阵列天线分析与综合

阵列天线分析与综合

前言

任何无线电设备都需要用到天线。天线的基本功能是能量转换和电磁波的定向辐射或接收。天线的性能直接影响到无线电设备的使用。现代无线电设备，不管是通讯、雷达、导航、微波着陆、干扰和抗干扰等系统的应用中，越来越多地采用阵列天线。阵列天线是根据电磁波在空间相互干涉的原理，把具有相同结构、相同尺寸的某种基本天线按一定规律排列在一起组成的。如果按直线排列，就构成直线阵；如果排列在一个平面内，就为平面阵。平面阵又分矩形平面阵、圆形平面阵等；还可以排列在飞行体表面以形成共形阵。

在无线电系统中为了提高工作性能，如提高增益，增强方向性，往往需要天线将能量集中于一个非常狭窄的空间辐射出去。例如精密跟踪雷达天线，要求其主瓣宽度只有1/3度；接收天体辐射的射电天文望远镜的天线，其主瓣宽度只有1/30度。天线辐射能量的集中程度如此之高，采用单个的振子天线、喇叭天线等，甚至反射面天线或卡塞格伦天线是不能胜任的，必须采用阵列天线。

对一些雷达设备、飞机着陆系统等，其天线要求辐射能量集中程度不是很高，其主瓣宽度也只有几度，虽然采用一副天线就能完成任务，但是为了提高天线增益和辐射效率，降低副瓣电平，形成赋形波束和多波束等，往往也需要采用阵列天线。

在雷达应用中，其天线即需要有尖锐的辐射波束又希望有较宽的覆盖范围，则需要波束扫描，若采用机械扫描则反应时间较慢，必须采用电扫描，如相控扫描，因此就需要采用相控阵天线。

在多功能雷达系统中，既需要在俯仰面进行波束扫描，又需要改变相位展宽波束，还需要仅改变相位进行波束赋形，实现这些功能的天线系统只有相控阵天线才能完成。

随着各项技术的发展，天线馈电网络与单元天线进行一体化设计成为可能，高集成度的T/R组件的成本越来越低，使得在阵列天线中的越来越广泛的采用，阵列天线实现低副瓣和极低副瓣越来越容易，功能越来越强。等等。

综上所述，采用阵列天线的原因大致有如下几点：

■容易实现极窄波束，以提高天线的方向性和增益； ■易于实现赋形波束和多波束； ■易于实现波束的相控扫描； ■易于实现低副瓣电平的方向图。

对上面的第一点，可采用大型阵列天线来实现；对后三点，可采用阵列天线的口径幅度分布和相位分布来控制，并考虑馈电网络与辐射单元天线的一体化设计，甚至采用含T/R 组件的有源相控阵。

现在的无线电通讯系统和雷达系统中愈来愈多地采用阵列天线，例如，在民用移动通讯系统中，作为基站天线的平板阵列天线、航管雷达天线等，军用的远程警戒雷达天线、预警机载雷达天线、一些炮瞄雷达天线、导弹制导雷达天线，微波着陆系统天线等。

由于阵列天线易于实现窄波束、低副瓣和相控波束扫描，使得发现目标和跟踪目标的可靠性、稳定性和实时性等性能得以提高，原来的一些采用反射面机械扫描的天线有的也改用阵列天线来实现。

阵列中的单元天线通常是相同类型、相同尺寸的天线。例如，由半波振子天线组成的阵列，称为半波振子天线阵列。此外还有喇叭天线阵列、开口波导天线阵列、微带天线阵列、波导缝隙天线阵、八木天线阵等等。阵列天线采用何种形式的单元天线完全取决于工作频率、频带宽度、环境、制造成本等诸多其它因素。 ■ 阵列天线的分析

阵列天线的分析是在已知如下四个参数的情况下分析确定阵列天线的辐射特性，包括阵列天线的方向图、半功率波瓣宽度、方向性系数、副瓣电平等。

(1) 单元总数； (如直线阵的N ，平面阵的M ×N ) (2) 单元在空间的分布；(如直线阵的d ，平面阵的x d 、y d )

