（第3题图）
俯视图侧视图
正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．设1
,(1)()2,(1)
x f x x x ?≥?=??
A ．0
B ．1
C ．2
D ．-1
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱
4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
5．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）
A ．8
B ．2
C ．-2
D ．-8
6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25
B ．15,15,15
C ．10,5,30
D ．15,10,20
7．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）
A ．
15 B ．14 C ．49 D ．59
8．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5
9．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．2
2
(2)(1)5x y +++= B ．22
(2)(1)10x y -+-=
C ．2
2
(2)(1)5x y -+-=
D ．2
2
(2)(1)10x y +++=
10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点
,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）
A B km C ．1.5km D ．2km
（第14题图）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．
12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．
13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 为 .
15．已知向量a 与b 的夹角为
4
π
，2a =，且4a b =，则b = .
三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）
已知1cos ,(0,22
π
αα=∈
（1）求tan α的值；
（2）求sin()6
π
α+的值.
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.
(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为0
45，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.
a （第17题图）
F
E
D
B
A
（第18题图）
已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）
已知函数()22x x f x λ-=+?()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式1
2
≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.
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参考答案
一、选择题
二、填空题
11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4
三、解答题：
16、（1）(0,),cos 02
π
αα∈∴>，从而cos α=
（2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：
200
12001202000
?=（人）
；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75?+?+?+?=
∴人数为0.7520001500?=（人） 18、（1）2(0)62
()26(1)156
f b a f x x x f a b b ===-????=-+?
?=++==?? （2）
22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-
1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.
19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==
*1
2(2,)n
n a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=?= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)
1232
n n n S n +∴=++++=
20、（1）
22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-
（2）由505k k ->?< （3）由22
2
240
51680(1)(2)5x y y y k x y k
-+=??-++=?
++-=-?
设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==
，224
1620(8)05
k k ?=-+>?<
112212*********
24,24,(24)(24)4[2()4]5
k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即
4168824
0()5555
k k k k -++=?=<满足
2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷
数 学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页
时量120分钟，满分100分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球
2.已知元素{0,1,2,3}a ∈，且{0,1,2}a ?，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.3
3.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为
A.
15 B. 25 C.35 D.45
4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是
A.2
B.3
C.4
D.5
5.在△ABC 中，若0AB AC ?=，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6.sin120的值为
A.
22
B.1-
C. 3
D. 22-
7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与11A C 的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面但不垂直
D. 异面且垂直 8.不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为
A.{|12}x x -≤≤
B. {|12}x x -<<
C. {|12}x x x ≤-≥或
D. {|12}x x x <->或
9.点(
,1)P m 不在不等式02<-+y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.1m < B. 1m ≤ C.1m ≥ D.1m >
10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 样本数据2,0,6,3,6-的众数是 .
12. 在ABC ?中, 角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知1
1,2,sin 3
a b A ===
，则sin B ＝ .
13. 已知a 是函数()22log f x x =-的零点, 则实数a 的值为 . 14.已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图像如图所示，则
ω的值为 .
15. 如图1，矩形ABCD 中，2,,AB BC E F =分别是,AB CD 的中
点，现在沿EF 把这个矩形折成一个二面角A EF C --（如图2）则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为 .
三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分6分）
已知函数,[0,2],()4,(2,4].x x f x x x
∈??
=?∈??
（1）画出函数()f x 的大致图像；
（2）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间.
17.（本小题满分8分）
某班有学生50人，期中男同学300人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.
（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；
（2）从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.
18. （本小题满分8分）
已知等比数列{}n a 的公比2q =，且234,1,a a a +成等差数列. （1）求1n a a 及；
（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前5项和5S .
19. （本小题满分8分） 已知向量(1,sin ),(2,1).a b θ== （1）当6
π
θ=
时，求向量2a b +的坐标；
（2）若a ∥b ，且(0,)2π
θ∈，求sin()4
π
θ+的值.
20. （本小题满分10分）
已知圆22
:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；
（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：
12
11
x x +为定值； （3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于,D E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.
2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
D
B
B
A
C
D
A
C
A
二 、填空题（每小题4分，满分20分） 11.6 12.
23 13.4 14.2 15. 45（或4
π）
三 、解答题（满分40分）
16. 解：(1)函数()f x 的大致图象如图所示; ……………………………2分 (2)由函数()f x 的图象得出,
()f x 的最大值为2, ………………4分
其单调递减区间为[]2,4.…………6分
17. 解: (1)
305350?=(人), 20
5250
?=(人), 所以从男同学中抽取3人, 女同学中抽取2人; ……………………………………4分 (2)过程略. 3
()5P A =. ……………………………………………………………………………8分
18. 解: (1)12n n a -=; ………………………………………………………………4分 (2)546S =. ……………………………………………………………………………8分 19. 解: (1)()4,2; …………………………………………………………………4分 (2)
26
+. ………………………………………………………………………8分 20. 解: (1)配方得()2
214x y ++=, 则圆心C 的坐标为()1,0-,……………………2分 圆的半径长为2; ………………………………………………………………………4分 (2)设直线l 的方程为y kx =,
联立方程组22230
x y x y kx ?++-=?=?
,
消去y 得()
221230k x x ++-=, ………………………………………………5分 则有: 122
1222131x x k x x k ?+=-??+??=-
?+?
