5么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ ’ ’ C ︵ ︵
2019版九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性 2导学案新版华东师大版 年级九学科数学课型新授授课人 学习内容圆的认识--圆的对称性 学习目标1、利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。 2、能运用垂径定理及其推论解决问题。 3、培养善于从实验中获取知识的科学的方法。 学习重点利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。 学习难点能运用垂径定理及其推论解决问题。 导学过程复备栏【温故互查】 1.圆是什么对称图形？ 2.在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦有怎样的关系？ 【设问导读】 如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再 将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB的大小，你能发现什么 结论？ 已知，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB,垂足为P, 求证：AP=BP, AC=CB,AD=BD 证明：连结CA、CB、OA、OB,则 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 1、在“垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条”中， “垂直于弦的直径”这句话包含哪几个条件： 得到哪几个结论： 如图∵ ∴
2、 平分弦的直径弦，并且平分弦所对的两条 如图∵ ∴ 3、平分弧的直径这条弧所对的弦 如图∵ ∴ 总结：以上每个定理都包含哪几个关系：①，② ③，④，⑤ 这5个关系由其中任意2个关系，即可得出另外3个关系。 【自学检测】 1．判断正误： （1）直径是圆的对称轴．（） （2）平分弦的直线垂直于弦．（） （3）平分弦的直径垂直于弦．（） （4）弦的垂直平分线必定经过圆心。（） 2.如图，在⊙O中，⊙O的半径长为5cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求弦AB 的长． 【巩固训练】 4、如图，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高CD． 【拓展延伸】 这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么办法？如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
轴对称图形复习导学案 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
学科导学案 教师:学生: 年级八日期: 12-07-28 星期:时段:10:00-12:00
知识点二：轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点<即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。 例2：标出下列图形中的对称点 知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征 1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的． 2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？ 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
知识点四：垂直平分线的定义： 引入：如图：△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ <1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？ 于是有PA＝，∠MPA＝＝度 <2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似 的情况吗？ <3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关 系呢？ 归纳：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 知识点五：线段垂直平分线的性质 <1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ <2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上． 例3：、如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 例4、△ABC中，DE是AC的垂直平分 线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求 △ABC的周长。 知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：
M O B A C P O B D C 新苏科版九年级数学上册2-2圆的对称性（2）导学案 【知识扫描】 1.圆既是 图形，又是 图形. 2.通过圆的轴对称性探究垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧 符号语言： ∵AB 是直径（或AB 经过圆心O ） 且AB ⊥CD ∴CP=DP ， BC= BD ，AC= AD. 3.友情提醒: ①由圆的半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段所构成的直角三角形是解决有关圆计算问题的基本图形，经常结合垂径定理得到直角三角形，用勾股定理建立方程来解题 ②常用的辅助线:引圆的半径及过圆心作弦的垂线段(弦心距) 【基础演练】 1. 下列说法中不正确的是 ( ) A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任一直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 2.如图,⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M,只要再添加一个条件: ,就可得到M 是AB 的中点.