(3) 各单元的激励幅度分布；(如直线阵的n I ，平面阵的xm I 、yn I 或mn I )

(4) 各单元的激励相位分布；(如直线阵的n α，平面阵的xm α、yn α) ■ 阵列天线的综合

阵列天线的综合则是其分析的逆问题，即在给定辐射特性的情况下综合出阵列天线的如上四个参数，使阵列的某些辐射特性满足给定的要求，或使阵列的方向图尽可能地逼近预定的方向图。

第一章 直线阵列的分析

§1.1 引言

为了增强天线的方向性，提高天线的增益或方向性系数，或者为了得到所需的辐射特性，我们可以采用天线阵，以形成阵列天线。天线阵是由多个天线单元按照一定方式排列在一起而组成的。组成阵列天线的独立单元，称为天线单元、单元天线或阵元。

直线阵列的分析方法是平面阵列分析的基础。对于可分离型的矩形网格矩形边界的平面阵列，可以看作是一些直线阵列按行或按列排列在一起构成的。导出直线阵列阵因子的方法大致有两种，一种是求解面电流源的辐射场，然后根据阵列为离散源组合在一起的特点对面电流源进行抽样，就可得到直线阵列的阵因子；一种是先确定单元天线的远区辐射场的表示，然后考虑波程差，把阵列中所有单元天线的辐射场叠加起来，求得阵列的总辐射场，从而求得阵因子。

§1.2 电流源的辐射场

假设在xz 平面上有一个面积为S 的面电流源，其面电流密度为?()(,)z J x z ''=J r z

，如图1-1所示，求远区辐射场。

图1-1 面电流源及坐标系

这种模型对分析阵列天线有用，阵列天线中电流分布是离散的分布，可以把阵列中各单元的电流值视为连续电流分布的抽样值。

求面电流源辐射场的方法如下： (1) 求矢量位A

面电流源在空间某点产生的矢量位为

()4jkR

s e ds R μπ

-''=

??A J r (1.1)

式中，2/k πλ=，对于远区，,r R

λ，可作如下近似：

且由 ????sin cos sin sin cos x y z θ?θ?θ=++r

可得其中波程差： ?(sin cos cos )R r x z θ?θ'''-=-?=-+r

r (1.2) 则式(1.1)可写作

(sin cos cos )?(,)4jkr

jk x z z S

e z

J x z e dx dz r

θ?θμπ-''+''''=??

A ?z zA

= (1.3) (2) 把直角坐标系下的矢量分量转化为球坐标系下的矢量分量

sin z A A θθ=- (1.4)

(3) 由远场公式 j ω=-E A 求远区电场

(,)4jkr

e j F r

ηθ?π-= k ωμη?

= (1.5)

式中，η=

(sin cos cos )(,)sin (,)jk x z z s

F k J x z e dx dz θ?θθ?θ''+''''=?? (1.6)

(4) E 面和H 面方向图函数

天线的方向图一般是一个空间的立体图，在天线分析中为了方便起见，一般只研究两个主面内的方向图，这两个主面是相互垂直的E 面和H 面。

E 面：是指通过最大辐射方向并平行于电场矢量的平面； H 面：是指通过最大辐射方向并垂直于电场矢量的平面； 对前面图1-1所示的面电流源天线，其E 面和H 面方向图分别为: E 面(即yz 平面，/2?π=)

cos ()sin (,)jkz E z s

F k J x z e dx dz θθθ'''''=?? (1.7)

H 面(即xy 平面，/2θπ=)

cos ()(,)jkx H z s

F k J x z e dx dz ??'''''=?? (1.8)

§1.3 直线阵列

为简单起见，这里主要讨论由对称振子组成的直线阵。对称振子组成的直线阵主要有两种排列形式，一种是平行振子直线阵，如图1-2所示，一种是共轴振子直线阵，如图1-3所示。

