2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别
1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )
2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )
3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )
4）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u ( t – t 0 )
0 1 t
t
x 2-
1 -
π
2
3
t
x
0 4
1 t
t
x 3
0 1 t
t
x -
2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图
（1）x ( t-2 )
（2）x ( t+2 )
（3）x (2t)
（4）x ( t/2 )
（5）x (-t) 0 1
t
x
- 1 2 3 4
-0
1
t
x(t)
-1
1
2
3
图 2-76
0 1
t
x
- 1 2 3 4
0 1
t
x(2t)
-1 1 2 3
- 1
t
x
---0
1
（6）x (-t-2)
（7）x ( -t/2-2 )
（8）dx/dt
2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值
(1)?+∞∞
-
-)
(
t
t
x
δ(t) dt = x(-t0)
(2)?+∞∞
-
-)
(
t
t
x
δ(t) dt = x(t0)
-3
1
t
x (-t)
2
-2 -1 0 1
-
1
t
---- 1
-5
1
t
-4 -3 -2 -1 1
x ( -t/2-2 ) -7 -6
-8
1
t
dx/dt
-1 1 2 3
-2
-δ (t-2)
x (-t-2)
(3)
?+∞
∞--)(0t t δ u(t -
2
0t ) dt = u(
2
t )
(4)
?
+∞
∞--)(0t t δ u(t – 2t 0
) dt = u(-t 0
)
(5)
()
?+∞
∞--+t
e
t
δ(t+2) dt = e 2-2
(6)
()?+∞∞-+t t sin δ(t-
6π
) dt =
6
π
+
2
1
(7)
()()[]?
+∞
∞
-Ω---dt
t t t e
t
j 0δδ
=
()?
+∞
∞
-Ω-dt
t e
t
j δ–
?
+∞
∞
-Ω--dt
t t e
t
j )(0δ
= 1-
t j e
Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0
2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t)
(1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 )
x 1(t)* x 2(t) =
?
+∞
∞
---τ
τττ
d t u e
u a )()( =
?
-t
a d e
τ
τ
=
)
1(1
at
e
a
--
(2) x 1(t) =δ(t+1) -δ(t-1) , x 2(t) = cos(Ωt +
4
π
) · u(t)
x 1(t)* x 2(t) =τ
τδτδτπ
d t t u t )]1()1([)]()4
[cos(---+-+
Ω?
+∞
∞
-
= cos[Ω(t+1)+
4π
]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+
4
π
]u(t-1)
(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2)
x 1(t)* x 2(t) =
?
+∞
∞
-+-----τ
ττττd t u t u u u )]1()()][2()([
当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0
当 0 t d τ ? = t 当 1 2 1d τ ? = 1 当 2 2 t d τ -? =3-t 当 3 (4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) = ? +∞ ∞ ---τ τττd t u u )1( )( )sin( = ? ? ∞ == 1 -t 0 1 -t 0 | cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ = 1- cos(t-1) 2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0 f(t) = f(-t), f(t) = f(t ±T/2) (2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t ±T/2) 1 t 1 2 3 t T/2 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) x 1(t)* x 2(t) (3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = f(-t) (4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t ±T/2) (5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = f(t ±T/2) t T/2 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) t T/2 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) t T/2 