B E D C A O E D C A O P B A O P O 3.在圆中有一条长为16cm 的弦,圆心到弦的距离为6cm,该圆的直径的长为 ________cm. 4.如图,在⊙O 中,直径AB=10.弦CD ⊥AB.垂足为E,OE=3.求弦CD 的长. 5.如图,若AB 是⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列 结论中错误的是 （ ） A.CE=DE B. BC= BD C.∠BAC=∠BAD D.AC >AD 【能力提高】 6.⊙O 的半径为5，弦AB ∥CD ，若AB=6，CD=8，则弦AB 和弦CD 间的距离EF=_____________. 7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,P 是AB 上的一个动点.则OP 的取值范围_____________. 第7题 第8题
0’ O 年级 九 班级 学科 数学 课题 3.2圆的对称性2 第 课时总 编制人 审核人 使用时间 第 周星期 使用者 课堂 流程 环节 具 体 内 容 学法 指导 学 习 目 标 学啥 我知情 重点 难点 我知晓 1、圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 2、重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 3、难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 请把关键词标出来 自 主 学 习 温 故 能 知 新 一、 旧知回顾 1、圆的轴对称性：圆是___________________，对称轴是 _________________________。 2、垂径定理：____________________________________。 3、垂径定理的逆定理：__________________________________。 二、新知学习： 探究一 如下图，有两个半径相同的圆，请问：它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。 然后将其中一个圆旋 转任意一个角度，这时两个圆还重合吗 ? 利用旋转的方法我们得到：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 结论：圆是______________， 对称中心是_________。 要善于从学过的知识中找到新知识学习的根据和基础 神 木 县 第 五 中 学 导 学 案
A B C D O E 课 堂 练 习 课 堂 练 习 堂 堂 清 四、当堂检测： 1、1．下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴 B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2、如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，请指出图中相等的弧和相等的弦 3、如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？ 课堂评价 及教后反思
A D Q P 5．1.1圆（第1课时） 【自主学习】 （一） 新知导学 1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 . 2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么 点P 在圆内? ； 点P 在圆上? ； 点P 在圆外? . 【合作探究】 1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm. （1）画出下列图形： ①到点P 的距离等于2cm 的点的集合； ②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合； (2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来. (3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】 1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆. 2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上. 3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ， (1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在 ⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________； (2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______. 4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是 5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900 ,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ， 试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系 6.如左下图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着 一只小狗.请画出小狗的活动区域. 7.已知：如右上图，△ABC ，试用直尺和圆规画出过A ，B ，C 三点的⊙O ． 8.△ABC 中,∠A=90°，AD⊥BC 于D ，AC=5cm ，AB=12cm ，以D 为圆心，AD 为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由. 9.如右图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径； 线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______； ______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______． 10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数． （一） 树 S 小狗 4m
1导学案新版人教版 年级九学科数学课型新授授课人学习内容圆的认识--圆的对称性 学习目标1、使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，知道同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 学习重点由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 学习难点运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 导学过程复备栏【温故互查】 【设问导读】 1、要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得 其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意 一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？ 2、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧、所对的弦的关系 实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图27.1.4 中的图形， 同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB ∠=， AB=，AB=。 实质上，AOB ∠确定了扇形AOB的大小，所以：
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角 ，所对的弦 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角 ，圆心角所对的弧 （3）圆既是 对称图形，其对称中心是 ，具有旋转不变性； 又是 对称图形，其对称轴是 ，有 条对称轴。 【自学检测】 1、如图，在⊙O 中，AC BC =，145∠=?，求2∠的度数。 【巩固训练】 2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠B ＝70°，求∠A 的度数。 3、如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数 【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】
学上教育 数学 学科个性化导学案 学生 教师 左老师 班主任 日期 2018/7/ 时间段 8:00-10:00 年级 八年级 课时 2小时 课题 2.2 圆的对称性（2） 课堂类型 学情分析 重点 (学习目标) 圆的对称性 难点 圆的对称性 教学辅助设备 教案 教学过程 教学内容 第2章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性（2） 【基础提优】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ．CB ⌒=BD ⌒ C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD 第1题 第2题 2．如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．25 D ．45 3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ） A ．4m B ．5m C ．6m D ．8m
第3题第4题 4．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为（） A．25 6 cm B．5cm C．4 cm D． 19 6 cm 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM 的长不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 第5题第6题 6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=23，OC=1，则∠B= ． 7．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ． 第7题第8题 8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长．
2020年九年级数学上册 2.2 圆的对称性导学案1（新版）苏科版(2) 学习目标： 1、理解圆的中心对称性； 2、利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相互关系定理及其简单应用； 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题 学习重点：中心对称性及相关性质. 学习难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 教学过程： 一、圆的中心对称性的发现 1．观察转动的摩天轮，你发现了什么？ 二、实践探索一 1．操作与探究： (1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O'． (2)在⊙O 和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A 'O'B'，连接AB 、A'B'． (3)将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O'重合. (4)固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA'重合．你发现了什么？请与同学交流． 2．思考与探索： (1)在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆 心角相等吗？为什么？ (2)如果圆心角所对的弦相等呢？
实践探索二 相关概念 观察，运用探索出的结论来理解有关概念与性质． 思考交流： 1. 在同圆或等圆中，如果一个圆心角是另一个圆心角的k 倍，那么所对的弧之间有怎样的关系？ 2. 在同圆或等圆中，如果一条弧长是另一条弧长的k 倍，那么所对的圆心角之间有怎样的关系？ 例题精讲 例1 如图，AB 、AC 、BC 是⊙O 的弦，∠AOC ＝∠BOC . 问：∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ 例2 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°， ∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 与点E ．求⌒AD 、⌒ DE 的度数． 课时练习 1．如图1，在⊙O 中⌒AC ＝⌒ BD ，∠AOB ＝50o， 求∠COD 的度数． 2．如图2，在⊙O 中，⌒AB ＝⌒ AC ，∠A ＝40o，求∠ABC 的度数.