图1-2 并排振子直线阵 图1-3 共轴振子直线阵

1.3.1 并排振子直线阵

设阵列中有N 个相同振子单元天线，长度为2L ，各振子平行排列在x 轴上，位置分别为0121,,,...,N x x x x -，阵列天线的电流分布可看作是图1-1平面连续电流密度的抽样。即

1

0(,)()()N z n n n J x z I g z x x δ-=''''=-∑ (1.9)

式中，jn n n I I e α=，n I 表示单元馈电振幅，α表示相邻单元间的馈电相位差，或称均匀递变

相位。()g z '表示振子上电流沿z 轴变化的函数，其近似为

()sin (||)g z k L z ''=- , (1.10)

()n x x δ'-为delta 函数。

把式(1.9)代入(1.6)，并利用关系()()()n n f x x x dx f x δ-=?，得

0()(,)kf S θθ?= (1.11)

式中，0()f θ为单元方向图函数，代入式(1.10)得

cos 0()sin ()jkz L

f g z e dz θθθ'''=?2cos(cos )cos()

sin kL kL k θθ

-=

?

(1.12) 阵因子方向图函数为

1sin cos 0

(,)n N jkx n n S I e

θ?

θ?-==

∑1

(cos )0

n

x

N j kx n n n I e θα-+==

∑ (1.13)

式中， cos sin cos x θθ?= (1.14) 为阵轴与射线之间的夹角，见图1-2。

式(1.11)表示了阵列天线的方向图相乘原理，即阵列天线的方向图为单元方向图与阵因子方向图的乘积。由式(1.13)可见，阵因子与单元数N ，单元的空间分布n x ，激励幅度n I 和激励相位α有关。阵因子(,)S θ?可视为由理想的无方向性的点源组成的阵列方向图函数。一般情况下，单元方向图是已知的，因此，研究阵因子的特点便能获得阵列的辐射特性。

对于均匀直线阵，单元为等间距d 排列，激励幅度相同0n I I =，激励相位按α均匀递变(递增或递减)。设无论是奇数还是偶数单元的阵列，其坐标原点均设在阵列中点，如图1-4所示。

这两种情况均有如下关系

1

(1)2

n N x n d +=+-

， 0,1,2,...,1n N =- (1.15) 代入式(1.13)可得均匀直线阵的阵因子为

1

1(1)cos 200

(,)x N N jk d jnu

n S I e

e θθ?+--

==∑

(1.16)

式中， cos x u kd θα=+ (1.16a) 令 12(1)0

1N jnu ju j u j N u n t e e e e --==

=+++

+∑

两式相减得： (1)1ju jNu t e e -=-

则得： (1)/21sin(/2)sin(/2)1jNu j N u ju

e Nu t e u e --==- (1.17) 把式(1.17)代入(1.16)，并取阵因子的模值，得

0sin(/2)sin[(cos )/2]

|()|sin(/2)sin[(cos )/2]

x x Nu N kd S u I I u kd θαθα+==+ (1.18)

对于并排振子均匀直线阵，见图1-2，由式(1.11)可得其 yz 面(/2?π=)方向图函数为

00sin(/2)

|()|()

sin(/2)

N F kI f αθθα= (1.19)

式中用了关系/2cos sin cos |0x ?πθθ?===。当0α=时，上式就为E 面方向图。H 面方向图(xy 面，/2θπ=)函数为

00sin[(cos )/2]

|()|(/2)

sin[(cos )/2]

H N kd F kI f kd ?α?π?α+=+ (1.20)

1.3.2 共轴振子直线阵

同样设单元数为N ，单元振子长度为2L ，各振子共轴置于z 轴上，振子中心位置分别为0121,,,

,N z z z z -。共轴振子线阵的电流密度函数为

1

(,)()()N z n n n J x z x I g z z δ-=''''=-∑ (1.21)

此式代入式(1.6)得

1

cos 0

()sin ()N jkz n n L

n F k I g z z e dz θθθ-'=''=-∑? (1.22)

令 0n z z z '=-，则0n z z z '=+，上式变为

0()()kf S θθ=? (1.23)

式中，单元振子的方向图函数为

与前面式(1.12)表示相同。阵因子为

与式(1.13)表示相同。

由式(1.23)可见，共轴振子线阵的方向图函数与?无关，说明()F θ是关于z 轴旋转对称的。

其E 面方向图函数为：0()()()E F kf S θθθ=?

