一、预习目标
了解曲线方程的概念，并能根据曲线方程的概念解决一些简单问题。
二、要点扫描
1．曲线的方程的概念是什么？
三、质疑问难
四、牛刀小试
1．判断下列结论的正误，并说明理由：
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为3
x=；
（2）到x轴距离为2的点的直线方程为2
y=-；
（3）到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为1
xy=；
（4）△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC的中点，中线AD的方程为0
x=。
2. 如果曲线C上的任一点的坐标都满足方程(,)0
F x y=，则以下说法正确的是
（1）曲线C的方程为(,)0
F x y=；
（2）方程(,)0
F x y=的曲线是C；
（3）坐标满足方程(,)0
F x y=的点在曲线C上；
（4）坐标不满足方程(,)0
F x y=的点不在曲线C上。
3．已知曲线2290
++-=经过三点A（-1，，B（1，，C（3），ax by cx
求曲线的方程。
x=吗？如果是，请说明理由；如果不是，请写出4．与y轴的距离为2的直线l的方程是2
正确结论。
一、学习目标
1．了解曲线方程的概念。
2. 能根据曲线方程的概念解决一些简单问题。
二、要点概述
三、合作探究
探究一：
判断点-，(4,1)
-是否是圆2216
x y
+=上．
方法总结：
探究二：已知一座圆拱桥的跨度是40m，圆拱高为8m.以圆拱所对的弦AB所在的直线为x轴，AB的垂
直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy如图。
（1）求圆拱的方程。
（2）若有一货船宽20m，高4m，问：能否通过此桥？
方法总结：
四、目标检测
学习讲义P67 1,2,3,8
五、迁移应用
课本习题2.6（1）1～4
x y
圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分
曲线与方程的教学设计 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题. 学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础. 二．目标和目标解析 教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想 方法. 上述教学目标具体体现在: （1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程; （2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围; （3）掌握求曲线方程的基本流程; （4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程; （5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程. 教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握. 三．教学问题诊断 新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维. 另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们
第9课时双曲线的几何性质（1） 【学习目标】1?了解双曲线的简单几何性质，如范围?对称性?顶点?渐近线和离心率等. 2 ?能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 【问题情境】 1?椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2?双曲线的两种标准方程是什么？ 【合作探究】 双曲线的几何性质 【展示点拨】 2 2 X y 例1 ?求双曲线1的实轴长和虚轴长?焦点的坐标?离心率.渐近线方程.
例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程. 3 变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上” 2 J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程. 8 M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率. 【学以致用】 1 ?说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程: 2 2 2 2 /八 x y , y x . (1) 1 ; (2) 1 . 9 16 4 5 例3?求与椭圆 例4 ?过双曲线 X 2 a 2 2 ■y 2 1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于 b 2 x 轴的直线与双曲线相交于
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上. 5 ，且与椭圆 —1 - 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程. 3 40 15 5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点， 以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此 双曲线上，求此双曲线的离心率. 第9课时双曲线的几何性质(1) 【基础训练】 2 2 1?双曲线— y 1的焦点坐标为 49 25 2 2 2?双曲线— 1的两条渐近线的方程 16 9 3?等轴双曲线的中心在原点， 它的一个焦点为F(0，2(2)则双曲线的标准方程是 ______________ 4?双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 3?已知双曲线的两条渐近线的方程是 y 方程. 4 -x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3 4.双曲线的离心率为
第2章 圆锥曲线与方程 1 利用椭圆的定义解题 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值 例1 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________． 解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2 －c 2 ＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 5 2．求动点坐标 例2 椭圆x 29＋y 2 25＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________． 解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10， 所以PF 1·PF 2≤? ????PF 1＋PF 222＝? ?? ? ?1022＝25， 当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． 由? ?? ?? PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ， 此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0) 点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积 例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求
2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的 几何性质课堂导学案 新人教B 版选修1-1 三点剖析 一、利用抛物线定义求最值 【例1】 在抛物线x 2=8y 上求一点P ，使得P 点到焦点的距离与P 点到定点A (1，3)的距离 之和最小，并求出这个最小距离. 解析：过A 作直线l 与准线垂直交于点A ′，与抛物线交于点P ，则P 点即为所求. 将P (1，y )代入x 2=8y 中，则y =81，于是点P 的坐标为(1,8 1)，且最小距离d =5. 温馨提示 此题解法中将点P 到焦点F 与点A 的最小距离，转化为线段AA ′的长，是紧扣定义得到的，这一方法在解决圆锥曲线问题时经常用到. 二、焦点弦问题 【例2】 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程. 思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0. 解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点. ∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1，0)， ∴直线方程为y =k (x -1). 由,4)1(2???=-=x y x k y 整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. ∴x 1+x 2=2242k k +. ∴｜AB ｜=｜AF ｜+｜BF ｜ =x 1+x 2+2=2 242k k ++2. 又｜AB ｜=36，∴2242k k ++2=36, 解得k 2=81,即k =±4 2.