4.1 圆的对称性（1）——垂径定理 学习目标： 1、了解圆的轴对称性； 2、探索证明“垂径定理”，会利用“垂径定理”进行相关的计算； 3、培养猜想，论证，逻辑推理能力，以及数形结合分析问题、解决问题的能力。 学习重点：垂径定理及其应用； 学习难点：垂径定理的证明 学法指导：先自学课本，经历自主探索总结过程，并完成课前预习学案，然后学习小组讨论交流。 〔课前预习学案〕等级 【检查落实措施】小组长先检查批阅，然后老师再次批阅，划成A,B,C三档，作为评价小组和个人的依据。 温故知新：1、温故： （1）连结圆上任意两点的线段叫圆的，过圆内一点最长的弦是，最短的弦是，两条直径的交点是，圆上两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做。 （2）在△ABC中，∠C= 90°，两直角边分别是a，b，斜边是c ①若a=3，b= 4，求c；②若b= 6，c= 10，求a 2、知新：（动手实践，发现新知） （1）同学们能不能找到纸圆的圆心？动手试一试， 有方法的同学请说出与同学们分享。 （2）问题①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆， ②刚才的实验说明圆是________图形，它的对称轴是。 〔课内探究学案〕 教学过程：合作探究： 环节1：合作交流：（取人之长，补己之短） 拿出前面确定了圆心的圆形纸片，任意画一条直径AB，再画一条垂直于AB的弦CD，交点为P（如图1）。沿着直径将圆对折（如图2），你发现图中有哪些等量关系？说出你的结论，能说明理由吗？与同学交流。 垂径定理：。
环节2：探究发现：（我探究，我发现小组间交流自己的发现） 讨论: 如图,在下列五个条件中: ① AB 是直径, ② AB ⊥CD, ③ CP=DP, ④ AC=AD, BC=BD. 如果具备其中两个条件,能否推出其余三个结论成立？（知二推三） 1、已知①②，求证③④⑤ 推论1: 垂直于弦的直径 2、已知 ①③，求证②④⑤ 推论2：平分弦的直径 3、已知②③，求证①④⑤ 推论3：弦的垂直平分线 巩固练习： 1.如图，在⊙O 中， （1）若AB 为直径，弦CD ⊥AB,则 、 、 。 （2）若AB 为直径，弦CD 交AB 于点E ，CE ＝DE ，则有 、 、 。 （3）若AB ⊥CD ，且CE ＝DE ，则 、 、 。 （4）若AB 为直径，且AC ＝AD ，则 、 、 。 二、精讲点拨： 例1：已知如图：在⊙O 中，⑴若OA=5，弦CD= 8，求点O 到CD 的距离。⑵弦CD=16，点O 到CD 的距离等于6，求圆O 的直径。 三：学以致用：（相信我能行） 例2：1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为40m ，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为6m ，求桥拱的半径。 ●O C D A P └
《圆的对称性》 【学习目标】 1．理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系． 2．熟练运用圆心角、弧、弦之间的关系求解与证明，理解圆是轴对称图形． 【学习重点】 圆心角、弧、弦之间的关系定理的推导和运用． 【学习难点】 圆心角、弧、弦之间的关系定理的灵活转换及应用． 情景导入 生成问题 1．圆是旋转对称图形吗？为什么？ 答：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为圆心． 2．在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，AB ︵如何旋转与CD ︵重合，重合后可得出什么结论？ 答：AB ︵以点O 为圆心以∠AOC 为旋转角旋转与CD ︵重合，可得AB ＝CD ，∠A OB ＝∠COD. 自学互研 生成能力 知识模块 圆心角、弧、弦之间的关系 阅读教材P 37～P 38，回答下列问题： 问题：圆心角、弧、弦之间的关系是怎样的？ 答：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；在同一个圆中，如果弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 范例1：如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE＝60°． 仿例1：如图，C ，D 为半圆上三等分点，则下列说法正确的是①②③④．
①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合． (范例1图) (仿例1图) (仿例2图) 仿例2：如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ；④∠BOD＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 范例2：如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC ︵与CB ︵的大小关系是相 等． (范例2图)(仿例图) 仿例：(易错题)如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则下列结论正确的是( C ) A ．AB>2CD B ．AB ＝2CD C ．AB<2C D D ．以上都不正确 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块 圆心角、弧、弦之间的关系 检测反馈 达成目标 【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书
大化坪中心学校数学导学案 课题：25.2圆的对称性（4） 主备人：吴家兴 审核人：郑为贵 时间2012.3 【学习目标】 1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程 2、掌握垂径定理（重点）。 3、会运用垂径定理解决有关问题（难点）。 【学习过程】 一、学前准备 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。 二、合作探究: 提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？ 操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 练习： 1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？ 探索活动： 1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？ 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 4、注意： ①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 5、给出几何语言 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 O B A O B A C O B A C D O B C D A O
