高中数学竞赛专题讲座有
哪些
篇一：高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座之数列
一、选择题部分
1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?
?A?a1
?B?a2
2
，则?an?的最大项是（B ）
n2?4n?5
?C?a3 ?D?a4
23
2．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,anan?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （）
A、98
B、99
C、100
D、101
3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，
其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”
为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为（ A ）
A. 2007
B. 2008
C. 2006
D. 1004
4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<
1
的最小整数n是（）125
B．6
C．7
D．8
A．5
解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-
1
的等比数列， 3
1
8[1?(?)n]
1n1n13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得：
1331251?3
3250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。
5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=
A．1
B．-1
xn?13?xn
2005
，则
?x
n?1
n
= （）
C．2+3 D．-2+3
解：xn+1=
xn?1?
xn3
3
?3，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-3,
6
2005
x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，??，∴有
n?1
n
?x1?1。故选A。
6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}的前n项和分别为An，Bn记、{bn}
Cn?an?Bn?bn?An?an?bn(n?1)则数列{Cn}的前10项和为( C )
A?B10
A .A10?B10 B. 10 C.A10?
B102
7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如
则f2006(2006)f(123)?12?22?32?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?，
＝
(A) 20(B) 4（ D ）
)?40记做2006?40，于是有解：将f(2006
(C)
42
(D)
145.
2006?40?16?37?58?89?145?42?20?4?16??
从16开始，fn是周期为8的周期数列。故f2006(2006)?f2004(16)?f4?250?8(16)?f4(16)?145.
正确答案为D。二、填空题部分
111111?
?5?41036?235?1111?
11
),则1.数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?(an? 2an
a
n2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0?a?b?c?d，d?a?90，若a,b,c成等差
数列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d的值等于194．
3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，
n3
记这个数列前n项和为S(n)，则lim=___________。n???S(n)
4．（2006年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2020，公比q??前n项的积，则当n?12 时，f?n?有最大值．
1
．设f?n?表示这个数列的2
5. 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列Aj,j?1,2,?，以及在第一象限内的抛物线
??
y2?
3
x上从左向右依次取点列?Bk?,k?1,2,?，使?Ak?1BkAk （k?1,2,?）都是等边三角形，其2
中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（a1?a2???an?1? an
，2
a?3?
。?a1?a2???an?1?n?）
2?2?
2
an
再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为
?1?
??an??an。从而有22??
2
an12an?3?
a?a?a???a?，即有。an??a1?a2???an?1??n12n?1
22?2?22
由此可得a1?a2???an?（2）
an12a12
?an （1）,以及a1?a2???an?1?n?1?an?1
2222
11
(an?an?1)?(an?an?1)(an?an?1). 22
变形可得(an?an?1?1)(an?an?1)?0.
（1）－（2）即得an?
由于an?an?1?0，所以an?an?1?1。在（1）式中取n ＝1，可得故a1?1。
因此第2005个等边三角形的边长为a2005?2005。
6.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n, 且x1?2，则x2005= 【解】：由(n?1)xn?1?xn?n，推出xn?1?1? 112
，而a1?0，a1?a1
22
2005!?1
。
2005!
xn?1
。因此有n?1
x?1xn?1?1xn?2?1x1?11
xn?1?1?n??????.
n?1(n?1)n(n?1)n(n?1)(n?1)n(n?1)?2(n?1)!
