概率的基本性质
事件的关系：
1.包含：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B?A ( 或A?B )；
注：不可能事件记作Φ，任何事件都包含不可能事件.
2.相等事件：若B?A，且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
3.和事件：当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).
4.积事件：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）
5.互斥事件：两个事件的交事件为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B 互斥，其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.
6.对立事件：若A∩B＝Ф，A B＝必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.
7. 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则（A∪B）＝P（A）＋ P（B）
8. 对立事件公式：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.
9. 相互独立事件：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件，即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。
例1 某射手进行射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C. 只有一次中靶
D. 两次都不中靶
例3 某射手连续射击两次，试判断下列事件的关系？
事件A：第一次命中环数大于7环；事件B：第二次命中环数为10环；
事件C：第一次命中环数都小于6环；事件D：两次命中环数都小于6环．
练习
1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有一名女生的概
率为.
A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有B
A,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.
B
3. 甲、乙二人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概
率是P 2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是（ ）
A.P 1+P 2
B.P 1·P 2
C.1-P 1P 2
D.1-（1-P 1）·（1-P 2）
4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率是0.85，乙熔断的概率为0.74，两根
同时熔断的概率为0.63，问至少一根熔断的概率为 .
5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 .
6. 有三个形状相同的小罐，在第一罐中有2个白球和1个黑球，在第二罐中有3个白球和1
个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，从中各摸一个球，3个球都不是白球的概率为____ _.
7. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，
后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为_______
8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是
73和
4
1, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______
8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出
5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______
9. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎
混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率；
（Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．3只果蝇的概率.
10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经
验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是_______
11.
12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同
色球的概率及三个颜色互不相同的概率.
13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,
试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;
(4)至少取得一个红球的概率.
1/24 7/30
11．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
32，4
3假设两人每次射击是否 击中相互之间没有有影响，求：
（1）求甲射击5次，有两次未击中的概率 （2）假设某人连续2次未击中目标，就停止射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率
12．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
概率练习二
1. 在一次试验中，事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为
__ __.k n k k n p p C --)1(
2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为
_ _.p p n 1)1(--
3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标
的概率为_ _.k n k k n p p C ----)
1(11 4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相
互之间没有影响.有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.
其中正确结论的序号是 1,3 （写出所有正确结论的序号）
5. 某气象站对天气预报的准确率为60%，那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.2592
6. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为125
81 7. 在一次考试中出了6道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号，若某生完
全随机记上6个符号，则全部是正确的概率为 1/64 ；正确解答不少于4道的概率为 11/32 ；至少正确解答一半的概率为 21/32 .
8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为3
2,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/27
9. 下列各图中，每个开关闭合的概率都是0.75，且是相互独立的，分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/256
2． 2．1条件概率学案
一、教学目标：条件概率定义的理解。掌握一些简单的条件概率的计算。
二、新课探究:
1、 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？
解：三张奖券分别用X 1,X 2,Y ,其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的
抽奖结果共有六种可能：__________________________________
最后一名同学抽到中奖奖券的概率为____________
思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖
券的概率又是多少？ 解：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有
__________________________________________________
最后一名同学抽到中奖奖券的概率为__________________________
总结：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券
的概率呢？
在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一
定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率。.
2、条件概率定义和公式：
设A 和B 为两个事件，那么，在“A 已发生”的条件下，事件B 发生的概率叫
做______________________. 用符号___________表示。读作A 发生的条件下 B 发生的概率。
我们把由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的___________（或___________），记作___________（或___________）。
一般的，我们有条件概率公式____________________________.
从集合的角度理解公式：
三、深入探究:
1、由上面抽奖的例子我们可以得到P （B ︱A ）≠ P （B ）,什么时候可以等?