2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。 【学习检测】 一、基础性练习 1、 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ T1 T2 T3 T4 2.过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点. 3.⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM. 4.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径． 5. ⊙O 的弦 AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___ 6.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM 7.在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,试求AB 和CD 的距离. 二、拓展性练习 8. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： ⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？ 9.（1）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如上图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE=1，AB=10，求CD 的长．”根据题意可得CD 的长为________． 【学习小结】 1、 我的收获： 2、 我的困惑： O P B M O A C D P A O C D B O A B A B F M D O B A E D O
13.1 .1 轴对称 一、学习目标 1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴； 2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。 3、掌握轴对称的性质； 二、自主探究合作展示 探究（一）自学课本58页，完成以下问题。 1、什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？ 2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对 称轴。 （1）（2）（3）（4）（5）探究（二）自学课本59页，完成以下问题。 1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？ 探究（三） 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
(A) (B) (C) (D) 归纳： 区别： 轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。 轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠，这个图形能够及另一个图形_________。 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称） 练习 1、我国的文字非常讲究对称美，下面四个图案中不是轴对称图形的是( )． 2、下列图形中不是轴对称图形的有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（） A B C D 4、下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆 B.正方形 C.角 D.线段 5、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母，写出三个是轴对称图形的汉字: 6、美国哈佛大学在一次数学考试中，有这样一道填空题：要求在横线上填上适当的图形．你能完成吗？ 探究（四）轴对称的性质 1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， 点A′、 B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、 CC′ 图（1） 及直线MN有什么关系？ （1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿 MN折叠后，点A及A′重合吗？ 于是有PA＝，∠MPA＝＝度 （2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗？ （3）那么MN及线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？ 2、垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连
可编辑 B A O 第2节 圆的对称性 【学习目标】 1、经历探索圆的对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 【学习重难点】 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 【学习方法】 小组合作探究 【学习过程】 模块一 预习反馈 一、知识回顾： 1、如果一个图形，绕某点旋转 度后，能与自身重合，哪么我们称这个图形为 图形。这个点叫做 。 2、圆是_______ 图形，其对称中心是___________。圆是特殊的中心对称图形，圆绕圆心旋转 都能与本身重合。圆是轴对称图形，过 的每一条直线都是它的 。 二、自主学习： 看书70页—72页后，解答下列问题： 1、如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，另两边与圆 相交像这样的角叫做 。 2、圆心角、弧、弦之间的关系：