∴所求直线方程为y =42(x -1)或y =-4 2(x -1). 温馨提示 (1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k ，但是计算复杂，一般不采用. (2)也可以利用弦长公式｜AB ｜=21k +｜x 1-x 2｜来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长. (3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到｜AB ｜=x 1+x 2+p ,解起来更简捷. 三、直线与抛物线的位置关系 【例3】 直线l ：y =kx +1,抛物线C ：y 2=4x ，当k 为何值时l 与C 有(1)一个公共点；(2)两 个公共点；(3)没有公共点. 解析：将l 和C 的方程联立,412???=+=x y kx y 消去y ，得k 2x 2+(2k -4)x +1=0.(*) 当k =0时，方程(*)只有一个解x = 41,∴y =1. ∴直线l 与C 只有一个公共点(4 1，1)，此时直线l 平行于对称轴. 当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程. (1)当Δ＞0，即k ＜1,且k ≠0时，l 与C 有两个公点，此时称直线l 与C 相交； (2)当Δ=0，即k =1时，l 与C 有一个公共点，此时称直线l 与C 相切； (3)当Δ＜0,即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时称直线l 与C 相离. 综上所述，可知：当k =1或k =0时，直线l 和C 有一个公共点；当k ＜1,且k ≠0时，直线l 和C 有两个公共点；当k ＞1时，直线l 和C 没有公共点. 温馨提示 一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的(如图).因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件. 各个击破 类题演练1 给定抛物线y 2=2x ，设A (a ,0),a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d ,试求d 的最小值. 解析：设P (x 0,y 0),(x 0≥0), 则y 20=2x 0, ∴d =｜PA ｜=.12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x
课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 成都石室中学王远彬 一、内容和内容解析 1．教学内容 《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线地方程、方程地曲线地概念；第二小节内容是如何求曲线地方程．本课时为第一小节内容． 2．地位与作用 本小节内容揭示了几何中地“形”与代数中地“数”相统一地关系，体现了解析几何这门课地基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性地意义．其中，对曲线地方程和方程地曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化地理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》地第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线地方程和圆地方程地基础上对曲线与方程关系认识地一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型地基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后地关键作用． 二、目标和目标解析 本课时地教学目标是结合已学曲线及其方程地实例，了解曲线与方程地对应关系，进一步理解数形结合地基本思想．具体目标如下： 1．通过探究“以方程地解为坐标地点”汇集地图形，感知并归纳概括曲线与方程地对应关系； 2．初步理解方程地曲线与曲线地方程地含义； 3．通过经历曲线与方程地对应关系地探究过程，发展抽象概括地能力； 4．能使用曲线地方程（方程地曲线）地概念判断曲线与方程地对应关系，继续理解数形结合思想． 三、教学问题诊断分析 1．问题诊断 学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性地认知基础，能够根据直线地方程、圆地方程作对应地图形，并对数形结合思想有初步地了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程地对应关系是一次从感性认识到理性认识地“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他地曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线地方程（方程地曲线）这一组概念有着较高地抽象性，所以预计在本课地学习中，学生可能出现以下困难： （1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线地方程（方程地曲线）地概念时不规范，不全面；
第14课时曲线与方程 【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题 【问题情境】 前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线 的方程，那么什么是曲线的方程？ 1、曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一 个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲 线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】 问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？
问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .
例1?判断下列结论的对错，并说明理由： (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上； (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程. 变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直 y 平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*
2.1.3椭圆及其标准方程(2) 主备人： 学生姓名： 得分： 学习目标： 1. 能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程 2. 借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法. 3. 学会代入法求轨迹方程 学习难点： 写出椭圆的标准方程，代入法求轨迹方程 三、合作探究 例1：如图，在圆x 2 y 2 4上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足。当点P 学习方法：自主预习, 合作探究，启发引导 一、导入亮标 1 ?椭圆的定义？ 2 ?椭圆的标准方程? 二、自学检测 1、已知椭圆的方程为 25 2 壬1 9 ，则 a = 焦点坐标为 ，焦距等于 2 ?已知椭圆的方程为 4 2 L 1 5 ，则 a = ,c = 焦点坐标为 ，焦距等于 3.经过A( 4,0), B(2「3)的椭圆的标准方程是 4 ?将下列椭圆方程转化成标准方程. (1)4x 2 3y 2 2 2 1 (2) 5x 6y 1
例2:如图，设点A,B的坐标为5,0、5,0。直线AM ,BM相交于点M，且它们的斜率 四、展示点评 五、检测清盘 1 ?已知圆x2寸9，从圆上任意一点P向x轴作垂线PP',点M为PP'上的点，且PM 2MP',则点M的轨迹方程_________________________ . 2 2 2?已知圆A : x (y 6) 400, B(0,6),圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程______________________ ? 3?若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上，且 AM 2MB，求点M的轨迹方程. 4. 若△ ABC的两个顶点坐标A( —4,0) , B(4,0) , △ ABC的周长为18, 则顶点C的轨迹方程为 __________________________ . 5. 动点P(x，y)的坐标满足(x 2)2 / 「(X 2)2 / 8, 则点P的轨迹是 ________________ 2 2 ?丄1 6. 已知椭圆16 9 的左、右焦点分别为F1、F2, P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ= 1，贝U PF1 = _________ 7.已知椭圆x 2y a (a °)的左焦点F1到直线y x 2的距离为2 一2 , 求椭圆的标准方程. 2 X 8.已知方程m 2 2 y 2m 1 是焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 1
高中数学圆锥曲线与方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标
知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2.1.1 曲线与方程（1） 【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 【重点难点】 重点:曲线的方程、方程的曲线 难点：求曲线的方程． 【学习过程】 一、自主预习 （预习教材理P 34~ P 36，找出疑惑之处） 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、合作探究 归纳展示 探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 三、讨论交流 点拨提升 曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之
间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 四、学能展示 课堂闯关 ※ 典型例题 例1. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
§2.6 曲线与方程 2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线． 1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系： (1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解； (2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________． 2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上?______________；②点P 不在曲线C 上?________________. 一、填空题 1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________． 2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________． 3．下列各组方程中表示相同曲线的是________． ①y＝x ，y x ＝1； ②y＝x ，y ＝x 2 ； ③|y|＝|x|，y ＝x ； ④|y|＝|x|，y 2＝x 2. 4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件． 5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________． 6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________． 7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ? ?? ??12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号) ①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0； ②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ； ③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上； ④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上． 二、解答题 9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？ (2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？
第18课时圆锥曲线与方程复习(2) 【学习目标】 1?掌握圆锥曲线的统一定义； 2?掌握椭圆?双曲线?抛物线的几何性质； 3.会求一些简单的曲线的轨迹方程. 【问题情境】 1.圆锥曲线的统一定义是什么？ 2.椭圆.双曲线.抛物线的准线方程分别是什么? 3.求曲线方程的步骤有哪些？方法有哪些? 【合作探究】 2 X 已知P(x, y)为椭圆巧 a 2 y 21(a b 0)的任意一点.点 M(m,0)为一定点，女M可求PM b 的最小值? 【展示点拨】 2 2 例1. 已知P(x, y)为椭圆——1的任意一点. 25 9 (1 )若F为椭圆的右焦点.，求线段PF长度的取值范围； (2)设A(0, a)，求线段PA长度的最大值(用a表示). 2 2 X y 例2 .已知F1, F2是椭圆二2 1 a b 0的两个焦点，P为椭圆上一点, F1MF= 60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△ F1PF的面积只与椭圆的短轴长有关.