2、 抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，
令事件B={2，3，5}，A={1，2，4，5，6}，则 P （A ）= P （B ）=
P （AB ）= P （B ︱A ）= P （B ︱A ）=
思考：（1）P （B ︱A ）与P （AB ）的区别和联系
（2）P （B ︱A ）+P （B ︱A ）=1？总成立吗？≤
3、P （B ︱A ）的性质： A B Ａ∩Ｂ
（1）0 ≤ P（B︱A）≤1
(2)若B，C互斥，则 P（B? C︱A）= P（B︱A）+ P（C︱A）
4、例题分析
类型一：利用概率之比求条件概率
例1 、甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
类型二：利用样本点数之比求条件概率
例2、在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
例3、。一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
类型三：条件概率公式的灵活应用（知二求一）
例4、有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，三个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则试验成功，求试验成功的概率。
四、巩固练习
1 把一枚硬币任意抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，
求)(A B P .
2、 一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，
问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？
3、一批产品中有4%的次品，而合格品中的一等品占45%，从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率
4、 盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求他是黄球的概率？
5、一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．（2）第一次是白球的情况下，第二次取得白球的概率；
6、一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是
7、 掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率。
8、当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，则正好出现3个正面的概率为
9、甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点不相同”，B=“甲独自去一个景点”，则概率P （A ︱B ）等于？
10、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投
中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P （AB ），P （A ︱B ）。
11、 市场上供应的灯泡中,甲厂的产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂
的合格率是80%,若用事件A 1, A 2分别表示甲乙两厂的产品,B 表示产品为合格品,求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率
12、在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题
即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀。已知某考生能答对其中的10道题，并且已经知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率。
13、从编号为1,2，。。。，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，
选出球的最大号码为6的概率为？
14、任意向X轴上（0,1）这一区间内投掷一个点，问（1）该点落在区间（0，1/2）内
的概率为？（2）在（1）的条件下，求该点落在（1/4，1）内的概率为？
15、在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1,2,3,j=1,2,3），从中任取三个数，已知取到a22
条件下,求至少有两个数位于同行或同列的概率
16、某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20
岁的动物，问它能活到25岁的概率为？
五、课堂小结
《分数的意义和性质》教材分析本单元的主要内容有：分数的意义、真分数和假分数、分数的基本性质（约分、通分）、分数和小数的互化。其中分数的意义和分数的基本性质是整个单元的重点，“分数的意义和性质”和后面“分数的加法和减法”是学生开始系统地学习分数的起始，在系统认识了小数和初步认识分数的基础上，引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分、分数与小数互化等技能；真分数与假分数是分数意义的引申；约分和通分则是分数基本性质的运用；分数与小数的互化，则是沟通了两者在形式上的相互联系，得出小数与分数的互化方法。整个单元的内容，基本是由概念到性质，再到方法、技能这样的递进发展关系编排的。 一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别 （一）分数大小比较，不再设置在第1节中单列一段，而是充分利用前面学习分数初步认识时打下的基础，把有关内容与通分结合在一起学习。这样既简化了第1节的内容，也体现出通分的作用。 （二）增加了带分数的概念。虽然《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定，分数运算中不含带分数，但考虑到把假分数化成带分数，容易看出这个假分数的大小在哪两个整数之间，以及便于比较两个分数的大小，从而有利于数感的形成。因此，教材增加了带分数的认识。 （三）最大公约数、最小公倍数先给出概念和求法，再应用到解决问题中。原来将解决问题与概念引入结合在一起，学生理解起来难度较大，所以，教材先给出最大公约数、最小公倍数的概念，突出概念的本质，然后探索它们的求法，最后在解决问题的应用中体会它们的现实意义，加深对概念的理解。 二、教材例题分析 （一）分数的意义 本节由分数的产生、分数的意义、分数与除法三个层次的内容组成，帮助学生比较完整地建立起分数的概念。 