2005!?11
?1。从而可得x2005?即有xn?1?。
(n?1)!2005!
a3a4aa??|ai?T,i?1,2,3,4},将M中的元7. (2005全国)记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{1?2
7727374
素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）5563556211041103A?2?3?4B?2?3?4 C?2?3?4 D?2?3?4 7777777777777777
解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得
4
M??{a1?73?a2?72?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai? T,i?1,2,3,4}. M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005
1104
个数是2400-2004=396。而[396]10?[1104]7将此数除以74，
便得M中的数?2?3?4.故
7777
选C。
8．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则
1
的值是_________________________。?ai?oi
111
解：设bn?即,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,
anbn?1bn
1111
3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1??2(bn?) 故数列{bn?}是公比为2的等比数列，
3333
111111
bn??2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)。
33a0333
nn
?1n?211i?11?2(2n?1?1)
?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3?。a33i?oii?0i?0??n n
9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a?2r?2s?2t,0?t?s?r}
中的数由小到大组成
,13,14,?，则a36?131 。数列{an}：7,11
2
解：∵r,s,t为整数且0?t?s?r，∴r最小取2，此时符合条件的数有C2?1
2r?3，s,t可在0,1,2中取，符合条件有的数有C3?3 2同理，r?4时，符合条件有的数有C4?6
2r?5时，符合条件有的数有C5?10 2r?6时，符合条件有的数有C6?15 2r?7时，符合条件有的数有C7?21
因此，a36是r?7中的最小值，即a36?20?21?27?131
三、解答题部分
1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1?p，a2?p?1，an?2?2an?1?an?n?20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．
【解】令bn?an?1?an，n?1,2,?由题设an?2?2an?1?an?n?20，有bn?1?bn?n?20，且
n?1i?1
n?1i?1
b1?1
???5分于是
?(b
i?1
?bi)?
?(i?20)
，即
bn?b1?[1?2???(n?1)]?2n(n?1)．
∴bn?
(n?1)(n?40)
?1．（※）???????10分
2
又a1?p，a2?p?1，则a3?2a2?a1?1?20?p?17?a1?a2．∴当an的值最小时，应有n?3，an?an?1，且an?an?1．
即bn?an?1?an?0，bn?1?an?an?1?0．???????? 15分
?(n?1)(n?40)?2?n?40*
由（※）式，得?由于n?3，且n?N，解得?，
(n?2)(n?41)??2n?40??
∴当n?40时，a40的值最小．????????????????? 20分???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2
y?f(x)。
(1)求f(x) 的表达式; f(x)?(2)定义正数数列{an};a1?
x
2
1?2x
12
,an?1?2an?f(an)(n?N*)。试求数列{an}的通项公式。2 an?
2n?2
.
2n?1?1
3．（2006安徽初赛）已知数列?an??n?0?满足a0?0，对于所有n?N?，有
，求an?1??1a15an的通项公式．n?
4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t
2004
使得a2006=0。（2+1）
5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.
解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数.
现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪?,注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,
为:b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.
由于2006＝8×250+6,而b6?43所以b2006?60?250?b6?60?250?43?15043.
,6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a1?1,a2?2，且an?2?an?1?an(n?1,2,3,?) 求证：对于任何正整数n，都有an?1?1?
1
an
证明：令a0?1,则有ak?1?ak?ak?1，且1?
n
n
aka
?k?1(k?1,2,?)，于是ak?1ak?1
ak
n??
k?1ak?1
??
ak?1aaaaaa
由算术-几何平均值不等式，可得1?n1?2???n+0?1???n?1 a2a3an?1a2a3an?1k?1ak?1
注意到a0?a1?1，可知1?
1
n
an?1
?
1
n
anan?1
，即nan?1?1?
1
n
an
?an?1,当n为偶数时，
??2
7．（2006年上海）数列?an?定义如下：a1?1，且当n?2时，an??
1
,当n为奇数时．???an?1
30
，求正整数n．19
解由题设易知，an?0,n?1,2,?．又由a1?1，可得，当n为偶数时，an?1；当n(?1)
1
?1．??????（4分）是奇数时，an?an?130n3011?1，所以n为偶数，于是an??1??1，所以，是奇数．由an?19219192 nn?219819
于是依次可得：an?是奇数，?1，?1是偶数，an?2??1??1，?12411111142
已知an?
n?6n?611113
是偶数，an?6?是奇数，?1，?1??1，
?14888848
n?14n?14885
是偶数，an?14??1??1，是偶数，an?6??1，
?1816333816
n?1452
是奇数，?????（9分）an?14??1??1，
323332
n?46n?46331
是偶数，an?46??1??1，是奇数，an?14??1，
?132642223264
n?110
是偶数，an?110?2?1?1，an?46?2?1，
?16464128
n?110
?1，解得，n＝238．?????? （14分）所以，
128
an?2?
