For personal use only in study and research; not for commercial use
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2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。在I下求下列各式的真值。
（1）?x(F(x)∧G(x))
解：?x(F(x)∧G(x))
?(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))
?((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))
?((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))
?0∧0∧0
?0
(2) ?x(R(x)→F(x))∨G(5)
解：?x(R(x)→F(x))∨G(5)
?(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)
?((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)
?(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0
?1∧ 1∧ 0 ∨ 0
?0
(3)?x(F(x)∨G(x))
解：?x(F(x)∨G(x))
?(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))
?((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))
?(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)
?1 ∨ 1 ∨ 1
?1
2.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。
（1）??xF(x)→?yG(x,y)
(2) ?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ）
解：（1）??xF(x)→?yG(x,y)
???xF(x)→?yG(z,y) 代替规则
??x?F(x)→?yG(z,y) 定理2.1（2 ）
??x(?F(x)→?yG(z,y) 定理2.2（2）③
??x?y(?F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④
（2）?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ）
??(?zF(z,y) ∨?tG(x,t)) 换名规则
??(?zF(z,y) )∧?(?tG(x,t) )
??z?F(z,y) ∧?t?G(x,z)
??z (?F(z,y) ∧?t?G(x,z))
??z ?t(?F(z,y) ∧?G(x,t))
2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则）
（1）?xF(x)∨?yG(x,y)
??xF(x)∨?yG(z,y) 代替规则
??x（F(x)∨?yG(z,y)）定理2.2（1）①
??x?y（F(x)∨G(z,y)）定理2.2（2）①
（2）?x(F(x)∧?yG(x,y,z))→?zH(x,y,z)
??x(F(x)∧?yG(x,y,t))→?zH(s,r,z) 代替规则
??x?y (F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z) 定理2.2（1）②??x（?y (F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z)）定理2.2（2）③??x?y（(F(x)∧G(x,y,t))→?zH(s,r,z)）定理2.2（1）③??x?y?z（(F(x)∧G(x,y,t))→H(s,r,z)）定理2.2（2）④
2.17构造下面推理的证明。
（1）前提：?xF(x)→?y((F(y)∨G(y))→R(y))
?xF(x)
结论：?xR(x)
应改为：①?xF(x) 前提引入
②?xF(x)→?y((F(x)∨G(y))→R(y))前提引入
③?y((F(x)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理
④F（c）①EI
⑤F（c）∨G(c) →R(c) ③UI
⑥F（c）∨G(c) ④附加
⑦ R(c) ⑤⑥假言推理
⑧?xR(x) ⑦EG
（2）前提：?x(F(x)→(G(y) ∧R(x))),?xF(x).
结论：?x(F(x)∧R(x)).
证明：
①?xF(x) 前提引入
②F(c) ①EI
③?x(F(x)→(G(y) ∧R(x))) 前提引入
④F(c)→(G(c) ∧ R(c)) ③UI
⑤G(c) ∧ R(c) ②④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取
⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG
2.18在一阶逻辑中构造下面推理的证明。
大熊猫都产在中国，欢欢是大熊猫。所以，欢欢产在中国。
解：将命题符号化.
F(x):x是大熊猫.
G(x):x产在中国.
a: 欢欢.
前提: ?x(F(x )→G(x)),F(a),
结论: G(a)
证明:
①?x(F(x )→G(x)), 前提引入;
②F(a)→G(a)①uI;
③F(a) 前提引入
④G(a) ②③假言推理
2.19在一阶逻辑中构造下面推理的证明。
有理数都是实数，有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。
设全总个体域为数的集合
F（x）：x是有理数G（x）：x是实数H（x）：x是整数
前提：?x(F(x)→G(x)) ?x(F(x)∧H(x))
结论：?x(G(x)∧H(x))
证明：①?x(F(x)∧H(x)) 前提引入
②F（c）∧H（C）①EI规则
③?x(F(x)→G(x)) 前提引入
④F（c）→G（c）③UI规则
⑤F（c）②化简
⑥ G（c）④⑤假言推理
⑦ H（c）②化简
⑧ G（c）∧H（c）⑥⑦合取
⑨?x（G（x）∧H（x））⑧EG规则
2.23一阶逻辑中构造下面推理的证明。
每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行（个体域为人类集合）。
命题符号化：F(x): x喜欢步行。G(x):x喜欢坐汽车。H(x): x喜欢骑自行车。
前提：?x(F(x)→?G(x)), ?x(G(x)∨H(x)),
?x(?H(x)).