1．分数的产生。首先，从历史的角度、从现实生活中等分量的需要出发，呈现分数的现实来源，让学生了解分数产生的背景和过程。使学生感受到在进行测量或分物时，往往不能刚好得到整数的结果，这时就需要用分数来表示，有了分数，这些结果就能准确地表示出来。教材这样通过测量与分物的实例，引入分数的编排目的，就是为了使学生感悟到分数是适应现实需要而产生的，从而提高学习的积极性，促进对分数意义的理解，并受到历史唯物主义观点的教育。 2．分数的意义。通过举例说明的含义，它可以是一个物体（如一张正方形纸、一张圆形纸、一条线段）的，也可以是一个整体（如一把4根的香蕉、一盘8个面包）的，引出分数概念的描述。教学中，应注意结合实例理解、归纳分数的意义，并重点理解单位“1”和分数单位的含义。 3．分数与除法。前面是从部分与整体的关系揭示分数的意义。这里，分数表示两个整数相除的商揭示分数另一方面的意义，以加深和扩展对分数意义的理解，为学习假分数化为整数或带分数做好准备。 例1和例2都是把一个物体（如1个蛋糕、3个月饼）平均分成若干份，求每份是多少。学生根据整数除法的含义，列出除法算式，容易理解为什么用除法算，但根据图示或分数的意义说出结果，将除法与分数联系起来，要相对困难些。因此，教学中要结合操作和直观图示，帮助学生加深对计算结果的理解。特别要提醒学生注意弄清谁是单位“1”，如例2，这里要求每人分得多少个，是看每人分得的月饼是1块月饼的几分之几，就是把1块月饼看作单位“1”。学生容易出现这样的错误：把3个月饼平均分成4份，就是12小块，每人3小块，得到错误的结果，就是把12小块也就是3个月饼看作了单位“1”。正确的是把1个月饼也就是4小块看作单位“1”，3小块是1 个月饼的。最后在两个实例的基础上概括出分数与除法的关系，并让学生用字母表示分数与除法的关系（强调分数的分母不能为0）。
谈条件概率常见问题解题法 摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。 关键词:条件概率，事件、样本空间 1.条件概率的概念 一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P ) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的 条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P ) ()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 性质：1. ()P B A =1- )|(A B P 2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别 )|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。 3.条件概率的解题方法： 解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法: （1） 化为古典概型解决 )()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数 （2） 化为几何概型解决 )()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,) A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等 （3） 条件概率公式法 如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式 =)|(A B P ) ()(A P AB P 计算
分数的意义和基本性质练习题 班级_________姓名__________等级_________ 一、填空： ⒈ 85表示把（ ）平均分成（ ）份，表示这样的（ ）份。它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位，减去（ ）个这样的分数单位它是最小的自然数。加上（ ）这样的分数单位它是最小的质数。 ⒉ 把4米长的电线平均分成4份，表示这样的一份就是这根电线的 （ ）。表示这样的3份就是这根电线的（ ）。其中2份长（ ）米。 ⒊ 一个苹果重8 5千克。它表示的意思是（ ） ⒋（ ）（ ）＝（ ）＝2030183018-÷ （ ） ＝＝（ ）365420÷ ⒌ 在12715109465， ， ， 中，与3 2相等的分数是（ ）。 6. 写出分子是2的假分数。（ ） ⒎ 以最小的合数为分母的最小分数是（ ）。 ⒏ 以13做分子的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ）。 ⒐ 用分数表示涂色部分。 （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） ⒑ 在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。 115○118 87○97 2○36 65○5 6
⒒ 43米表示1米的（ ） （ ），又表示把3米平均分成（ ）份，取其中的（ ）。 ⒓ 1千克的52和2千克的（ ） （ ）相等。 ⒔ 把2吨平均分成8份，每份是总数的（ ） （ ），是（ ）吨。 14. 一个数由6个一，9个10 1组成，这个数写成分数是（ ）。 二、选择（将正确答案的序号填在括号里）。 ⒈ 要使8a 是假分数，9 a 是真分数，a 应是（ ）。 ① 10 ② 9 ③ 8 ⒉ 8 3的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（ ）。 ① 加上6 ② 乘以6 ③ 乘以3 ⒊ 把3米长的绳子对折3次，每段绳子是全长的（ ）。 ① 83 ② 81 ③ 6 1 4.小红6分钟写了54个毛笔字，平均每分钟写毛笔字总数的（ ），5 分钟写毛笔总数的（ ）。 ① 61 ② 51 ③65 ④54 6 5. 4 32418和这两个分数比较（ ）。 ① 意义相同 ② 分数单位相同 ③ 大小相同 6. 下列分数比2 1小的是（ ）。 ①135 ② 158 ③ 2111 三、判断，（正确的在括号里画“√”，错误的画“×”） ⒈ 4米的51和1米的5 4一样长。 （ ） ⒉ 分母是7的假分数有无数个，分子是7的假分数也有无数（ ） ⒊ 853的分数单位是8 5。 （ ） ⒋ 真分数的分子一定比分母小。 （ ）
3.1.3概率的基本性质 1．了解事件间的包含关系和相等关系． 2．理解互斥事件和对立事件的概念及关系．(重点、易错易混点) ) 3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点 [基础·初探] 教材整理1事件的关系与运算 阅读教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列问题．
