（一）分式不等式： 型如：0)()(>x x f ?或0)
()( 解关于x 的不等式02 31>-+x x 方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为： ???>->+02301x x 或???<-<+0 2301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一： 0231≥-+x x 等价转化为：? ??≠-≥-+0230)23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02 31≤-+x x 的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零） （2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化： （1）0)()(0)()(>??>x x f x x f ?? （3）0)()(0) ()( ??≠≤??≤0)(0)()(0)()(x x x f x x f ??? （3）小结分式不等式的解法步骤： （1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式 （2）转化为等价的整式不等式 （3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正） 练一练：解关于x 的不等式 051) 1(>--x x 3532)2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 232≥+-x x 解：023 2≥-+-x x 03 )3(22≥++--x x x 即，03 8≥+--x x 03 8≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ??≠+≤++030)3)(8(x x x ∴原不等式的解集为 [)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23282<+++x x x 方法一：322++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式： 1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，???≠≤-0 0)(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ （二）绝对值不等式 理解绝对值的几何意义： ? ? ? ? ? < - = > = )0 ( )0 ( )0 ( a a a a a a ， 其几何意义是数轴上的点 ) (a A 离开原点O的距离 a OA= 。 （一）注意绝对值的定义，用公式法 即若a x a >< 0，|| ，则 -<< a x a；若a x a >> 0，|| ，则 x a >或x a <-。 例1. 解不等式|| 2331 x x -<+ 解：由题意知310 x+>，原不等式转化为-+<-<+ () 312331 x x x 即：对于形如 ) R a(a |)x(f| a |)x(f|∈ > <， 型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即： ①当a>0时， a )x(f a a |)x(f|< < - ? < ； a )x(f a |)x(f|- < ? > 或 a )x(f> 。 ②当a=0时， a |)x(f|< ，无解； )x(f a |)x(f|≠ ? > 。 ③当a<0时， a |)x(f|< ，无解； )x(f a |)x(f|? > 有意义。 拓展：形如 )0 a b(b |)x(f| a> > < < 型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即： a )x(f b b )x(f a )0 a b(b |)x(f| a- < < - < < ? > > < <或 。例1 解以下不等式： （1） 5 |3 x2|> - ；（2） |1 x2|< - 。 解：（1）由原不等式可得： 5 3 x2> -或5 3 x2- < -，即x>4或1 x- <。 所以原不等式的解集是 }1 x 4 x|x{- < >或 （2）因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为 ?。（二）注意绝对值的非负性，用平方法 等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到||x x 22 = 。 例2. 解不等式|||| x x +<+ 123 两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。 解：原不等式 ?+<+?+<+?+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 即：对于 形如|)x (g ||)x (f |<型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即： 0|)x (g )x (f ||])x (g ||)x (f [||)x (g ||)x (f ||)x (g ||)x (f |22<+?-? 例2 解不等式|3x 2||1x |->-。 解：原不等式等价于：2 2|3x 2||1x |->-，即08x 10x 32<+-，解得2x 34<<。 （三）注意分类讨论，用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213 解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、 于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式? x x x x x x x x x <--++-->???-≤<+-->???≥++->???2213212131213,()[()],(),()或或 解得x x ><-12或 综上不等式的解为x ∈-∞-?+∞()()，，21 即：对于形如a b x c x ≥-+-和 a b x c x ≤-+-不等式，用零点分段法 1．解不等式4 31≥-+-x x （1）利用绝对值不等式的几何意义 这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合 （2）零点分段讨论：（即去掉绝对值） 注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式 3 1)(++-=x x x f 总结:绝对值不等式的解法 （1） a x a a a x< < - ? > <)0 ( ； （2） a x a x a a x> - < ? > >或 )0 ( ； （3） a x f a a a x f< < - ? > <) ( )0 ( ) ( ； （4） a x f a x f a a x f> - < ? > >) ( ) ( )0 ( ) (或 ； （5） ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x g x f x g x g x f< < - ? < ； （6） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x g x f x g x f x g x f> - < ? >或 ； （7） a x b b x a a b b x a- ≤ ≤ - ≤ ≤ ? > > ≤ ≤或 )0 ( ； （8） ?? ? ? ? ≠ < ? ? ? ? ≠ < ? > < ) ( ]) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) (2 2 x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。 （9） |)x(g )x(f||])x(g| |)x(f[| |)x(g| |)x(f| |)x(g||)x(f|2 2< + ? - ? < ? < （10）对于形如 m b x a x> - + - 等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义 求解。 [课后练习] 1、不等式 )1 2(1≥ - +x x 的解集为。 2、不等式 )1 2(1< - +x x 的解集为。 6、已知不等式 是 成立的充分非必要条件 1 | |＜ m x-2 1 3 1 ＜x＜ ， 则实数 m的取值范围是。 7、不等式 3 1 2- - > +x x 的解集是。 8、关于x的不等式m x> -1 的解集为R的充要条件是（） A． < m B．1- ≤ m C．0 > m D．1- ≥ m 9、不等式｜x2-x-6｜>3-x的解集是 ( ) A．(3,+∞) B．(-∞，-3)∪(3,+∞) C． (-∞，-3)∪(-1，+∞) D．(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞) 10、解不等式 1 |4 | |1 2|+ ≥ - - +x x x 。 11、设函数 ()2 f x ax =+ ，不等式 |()|6 f x< 的解集为 (1,2) - ， 试求不等式 1 () x f x ≤ 的解集。 提高题 12、用>或<或≥或≤填空：b a b a - + b a b a + - (｜a｜>｜b｜)。 13、已知 > h，设命题甲为两个实数a、b满足h b a2 < - ；命题乙为两个实数a、b满足 h a< -1 ，且h b< -1 ，那么甲是乙的条件。 14、已知 2 1 ) (x x f+ = ，a、b∈R，且a≠b，求证： b a b f a f- < -) ( ) ( ． 15、已知 () f x 和 () g x 的图象关于原点对称，且 2 ()2 f x x x =+ ， （1）求 ) (x g 的解析式；（2）解不等式 ()()|1| g x g x x ≥-- 。
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