结论：?x(?F(x))
证明
a ?x(?H(x)) 前提引入
b ?H(c)
c ?x(G(x)∨H(x)) 前提引入
d G(c)∨H(c)
e G(c)
f ?x(F(x)→?G(x)) 前提引入
g F(c)→?G(c)) f UI
h ?F(c)
i ?x(?F(x)) h EG
在上述推理中，b后面的推理规则为A,d后面的规则为B,e后用的是由b,d得到的推理规则C，h后用的是由e,g得到的推理规则D.
供选择的答案
A,B,C,D:1 UI 2:EI 3UG 4 EG 5拒取式 6 假言推理7析取三段论
A为2
B为1
C为7
D为5 ,
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für St udien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
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离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ?(?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)
第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x
即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p) 习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→?A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(?x)(R(x)∧Q(x)) 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。 第一章 命题逻辑 习题与解答 ⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。 ⑴ 2x - 3 = 0。 ⑵ 前进！ ⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。 ⑷ 请勿吸烟！ ⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？ ⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。 ⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。 解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。 ⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。 ⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶ 他生于1963年或1964年。 ⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。 ⑸ 只要上街，我就去书店。 ⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。 ⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼ 我进城的必要条件是我有时间。 ⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。 ⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。 解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。 “逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。 ⑵ p ：我看见的是小张。q ：我看见的是老李。 “我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。 ⑶ p ：他生于1963年。q ：他生于1964年。 “他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。 ⑷ p ：害怕困难。q ：战胜困难。 “只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q → ? p 。 ⑸ p ：我上街。q ：我去书店。 “只要上街，我就去书店”符号化为p → q 。 ⑹ p ：小杨晚上做完了作业。q ：小杨晚上没有其它事情。 r ：小杨晚上看电视。s ：小杨晚上听音乐。 “如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。 ⑺ p ：林芳在家里。q ：林芳做作业。r ：林芳看电视。 “如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。 ⑻ p ：三角形三条边相等。q ：三角形三个角相等。 第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： | （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 ； 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下： , 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u → 证明：用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案 1.2 映射的有关概念 习题1.2 1. 分别计算?1. 5?，?-1?，?-1. 5?，? 1. 5?，?-1?，?-1. 5?. 解?1. 5?=2，?-1?=-1，?-1. 5?=-1，?1. 5?=1，?-1?=-1，?-1. 5?=-2. 2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1)f :Z →Z , f (x ) =3x . (2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1. (3)f :R →R , f (x ) =x 3+1. (4)f :N ?N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1. (5)f :N →N ?N , f (x ) =(x , x +1). 解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z ，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z ，f (x ) ≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射. (2)由于2, -2∈Z 且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射. (3)对于任意对x 1, x 2∈R ，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R ，取x =(y -1) ，这时 1??3f (x ) =x +1=?(y -1) 3?+1=(y -1) +1=y ， ??33313 所以f 是满射. 进而f 是双射. 第二章谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解(1) 取论域为所有交通工具的集合。令 T(x):x是火车，C(x):x是汽车，F(x,y):x比y跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为x(T(x)y(C(y)F(x,y)))。