同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有() A．M?N B．M?N C．M＝N D．M＜N 【解析】事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M?N.故选A. 【答案】 A 教材整理2概率的性质 阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题． 1．概率的取值范围为[0,1]． 2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 3．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)， P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0. 4．概率的加法公式的含义 (1)使用条件：A，B互斥． (2)推广：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)
＋P(A2)＋…＋P(A n)． (3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)互斥事件一定对立．() (2)对立事件一定互斥．() (3)互斥事件不一定对立．() (4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．() (5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．() (6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．() 【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)× 2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于() A．0.3B．0.2 C．0.1 D．不确定 【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定． 【答案】 D 3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 【答案】0.65 [小组合作型] () A．至多两件次品B．至多一件次品 C．至多两件正品D．至少两件正品
1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即P (B |A )＝ . (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果事件A 与B 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与也都相互独立．3．二项分布 在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B ) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) ； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝ 42＋4＝23 ，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1 3， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11 27. 2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正
第五单元《分数的意义和性质》 一、单元教材分析： 本单元是学生系统学习分数的开始。内容包括：分数的意义、分数与除法的关系，真分数与假分数，分数的基本性质，最大公因数与约分，最小公倍数与通分以及分数与小数的互化。 学生在三年级上学期的学习中，已借助操作、直观，初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1 的分数，以及同分母分数的大小。还学习了简单的同分母分数加、减法。在本学期，又学习了因数、倍数等概念，掌握了2、3、5 的倍数的特征。这些，都是本单元学习的重要基础。 通过本单元的学习，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分以及分数与小数互化的技能。 这些知识在后面系统学习分数四则运算及其应用时都要用到。因此，学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会应用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。 本单元教学目标： 1.知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。 2.认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。 3.理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。 4.理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。 教学重点： 1、理解分数的意义, 明确分数与除法的关系, 学会比较分数的大小。 2、理解真分数和假分数的含义, 知道带分数是假分数的一部 分,能熟练地进行假分数与带分数, 整数的互化。 3、理解和掌握分数的基本性质, 能较熟练地进行约分和通分。教学难点：1、能根据分数的意义和分数与除法的关系, 正确解答求一个书是另一个数的几分之几的应用题。 2、掌握分数的基本性质, 能根据分数基本性质解决有关问题。 二、学生分析：