在波束不扫描的情况下(α=0)，H 面(/2θπ=)方向图函数为：/2()|E F θπθ==常数，为一个圆。

不论是平行振子线阵还是共轴振子线阵，只要是直线阵，它们的阵因子表达式在形式上是相同的，而且不论排列在哪个坐标轴上。 沿x 轴排列的直线阵

1j(cos )

(),

cos sin cos n

x

N kx n x n x n S I e θαθθθ?-+==

=∑ (1.24a)

沿y 轴排列的直线阵

1j(cos )

(),

cos sin sin n y N ky n y n y n S I e

θαθθθ?-+==

=∑ (1.24b)

沿z 轴排列的直线阵

1j(cos )

(),

cos cos n

z

N kz n z n z n S I e θαθθθ-+==

=∑ (1.24c)

阵因子中的,,x y z θθθ均表示射线与阵轴之间的夹角；,θ?为球坐标系中的角坐标变量；

,,n n n x y z 则表示阵列单元分别沿x 轴、y 轴和z 轴排列的位置分布。为了通用性，设阵轴与

射线之间的夹角为β，沿阵轴排列的位置分布为n ξ，则直线阵的阵因子通用表示为

1j(cos )

()n N k n n

n S I e ξβαβ-+==

∑ (1.25) 1.3.3 直线阵阵因子的简单导出方法

前面在单元为对称振子的情况下导出了直线阵阵因子式(1.25)。其它形式单元天线组成的直线阵同样可得到式(1.25)表示的直线阵阵因子。除对称振子外，单元天线有开口波导、喇叭、微带天线、八木天线、螺旋天线、波导缝隙天线等。这里我们采用一种简单方法导出直线阵阵因子。

任意形式单元天线构成的直线阵如下图1-6所示。

图1-5 任意形式的单元天线组成的直线阵

阵中第n 个单元的远区辐射场可表示为如下形式

0(,)n

jkR n n n

e E A

f R θ?-= (1.26) 式中，n j n n A A e α=，A n 和αn 分别表示单元天线的激励幅度和相位，0(,)f θ?为单元天线的方向图函数。则阵列的远区总场为：

j 1

00(,)n kR N T n n n n n e E E f A R θ?--===∑∑j 1

j ()00

(,)n kr

N k R r n n e f A e r θ?----==∑ (1.27)

波程差为：cos n n R r ξβ-=-，得

j 0(,)()kr

T e E f S r

θ?β-=? (1.28)

式中阵因子为： 1j(cos )0

()n

n

N k n n S A e ξβαβ-+==

∑ (1.29)

若n n αα=，即相位为均匀递变，且取n n A I =，则上式与(1.25)完全一样。

对于均匀直线阵，即相位为均匀递变，等间距d 排列，激励幅度相同0n I I =，其通用阵因子为

00sin[

(cos )]sin()22()1sin[(cos )]sin()

22

N Nu kd S I I u kd βαββα+==+ (1.30) 或写作 0sin(

)2()sin()

2

Nu S u I u = 式中，cos u kd βα=+。 1.3.4 均匀直线阵分析

均匀直线阵阵因子由式(1.30)给出，由此可对均匀直线阵进行分析。

1、主瓣最大值及最大指向

由式(1.30)可见，u =0时阵因子将出现主瓣最大值S max ，对应的方向为最大指向βm 。

主瓣最大值为： max 00

lim ()u S S u I N →==。 (1.31)

最大指向为： cos()m arc kd

α

β=-

(1.32)

归一化阵因子为：max sin(

)()2()sin()

2

Nu S u S u u S N =

= (1.33) 2、侧射阵、端射阵与扫描阵

主瓣最大指向由式(1.32)给出，由其可见：

■当0α=时，o 90m β=，即最大指向与阵轴垂直，为侧射阵。 ■当kd α=±时，0,180m β=o ，即最大指向在阵轴方向，称为端射阵。 ■当α为其它可变值时，最大指向由式(1.32)表示，称为扫描阵。

