第一章 一元二次方程
一元二次方程 1、一元二次方程
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式
)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多
项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,
a x +是
b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:
)04(2422≥--±-=ac b a
ac b b x
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=?
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a
b
x x -
=+21,a
c
x x =
21。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
第二章 圆
一、圆的相关概念 1、圆的定义
在一个个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径。 2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义
(1)弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)
(2)直径
经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)
直径等于半径的2倍。
(3)半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
三、垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为:
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:
d d=r?点P在⊙O上; d>r?点P在⊙O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么: 直线l与⊙O相交?d 直线l与⊙O相切?d=r; 直线l与⊙O相离?d>r; 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么 两圆外离 d>R+r 两圆外切?d=R+r 两圆相交?R-r 两圆内切?d=R-r(R>r) 两圆内含?d 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。 十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180 r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 2 13602== π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=?= 22 1 其中l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。 2、弦切角定理 弦切角:圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。 弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即:∠BAC=∠ADC 3、切割线定理 PA为⊙O切线,PBC为⊙O割线, 则PC =2 PA? PB 补充知识点:5 定义:圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中,定点叫做圆心,定长叫做半径。 圆有关的概念: 1、连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。 3、定点在圆上的角叫做圆心角。 4、圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 与圆的位置关系: 在平面内,点与圆有3中位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外。如果设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么“点P在圆内←→d<r;点P在圆上←→d=r;点P在圆外←→d>r” 5.2 圆的对称性 圆是中心对称图形,圆心是对称中心。 圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 圆心角、弧、弦之间的关系(等对等定理): 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.3 圆周角 概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。(圆心与圆周角的位置关系分为三种情况:圆心在角的一边上;圆心在角的内部;圆心在角的外部) 推论:1、直径(或半圆)所对的圆周角是直角。 2、90°的圆周角对的弦是直径。 5.4 确定圆的条件 条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 三角形的外接圆: 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点,这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形 5.5 直线与圆的位置关系 1、直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交。(d<r) 2、直线与圆有唯一的公共点,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这 个公共点叫做切点。(d=r) 3、直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。(d>r) 直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分,它们的结果是一致的。 切线的性质与判定: 判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。 性质:(圆的切线垂直于过切点的半径) 经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线与圆只有一个公共点;切线与圆心的距离等于半径;切线垂直于过切点的半径。 内心: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内切圆的圆心叫做三角形的内心,它是三角形的三条角平分线的交点。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 5.6 圆与圆的位置关系 性质与判定: 如果两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么 两圆外离←→d>R+r 两圆外切←→d=R+r 两圆相交←→R-r<d<R+r(R>r) 两圆内切←→d=R-r(R>r) 两圆内含←→0≤d<R-r(R>r) 连心线的性质: 圆是轴对称图形,从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线(连心线)对折,发现:两圆相切,直线O1O2必过切点;两圆相交,连心线垂直平分它们的公共弦。 5.7 正多边形与圆 正多边形概念:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 性质:正多边形都是对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边,那么它既是轴对称图形,又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形,那么它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。 友情提醒:(1)边数相同的正多边形相似,这是解与正多边形有关问题常用到的知识。 (2)任何三角形都有外接圆和内切圆,但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。作正多边形:作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法:用量角器等分圆,可以作任意正多边形,这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数,即正n边形的圆心角为,然后依次用量角器将圆等分,顺次连接各分点,就作出正n边形。 用尺规等分圆,作正方形和正六边形。具体地说:先作出两条互相垂直的直径, 图5 O B A B A O O 将圆四等分,顺次连接各分点,就做出正方形;用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦,将圆六等分,顺次连接各等分点,就作出正六边形。 友情提醒:在作正多边形时,要从圆周上某一点开始连续截取等弧,否则,易产生误差。 5.8 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长180 R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ※4. 弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. ※5. 圆的面积公式. 圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) ※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积360 2R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221 π 5.9圆锥的侧面积和全面积 ※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的 图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. ※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算: 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点. 如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是: rl rl cl S ππ=?==22 1 21侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表 与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角. 3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线. . 圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个 圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 第三章数据的集中趋势和离散程度 知识点1:表示数据集中趋势的代表 平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数,只是描述的角度不同,其中平均数的应用最为广泛。 知识点2:表示数据离散程度的代表 极差的定义:一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范围,我们就把这样的差叫做极差。 极差=最大值-最小值,一般来说,极差小,则说明数据的波动幅度小。 知识点3:生活中与极差有关的例子 在生活中,我们经常用极差来描述一组数据的离散程度,比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。 知识点4:平均差的定义 在一组数据x1,x2,…,x n中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数 即T=叫做这组数据的“平均差”。 “平均差”能刻画一组数据的离散程度,“平均差”越大,说明数据的离散程度越大。 知识点5:方差的定义 在一组数据x1,x2,…,x n中,各数据与它们的平均数差的平方,它们的平均 数,即S2=来描述这组数据的离散程度,并把S2叫做这组数据的方差。 知识点6:标准差 方差的算术平方根,即用S= 来描述这一 组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差。 知识点7:方差与平均数的性质 若x 1,x 2,…x n 的方差是S 2,平均数是,则有 ①x 1+b , x 2+b …x n +b 的方差为S 2,平均数是+b ②ax 1, ax 2,…ax n 的方差为a 2s 2,平均数是a ③ax 1+b , ax 2+b ,…ax n +b 的方差为a 2s 2,平均数是a +b 第四章 等条件下的概率 第五章 二次函数 1、定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 2、二次函数2ax y =的性质: (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴; (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系: ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 (3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a 。 3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线。 4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式, 其中a b a c k a b h 4422-=-=,。 5、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=;④()k h x a y +-=2 ;⑤ c bx ax y ++=2。 6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。 ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x 。 7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+?? ? ??+=++=,∴顶点是 ),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=。(P26-9) (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式, 得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =。 (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。 注意:用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失。 题11:抛物线y =x 2+6x +4的顶点坐标是( ) A .(3,-5) B .(-3,-5) C .(3,5) D .(-3,5) 9、抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样。 (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线c bx ax y ++=2的对称 轴是直线。 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号时,对称轴在y 轴左侧;③