条件概率专题 一、知识点 ①只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A)，即可类比套用概率满足 的三条公理及其它性质 ②在古典概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) ③在几何概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) 事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数 区域AB的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A的几何度量(长度，面积，体积等) 条件概率及全概率公式 .对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B). 答：不是?有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P(A) > P(A| B), 这种猜测是错误的?事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令 A=｛抽到一数字是3的倍数｝; B=｛抽到一数字是偶 数｝; B2=｛抽到一数字大于8｝,那么 P(A)=3/10, P(A| B i)=1/5, P(AB)=1. 因此有P(A) > P(A| B i), P(A) v P(AB). .以下两个定义是否是等价的? 定义1. 若事件A、B满足P(A^=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立?答：不是的?因为条件概率的定义为 P(A B)=P(AB?/ P(B)或P(B| A)=P(A^/ P(A) 自然要求P(A)丰0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上，若P(A)=0 由0W P(AB) < P(A)=0 可知P(AB=0 故P(AB=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化. . 对任意事件 A 、B, 是否都有P(AB < P(A < P(A+B) < P(A)+P(B). 答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)
第四单元分数的意义和基本性质（讲义二） 一、分数的意义 1、我们可以把1个物体看作一个整体，也可以把许多物体看成一个整体。将一个物体或是 许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“T ? 2、把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样1份或者几份的数，叫做分数。其中 表示一份的数叫做它的分数单位。如：-的分数单位是丄；-表示把单位“ T 7 7 平均分成7份，取其中的3份。 注意：一定要平均分，分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。如果只取1份，也就是它的分数单位。 3、分数与除法的关系 例如：把3米长的绳子平均分成4份，每份的长度是多少米？ ①用除法列式为：3宁4=3（米）；这是求每份是多少，应该用总长宁份数，求出每一份的 4 长度（也就是“ 3米的丄”）。 4 ②如果用分数的意义来讲，可以说成：把1米平均分成4份，一份就是丄米，3个丄米就是 4 4 3 3 -米，也就是说“ 1米的3”。 4 4 3 3 1 因此，我们可以把3米说成是1米的3，也可以说成是3米的-。 4 4 4 观察3十4= 3，可以知道分数可以表示两数相除的结果，被除数相当于分数的分子，分数 4 的分数线相当于除法中的除号，除数相当于分数的分母，分数的分数值相当于除法中的商。被除数宁除数=被除数（除数工0），如果用a表示被除数，b表示除数，分数与除法的关除数 a 系可以表示为：a宁b = （b工0） b 注意：如果说兔有2只，鸡有5只，那兔的只数就是鸡的2，它表示以鸡的只数作为标准， 5 把鸡的只数看作单位“ 1”，兔的只数相当于鸡的5份中的2份。列成式子是2宁5=2。 5 重点：求甲数是乙数的几分之几，是把乙数看作单位“ 1”，用甲数宁乙数得出的。记住：是谁的几分之几，谁就是单位“ T,作除数或分母。
3.1.3 概率的基本性质（第三课时） 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片四、教学设想： 1、 创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等； （2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115； （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、 例题分析： 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环； 事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”．
《概率的基本性质》教学设计 蓟县第四中学于海存 一、说教材： 1、教材的地位及作用： 本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第一节第三课时概率的基本性质，本节课主要是结合具体实例以螺旋上升的方式由浅入深地学习概率的一些基本性质，学生在前面已经学习了集合的表示方法（Venn图）和随机事件的概率，已具有一定的归纳、抽象的能力，这些都是学习本节内容的基础。 本节在教材中起着承上启下的作用。一方面把所学的概率知识应用于实际生活，另一方面为今后学习概率其他知识做了理论上的准备。 2、教学目标： 知识与技能：（1）了解事件之间的相互包含关系、相等关系，知到和事件、积事件 的意义， （2）通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义； （3）掌握概率的几个基本性质并能简单应用。 过程与方法：类比集合，揭示事件的关系与运算，培养学生的类比与归纳的数学思想，情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴 趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神.在观察发现中树立探 索精神，在探索成功后体验学习乐趣。 3、教学重点与难点： 根据本节课内容即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定如下教学重难点。 重点：互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。 难点：正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 4、课时安排：1课时 二、说教法： 根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用“开放性教学”，充分了解学生的最近发展区，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识。 1) 立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出； 2）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点。 三、说学法： 引导学生用观察、类比、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯和思维习惯。 1格式已调整，word版本可编辑.
