黄冈中学数学高考模拟试题（一）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知,，如果是增函数，且是减函数，那么（ ）
A． B．
C． D．
2．已知映射f：A，其中A＝B＝R，对应法则f：y，对于实数在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，3） B．[-3，1]
C．[-1，3] D．（-∞，-1）（3，＋∞） 4．已知为x的一次函数，b为不等于1的常量，且
设，则数列为（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 5．已知直线l，m与平面满足，和，那么必定有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
6．在复平面上，到复数对应点F的距离与到直线l：的距离相等的点的轨迹是（ ）．
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
7．已知的分布列为
-101
P
且设，则的期望值是（ ）
A． B． C．1 D．
8．做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）．
A．4.6米 B．4.8米 C．5米 D．5.2米
9．有一个各条棱长约为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠．那么包装纸的最小边长为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数（x R）满足，且x[-1，1]时，,则与的图象的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．该圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则
圆心到该双曲线的中心的距离是（ ）．
A． B． C． D．5
12．设函数（x R），若时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（-∞，0） C．， D．，
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若点，在直线上，则＝________．
14．一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A发生的概率为
________．
15．在圆内，过点，有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，，那么n的取值集合为________．
16．P-ABCD是棱长均为a的正四棱锥，则由侧面△的中心沿表面走到相对侧面△的中心的最短距离等于________．
三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）
17．设向量a＝（cos23°，cos67°），b＝（cos68°，cos22°），u＝a ＋t b（t R）
（1）求a·b；
（2）求u的模的最小值
18．（注意：考生在甲、乙两题中选一题作答，若两题都答，只以甲题计分）
（甲）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E
是PB的中点，与夹角的余弦值为
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB．
（乙）如图所示，已知直三棱柱中，＝90o，侧面与侧面所成的二面角为60°，M为上的点，30°，90°，．
（1）求BM与侧面所成角的正切值；
（2）求顶点A到面的距离．
19．已知椭圆的焦点是，和，，离心率为．
（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；
（2）若P在椭圆上，，求△的面积．
20．和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，，，…，，，，，…，．求证：．
21．某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速千米/时自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4时至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x、y小时．
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所要的经费（元），那么v、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
22．已知是定义在，，上的奇函数，当，时，（a为实数）．
（1）当，时，求的解析式；
（2）若，试判断在[0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当，时，有最大值．
参考答案
1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．
A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 13． 14． 15．{4，5，6} 16．a
17．a ＝（cos23°，sin23°），b ＝（cos68°，sin68°），
（1）a·b＝ cos23°cos68°＋sin23°＋sin68°＝ cos45°＝．
（2）a＝23°＋23°）＝1，b＝68°＋68°＝1，|u|＝u＋（a＋t b）＝a ＋b＋2t a·b＝，所以当时，|u|
18．（甲）（1）如题图以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），设P（0，0，2m）E（1，1，m），则（-1，1，m），（0，0，2m），，，所以E点的坐标是（1，1，1）．
（2）平面PAD，可设，0，，，，平面，，，0，．则
，，，2，，所以点F的坐标是（1，0，0），即点F是DA的中点．（乙）（1）三棱柱为直棱柱，为二面角的平面角，所以60°，又90°．侧面．连接MC，则MC是MB在侧面上的射影．所以为BM与侧面所成的角．又90°，30°，所以60°．设，则，．所以．（2）过A作．垂足为N，因为，所以面．面，过N作，垂足为H，则NH是N到面的距离，也即A到的距离．，，且30°，可得，且60°．所以．．说明：本题（2）亦可利用来求解
19．设椭圆，半焦距为c，则椭圆方程为．设椭圆上的点为，．P到直线的距离，当且仅当时取“＝”（其中），椭圆上的点到直线的最大值为．
（2），，又
，，，即
，，，，
20．证明：等比数列中，当时，化简得，所以，，，等差数列中，解得所以．，，，…，，
B＝{9，13，17，…，4n＋5}．设A中任意元素为，则需证是B中的一个
元素，设其为，则需证，即，则需证是4的倍数．因为
，所以以上多项式各项都是4的倍数，能被4整除．所以集合A中的任意元素都是B中的元素，又，，所以
21．（1）依题意得，，，，所以，……①．由于汽车、摩托艇所需要的时间和应在9至14时之间，即……②．因此，满足①、②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．
（2），．设，那么当k最大时，p最小．在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为的直线中，使k值最大的直线必通过点（10，4）．即当，时，p最小．此时，，，p的最小值为93元
22．（1）设，，则，，，是奇函数，则，，；
（2），因为，，，，，即，所以在，上是单调递增的．
（3）当时，在，上单调递增，（不含题意，舍去），当，则，，如下表
，
x，
＋0-
最大值
所以存在使在，上有最大值．