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) (6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = -f(-t) 2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量 (a) t T/2 0 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) t T/2 0 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) t T/2 0 3T/4 T/4 T -T/4 -T/2 f(t) 这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量， 因为去除直流后为奇函数。 (b) 这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。 (c) 除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(t ±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。 (d) t 2T -2T -T x(t) T t T x (t) -T t T -T -T/2 x(t) T/2 t T/2 x (t) -T/2 T -T 正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。 (e) 奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐） (f) 正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。 2-7 试画出x(t) = 3cos Ω1t + 5sin2Ω1t 的复数谱图（幅度谱和相位谱） 解：a 0 = 0, a 1 = 3, b 2 = 5, c 1 = 3, c 2 = 5 |x 1| = | 2 1(a 1-jb 1)| = 2 3, |x 2| = 2 1c 2 = 2 5 φ1 = arctan (-30) = 0, φ-1= 0 φ2 = arctan (- 5) = - 2 π , φ-2= 2 π t 0 T/2 x (t) -T/2 T t T -T -T/2 x(t) T/2 2-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数 解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。 b n = ? ΩT t x T dt t n sin )(2 = ? Ω2 dt t n sin 2 2 T E T – ? ΩT T E T 2 dt t n sin 2 2 3 -Ω1 Ω1 2Ω1 n Ω1 |x n | -2Ω1 1 2 -Ω1 Ω1 2Ω1 n Ω1 -2Ω1 π/2 -π/2 t 0 T x (t) -T E/2 -E/2 T/2 -T/2 = ? ΩΩ2 ]dt )2 T -(t n sin -t n sin [T T E = 2 02T 0|)]2 ([n cos 2n E |t n cos 2T T t n E - Ω+Ω- π π = ) n cos -(1 cos 2n E 1)- n (cos 2ππ ππ +- n E π n E 2 ，n 为奇数，n = 1，3，5 …… = 1)- n (cos =- ππ n E 0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 …… ∴ x(t) = ] t 5sin 5 1 t 3 sin 31 t sin [ 2???+Ω+Ω+ΩπE 指数形式的傅里叶级数 0 , n = 0, ±2, ±4 …… X n = 2 1(a n -jb n ) = π n jE - , n = ±1, ±3, ±5 …… ∴ x(t) = a 0 + ∑∞ =Ω-Ω+0 ) (n t jn n t jn n e X e X 2-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数 解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量 a o = ? 4 4 1 T dt t T E T = 8 E + ?4 34 E 1 T T dt T + ?T T dt T 4 3 )T t -4E(1 1 t 0 T/2 x (t) -T/2 T T/4 3T/4 E = 8E + 2E + E –)16 9(22 2 2 T T T E - = 4 6E – 4 3E = 4 3E a n = ?ΩT dt t T 0 n cos x(t) 2 = ?ΩΩ+T dt T t jn -t jn )e (e x(t) 1 = T 1 = )2 cos 1() (42 ππn n E --, n = 1, 2, … ∴ x(t) = 4 3E – ]... t 3 cos 9 1 t cos241 t cos [42 +Ω+Ω+Ωπ E 2-10 若已知F [x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换 (1) x(2t –5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t 解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得 F [x( 2t - 5)] = Ω Ω2 5j -e )2 ( X 2 1 (2) 由时移特性和尺度变换特性 F [x(at)] = ) a ( X | |1 Ωa F [x(t-t 0)] = t -j e )( X ΩΩ F [x(1–t)] = Ω Ω-j e )(- X (3) 由欧拉公式和频移特性 cos t = ) e e ( 2 1 jt -j +t F [ t j 0e (t)x Ω±] = X(Ω Ω0) Ω0 = 1 F [x(t) · cos t] = 2 1 [ X(Ω–1) + X(Ω+1)] 2-11已知升余弦脉冲x(t) = ) 2 cos 1 (2 t E π+)( ττ<<-t 求其傅里叶变换 解：x(t) = ) 2 cos 1 (2 t E π+[ u( t +τ)–u( t –τ)] 求微分 )(t x ' = )]-u(t - ) u(t [ t sin 2τττ πτ π+-E )(t x '' = )]-u(t - ) u(t [ t cos 22 2τττ πτ π+-E )(t x '''= )]-u(t - ) u(t [ t sin 23 3τττ πτ π+E + )]-(t - ) (t [ 22 2τδτδτ π+E = (t) 2 2x 'τ π + )]-(t - ) (t [ 22 2τδτδτ π +E 由微分特性可得： ( j Ω)3 X(Ω) = 2 2)] (2 E )X( )[-(j τ πττΩ -Ω -+ΩΩj j e e ∴ X(Ω) = )(2sin 2222 2Ω-ΩΩ τ πτπ E 2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换 解：(1) 由卷积定理求 x(t) = )(2 t G τ * )(2 t G τ t -τ/2 x(t) τ/2 )(2 t G τ = )]4 ()4 ([2τ τ τ - -+ t u t u E )(2 ΩτG = )4 ( 2 2ττ τΩSa E 由时域卷积定理 X(Ω) = )(2 ΩτG )(2 ΩτG = )4 ( 2 2 ττΩSa E (2) 由微分特性求 2τ E ，– 2 τ < t < 0 )(t x ' = – 2τ E ，0 < t < 2 τ 0 ，| t | > 2 τ )(t x '' = 2τ E [δ ( t + 2 τ ) +δ( t – 2 τ )–2δ(t)] 由微分特性 ( j Ω)2 X(Ω) = )22 cos 2(2)2(2E 2 2 -Ω= --Ω-Ωττ τ τ τ E e e j j X(Ω) = )4 ( 2 2 ττ ΩSa E 2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱 解：)(t G τ = E [ u( t + 2 τ )–u( t – 2 τ )] )(ΩτG = )2 ( ττΩSa E x(t) = τ G ( t + 2 τ )–τ G ( t –2 τ ) 由时移特性和线性性 X(Ω) = )2 ( ττΩSa E τ 2 Ωj e –)2 ( ττΩSa E τ 2 Ω-j e = ) 2 ( ττΩSa E j e e j j 22 2 Ω-Ω-τ ·2j = 2j )2 ( ττΩSa E 2 sin τΩ 2-14已知三角脉冲x 1(t)的傅里叶变换为 X 1(Ω) = )4( 2 2 ττ ΩSa E 试利用有关性质和定理求x 2(t) = x 1(t –2 τ ) cos Ω0t 的傅里叶变换 解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题 由时移性质 F [x 1 (t – 2 τ )] = 2 j -1e )( X τ Ω Ω 由频移特性和频域卷积定理可知： F [x(t )cos Ω0t]= 2 1 [X(Ω–Ω0)+ X(Ω+Ω0)] X 2 (Ω) = F [x 1 (t – 2 τ )cos Ω0t] = 2 1 [ X 1 (Ω–Ω0) τ 2 Ω-Ω-j e + X(Ω+Ω0) τ 2 Ω+Ω-j e ] Ω τ π 2E τ 2τ π - τ π - 2τ π = 4 τE [Sa 2 τ τ 2 00 4 )(Ω-Ω-Ω-Ωj e + Sa 2 τ τ 2 00 4 )(Ω+Ω-Ω+Ωj e ] 2-15求图2-82所示X(Ω)的傅里叶逆变换x(t) 解：a) X(Ω) = | X(Ω)| ) (Ω-?j e = 0 0)(2t j e G ΩΩΩ 由定义： x(t) = ? +∞ ∞ -ΩΩΩd e X t j )(21 π = ? ΩΩ-ΩΩΩ0 21 d e Ae t j t j π = ? ΩΩ-+ΩΩ0 0) (2d e A t t j π = 00 0|) (2) (0Ω Ω -+Ω+t t j e t t j A π = )] (sin[) (000t t t t A +Ω+π Ω -Ω0 |X(Ω)| Ω0 A Ω -Ω0 |X(Ω)| Ω0 A Ω -Ω0 0 φ(Ω) Ω0 π/2 Ω -Ω0 0 φ(Ω) Ω0 a) b) π/2 -π/2 -π/2 = )]([000 t t Sa A +ΩΩπ b) ? +∞ ∞ -ΩΩΩ= d e X t x t j )(21)(π = ? Ω-Ω-Ω 2 21d e Ae t j j π π+ ? ΩΩΩ 2 21d e Ae t j j π π = ? Ω -- ΩΩ ) 2 (0 2d e A t j π π + ? Ω + ΩΩ ) 2 (2d e A t j π π = 0) 2 (0 | 2Ω -- ΩΩ π πt j e j A + ) 2 (|2Ω + ΩΩ π πt j e j A = ) 2 (02 0) 2 (2π π ππ + Ω-+ Ω- t j e t j A j A – ) 2 (02 0) 2 (2π π ππ + Ω+ Ω+ t j e t j A j A = )]2 sin[() 2 (00π π π+Ω+ Ωt t A = ]2 [0π π + Ωt Sa A 2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔 (1) Sa(100t) (2) Sa 