第六章 线性空间自测题
一、选择题
1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义σ(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.
A ．单射
B ．满射
C ．双射
D ．既非单射也非满射
2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.
A ．一维
B ．二维
C ． 三维
D ．无限维
3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）.
A ．C 上的线性空间
B ．R 上的线性空间
C ．Q 上的线性空间
D ．不构成线性空间
4．已知P 2的两组基：112(,)a a ε= ()212,b b ε=与()112,c c η=，()212,,d d η= 则由基1ε、2ε1η到基、2η的过渡矩阵为（ ）.
A ． ???? ?????? ??-2211122
11d c d c b a b a B ．???? ?????? ??-221112211b a b a d c d c C ． ???? ?????? ??-212112121d d c c b b a a D ．???? ?????? ??-21211
2121b b a a d d c c 5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义为：a ⊕b=ab , k 。a =a k ，其中a 、b ∈ R +， k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）.
A ．维数=0，没有基
B ．维数=1，1是基
C ．维数=1，2是基
D ．维数=2，3、5是基
6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）.
A ．{}1n n W A P A A ?'=∈=
B ．{}2n n
W A P A ?=∈为上三角形矩阵 C D ．{}4n n W A P A A ?'=∈=-
7. 数域P 上线性空间V 的维数为12,,
,n r V ααα∈，，且V 中任意向量可由 12,,,n ααα线性表出，则下列结论成立的是（ ）.
A ．n r =
B ．n r ≤
C ．n r <
D ．n r >
8. 设1324[],[]W P x W P x ==，则=+)dim (21W W （ ）. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 已知{}
R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）.
A ．)3,2,1(
B ．),,(a a a
C ．)3,2,(a a a
D ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1(
10. 若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）.
A ．21211)(W W W W W =+
B ．21211)(W W W W W +=+
C ．1211)(W W W W =+
D ．2211)(W W W W =+
11．已知123(,,)x x x α'=，下列集合中是3R 的子空间的为（ ）.
A ． {}30x α≥
B {122x x α++
C ．{}31x α=
D ．{}123231x x x α++=
12．下列集合有（ ）个是n R 的子空间.
11212{(,,
)|,0}n i n w x x x x R x x x =∈+++=； 21212{(,,
)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===；
3{(,,,,
,,)|,}w a b a b a b a b R =∈； 412{(,,)|}n i w x x x x =为整数； A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4个
13. 设123123,,,,αααβββ与都是三维向量空间V 的基，且
112123123,,βαβααβααα==+=++，
则矩阵????
? ?
?=111001011P 是由基123,,ααα到（ ）的过渡矩阵. A ．213,,βββ B ．12,3,βββ C ．231,,βββ D ．321,,βββ
二、判断题
1．设V 是n 维线性空间， 12n V ααα∈，，，，且V 中的每一个向量均可由它们线性表示，则12n ααα，，，V 是的一组基. （ √ ） 2．1α=（1，1，1），2α=（1，-1，1），3α=（-1，1，1）是三维空间R 3的一组基.（ √ ）
3．若V 1,V 2为有限维线性空间V 的子空间，则V 1?V 2也是V 的子空间. （ × ） 4．设1234αααα，，，是线性空间V 的一组线性无关向量，则
L （1234αααα，，，）=L （1α，2α）⊕ L （3α，4α）. （ √ ）
5．设V 1、V 2、V 3是线性空间V 的三个子空间，且V 1∩V 2={}0，V 2∩V 3={}0，V 1∩V 3={}0，则和V 1+V 2+V 3是直和. （ × ）
6. n R 中的子集{}1,1,(0,...0,)n n a a a a R ∈，为子空间. （ √ ）
7. n R 中的子集{}1,21(,...,)1n n i i i a a a a
a R ==∈∑，为子空间. （ × ）
8. n R 中的子集{}1,21(,...,)0n n i i a a a a
==∑为子空间. （ √ ）
9. 3R 的向量123(3,1,4),(2,5,1),(4,3,7)ααα==-=-线性相关. （ × ）
10. 3R 的向量123(1,2,3),(2,1,0),(1,7,9)ααα=-==-线性相关. （ √ ）
11. 3R 的向量123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)ααα===的线性相关. （ × ）
12. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的和12+W W 也是V 的一个子空间.（√ ）
13. 设12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交12W W 也是V 的一个子空间.
（√）
14. 设12,W W 都是数域P 上的线性空间V 的有限维子空间，那么12W W +也是有限维的，并且121212dim()dim()dim()dim()W W W W W W +=+-. （ √ ） 三、填空题
1．设 则是一双射,:M M '
→σσσ-1= . 2．设V 是三维线性空间，则V .