13. (2005全国)数列{an}满足：a0?1,an?1?
2
7an?45an?36
2
证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。
证明：（1）由题设得a1?5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得2an?1?7an?
22两边平方整理得an?1?7anan?1?an?9?0 ①
22
?an?7an?1an?an?1?9?0 ②
①-②得(an?1?an?1)(an?1?an?1?7an)?0,?an?1?an,?an?1?an?1?7an? 0? an?1?7an?ab?1. ③
由③式及a0?1,a1?5可知，对任意n?N,an为正整数.??????????10分
aa22
（2）将①两边配方，得
(an?1?an)?9(anan?1?1),?anan?1?1?(n?1n).④
3
由③an?1?an?9an?(an?1?an)≡?(an?an?1)?mod3?
a?ann
∴an?1?an≡(?1)?a1?a0?≡0（mod3）∴n?1为正整数
3
④式成立.?anan?1?1是完全平方数.??????????????20分245an?36,
,n?N.
篇二：高中数学竞赛专题讲座之数列
高中数学竞赛专题讲座之数列
一、选择题部分
1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?
?A?a1
?B?a2
2
，则?an?的最大项是（B ）
n2?4n?5
?C?a3 ?D?a4
23
2．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an an?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （）
A、98
B、99
C、100
D、101
3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查
罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为（ A ）
A. 2007
B. 2008
C. 2006
D. 1004
4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等
式
|Sn-n-6|<
1125
B．6
的
最
小C．7
整
数D．8
n是
（）A．5
解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首
项，公比为-
1
的等比数列， 3
1
8[1?(?)n]
1n1n13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得：
1331251?3
n-1
3250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。
5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=
A．1
B．-1
3xn?1?xn
2005
，则
?x
n?1
n
= （）
C．2+3 D．-2+3
解：xn+1=
3
xn3
3
，令xn=tanαn，∴xn+1=t an(αn+?), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+3,
6
2005
x3=-2-3, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，??，∴有
?x
n?1
n
?x1?1。故选A。
6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}、{bn}的前n项和分别为An，Bn记
Cn?an?Bn?bn?An?an?bn(n?1)
( C )
A .A10?B10 B.
则数列{
Cn
}的前10项和为
A10?B10
集合函数专题 1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2 2 10-x =x 10},则B A 是 （ ） (A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ? 2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2 +2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有( ) (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C
7、（2006一试5）设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是 ()()0f a f b +≥的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8、（2007一试6）已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 9、（2008一试1）函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 10、(2008一试2) 设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。 （A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷 试题参考答案及评分标准〔B 卷〕 讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1 22x x =--时上式取等号． 而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ?，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕 A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即 22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕 A. 670243 B. 27481 C. 266 81 D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
专题二 集合 函数 不等式 导数 一 能力培养 1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨 [问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的 取值范围: (I)A B =?;(II)A B B =. [问题2]求函数()a f x x x =+ 的单调区间,并给予证明. [问题3]已知()1x f x e ax =--. (I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围; (II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值; (III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方. [问题4]设11()lg 21x f x x x -=+++. (I)试判断()f x 的单调性; (II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解; (III)解关于x 的不等式1 1[()]22 f x x -<.