2(100t) (3) Sa(100t)+ Sa 2(100t) 解：(1)由对偶性质可知： Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 即Ωm = 100 =2πf m ∴ f m = π 50 由抽样定理 f s ≥ 2f m ∴ f s ≥ 2× π 50 = π 100 T s ≤ 100 π (2) 由对偶性质可知 Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 又由频域卷积定理可知 Sa 2(100t)的频谱是脉宽为[–200,–200]的三角形脉冲 即Ωm = 200 =2πf m ∴ f m = π 100 由抽样定理 f s ≥ 2f m ∴ f s ≥ 2×π 100 = π 200 T s ≤ 200 π (3) 由线性性质可知 Sa(100t)+ Sa 2(100t) 的频谱是Sa(100t)和Sa 2(100t)之和 ∴其Ωm =2πf m = 200 即 f m = π 100 则f s ≥ 2f m = π 200 T s ≤ 200 π 2-17已知人的脑电波频率范围为0～45Hz ，对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T 是多少？若以T = 5ms 抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截至频率f c 应满足什么条件？ 解：由已知条件，可知f m = 45Hz 由抽样定理f s ≥ 2f m = 90Hz ∴ T ≤ 90 1 T = 0.005 ∴ f s = T 1 = 5 1000 = 200 由抽样定理和低通滤波可知 45 ≤ f c ≤ 200-45 = 155 即45 ≤ f c ≤ 155 2-18若F [a(t)] = X(Ω), 如图2-85所示，当抽样脉冲p(t)为下列信号时，试分别求抽样后的抽样信号的频谱X s (Ω), 并画出相应的频谱图 (1) p(t) = cos t f -45 x(f ) 45 f -45 x(f ) 45 200 Ω X(Ω) 1 (2) p(t) = cos2 t (3) p(t) = ∑+∞ -∞=-n n t )2(πδ (4) p(t) = ∑+∞ -∞ =-n n t )(πδ 解：由抽样特性可知 x s = x(t) p(t) 由频域卷积定理可知 X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π (1) P(Ω) = [δ(Ω+1)+δ(Ω-1)] ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π = )]1()1([21-Ω++ΩX X (2) P(Ω) = [δ(Ω+2)+δ(Ω-2)] ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π = )]2()2([2 1-Ω++ΩX X (3) P(Ω) = ∑+∞ -∞=-Ωn n )(22δπ π = ∑+∞ -∞ =-Ωn n )(δ ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π = ∑ +∞ -∞ =-Ωn n X )(21π (4) P(Ω) = ∑+∞ -∞=-Ωn n )2(2δπ π = ∑+∞ -∞ =-Ωn n )2(2 δ ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π Ω -2 0 X s (Ω) 1 18 (1) 1 1/2 -1 2 Ω -2 X s (Ω) 1 18 (2) 1 1/2 -1 2 -3 3 Ω -2 X s (Ω) 1 18 (3) 21π -1 2 -3 3 Ω -2 X s (Ω) 1 18 (3) 1 π -1 2 -3 3 = ∑ +∞ -∞ =-Ωn n X )2(1 π X p (1) = 2, X p (2) = 0, X p (3) = 2 3-1 解：序列频谱的定义为 )X(e j ω = ∑+∞ ∞ =--n )(ω jn e n x (1) )X(e j ω = ∑+∞∞=--n )(ω δjn e n = 1 (2) )X(e j ω = ∑+∞ ∞=---n )3(ω δjn e n = ω -j3e (3) )X(e j ω = ω δδδjn e n n n -+∞ ∞ =∑ -+++-n )]1(5.0)()1(5.0[ = ω j 0.5e + 1 +ω -j 0.5e = 1 + 2 ω ω j j e e -+= 1 +ω cos (4) )X(e j ω = ∑ +∞ ∞=--n )(ω jn n e n u a = ∑ +∞ =-0 n ω jn n e a = n j ae )(0 n ∑ +∞ =-ω (∵0 < a < 1, ∴收敛) = 11 ω j ae -- (5) )X(e j ω = ∑+∞ ∞ =--n )(ω jn N e n R = ∑-=-1 n N jn e ω = 11ω ωj jN e e ---- = 2 2 ωωj N j e e --· 2 2 2 2ωωωωj j N j N j e e e e ----= ω 2 1-N j -e 2 sin 2sin ω ω N 3-2 (1) DTFT[x(n-n 0)] = ∑ +∞ ∞ =---n 0)(ω jn e n n x ω ω 0-m 0 )(jn jm e e m x n n m -+∞ ∞ =-∑ -== ω ω 0)X(e j jn e - 随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 数字信号处理习题及答案1 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出 y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ） 的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即 可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理 想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 数据分析与处理答案 Prepared on 24 November 2020 一、简答题（5×2分， 共10分） 1、请解释质量控制图中三条主要控制线的意义：CL 、UCL 、LCL 未学，不考 2、请解释正交设计表“L 934” 这个符号所指代的意义。