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 M(x):x是金属，L(x):x是液体，D(x,y):x可以溶解在y中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中”可以符号化为x(M(x)y(L(y)D(x,y)))。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中”可以符号化为 x(M(x)y(L(y)D(x,y)))。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 M(x):x是人，J(x):x是职业，L(x,y):x喜欢y。 “每个人都有自己喜欢的职业”可以符号化为x(M(x)y(J(y)L(x,y))) (5) 论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为x(J(x)y(M(y)L(y,x)))。 2. 取论域为正整数集，用函数（加法），（乘法）和谓词，将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解先引进一些谓词如下： D(x,y):x能被y整除，D(x,y)可表示为v(v y x)。 J(x):x是奇数，J(x)可表示为v(v2x)。 E(x):x是偶数，E(x)可表示为v(v2x)。 第二章作业 1 评分要求： 2 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48 3 分 4 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 5 3. 总得分在采分点1处正确设置. 6 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方 7 法每种方法至少使用一次): 8 说明 9 证 10 1. p ?(p ∧q)∨(p ∧?q) 11 解逻辑方程法 12 设 p ?((p ∧q)∨(p ∧?q)) =0, 分两种情况讨论: 13 ?? ?=?∧∨∧=0)()(1 )1(q p q p p 或者 14 ?? ?=?∧∨∧=1 )()(0 )2(q p q p p 15 (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ?(p ∧q)∨(p ∧?q)无成假赋值, 为永真式. 16 等值演算法 17 (p ∧q)∨(p ∧?q) 18 ? p ∧(q ∨?q) ∧对∨的分配率 19 ? p ∧1 排中律 20 ? p 同一律 21 真值表法 22 即 p? ((p∧q)∨(p∧?q))为永真式, 得证23 2. (p→q)∧(p→r)?p→(q∧r) 24 等值演算法 25 (p→q)∧(p→r) 26 ? (?p∨q)∧(?p∨r)蕴含等值式 27 ??p∨(q∧r)析取对合取的分配律 28 ? p→(q∧r)蕴含等值式 29 3. ?(p?q)?(p∨q)∧?(p∧q) 30 等值演算法 31 ?(p?q) 32 ??( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 33 ??( (?p∨q)∧(?q∨p) )蕴含等值式 34 第一章命题逻辑基本概念 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 8.p:2<1，q:3<2 （1）p→q， （2）p→┐q， （3）┐q→p， （4）┐q→p， （5）┐q→p， （6）p→q， 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16.设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、 b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x) For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 2.13 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X≤3，G（X）：X>5,R(X):X≤7。在I下求下列各式的真值。 （1）?x(F(x)∧G(x)) 解：?x(F(x)∧G(x)) ?(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6)) ?((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5)) ?((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0)) ?0∧0∧0 ?0 (2) ?x(R(x)→F(x))∨G(5) 解：?x(R(x)→F(x))∨G(5) ?(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5) ?((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5) ?(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0 ?1∧ 1∧ 0 ∨ 0 ?0 (3)?x(F(x)∨G(x)) 解：?x(F(x)∨G(x)) ?(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6)) ?((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5)) ?(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1) ?1 ∨ 1 ∨ 1 ?1 2.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。 （1）??xF(x)→?yG(x,y) (2) ?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） 解：（1）??xF(x)→?yG(x,y) ???xF(x)→?yG(z,y) 代替规则 ??x?F(x)→?yG(z,y) 定理2.1（2 ） ??x(?F(x)→?yG(z,y) 定理2.2（2）③ ??x?y(?F(x)→G(z,y)) 定理2.2（1）④ （2）?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） ??(?zF(z,y) ∨?tG(x,t)) 换名规则 ??(?zF(z,y) )∧?(?tG(x,t) ) ??z?F(z,y) ∧?t?G(x,z) ??z (?F(z,y) ∧?t?G(x,z)) ??z ?t(?F(z,y) ∧?G(x,t)) 2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则） （1）?xF(x)∨?yG(x,y) ??xF(x)∨?yG(z,y) 代替规则 ??x（F(x)∨?yG(z,y)）定理2.2（1）① ??x?y（F(x)∨G(z,y)）定理2.2（2）① （2）?x(F(x)∧?yG(x,y,z))→?zH(x,y,z) ??x(F(x)∧?yG(x,y,t))→?zH(s,r,z) 代替规则 1.2 映射的有关概念 习题1.2 1. 分别计算??5.1，??1-，??5.1-，??5.1，??1-，??5.1-. 解 ??25.1=，??11-=-，??15.1-=-，??15.1=，??11-=-，??25.1-=-. 2.下列映射中，那些是双射? 说明理由. (1).3)(,Z Z :x x f f =→ (2).1||)(,N Z :+=→x x f f (3).1)(,R R :3+=→x x f f (4).1),(,N N N :2121++=→?x x x x f f (5)).1,()(,N N N :+=?