由式(1.32)解出α，cos m kd αβ=-，代入式(1.30)得

0sin[

(cos cos )]2()sin[(cos cos )]

2

m m Nkd

S I kd

βββββ-=- (1.34) 3、可见区与非可见区

从数学上看，阵因子()S u 是在u -∞<<∞范围内的周期函数，周期为2π，实际上β的变化范围为0βπ≤≤，由cos u kd βα=+可得对应的实际范围为

kd u kd αα-+≤≤+ (1.35)

该范围为可见区，范围之外为非可见区，如图1-6所示为单元数为N ＝5，单元间距为

/2d λ=，均匀递变相位为/6απ=时的归一化阵因子()S u 随u 变化的图形。α的改变是使可见区移动，单元间距的变化将使可见区范围增大或缩小。 图1-6 均匀直线阵阵因子归一化函数图 4、栅瓣及其抑制条件

前面介绍了阵因子主瓣最大值出现在u =0处。由于阵因子S (u )是周期为2π的周期函数，则其最大值将呈周期出现，即最大值出现在：

2u m π=，0,1,2,

m =±±

■m =0时，u =0，对应为主瓣。 ■m 为其它值时为栅瓣(见图1-6)。

栅瓣的出现是人们不希望的，它不但使辐射能量分散，增益下降，而且会造成对目标定位、测向造成错误判断等，应当给予抑制。

()S u 的第二个最大值出现在(cos cos )2m u kd ββπ=-=±时。

抑制条件是：max ||2u π<，即 max

|cos cos |m d λ

ββ<

-，因0~βπ=，

max |cos cos |1|cos |m m βββ-=+，则得

1|cos |

m d λ

β<

+ (1.36)

此式即为均匀直线阵的抑制栅瓣条件，该式也可以作为非均匀直线阵(如泰勒阵、切比雪夫阵等)的抑制栅瓣条件。

■对侧射阵，/2m βπ=，抑制栅瓣条件为 d λ<

■对端射阵，0,m βπ=，抑制栅瓣条件为 /2d λ<

■对波束扫描阵，m β应为最大扫描角。例如，在正侧向两边o 30±内扫描，取

o o o 903060m β=-= 得抑制栅瓣条件为：2/3d λ<

在均匀直线阵列中一般就分为这三种情况即：(1)均匀侧射阵；(2)均匀端射阵；(3)均匀扫描阵。

■均匀直线阵是指单元排列为等间距，激励幅度相等，激励相位为均匀递变的直线阵。 ■均匀直线式侧射阵是指方向图主瓣最大指向与阵轴垂直的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位同相，即0α=，/2m βπ=。

■均匀直线式端射阵是指方向图主瓣最大指向在阵轴方向的均匀直线阵列。此时要求各单元激励相位为kd α=±，0,m βπ=。

■均匀直线式扫描阵是指方向图主瓣最大指向随α的变化而变化的均匀直线阵列。此时cos()m arc kd

α

β=-

。

5、均匀侧射阵、扫描阵及端射阵的方向图

如下图1-7(a)(b)(c)给出的是间距为/2λ的4元阵侧射(0α=)方向图和扫描(/3απ=，

/2απ=)方向图，图(d)给出的是间距为/4λ的8元阵端射(/2kd απ==)方向图。并给出了

对应的三维方向图。

当间距/2d λ=，均匀递变相位3/2απ>时将出现栅瓣，要继续增大扫描角，则必须减少单元间距。

图1-7 均匀直线式侧射阵、扫描阵和端射阵的极坐标方向图

6、零点位置

零点是指方向图两个波瓣之间的节点。令归一化方向图函数

()sin(/2)/sin(/2)0S u Nu u ==，即可得方向图的零点位置。除0u =外，方向图零点可由

sin(/2)0Nu =确定。有

/2,1,2,...Nu n n π=±= (1.37)