如果要做6因素4水平实验，应该选择以下哪一个正交表（不考虑交互作用）：L 1645，L 3249 L: 正交； 9：9行或9次实验； 3：3个水平 ； 4：4列或4个因素 选L 3249 二、计算题（90分） 1、某分析人员分别进行4次平行测定，得铅含量分别是、、、、，试分别用3s 法、Dixon 法和Grubbs 检验法判断是否为离群值。（，4=， ,5=）（12分） x =, s=, 3s 法：∣ 应保留 Dixon ：70.6360.08 0.89671.8560.08 Q -= =-> ,5=, 应舍去 Grubbs: G 计= 60.0868.455/5.61-=> ，4，应舍去· ·· 2、4次测定结果为：%、%、%、%，根据这些数据估计此样品中铬的含量范围（P=95%）（8分） ( 2.353%903,10.0=?=t P ， 3.182%9530.05=?=，t P ， 5.841%9930.01=?=，t P ) x =%, s=% 3、用一种新方法测定标准试样中的氧化铁含量（%），得到以下8个数 据：、、、、、、、。标准偏差为%，标准值为%问这种新方法是否可靠（P=95%，，7=）（10分） x = 34.3034.33 1.770.048 t -==< ，7，所以新方法可靠 4、某小组做加标回收试验考查方法的准确性，测得加标前1000mL 样品浓度为L ，加入浓度为1000mg/L 的标准样品后，测得样品总浓度为L ，求回收率是多少。（8分） 没讲，不考 5、两分析人员测定某试样中铁的含量，得到如下结果： 已知A 的标准偏差s 1=，B 的标准偏差s 2=，请比较两个人测定结果的精密度和准确的有无显着性差异。（12分） F （,4,4）=， t （,8）= F==< F （,4,4）,故精密度无显着性差异 t=< t （,8）,故准确度无显着性差异 5. 拟考察茶多酚浓度、浸泡时间、维生素C 等3个因素对米粉保鲜效果的影响，实验因素水平表如下表。 请完成下列正交表格，并指出各因素的主次顺序，求出最优水平组合，并做方差分析，填方差分析表，并对实验结果做出讨论（可结合因素指标变化图）。（25分） 1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图 解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n －1)+2δ(n －2)+4δ(n －3)+0.5δ(n －4)+2δ(n －6) 2． 给定信号： ?? ? ??≤≤-≤≤-+=其它04 061 452)(n n n n x (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令x 1(n)=2x(n －2)，试画出x 1(n)波形； (4) 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； (5) 令x 3(n)=x(2－n)，试画出x 3(n)波形。 解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n －1)+6δ(n －2)+6δ(n －3)+6δ(n －4) （3）x 1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x 2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x 3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移 2位， x 3(n)波形如题2解图（四）所示。 3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)是常数 A n A n x 8π73 cos )(??? ??-=π (2))8 1 (j e )(π-= n n x 解：（1） 因为ω=7 3 π, 所以314 π 2= ω , 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 （2） 因为ω=81 , 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形； (2) 计算x e (n)=1/2［x(n)+x(－n)］， 并画出x e (n)波形； (3) 计算x o (n)=1/2［x(n)－x(－n)］， 并画出x o (n)波形; (4) 令x 1(n)=x e (n)+x o (n), 将x 1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到x e (n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e (n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出x o (n)的波形如题4解图（三）所示。 (4) 很容易证明：x(n)=x 1(n)=x e (n)+x o (n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 第一章 第二章 11-=--m/2 m=-m -/2 12 m=--/2 -/21 2 m=-m=-()121.7DTFT[x(2n)]=(2n)e m=2n DTFT[x(2n)]=(m)e =[()(1) ()]e [()e e ()e ] [()()] j n n j m j m j m j m j m j j x x x m x m x m x m X e X e ωωωωπ ωωωπ∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞-+-=+ =+∑∑ ∑∑∑，为偶数 求下列序列的傅里叶变换（）x(2n) 令，于是 -n 1 1 121 z (1) 2u(n)()2 ()2 1,|(2)|11(2),||n n n n n n X z u n z z z z z z z +∞ --=-∞+∞ --=-∞ --=== <-=>-∑∑14.求出下列序列的变换及收敛域 3.3(1).()cos(),781() 8 (2).()5.25n 640() (5)()x n A n A j n x n e x n y n e πππω=--==判断下面的序列是否周期的是常数 试判断系统是否为线性时不变的（）y(n)=x (n)(7) y(n)=x(n)sin() .试判断系统是否为因果稳定系统（）y(n)=x(n-n ) -1 -1-2 -1 -1112 1-317.X(z)=,2-5+2105< | z | < 2x(n)(2) | z | > 2x(n) 11 X(z)= -1-z 1-2z 05< | z | < 2(n)=2(-n-1)+()(n) | z | > 2(n)=()(n)-2(n)n n n n z z z u u u u 已知分别求：（）收敛域.对应的原序列收敛域对应的原序列解：收敛域.时： x 收敛域时： x -1-1 -1 -1-1 -1 21.(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)h(n)(2)H(e )1+0.9(1)H(z)=,|z|>0.91-0.91+0.9F(z)=H(z)z =z 1-0.9n 1z=0.9(n j n n z z z z h ω≥已知线性因果网络用下面差分方程表示： y 求网络的系统函数及单位脉冲响应写出网络频率响应函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线解： 令当时，有极点-1-1=0.9-112-1-1-1-1=0=0.9-1-1)=Res[F(z),0.9]1+0.9=z (z-0.9)|1-0.9=20.9(n)=0,n<0 n=0z =0,=0.9(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.91+0.9=z z|+z (z-0.9)|1-0.91-0.9=-1+2=1 h(n)=n z n z z z z z h z z z z ?∴因为系统是因果系统，所以有h 当时，有极点00000000=0n-m =0n -m =0 n n 20.9(n-1)+(n)+0.9 (2)H(e )=-0.9 (3)y(n)=h(n)*x(n) =(m)x(n-m) =(m)e =(m)e e =e H(e )+0.9=e -0.9 n j j j m j m j j m j j j j j u e e h h h e e ωω ω ωωωωωωωωδ∞ ∞ ∞ ?∑∑∑（ ） 第三章 误差和分析数据的处理 作业及答案 一、选择题(每题只有1个正确答案) 1. 用加热挥发法测定BaCl 2·2H 2O 中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g ，问测定结果应以几位有效数字报出？( D ) [ D ] A. 一位 B. 二位 C .三位 D. 四位 2. 按照有效数字修约规则25.4507保留三位有效数字应为( B )。 [ B ] A. 25.4 B. 25.5 C. 25.0 D. 25.6 3. 在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C )。 [ C ] A. 精密度高，准确度必然高 B. 准确度高，精密度不一定高 C. 精密度是保证准确度的前提 D. 准确度是保证精密度的前提 4. 以下关于随机误差的叙述正确的是( B )。 [ B ] A. 大小误差出现的概率相等 B. 正负误差出现的概率相等 C. 正误差出现的概率大于负误差 D. 负误差出现的概率大于正误差 5. 可用下列何种方法减免分析测试中的随机误差( D )。 [ D ] A. 对照实验 B. 空白实验 C. 仪器校正 D. 增加平行实验的次数 6. 在进行样品称量时，由于汽车经过天平室附近引起天平震动产生的误差属于( B )。 [ B ] A. 系统误差 B. 随机误差 C. 过失误差 D. 操作误差 7. 下列表述中，最能说明随机误差小的是( A )。 [ A ] A. 高精密度 B. 与已知含量的试样多次分析结果的平均值一致 C. 标准偏差大 D. 仔细校正所用砝码和容量仪器 8. 对置信区间的正确理解是( B )。 [ B ] A. 一定置信度下以真值为中心包括测定平均值的区间 B. 一定置信度下以测定平均值为中心包括真值的范围 C. 真值落在某一可靠区间的概率 D. 一定置信度下以真值为中心的可靠范围 9. 有一组测定数据，其总体标准偏差σ未知，要检验得到这组分析数据的分析方法是否准确可靠，应该用( C )。 [ C ] A. Q 检验法 B. G(格鲁布斯)检验法 C. t 检验法 D. F 检验法 答：t 检验法用于测量平均值与标准值之间是否存在显著性差异的检验------准确度检验 F 检验法用于两组测量内部是否存在显著性差异的检验-----精密度检验 10 某组分的质量分数按下式计算：10 ???= m M V c w 样，若c =0.1020±0.0001，V=30.02±0.02， M=50.00±0.01，m =0.2020±0.0001，则对w 样的误差来说( A )。 [ A ] A. 由“c ”项引入的最大 B. 由“V ”项引入的最大 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 数据分析师常见的7道笔试题目及答案 导读：探索性数据分析侧重于在数据之中发现新的特征，而验证性数据分析则侧重于已有假设的证实或证伪。以下是由小编为您整理推荐的实用的应聘笔试题目和经验，欢迎参考阅读。 1、海量日志数据，提取出某日访问百度次数最多的那个IP。 首先是这一天，并且是访问百度的日志中的IP取出来，逐个写入到一个大文件中。注意到IP是32位的，最多有个2^32个IP。同样可以采用映射的方法，比如模1000，把整个大文件映射为1000个小文件，再找出每个小文中出现频率最大的IP(可以采用hash_map 进行频率统计，然后再找出频率最大的几个)及相应的频率。然后再在这1000个最大的IP 中，找出那个频率最大的IP，即为所求。 或者如下阐述： 算法思想：分而治之+Hash 地址最多有2^32=4G种取值情况，所以不能完全加载到内存中处理; 2.可以考虑采用“分而治之”的思想，按照IP地址的Hash(IP)24值，把海量IP 日志分别存储到1024个小文件中。这样，每个小文件最多包含4MB个IP地址; 3.对于每一个小文件，可以构建一个IP为key，出现次数为value的Hash map，同时记录当前出现次数最多的那个IP地址; 4.可以得到1024个小文件中的出现次数最多的IP，再依据常规的排序算法得到总体上出现次数最多的IP; 2、搜索引擎会通过日志文件把用户每次检索使用的所有检索串都记录下来，每个查询串的长度为1-255字节。 假设目前有一千万个记录(这些查询串的重复度比较高，虽然总数是1千万，但如果除去重复后，不超过3百万个。一个查询串的重复度越高，说明查询它的用户越多，也就是越热门。)，请你统计最热门的10个查询串，要求使用的内存不能超过1G。 典型的Top K算法，还是在这篇文章里头有所阐述， 文中，给出的最终算法是： 第一步、先对这批海量数据预处理，在O(N)的时间内用Hash表完成统计(之前写成了排序，特此订正。July、第二步、借助堆这个数据结构，找出Top K，时间复杂度为N‘logK。 即，借助堆结构，我们可以在log量级的时间内查找和调整/移动。因此，维护一个K(该题目中是10)大小的小根堆，然后遍历300万的Query，分别和根元素进行对比所以，我们最终的时间复杂度是：O(N) + N’*O(logK)，(N为1000万，N’为300万)。ok，更多，详情，请参考原文。 或者：采用trie树，关键字域存该查询串出现的次数，没有出现为0。最后用10个元素的最小推来对出现频率进行排序。 3、有一个1G大小的一个文件，里面每一行是一个词，词的大小不超过16字节，内存限制大小是1M。返回频数最高的100个词。 方案：顺序读文件中，对于每个词x，取hash(x)P00，然后按照该值存到5000个小文件(记为x0，x1，…x4999)中。这样每个文件大概是200k左右。 如果其中的有的文件超过了1M大小，还可以按照类似的方法继续往下分，直到分解得到的小文件的大小都不超过1M。 对每个小文件，统计每个文件中出现的词以及相应的频率(可以采用trie树 /hash_map等)，并取出出现频率最大的100个词(可以用含 100 个结点的最小堆)，并把100 西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。 解： x( n)(n 4) 2 (n 2) ( n 1) 2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6) 2n 5, 4 n 1 2. 给定信号： x( n) 6,0 n 4 0, 其它 （1）画出 x( n) 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列； （3）令 x 1( n) 2x(n 2) ，试画出 x 1( n) 波形； （4）令 x 2 (n) 2x(n 2) ，试画出 x 2 (n) 波形； （5）令 x 3 (n) 2x(2 n) ，试画出 x 3 (n) 波形。 解： （ 1） x(n) 的波形如 题 2 解图（一） 所示。 （ 2） x(n)3 ( n 4) (n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 ( n 2) 6 (n 3) 6 (n 4) （ 3） x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二） 所示。 （ 4） x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（三） 所示。 （ 5）画 x 3 (n) 时，先画 x(-n) 的波形，然后再右移 2 位， x 3 ( n) 波形如 题 2 解图（四） 所 示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x( n) Acos( 3 n ) ，A 是常数； 7 8 （2） x(n) j ( 1 n ) e 8 。 解： 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 一、简答题（5×2分，共10分） 1、请解释质量控制图中三条主要控制线的意义：CL、UCL、LCL 未学，不考 2、请解释正交设计表“L934”这个符号所指代的意义。如果要做6因素4水平实验，应该选择以下哪一个正交表（不考虑交互作用）：L1645，L3249 L: 正交；9：9行或9次实验；3：3个水平；4：4列或4个因素 选L3249 二、计算题（90分） 1、某分析人员分别进行4次平行测定，得铅含量分别是、、、、，试分别用3s法、Dixon法和 Grubbs检验法判断是否为离群值。