三 习题探讨 选择题 1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]- 2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x = D,y 3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥?=?-?,已知()1f a >,则a 的取值范围为 A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞ 6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数, 无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有 A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题 7函数2(2)log x f x =的定义域是 . 8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = . 9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 . 10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102 x <<的x 恒成立,则实数
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 第二讲 映射与函数 [知识要点] 1．映射有关概念 2．函数定义，定义域、值域 [能力训练] 1． 合B A ,的并集{}321,,a a a B A =?，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题） （A ） 8 （B ） 9 （C ）26 （D ）27 [解法一]：若{}321,,a a a A =，则满足题意的B 有：{}{}{}{}{}{}{}; ,,;,;,;,;;;;321323121321a a a a a a a a a a a a B φ=即这时的配对个数有：8)(3323130333=+++C C C C C ；仿此，若{}21,a a A =（或{}{}3231,,,a a a a ），满足题意的B 的个数，即配对个数有：12)(2 2120223 =++C C C C ；于是，全部配对个数有：2716128=+++。 [解法二]：B A =且P B A =?的情形只有1个配对：P B P A ==,，而B A ≠的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D ）。 [评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。 2． 设A ={4321,,,a a a a }，},,,,{54321b b b b b B = （1）写出一个f ：A →B ，使得f 为单射，并求所有A 到B 的单射的个数。 （2）写出一个f ：A →B ，使得f 不是单射，并求所有这些映射的个数。 （3）A 到B 的映射能否是满射？ 解：（1）作映射f ：A →B ，使得4,3,2,1 ,)(==i b a f i i 则此映射即为A 到B 的一个单射，这种单射的个数为1204 5=P 。 （2）作映射f ：A →B ，可以先求A 到B 的映射的个数：分四步确定4321,,,a a a a 的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为4 5个，因此满足条件的映射的个数为4 5－4 5P =505。 （3） 不能。由于A 中的每一个元素恰与B 中的一个元素对应，|A |=4，|B |=5， 所以B 中至少有一个元素在A 中找不到与它对应的元素，因此A 到B 的满射不存在。 说明：一般地，若A 到B 有一个单射，则|A |≤|B |，若A 到B 有一个满射， 则|A |≥|B |,若A 到B 有一个一一映射,则|A |=|B | 思考：在上述问题中,如何求从A 到B 的子集上的一一映射的个数? B 中的4个元素的子集共有45 C 个，从A 到B 的每4个元素的子集上的一一映射各有44P 个，所求的映射的 个数是4 5C 4 4P =120个。 3． 若函数)(log 23a ax x y -+=的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________。（94年第5届“希 望杯”全国数学邀请赛） 高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技能 高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合. 在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目. 赛题精讲 Ⅰ．集合中待定元素的确定 充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例. 例1：求点集}lg lg )9 131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++ >>及 由平均值不等式，有,)9 1()31()(3913133333xy y x y x =??≥++ 当且仅当33333 1,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素. 【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之. 例2：已知.}.,22|{},,34|{2 2B A x x x y y B x x x y y A ?∈+--==∈+-==求R R 【思路分析】先进一步确定集合A 、B. 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分） 设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 因此222 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC ABC ABP ABP S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222 AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又 CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP ?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠， 【2013浙江】集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ?=?，则12a -≥或10a +≤。 解得1a ≤-或 3a ≥。 【2013浙江】若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 当0,90sin sin 1αβαβ==?+= 。 当60sin sin 31αβαβ==?+=> ，但90αβ+≠ 。 【2013河北】已知集合{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ? ?===∈???? ，则A B = . 答案：{}0,1,1B =-，{}1A B = . 【2013辽宁】已知集合{}{} 23100,121A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-，当A B =? 时，实数m 的取值范围是（ ） (A) 24m << (B) 24m m <>或 (C) 142 m - << (D) 142m m <->或 答案：B.,B B =?≠?. 【2013吉林】已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，20a b +>是()0f x >恒成立的（ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：B 【2013湖北】设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{} ,C a b a A b B =+∈∈，则集 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,高中奥林匹克数学竞赛 映射与函数1
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