可编辑 如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， （4）过O 、与O ' 分别作OM ⊥AB 、O ' N ⊥CD ，若OM=O ' N ，则 ， ， 注：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，弧的度数与所对圆心角的度数相等。 实践练习：已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？（提示：可证两弧所对圆心角相等） 答：相等 连接C0、DO ∵OA=OB ；AE=BF ∴OE= 。 ∵CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ， = 。∴Rt △CEO ≌Rt △ 。 ∴ 。∴ 模块二 合作探究 探究1、如图所示，在⊙O 中，AC=BC ，D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点， 求证：CD ＝CE ． 探究2、如图所示，已知AD 、BC 是⊙O 两条弦，且AD=BC ，你认为AB 与CD 相等吗？为什么？ O ’ C O B A ︵ ︵ O B C D E F A B C O E D ︵ ︵ O C B A D
§3.2 圆的对称性（第一课时） 学习目标: 经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点: 垂径定理及其应用． 学习难点: 垂径定理及其应用． 学习方法: 指导探索与自主探索相结合。 学习过程: 一、举例： 【例1】判断正误： （1）直径是圆的对称轴． :ZXXK]来源[（2）平分弦的直径垂直于弦． 【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高． 【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD 的长． 【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长． 【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF 相等吗？说明理由． 如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？ 如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？ 如图4，CD为弦，EC⊥CD，为什BF和AE两点，你能说明F、E于AB分别交直径FD、EC，CD⊥FD 么相等吗？
二、课内练习： 1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （） ）. （⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧CD, ＜∥CD,AB中⊙O ,弦AB2、已知：如图, F. 于点交弦CD⊥AB,垂足为E,直径MN . 图中相等的线段有 图中相等的劣弧有 . 求= 1cm. ，AB = 6cm CD ，交为为、已知：如图，⊙3O 中， AB 弦，C AB 的中点，OCAB 于D OA. O 的半径⊙ . 的长求、、、交于与矩形圆如图4.,OABCDEFGH,EF=10,HG=6,AH=4.BE 5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深
新人教版八年级数学上《轴对称》全章导学案 13、1 、1 轴对称 一、学习目标 1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴； 2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。 3、掌握轴对称的性质； 二、自主探究合作展示探究 （一）自学课本58页，完成以下问题。 1、什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？ 2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。（1）（2）（3）（4）（5）探究 （二）自学课本59页，完成以下问题。 1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？Www、12999ZZZ探究 （三）成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？归纳：区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠，这个图形能够与另一个图形_________。联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个
_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）练习 1、我国的文字非常讲究对称美，下面四个图案中不是轴对称图形的是( )、(A)(B)(C)(D) 2、下列图形中不是轴对称图形的有（）A1个 B2个 C3个D4个 3、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（）A B C D 4、下列图形中对称轴最多的是( ) A、圆 B、正方形 C、角 D、线段 5、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母，写出三个是轴对称图形的汉字: 6、美国哈佛大学在一次数学考试中，有这样一道填空题：要求在横线上填上适当的图形、你能完成吗？ 图（1）探究 （四）轴对称的性质 1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点 A、