3．设有P 2的一组基()()121,2,0,1ηη=-=α=（a ，b ）在这组基下的坐标为 .
4. 1α=（1，2，3），2α=（3，-1，2），3α=（2，3，x ）, 则x = 5 时，1α、2α、3α线性相关.
5．向量组1α=（1，0，0），2α=（0，1，0），3α=（3，-1，0）的极大无关组是 .
6. 向量空间V 的基12,n ααα，，到基11,,,n n ααα-,的过渡矩阵为 .
7. 复数域C1作为实数域R 上的向量空间，则dim =C ,它的一个基为 . 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则dim =C ,它的一个基为 .
8. 设12{,,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{,,,}n ααα的过渡矩阵为 .
9. 设V 与W 都是P 上的两个有限维线性空间，则??W V .
10. 数域P 上任一n 维向量空间都与n
P .（不同构，同构）
11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 .
12. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=的n 阶矩阵A 所成的线性空间，则
S dim = .
13. 令S 是数域P 上一切满足条件A A '=-的n 阶矩阵A 所成的线性空间，则
S dim = .
14. 令S 是数域P 上一切n 阶上三角形矩阵所成的线性空间，则S dim = .
四、简答题
1．证明：x 2+x ，x 2-x ，x +1是线性空间R [x ]3的一组基，并求2x 2+7 x +3在这组基下的坐标.
2. 证明：22
{,,1}x x x x ++是3[]C x 的一个基，并求多项式12++x x 与122--x x 在该基 下的坐标.
3. 已知123(1,1,1),(1,1,2),(1,2,3)ξξξ===,(6,9,14)α=，求α在基123,,ξξξ下的坐标.
4. 已知()()()1231,1,1,1,2,4,1,3,9ε=ε=ε=是线性空间3P 的一组基，
求向量()1,1,3ξ=在基123,,εεε下的坐标.
5．设有P 4的两个子空间，(){}02,02,,,312143211=+=+=x x x x x x x x W ，
(){
}02,,,32143212=-+=x x x x x x x W ，求2121W W W W +?与的基与维数. 6．设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-1(2,1,0,1),β=-2(1,1,3,7)β=，
112212(,),(,)W L W L ααββ==，求)dim (21W W +及)dim (21W W .
7．设???
? ??=1011A (1) 证明：22P ?中与可以交换的矩阵集合W 是22P ?的子空间；
(2) 求W 的基和维数；
(3) 写出W 中矩阵的一般形式.
8．设n n A P ?∈
(1)证明：全体与A 可交换的矩阵组成n n P
?的一子空间，记作()C A ;
(2)当A =E 时，求()C A ; (3)当10000200000A n ??????=??????
时，求()C A 的维数与一组基. 9．设U 与W 分别 n 阶对称集合与n 阶反对称集合构成的n n P
?的子空间， 证明：n n P ? =U ⊕W .
10．已知n n P ?的两个子空间{}1n n V A P A A ?'=∈=，{}2n n V A P A A ?'=∈=-， 证明：12n n P V V ?=⊕．
11．在线性空间4P 中，求由线性方程组：?????=+-+=-+-=+-+01113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P 的子
空间W 的一组基和维数.
12. 求齐次线性方程组?????=+--=-+-=+--0320304321
43214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.
13. 求齐次线性方程组 ?????=+++=-++=-++022*********
43214321x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数.
14. 求齐次线性方程组???????=+-+=++-=+-+=-+-0
7930830320543214321
43214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解空间的一组基与维数. 15．设在线性空间4R 中，有向量组1(2,2,2,2)α=， 2(0,2,2,2)α=，3(0,0,2,2)α=,
4(4,2,0,0)α=，求1234(,,,)L αααα的一组基与维数.
16. 已知向量组1β=(1,1,0,-1), 2β=(1,2,3,4)，3β=(1,2,1,1)，4β=(2,4,2,2)，试求 它们的生成子空间L (1β, 2β, 3β, 4β)的维数和一组基.
17. 考虑3
R 中以下两组向量 123{(3,1,2),(1,1,1),(2,3,1)}ααα=--=-=-；123{(1,1,1),(1,2,3),(2,0,1)}βββ===，
（1）证明123{,,}ααα和123{,,}βββ都是3
R 的基；
（2）并求出由基123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵. 18. 已知3R 中的两向量组123(1,0,1)(2,1,1)(1,1,1)ααα=-??=??=? ， 123(0,1,1)(1,1,0)(1,2,1)
βββ?=??=-??=??