条件概率 1．条件概率 条件 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0 含义 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 记作 P (B |A ) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率 计算公式 ①事件个数法：P (B |A )＝ n （AB ） n （A ） ②定义法：P (B |A )＝ P （AB ） P （A ） 2.条件概率的性质 (1)P (B |A )∈[0，1]． (2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． [注意] (1)前提条件：P (A )>0. (2)P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，必须B 与C 互斥，并且都是在同一个条件A 下． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)P (B |A )与P (A |B )不同．( ) 答案：(1)× (2)√ 已知P (AB )＝310，P (A )＝3 5 ，则P (B |A )为( ) A.950 B.12 C.910 D.1 4 答案：B 由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A 表示“第二位数字为0”，用事件B 表示“第一位数字为0”，则P (A |B )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18 答案：A 一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每次取出后不放回，则若已知第一次取出的是好的，则第二次取出的也是好的概率为________．
答案：59 探究点1 利用定义求条件概率 甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？ 【解】 设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ， 根据题意，得 P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是 P (A |B )＝P （AB ）P （B ） ＝0.120.18＝23 . (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝3 5. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝ P （AB ） P （A ） ，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ， B 同时发生． 如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形， 将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________． 解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2 ＝π，正方形EFGH 的面积为? ?? ??2r 22 ＝2，所 以P (A )＝2 π . P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率， 所以P (B |A )＝1 4 .
分数的意义和基本性质练习题 一、填空： ⒈ 85表示把（ ）平均分成（ ）份，表示这样的（ ）份。它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位，减去（ ）个这样的分数单位它是最小的自然数。加上（ ）这样的分数单位它是最小的质数。 ⒉ 把4米长的电线平均分成4份，表示这样的一份就是这根电线的（ ）。表示这样的3份就是这根电线的（ ）。其中2份长（ ）米。 ⒊ 一个苹果重8 5千克。它表示的意思是（ ）。 ⒋ （ ）＝（ ）++++=812 3168383 （ ）（ ） ＝（ ）＝?+712474 （ ）（ ） ＝（ ） ＝2030183018 -÷ （ ）＝＝（ ）36 5420÷ ⒌ 在127 1510 94 65 ， ， ， 中，与32 相等的分数是（ ）。 ⒍ 一个数由6个一，9个101 组成，这个数写成分数是（ ）。 ⒎ 以最小的合数为分母的最小分数是（ ）。 ⒏ 以13做分子的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ）。 ⒐ 用分数表示涂色部分。 （ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ） ⒑ 在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。 115 ○118 87 ○97 2○36 65○56 ⒒ 43米表示1米的（ ）（ ） ，又表示把3米平均分成（ ）份，取其中的（ ）。 ⒓ 1千克的52和2千克的（ ）（ ） 相等。 ⒔ 把2吨平均分成8份，每份是总数的（ ）（ ） ，是（ ）吨。 ⒕ 写出分子是2的假分数。（ ） 二、选择（将正确答案的序号填在括号里）。
⒈ 要使 8a 是假分数，9 a 是真分数，a 应是（ ）。 ① 10 ② 9 ③ 8 ⒉ 8 3的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应（ ）。 ① 加上6 ② 乘以6 ③ 乘以3 ⒊ 把3米长的绳子对折3次，每段绳子是全长的（ ）。 ① 83 ② 81 ③ 6 1 ⒋ 4 32418和这两个分数比较（ ）。 ① 意义相同 ② 分数单位相同 ③ 大小相同 ⒌ 下列分数比2 1小的是（ ）。 ① 135 ② 158 ③ 21 11 ⒍ 小红6分钟写了54个毛笔字，平均每分钟写毛笔字总数的（ ），5分钟写毛笔总数的（ ）。 ① 61 ② 51 ③ 65 ④ 54 6 三、判断，（正确的在括号里画“√”，错误的画“×”） ⒈ 真分数都大于1，假分数都小于1。 （ ） ⒉ 分母是7的假分数有无数个，分子是7的假分数也有无数个。 （ ） ⒊ 8 53的分数单位是85。 （ ） ⒋ 真分数的分子一定比分母小。 （ ） ⒌ 因为15 953 ，所以这两个分数的分数单位也相同。 （ ） ⒍ 一个分数如果分子不变，分母增加1，则这个分数变小。 （ ） ⒎ 12431变成，因为分子和分母都同时乘以4，所以3 1124是的4倍。 （ ） ⒏ 分数的分子和分母同时乘以相同的数，分数的大小不变。 （ ） ⒐ 一节课的时间是3 2小时。表示把一节课平均分成3份，占其中的2份。 （ ） ⒑ 12分＝51时 （ ） 4米的51和1米的5 4一样长。 （ ） 四、画一画，比一比，想一想。 ⒈ 画3厘米的51，和1厘米的5 3。 ⒉ 小红有8块糖，小明的糖是小红的4 5。 （小红的糖用“○”表示，小明的糖用 “□”。）