即： 0(cos cos )/2m Nkd n ββπ-=± 得： 0cos cos m n Nd

λ

ββ=±

(1.38) ■对侧射阵(/2m βπ=)， 0cos n n Nd

λ

β=±

(1.39) n =1时为主瓣两侧的第一个零点。在可见区内，零点数目与单元数N 、间距d 和最大指向m β有关。例如，0.5d λ=时的侧射阵，其零点个数为N -1。图1-8给出了N=7和N=8时的侧射阵归一化方向图。

图1-8 侧射阵方向图的零点个数

■对端射阵，0m β=，0cos 1n n Nd

λ

β=±

(1.40) ■对波束扫描阵，零点位置由式(1.38)确定。 7、主瓣零点宽度(BW )b0

指主瓣两边第一零点之间的夹角，如图1-9所示，0()2b BW β=?。

图1-9 主瓣零点宽度示意图

图中 01||m βββ?=- 则 01sin()sin ||m βββ?=- ■对侧射阵，/2m βπ=，0101sin()sin(

)cos()2

Nd

π

λ

βββ?=-==

得 0()22arcsin()b BW Nd

λ

β=?= (1.41)

当Nd

λ时

0()2

b BW Nd

λ

≈ (1.42)

■对端射阵，0m β=，01ββ?= 由 0cos 1n n Nd

λβ=±

n =1时 01cos(1)arc Nd

λ

β=-

当Nd

λ时，2

0101

1cos 112

Nd

λ

ββ=-=-

即 01β=

得 001()2b BW β=≈ (1.43) 8、主瓣宽度(BW )bh

又称半功率波瓣宽度或3dB 波瓣宽度，它是天线的一个重要技术指标。所谓半功率波瓣宽度，在功率方向图中是指最大辐射功率下降一半所对应的角宽度，或在场强方向图中其

场强为最大值的0.707=所对应的波瓣角宽度，如图1-10所示。

图1-10 主瓣宽度示意图

由归一化阵因子：sin(/2)

()sin(/2)

Nu S u N u =

对于主瓣窄的大阵列，上式分母取sin(/2)/2u u ≈，则

sin(/2)

()/2

Nu S u Nu ≈

=0.707

式中，(cos cos )m u kd ββ=- 查图1-10(b)得 /2 1.392h Nu =± 即

(cos cos ) 1.3922

h m N

kd ββ-=± (1.44) ■对侧射阵(/2m βπ=，上式取正)

2cos 1.392

0.443

h Nkd Nd

λ

β== ←2/k πλ= 由图1-10(a)有 sin()sin ||sin(/2)cos h h m h h βββπββ?=-=-= 得 ()22arcsin(0.443)bh h BW Nd

λ

β=?= (1.45)

当Nd

λ时，sin()h h ββ?≈?

则得 ()0.886

()bh BW rad Nd λ

=

o o 50.77

()51

()Nd

L

λ

λ

=≈ ←L Nd =为阵列长度 (1.46)

侧射阵的主瓣宽度与阵列长度L 成反比。 ■对侧射阵(0m β=，式(1.44)取负) 得 ()22arccos(10.443)bh h BW Nd

λ

β==-

当Nd

λ时，h β很小，21

cos 110.443

2

h h Nd

λ

ββ≈-=-

即 h β==

得 ()2()bh h BW rad β==

o o ()()== (1.47)

端射阵的主瓣宽度与阵列长度平方根成反比。 ■对扫描阵(0/2m βπ<<)

由式(1.44)得

1cos cos 0.443m L λ

ββ-=- (1.48a)

2cos cos 0.443m L

λ

ββ-= (1.48b)

主瓣宽度为：

cos(cos 0.443/)cos(cos 0.443/)m m arc L arc L βλβλ=--+ (1.49)

对大阵列，上式可作如下简化。由式(1.48b)－(1.48a)得：

21cos cos 0.886

L

λ

ββ-= (1.50)

当波束很窄，且扫描角不是很宽时

o ()20.886

51

()sin sin h h m

m

BW L L λ

λ

βββ=== (1.51)