→x x x f f 解 (1)对于任意对∈21,x x Z ，若)()(21x f x f =，则2133x x =，于是21x x =，所以f 是单射. 由于对任意∈x Z ，∈≠2)(x f Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射. (2)由于∈-2,2Z 且3)2()2(=-=f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈x Z 均有01||)(≠+=x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射. (3)对于任意对∈21,x x R ，若)()(21x f x f =，则113231+=+x x ，于是21x x =，所以f 是单射. 对于任意∈y R ，取3 1)1(-=y x ，这时 y y y x x f =+-=+??????-=+=1)1(1)1(1)(3313， 所以f 是满射. 进而f 是双射. (4)由于∈)1,2(),2,1(N ?N 且)1,2()2,1(≠，而4)1,2()2,1(==f f ，因此f 不是单射. 又由于∈0N ，而任意∈),(21x x N ?N 均有01),(2121≠++=x x x x f ，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射. (5)由于∈21,x x N ，若)()(21x f x f =，则)1,()1,(2211+=+x x x x ，于是21x x =，因此f 是单射. 又由于∈)0,0(N ?N ，而任意∈x N 均有)0,0()1,()(≠+=x x x f ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射. 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真 p→ ) ( (s r q 值为 0 3.公式) ∨ ? q ?与共同的成真赋值为 01；10 p ? ∧ p∧ ) ( ( ) p (q q 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 ? (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p q? →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解p r→ (q 决了 或：q (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解∧ ?) p r→ 决了 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ p ( r ) ( ) ((q 2.r ?) → (( → ) ∨ (( ( )) ? r p ∨ p p q ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ r ( p ) ( ) ((q 2. r → ∨ → ?) ((的真值为1 ) ( )) (( ∧ p p ∨ r q ? p ? q∧ 四、判断推理是否正确 设x =为实数，推理如下： y2 若y在x=0可导，则y在x=0连续。y 在x=0连续，所以y在x=0可导。解：x =，x为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y在x=0连续。P为y2 假命题，q为真命题，推理符号化为：p →) (，由p，q得真值可 q ∧ p→ q 知，推理的真值为0，所以推理不正确。 五、判断公式的类型 1，r ?))) → ? ( ) ( ) (( ( ? q ∧ q p p ∨ ∧ q∨ p 2. ) p∧ ∧ → ? ∧ q )) p ( ( r (q 3. ) → ? ? p? ) ( r (r q 解：设三个公式为A,B,C则真值表如下： 习题答案 习题一答案 1.1下列各语句中哪些是命题? 1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是； 7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。 1.2 将下列命题符号化。 1) p∧?q, p:太阳明亮,q:湿度高； 2) q→?p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。 3) p→q, p:我出校，q:我去图书城； 4) q→p , p:你去,q:我去； 5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧?q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧?q； 6) 6.1) p∨q 6.2) ?(p ?q) 6.3) p∧?q 6.4) ? (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)? (r→ (p∧q)) 7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色； 8) ?(p?q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里； 9) ?p→? q, p:一个人经一事，q:一个人长一智； 10) (p∧?q) →?(r? s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。 11) ?(r? s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳； 12) ?p∧?q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。 13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了； 14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里； 15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间； 16) ?p→?q , p:人们辛劳，p: 人们收获 1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题； 2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书； 3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题； 4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书， 5) 同4); 6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。 1.4 1) 是2) 不是，因为∨联结词后没有字母 3) 是4) 是 5) 不是，因为pq之间缺联结词6) 不是，因为∨ ∧不能构成公式 7) 是 *1.5 1) q是0层公式，?q是1层公式，(p∨?q)是2层公式，原公式是3层公式; 2) p是0层公式，?p是1层公式，(?p→q) 是2层公式，(q→r) 是1层公式，((?p→q) ∧(q→r))是3层公式，(p→r)是1层公式，原公式是4层公式； 3) r，s是0层公式，r ∧s是1层公式，(q →r ∧s)是2层公式，(p ∨(q →r ∧s))是3层公式，?(p ∨(q →r ∧s))是4层公式，(p→q) ∧s是2层公式，原公式是5层公式。 4) p，q是0层公式，(p∨q)是1层公式，(p∨q)→r是2层公式，(r→s) 是1层公离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版社)
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