（，4=，,5=）（12分） x=, s=, 3s法：∣应保留 Dixon ： 70.6360.08 0.896 71.8560.08 Q - == - > ,5=, 应舍去 Grubbs: G计= 60.0868.455/5.61 -=> ，4，应舍去···2、4次测定结果为：%、%、%、%，根据这些数据估计此样品中铬的含量范围（P=95%）？ （8分） ( 2.353%903,10.0=?=t P ， 3.182%9530.05=?=，t P ， 5.841%9930.01=?=，t P ) x =%, s=% 1.135 3.1820.0238/ 1.1350.038μ=±?=± 3、用一种新方法测定标准试样中的氧化铁含量（%），得到以下8个数据：、、、、、、、。标准偏差为%，标准值为%问这种新方法是否可靠（P=95%，，7=） （10分） x = 34.3034.33 1.770.048 t -==< ，7，所以新方法可靠 4、某小组做加标回收试验考查方法的准确性，测得加标前1000mL 样品浓度为L ，加入浓度为1000mg/L 的标准样品后，测得样品总浓度为L ，求回收率是多少。（8分） 没讲，不考 5、两分析人员测定某试样中铁的含量，得到如下结果： 已知A 的标准偏差s 1=，B 的标准偏差s 2=，请比较两个人测定结果的精密度和准确的有无显着性差异。（12分） F （,4,4）=， t （,8）= F==< F （,4,4）,故精密度无显着性差异 t=< t （,8）,故准确度无显着性差异 第三章 误差和分析数据的处理 思考题与习题 1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？ （1）砝码被腐蚀； （2）天平的两臂不等长； （3）容量瓶和移液管不配套； （4）试剂中含有微量的被测组分； （5）天平的零点有微小变动； （6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液； （8）标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。 答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 （5）随机误差。 （6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （7）过失误差。 （8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？ 解：因分析天平的称量误差为±0.2mg 。故读数的绝对误差Ea =±0.0002g 根据%100×Τ Ε= Εa r 可得 %2.0%1001000.00002.01.0±=×±= Εg g g r %02.0%1000000.10002.01±=×±= Εg g g r 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当称取的样品的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。 3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？ 解：因滴定管的读数误差为±0.02mL ，故读数的绝对误差Ea =±0.02mL 根据%100×Τ Ε=Εa r 可得 %1%100202.02±=×±=ΕmL mL mL r %1.0%1002002.020±=×±=ΕmL mL mL r 一、 简答题（5×2分， 共10分） 1、请解释质量控制图中三条主要控制线的意义：CL 、UCL 、LCL 未学，不考 2、请解释正交设计表“L 934” 这个符号所指代的意义。如果要做6因素4水平实验，应该选择以下哪一个正交表（不考虑交互作用）：L 1645，L 3249 L: 正交； 9：9行或9次实验； 3：3个水平 ； 4：4列或4个因素 选L 3249 二、计算题（90分） 1、某分析人员分别进行4次平行测定，得铅含量分别是60.08、71.26、70.63、 71.85、，试分别用3s 法、Dixon 法和Grubbs 检验法判断60.08是否为离群值。（G 0.95，4=1.463， Q 0.05,5=0.765）（12分） x =68.455, s=5.61, 3s 法：∣60.08-68.455∣=8.447<3s, 应保留 Dixon ：70.6360.08 0.89671.8560.08 Q -= =-> Q 0.05,5=0.765, 应舍去 Grubbs: G 计= 60.0868.455/5.61-=1.49> G 0.95，4，应舍去· ·· 2、4次测定结果为：1.12%、1.15%、1.11%、1.16%，根据这些数据估计此样品中铬的含量范围（P=95%）？（8分） ( 2.353%903,10.0=?=t P ， 3.182%9530.05=?=，t P ， 5.841%9930.01=?=，t P ) x =1.135%, s=0.0238% 3、用一种新方法测定标准试样中的氧化铁含量（%），得到以下8个数据：34.30、34.32、34.26、34.35、34.38、34.29、34.23、34.28。标准偏差为0.048%，标准值为34.33%问这种新方法是否可靠（P=95%，t 0.05，7=2.365）（10分） x =34.30 34.3034.33 1.770.048 t -= =< t 0.05，7，所以新方法可靠 4、某小组做加标回收试验考查方法的准确性，测得加标前1000mL 样品浓度为0.55mg/L ，加入0.05mL 浓度为1000mg/L 的标准样品后，测得样品总浓度为0.98mg/L ，求回收率是多少。（8分） 没讲，不考 5、两分析人员测定某试样中铁的含量，得到如下结果： 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ???随机信号分析习题
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