………………………………………………6分
所以
1212121123
x x x x x x ++==为定值. ………………………………………………7分 (3)解法一 设直线m 的方程为y kx b =+, 则圆心C 到直线m 的距离
d =
所以DE =, …………………………………8分
()2
2
41222
CDE
d d S DE d d ?-+=?=≤=,
当且仅当d =
即d =时, CDE ?的面积最大, …………………………9分
=解之得3b =或1b =-,
故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分
解法二 由(1)知2CD CE R ===, 所以1
sin 2sin 22
CDE S CD CE DCE DCE ?=
??∠=∠≤,当且仅当CD CE ⊥时, CDE ?的面积最大,
此时DE = ………………………………………………………8分 设直线m 的方程为y x b =+ 则圆心C 到直线m
的距离d =
…………………………………………………9分
由DE ===,
得d
=得3b =或1b =-, 故所求直线方程为30x y -+=或10x y --=.……………………………………10分
2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M ∩N= ( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )
A ．34
B ．1
4
C ．0
D ．1
3．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 则该几何体表面积( )
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．4
3
π
4．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直
5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中
随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )
A ．14
B ．13
C ．12
D ．3
4
6．已知向量()()1,23,6a b b a λ==--=，，若，则实数λ的值为(
A
．13 B ．3 C ．1
3
- D ．-3
7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分
成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )
A ．5，15，25，35，45
B ．5，10，20，30，40
C ．5，8，13，23，43
D ．5，15，26，36，46 8
A ．（-1，0）
B ．（0，1）
C ．(1，2)
D ．(2，3) 9．如图，点(x ,y )在阴影部分所表示的平面区域上，
则z=y-x 的最大值为( )
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只
蜜蜂飞出去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( ) A ．2n -1 B ．2n C ．3n D ．4n
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
正视图 侧视图
俯视图
11．函数f (x )= log(x -3)的定义域为 _________.
12．函数sin(2)3
y x π
=+的最小正周期为_______. 13．某程序框图如图所示，若输入的x 值为-4， 则输出的结果为__________.
14．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，
已知c =2a ，sin A =1
2
，则sin C =_______. 15．已知直线l ：x - y +2=0，圆C ：x 2 +y 2 = r 2(r >0)，若直线l 与圆C 相切，
则圆的半径是r = _____.
三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分6分)
学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率.
17．(本小题满分8分)
已知函数f (x )=(x -m )2+2
(1)若函数f (x )的图象过点(2,2)，求函数y =f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )是偶函数，求的m 值.
18．(本小题满分8分)
已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1. (1)证明：D 1A //平面C 1BD ；
(2)求异面直线D 1A 与BD 所成的角.
19．(本小题满分8分)
已知向量(2sin ,1),(2cos ,1),.a x b x x R ==∈
(1)当x=4
π
时，求向量a b +的坐标;
(2)设函数f (x )=a b ?，将函数f (x )图象上的所有点向左平移4
π
个单位长度得到g (x )的图象，当x ∈[0, 2
π
]时，求函数g (x )的最小值.
20．（本小题满10分）
已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +2，其中n ∈N*. (1)写出a 2，a 3及a n ；
(2)记设数列{a n }的前n 项和为S n ，设T n =12111
+++n
S S S ，试判断T n 与1的
关系；
(3)对于(2)中S n ，不等式S n ?S n -1+4S n -λ(n +1)S n -1≥0对任意的大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.
2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案
一、选择题 ABCAC DABDB
二 、填空题 11．(3,+∞)； 12．π； 13．4； 14．1； 15 三 、解答题(满分40分)
16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分
(2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分
17．解：(1) 依题，2=(2-m )2+2，解得m =2， …2分
∴f (x )=(x -2)2+2， ∴y =f (x )的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )， …6分 即(-x -m )2+2=(x -m )2+2，解得m =0. …8分
18．(1)证明：在正方体中，D 1A ∥C 1B ，又C 1B ?平面C 1BD ，
D 1A ?平面C 1BD ，∴D 1A //平面C 1BD . …4分
(2) 解：∵ D 1A ∥C 1B ，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角是∠C 1BD . …6分
又ΔC 1BD 是等边三角形. ∴∠C 1BD=60°．∴D 1A 与BD 所成的角是60°. …8分
19．解：(1) 依题，(2,1),(2,1),+(22,2).a b a b ==∴= …4分
(2) 依题，f (x )=4sin x cos x +1=2sin2x +1，g (x )=2sin[2(x +4
π
)]+1=2cos2x +1，
∵x ∈[0, 2
π
]，∴2x ∈[0,π]，∴当2x =π时，g (x )min =-1. …8分
20．解：(1) 依题a 2= a 1+2=4，a 3= a 2+2=6，
依题{a n }是公差为2的等差数列，∴a n =2n ； …3分
(2) ∵ S n =n (n +1)，∴1111
(1)1
n S n n n n ==-++，
∴T n 111111
(1)()()122311
n n n =-+-++-=-
++<1 …6分 (3) 依题n (n +1)?(n -1)n +4n (n +1)-λ(n +1)(n -1)n ≥0， 即(n -1)n +4-λ(n -1)≥0，
即λ≤41n n +-对大于1的整数n 恒成立，又44
11511
n n n n +=-++≥--，
当且仅当n =3时，4
1
n n +-取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] (10)
分