a b 变式：若将椭圆改为双曲线呢? 2 2 例4 .⑴ 已知动圆A 过定圆B ： x y 6x 7 0 的圆心，且与定圆C ： 2 9 x y 6x 91 0相内切，求△ ABC 面积的最大值； (2)在(1)的条件下，给定点 R-2,2), 求PA 5 AB 的最小值； 3 (3)在(2)的条件下求|PA + |AB 的最小值. 例2 .已知圆 2 2 20 C 的方程为：X 2 y 1 ——，椭圆 o 的方程为： 3 2 2 x y 2 2 1 a b a b 0 ,C 的离心率为—，若C 与C 2相交于A , B 两点，且线段 AB 恰好 2 为圆C 的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方 程.
3.4.1 曲线与方程 学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。 学习重点：曲线与方程的一一对应关系。 学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。 学习过程： 一、复习： 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。 一、新旧知识连接： 复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。 二、我能自学： 1.认识角的概念： 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系 （1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程 三、巩固训练 1．22 :(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程 (1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上. 2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？ 3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1 例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程 f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( )
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
§2.2椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程 课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念. 3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程. 4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程． 椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)，焦点坐 标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)． 注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝________； (2)椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1 (m>0，n>0，m ≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m 《课堂教学设计》 课题：曲线和方程（1） 一：教学目标 ?知识与技能目标 （1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。 二：教材分析 1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 几何条件 与两个定点的距离的和等于常数 与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定直线的距离相等 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0) 图形 顶点坐标 (±a,0) (0，±b ) (±a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，长轴长2a ； y 轴，短轴长2b x 轴，实轴长2a ； y 轴，虚轴长2b x 轴 焦点坐标 (±c,0) c ＝a 2－b 2 (±c,0) c ＝a 2＋b 2 (p 2，0) 离心率 0 2.曲线与方程 (1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程． (2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0 高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文 一、预习导航 1、探究：下列表示平面直角坐标系下求一三象限角平分线的方程，你认为哪些是正确的？（1）（2）（3） 2、结论（1）你能说明不正确的理由是什么吗？（2）你能据此总结出曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件吗？ 二、牛刀小试判断下列曲线与方程的关系，若所给出的方程不是曲线的方程，是因为不满足两个条件中的哪一条？（1）曲线C：过点（2，0）且与y轴的距离等于2的点的轨迹方程为（2）曲线C：到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹方程为。（3）曲线C：以y轴为对称轴的等腰三角形底边上的中线的方程：。 三、展示自我 1、判断正误：（1）已知一个三角形的三个顶点是A（2，3）、B(0,0)、C(4,0)，它的BC边上的中线AM的方程是；（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(-1,0)B(1,0)的连线，使为直角的动点M的轨迹方程是：； 2、如果方程的曲线通过点A(0,-2)和B（），求a，b的值。３、求直线l：x+4y+7=0与曲线C:的公共点的坐标。 四、巩固提高已知两圆,,想一想：及应该满足的条件？方程（1）时，该方程表示： _______________________________________________（2）时，该方程表示： _______________________________________________练习：求通过两圆，的交点和点（2，1）的源的方程？ 五、小结你认为通过自己的学习，本节课有哪些知识没有掌握？ _________________________________________________________ ______________________ _________________________________________________________ ______________________曲线和方程教案
创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习提升
高二数学 曲线与方程的概念导学案导学案 文
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