竖直面内有支撑物的圆周运动的临界问题探究
一、考点突破：
考点课程目标备注
竖直面内有支
撑物的圆周运
动的临界问题
1. 掌握竖直面内有支撑物
的圆周运动向心力的来源；
2. 理解产生临界的本质原
因
高考重点，每年必考，此模型通常借用其临
界条件对能量、牛顿第二定律进行考查，出
题的物理情景源于生活实际，如：单臂大回
环运动等，本考点每年必考
二、重难点提示：
重点：掌握竖直面内有支撑物的圆周运动向心力的来源并能解决实际问题。
难点：在实际问题中分析临界条件。
1. 轻杆类
有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。
如上图均是有支撑的小球
2. 小球恰能做圆周运动的临界条件：v临＝0。
3. 最高点讨论分析
（1）当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心此时物体处于平衡状态；
（2）当0 r v m 2 ，F N背离圆心，随v的增大而减小； （3）当v＝gr时，F N＝0，此时mg＝ r v m 2 ，完全失重，球、杆无弹力； （4）当v>gr时，F N＋mg＝ r v m 2 ，F N指向圆心并随v的增大而增大。 4. 产生临界的本质原因：轻杆即可产生拉力又可产生支持力，所以外界提供的合外力最小值为0，故物体能做圆周运动的临界条件为v＝0，杆中弹力方向发生改变的临界点是v＝gr。 例题1 如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（） A. 小球通过最高点的最小速度为v＝Rg B. 小球通过最高点的最小速度为0 C. 小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D. 小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 思路分析：由于小球在光滑圆形管道内做圆周运动，故小球通过最高点的最小速度可以为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道中运动时，受到的力指向上，由于小球受到的重力是向下的，故一定受外侧管壁对小球力的作用，C正确；当小球在水平线ab以上管道中运动时，当小球的速度达到一定程度时，内侧管壁对小球的作用力可能为0，故D错误。 答案：BC 例题2 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示。不计空气阻力，则（） 图甲图乙 A. 小球的质量为 b aR B. 当地的重力加速度大小为 b R C. v2＝c时，杆对小球的弹力方向向下 D. v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小不相等 思路分析：A. 在最高点，若v＝0，则N＝mg＝a；若N＝0，则 2 v b mg m m R R ， 解得 b g R ， a m R b ，故A正确，B错误。 C. 当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，所以小球对杆的弹力方向向上，故C正确。 D. 若c＝2b，则 2b N mg m R ，解得N＝a＝mg，故D错误。 答案：AC 知识脉络： 讨论 临界条件特点 本质 轻杆模型 最高点弹力 方向既能指 向圆心也能 背离圆心 最高点合力 最小值0，速 度v＝0 v临＝0 v≥gr杆、外壁对球产生向里的弹力 v v＝gr杆、壁与球无作用力 v＝0恰好过最高点，弹力等于重力 满分训练： 长为L轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端系一质量为m的小球，如图所示，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P。下列说法正确的是（） A. 小球在最高点时的速度为gL B. 小球在最高点时对杆的作用力为零 C. 若增大小球的初速度，使小球过最高点时速度增大，则过最高点时球对杆的作用力可能增大，也可能减小 D. 若增大小球的初速度，则在最低点时球对杆的作用力一定增大 思路分析：杆模型中，小球刚好能通过最高点P的速度为0，A错误；设小球在最高点时对杆的作用力为F，根据牛顿第二定律：0 = -mg F，得：mg F=，故B错误；在最高点，当速度大于gr时，杆子表现为拉力，当速度小于gr时，杆子表现为支持力，根据牛顿第二定律知，在最高点当速度大于gr时，速度增大，则杆子的作用力增大，当速 度小于gr 时，速度增大，则杆子的作用力减小，故C 正确；在最低点有：r v m mg F 2 1=-， 故r v m mg F 21 +=，若增大小球的初速度，则F 增大，故D 正确。 答案：CD
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