（1）证明它们都是3
R 的基；（2）并求第一个基到第二个基的过渡矩阵；
（3）如果ξ在基123{,,}βββ下的坐标为（3，1，2），求ξ在基123{,,}ααα下的坐标.
19．设3R 中的两组基分别为()11,0,1α=,()20,1,0α=，()31,2,2α=,
()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1βββ===.（1）求由基123123,,,,αααβββ到基的过渡矩阵；
（2）已知向量γ在基123,,ααα下的坐标为()1,3,0，求γ在基123,,βββ下的坐标.
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数习题解答 第一章 多项式 补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？ 提示：比较系数得6136,,555 a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈?，2232()()()f x xg x x h x =+，证明： ()()()0f x g x h x ===． 证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ?为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈?，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ?+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ?为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===． 1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法． 由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式， 所以商q (x )必是首项系数为13 的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 q (x ) =13 x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即 x 3-3x 2 -x -1 = (13 x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-, 1123 a b -=-++, 1a c -=+ 解得 79a =- , 269b =- , 29 c =- ，故得 解法二 带余除法．
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
且f(x)在有理数域上不可约。 第一章多项式 1 (清华 2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4 整除，而f(X )-1能 被(X 1)4整除。 2、 (南航 2001 — 20 分) (1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。 (2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式 2 (x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 2 (x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 2 2 证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x) 3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是 d I n (这里里记号 d I n 表 示正整数d 整除正整数n )。 4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x), g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： (〔)如果 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X ) (2)如果 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x) I f(X ) 5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有 1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数 a , b 若p I ab 则p I a 或p I b 。 6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幕主充分必要条件是， 对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出 f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m (x)。 7、(厦门2004—16分)设f(x) , g(x)是有理数域上的多项式, 若存在数:-使得 f( : )=g^ )=0，则 f(x) I g(x)。 8、(南航 2004— 30 分)(1 )设 f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x '+9x 2 - 22x+8 , g(x)=x 2 +x _ 2, 将f(x) 表示成g(x)的方幕和，即将f(x)表示成 k k-1 f(x)=C k (x)g(x) + C k-1 (x)g(x) + …+ C 1(x)g(x)+C o (x) 其中次(C(x)) ＜次(g(x))或 C(x)=0 , i=0,1,…,k 。(15 分) (2)设 d(x)=( f(x) , g(x)) , f(x) I g(x)和 g(x) I h(x)。证明：f(x)g(x) I d(x) h(x)。 (15 分) 9、(北京化工大 2005— 20 分)设 f i (x)丰 0, f 2(x) , g i (x) , g 2(x)是多项式，且 g i (x)g 2 (x) I f 1(x)
高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
高等代数第一章检测题答案 一、判断题 1．√ 2．√ 3．√ 4．× 5．√ 二、填空题 1.21-；2.者说 )]1(2 2)][1(22)][1(22)][1(22[i x i x i x i x --+--+++ 3. 3或4 15- 4. 存在多项式1)()()()().(),(=+x g x v x f x u x v x u 使 5.2，11，23，13. 三、选择题 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 四、完成题 1．由带余除法得：商1)(2-+=x x x q 余)7(+-=x x r 2．用带余除法得：商23)(3-+=x x x q 余)2()2()(2+++=l x k x r 由整除的定义令：).(|)(,2,2.0202x f x g l k l k 时因此当及-=-==+=+ 3．①由0)2()1()(|22==---f f x f x x 得 即???-=+=+1141b a b a 解得 ???=-=5 4b a ②由0)1()1()()1(='=-f f x f x 得 即得???-+-+831b a b a 解得?? ???=-=2527b a 4．解：设方程的三个根是,,21αi ±-则由根与系数的关系知， 22121-=+--+-αi i 由些得0=α 5．用综合法判别知：2是多项式)(x f 的根，且为3重根。 五、证明题 1．因为)(),(x g x f 不全为零，所以0)(),(≠x g x f 又),(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+且)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f
《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；
【最新整理，下载后即可编辑】 高等代数习题解答 第一章 多项式 补充题1．当 ,,a b c 取何值时，多项式 ()5 f x x =-与 2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？ 提示：比较系数得6136,,5 55 a b c =-=- =. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明： ()()()0f x g x h x ===． 证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ?为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ?+为奇数，而 2()0f x =或2(())f x ?为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===． 1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法． 由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为1 3 的1次多项式，而余式
第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C