《概率的基本性质》教案 使用教材：人教版数学必修3 教学内容：1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质 教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系； 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简 单的概率计算； 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。 教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。 教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。 教学的具体过程： 引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。 一、事件的关系与运算 老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果） 学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C 1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C 2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C 3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C 4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C 5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C 6. 老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D 1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D 2，﹛出现的点数小于5﹜记为D 3，﹛出现的点数小于7﹜记为E ，﹛出现的点数大于6﹜记为F ，﹛出现的点数为偶数﹜记为G ，﹛出现的点数为奇数﹜记为H ，等等都是该试验的事件。 那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？ 1、 学生思考若事件C 1发生（即出现点数为1），那么事件H 是否一定也发生？ 学生回答：是，因为1是奇数 我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ?（或A B ?） 特殊地，不可能事件记为 ?，任何事件都包含 ?。 练习：写出 D 3与E 的包含关系（D 3 ?E ） 2、再来看一下C 1和D 1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C 1发生，D 1 是否发生？（是，即C 1 ?D 1）；又若D 1发生，C 1是否发生？（是，即D 1? C 1） 两个事件A ，B 中，若A B B A ??，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。所以C 1 和D 1相等。 “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ←→ 全集 ↓ ↓ 每一个事件 ←→ 子集 这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A 和事件B 的并事件，记作A ∪B ，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B 。我们知道并集A ∪B 中的任一个元素或者属于集合A 或者属于集合B ，类似的事件A ∪B 发生等
《分数的意义性质》单元达标检测题 班级姓名得分 一、填空：（每空1分，共 35分） 1、下图阴影部分用分数表示是（），读作（）， 分数单位是（），再添上（）个这样的单位就等于1。（考查分数的意义和单 位“1”） 2、在（）里填上适当的分数：（考查单位换算，概念基础，约分的意义和方法，理解最简分数） 25分=（）时 3080千克=（）吨 80毫升=（）升 50平方分米=（）平方米
3、在括号里添上“﹥”、“﹤”、“=”：（考查了分数、整数和小数的互化，及其大小的比较） 53（ ）54 74（ ）94 4 （ ）3 14 83 （ ） 722( )8 25 4、 4 = () 4 = ()4 =3 () 5 8 3=（ ）÷（ ）= () 24 =（ ）←(小数) (既考查了分数的基本性质和又考查了分数与除法的关系，同时也 考查了分数和小数的互化)
5、2千克糖平均分成5份，每份是2千克的（ ），每份是（ ）千克。（考查分数的意义和单位“1”） 6、分母是8的最简真分数的和是（ ）。(考查学生理解真分数和最简分数的意义。) 7、分数5 ，当X=( )时，它是这个分数的分数单位；当X=( )时，它是最大的真分数；当X=( )时，它是最小的假分 数；当X=( )时，它的分数值为 0 。（字母在分数中的应用，当X 的值不同时，分数表示的意义不同，在理解分数的意义、分数的单位、真分数、假分数和整数的基础上进行作答） 8、4 3的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）或乘（ ）。(考查了分数的基本性质的运用) 9、一个分数的分子是12、18的最大公约数，分母是这三个数的最小公倍数，这个分数是（ ），化成最简分数是（ ）。（这道题是考查了最大公因数和最小公倍数在分数中的应用，及其对约分的考查。） 10、在下面图中：A 是（ ）；B 是（ ）；C 是（ ）。 B
2.2.1 条件概率 【学习要求】 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件 概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A) 也可以利用缩小样本空间的观点计算. 1．条件概率的概念 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈． (2)如果B与C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝.