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____ 27.1 圆的认识 第1课时 27.1.1 圆的基本元素 【学习目标】 1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别； 2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 3．能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】 重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别； 难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 【学法指导】 通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题． 【自学互助】 一、自学教材P36-37 （一）知识链接 1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？ （图1）2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？ （二）根据以下题目自主学习并完成 1．理解圆的定义：（自己动手画圆） （1）描述性定义：____________________________________________________。 从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义：__________________________________________________。 （3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____ 确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、
B O D C A 大化坪中心学校数学导学案 课题：25.2圆的对称性（2） 主备人：吴家兴 审核人：郑为贵 时间2012.3 【学习目标】 1、理解圆的有关概念 2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题． 3、体验圆与直线形的联系运用（重难点） 【学习过程】 一、学前准备 前一节课学习了圆的有关概念,探索了点与圆的位置关系.这一节课将进一步学习与圆有关的概念,为今后研究圆的有关性质打好基础. 二、合作探究: 与圆有关概念 (1)请在图上画出弦CD ，直径AB.并说明___________________________叫做弦； _________________________________叫做直径. (2)弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__ 劣弧：______________________________ _,表示方法：______ (3)借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:______________________________ 同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. (4) 同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________ 【学习检测】 一、基础性练习 1、如图,CD 是⊙O 的直径,∠EOD=84°,AE 交⊙O 于点B, 且AB=OC,求∠ A 的度数. 2、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，若OD=4，求BC 。
湘教版九年级下册导学案 2.1 圆的对称性 【学习目标】 1.理解圆、弧、弦的概念，了解等圆、等弧的概念。 2.探索并了解点与圆的位置关系。 3.探索圆的中心对称性质和轴对称性质。 重点难点 重点：理解圆的概念、点与圆的位置关系、圆的中心对称性质和轴对称性质。 难点：探索并理解圆的中心对称性质（含旋转对称性质）以及轴对称性。 自主预习教材43--45页了解下列概念： 什么叫做圆。 圆是图形，是它的对称中心。 其中叫做圆心，叫做半径。 叫做圆内的点； 叫做圆外的点； 叫做圆上的点。 同一平面内点与圆的三种位置关系： 叫做弦， 叫做直径。 叫做弧，用符号表示 为。 叫做优弧， 叫做劣弧。 （一）合作探究 1.如图，用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使它们的半径相等，把白纸放在 叫做等圆； 叫做等弧。 2.如图，现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心. 让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度. 观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合。 由于圆是由一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，因此圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。 特别地，将圆绕圆心旋转180°时能与自身重合，所以， 如下图，在纸上任画一个⊙O，并剪下。将⊙O 沿任意一条直径（例如直径CD）对折，你发现了什么？ 直径CD 两侧的两个半圆能。 由此我们得到： 圆是图形，是它的对称轴。 （二）展示提升 1.为什么要把车轮设计成圆形？请说说理由。 2.下面的说法对吗？如不对请说明理由。
（1）直径是弦； （2）弦是直径； （3）半径相等的两个圆是等圆； （4）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。 设计意图：通过比较判断，加强对直径、弦、等圆、圆的对称性等知识点的理解。 3.已知⊙O 的半径为4cm，B 为线段OA 的中点，当线段OA 满足下列条件时，分别指出点B 与⊙O 的位置关系： （1）OA= 6cm； （2）OA= 8cm； （3）OA=10cm。 【知识梳理】 １．圆、弧、弦的概念，等圆、等弧的概念： ２．同一平面内点与圆的三种位置关系： ３．圆的对称性： 【当堂检测】 １、如图，线段AB过圆心Ｏ，点Ａ，B，C，C均在⊙0上，请指 出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来。 ２、下面的说法对吗？如不对，请说明理由。 （1）同一个圆的直径的长是半径的的2倍； （2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线均是圆的对称轴； （3）过圆心的线段是的直径； （4）圆是中心对称图形，心是它的对称中心； （5）弦过圆心。 3、如图，在Rt?ABC中，∠ACB=900，AC=4cm，AB=5cm。D，E分别是AB、，BC的中点，以点为A为圆心，AC为半径画圆，试判断点C，D，E与⊙A的位置关系。 4、矩形的四个顶点在以对角线的确交点为圆心的同一个圆上吗？请说明理由。 【课后反思】 通过本节课的学习， 1.你学到了什么？ 2.你还有什么样的困惑？ 3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？