习题六
一、 填空题
1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.
2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→
=→
OM 则向量角为,600
_________________.
3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=a 和{}5,3,1--=b 的平面方程为__________.
{}{}=-=-=→
→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .
5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M -
=→
a ________________
{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→
→a b .
的模等于则向量已知→
→→→→→
→-==??
? ??==n m a n m n m 3260,,2,50
.
垂直的平面方程是且与平面过点??
?=+-+=-+--0
12530
742)3,0,2(z y x z y x .
9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→
===121,,,则向量
s a b c →→→→
=+-的模等于_____________.
10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.
1 =?
??=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,062220
32.
二、 选择题
1． 表示方程??
?==++1
36
94222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A
():.
0)(;
)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C
2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →
→
→
→
→
++=
??
?
??+-±?
?
?
??++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(
():22)(22)答?
?
?
??+±?
?
?
??-±→→→→k i D k i C
3.=+=??? ??==→
→→→→
→
b a b a b a 则且已知,4
,,2,1π ():.
5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +
4. 平面3x-3y-6=0的位置是
(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴;
(C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( )
5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→
→→→b a b a
→
→→→→
→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;
)(
():)()(答→
→
→
→
→
→→→+=+-<+b
a b a A b
a b a C
6．是旋转曲面1222=--z y x
轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )(
轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得
平面上的椭圆绕x xoz D
7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→
→→→≠≠b a
;)(垂直的充要条件与是→
→→
→
=?b a b a A
;0)(平行的充要条件与是→
→
→→=?b a b
a B
;)(平行的充要条件
与的对应分量成比例是与→
→
→
→b a b a C ():.
0),()(答则是数若=?=→
→→→
b a b a
D λλ
8. =???
? ??+→
→→→
→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,
→
→
→
→
→
→
→
→
?+??+?b c a c B b
c c a A )()( ():)()(答→
→
→
→
→
→
→
→
?+??+?c
b a
c D c
b c a C
9.方程x y y 22
4
91
2+==????
?在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;
(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )
10. 对于向量c b a ,,，有
（A ）
若0=?，则b a ,中至少有一个零向量
（B ） ()())(?+?=?+ （C ） ()()??=?? （D ）
()()0=??
1 1. 方程y z x 22480+-+=表示
(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;
(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )
12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y q
z p q 22
200-=>>,与xoy 平面交
线是
(A) 双曲线; (B) 抛物线,
(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )
三、 计算题（本题共
6小题，每小题8分，满分48分。）
1．→
--AB C B A C B A 求及的坐标分别为设点),3,4,0()1,1,1(),1,3,2(,,
.23,,→
→
→
→
→
-+AC AB AC AB AC
2．.,的单位向量求它们的夹角平分线上和已知不平行的两向量a →
3. ,1
5
2132,,-=-+=-z y x xoz 又垂直于直线
且通过原点上一直线在坐标面 .求它的对称式方程
4.()轴上截距轴和中在求平面束y x z y x y x 04253=+--+-+λ
.相等的平面
5．()()的平面且垂直于平面试求过点0,,,,,32123211=++z y x b b b M a a a M
.→
n 的法向量
6．{},2,1,4)3,5,2(=-→
AB A 及两边的向量已知三角形的一个顶点
{}5,2,3-=→BC 和.A CA ∠→
以及求其余的顶点和向量
7．设点为从原点到一平面的垂足求该平面的方程P (,,),.362-
四、证明题：
1.但行中任意两个向量都不平
已知三个非零向量,,,→
→→c b a 与??
? ??+→→b a →
→→→→
→→=++??? ??+0,,c b a a c b 试证平行与平行
习题六答案
一、 1. 2x+8y+z+8=0. 2.. {,}.5255± 01747=-++z y x .6-
5. ±
--→→→117
322()i j k 6. -4
3. 7.219. 8. -16(x-2)+14y+11(z+3)=0 .
9. .2. 10.
x y z -=-=-2234
1
. 6.11-
二、
三、1．},.0,1,3{},2,1,2{},2,2,1{--=+--=--=?→
??→??→??→?AC AB AC AB
2．a →与b →
夹角平分线上的单位向量
c =→
3.设所求方程为
x m y n z
p
==,且n=0 由{,,}{,,}m o p ⊥-321故3m+p=0 }
10,8,1{23-=-?→
??→?AC AB
则m:p=-1:3因此所求直线方向失量为{-1,0,3},故所求直线方程为
x y z -==103
. 4．平面的截距式为
x y z
5415435421-++--+--=λλλλλλ
据题意有
541543-+=--λλλ
λ
解得λλ1215
4
==,但λ2不合理舌去(截距
式中分母为0).
故平面方程为x+3y-5+(x-y-2z+4)=0,即2x+2y-2z-1=0.
5.n →垂直于过点M M 12,的直线,故n a b a b a b →⊥---{,,}112233n →
垂直于已
知平面的法向量,故n →
⊥{,,}111所以n i
j
k a b a b b →
→
→
→
=--11
22
11
1
1
=--++-++-+--+→→→
()()().a b a b i a b a b j a b a b k 223311331122
6.B x y z C x y z (,),(,).111222},3,5,2{111-+-=z y x },,121212z z y y x x ---=
由x y z 111245132-=+=-=,,.得x y z 111645==-=,,
x x y y z z 212121325-=-=--=,,.得x y z 2229610==-=,,
故B(6,-4,5),C(9,-6,10),CA →=--,{,,}717 AC →
=--{,,}717
AC A AB AC AB AC AB AC
→
→∧→
→
→
→
→
=--∠==??={,,}
(,)arccos
arccos
.71741
3231
7.},2,6,3{-=op 且(3,-6,2)在平面上,于是平面方程为3(x-3)-6(y+6)+2(z-2)=0
即3x-6y+2z-49=0.
四、1.,,)(→
→→→→→=++c b a c b a λ平行与
→
→→→→
→
=++
,,)(a c b a c b μ平行与
a c c a a c →
→→
→
→→
-=-+=+λμμλ,
()().11
由a c →→
,不平行,故1101+=+===-μλλμ,.
即a b c b c a a b c →→→→→→→→→→
+=-+=-++=,,.0