[一点通]求条件概率一般有两种方法： 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝n(AB) n(A) ，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝P(AB) P(A) ，特别要注意P(AB)的求法．[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同． [精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果． ∴P(A)＝2×3 4×3 ＝ 1 2，P(AB)＝ 2×1 4×3 ＝ 1 6. ∴P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 1 3. (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1. ∴P(A1)＝2×4 4×4＝ 1 2，P(A1B1)＝ 2×2 4×4 ＝ 1 4. ∴P(B1|A1)＝P(A1B1) P(A1) ＝ 1 4 1 2 ＝ 1 2. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3；先摸1个白球后放回， 再摸出1个白球的概率为1 2.
《分数的意义和基本性质》单元分析 教学目标 1．理解分数的意义以及分子、分母的含义，掌握分数与除法的关系，会比较分数的大小，认识真分数、假分数和带分数，会把假分数化成带分数。 2．理解分数的基本性质，能比较熟练地进行约分和通分。 3．理解分数与小数的关系，能比较熟练地进行分数与小数的互化。 4．经历操作与探索过程，体验知识的形成过程。 5．通过观察、操作、推理和交流，获得综合运用数学知识和方法解决具体问题的能力。 教学重点和难点 1．教学重点：分数的意义、分数单位和分数的基本性质。 2．教学难点：从具体数量的比较到份与份的比较。 主要内容及其地位作用 本单元包括“分数的意义”“分数的基本性质”。“约分”“通分”“分数和小数的互化”五个新授小节，一个探索规律以及一个整理与复习小节，共七部分的内容。 具体结构安排如下所示： 下面谈一谈本单元的地位和作用： 这部分内容是在学生已经对分数有了初步的认识，会读写分数，会比较同分母或同分子分数的大小，掌握了因数与倍数、最大公因数与最小公倍数等知识的基础上进行教学的。本单元是学生系统学习分数的开始，在学生初步认识分数的基础上，使学生对分数的认识从感性上升到理性，为今后学习分数四则运算、解答分数实际问题以及学习比的知识打好基础。 教学建议 1．整体把握知识结构。 用整数表达一个事物需要经历数（shǔ）和表达两个步骤，用分数表达一个事物需要经历分、数（shǔ）和表达三个步骤。从整数到分数是数的概念的变化，也是认识过程的变化；从分数到真分数、假分数（带分数）是数的形式的变化。 分数是小学数学中的一个核心概念，分数的学习是学生对“数的认识”的重大飞跃。学生对于分数的学习主要经历了以下五个阶段： 第一阶段：经历“平均分”的活动，为学生初步认识分数积累经验。 第二阶段：学习分数的初步认识，直观认识部分与整体的关系。 第三阶段：学习分数的意义和基本性质，发展学生对于分数在比率、度量方面的认识，在分数与除法
3.1.3《概率的基本性质》 【学习目标】 1.说出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念； 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。 【重点难点】 教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。 教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质 【知识链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还 记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的 关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．育网 【学习过程】 1. 事件的关系与运算 思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现 它们之间的关系和运算吗？ 上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件? (1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H C1。一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？ 如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B A ( 或A B )；任何事件都包含不可能事件. [来源:https://www.doczj.com/doc/9312206578.html,]（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关 系应怎样描述？ 一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？ 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. （3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？[来源:https://www.doczj.com/doc/9312206578.html,] 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与 事件B的并事件（或和事件）是什么含义？ 当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B). （4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？ 例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 （5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。 （6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是： 事件A与事件B有且只有一个发生.