当/2m βπ=时，上式与侧射阵的主瓣宽度公式相同。如果在正侧向两边m φ±内扫描，取

o 90m m βφ=±得：

o ()0.886

51

()cos cos h m

m

BW L L λ

λ

φφ== (1.52)

由此式可见，与侧射阵相比，波束最大值发生偏移时半功率波瓣宽度将变宽。 9、副瓣位置和副瓣电平 (1) 副瓣位置sn β

指副瓣最大值对应的角度sn β。它可由

()

0dS u du

=解得，即可由下式 确定所有副瓣位置。但这种做法较繁。考察归一化阵因子sin(/2)

()sin(/2)

Nu S u N u =

，当N 较大时，

其分子的变化比分母快得多，因此，副瓣最大值发生在sin(/2)1Nu =±处，即

/2(21)/2sn Nu n π=±+，n =1,2,…。

(21)/sn u n N π=±+ (1.53)

或

(cos cos )(21)22

sn m N kd n πββ-=±+ 得 cos cos (21)

2sn m n Nd

λ

ββ=±+ (1.54)

由此可确定侧射阵(/2m βπ=)和端射阵(0m β=)的副瓣位置。 (2) 副瓣电平SLL

副瓣电平也是天线的重要技术指标之一。其定义为

1max |||()|

20lg

20lg ||||

sm s m E S u SLL E S == (1.55) 式中，1()sm s E C S u =?为副瓣场强最大值；max m E C S =?为主瓣场强最大值。C 为常数；()S u 为阵因子函数；max S 为阵因子最大值。

对于均匀直线阵，紧靠主瓣的第一副瓣最大值比其它远旁瓣的幅度都大，因此，阵列的副瓣电平以其第一副瓣电平为准。

由式(1.53)得第一副瓣位置对应的u 值为：13/s u N π=± 得 ||

20lg

||

sm m E SLL E =＝－13.5 (dB) (1.56) 10、方向性系数D

方向性系数是表征天线辐射功率集中程度的一个重要参数。在工程上，其定义是：在总辐射功率相同的情况下，主瓣最大方向上的功率密度与全空间的平均功率密度之比。即

2

max 22

4|||(,)|sin F D d d F π

π

π?θθ?θ

=

?

? (1.57)

式中，0(,)(,)(,)F kf S θ?θ?θ?=，max F 是其最大值。若单元天线为无方向性的理想点源，

0(,)1f θ?=，则对于阵轴为z 轴的阵列

1

N jnu n n k I e -==∑ ←cos u kd θα=+ (1.58)

其最大值出现在0u =处， 1

max max 0

N n n F kS k I -===∑ (1.59)

得 2

max 2

4||2|()|sin S D S d π

ππθθθ

=

? (1.60)

式中， 112

*

200|()|()()N N jnu jmu n m n m S S u S u k I e I e θ---==????

=?=????????

∑∑

112

()00

N N j n m u n m

n m k

I

I e ---===∑∑ (1.61)

因cos u kd θα=+，sin du kd d θθ=-，且积分上下限变为 由式(1.60)得

1

2

011

()00

2||

N n n N N kd j n m u n m

kd n m kd I D I I e du

α

α

-=--+--+===

∑∑∑?

1

2

11

()00

||sin[()]

()N n n N N j n m n m

n m I n m kd I

I e n m kd

α

-=---===

--∑∑∑ (1.62)

这是不等幅激励直线阵方向性系数的一般计算公式。当单元间距d =λ/2时，kd =π，有 此时式(1.62)为如下简单形式

1

2

0120

||N n n N n

n I D I

-=-==

∑∑ (1.63)

若为等幅激励0n m I I I ==，引入新的序号0l n m =->，则上式可简化为

1

1

2cos()sin()

N l Nkd

D N l

kd l kld Nl α-==

-+∑ (1.64) ■当/2d λ=，kd π=，sin()0lkd =，则 D =N ■当0α=时，得侧射阵的方向性系数公式

1

1

2sin()

N l Nkd

D N l

kd kld Nl -==

-+∑ (1.65)