正态分布
【学习目标】
1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2. 了解正态曲线与正态分布的性质。 【要点梳理】
要点诠释：
要点一、概率密度曲线与概率密度函数
1．概念：
对于连续型随机变量X ，位于x 轴上方，X 落在任一区间（a ，b]内的概率等于它与x 轴、直线x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f x 叫做X 的概率密度函数。
2、性质：
①概率密度函数所取的每个值均是非负的。
②夹于概率密度的曲线与x 轴之间的“平面图形”的面积为1
③()P a X b <<的值等于由直线x a =，x b =与概率密度曲线、x 轴所围成的“平面图形”的面积。 要点二、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
正态变量的概率密度函数表达式为：22
()2,()(R)2x x x μσμσ?πσ
--
=
∈，（0,σμ>-∞<<+∞）
其中x 是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；σ是正态变量的标准差.
2．正态分布 （1）定义
如果对于任何实数,()a b a b <随机变量X 满足：,()()b
a
P a X b x dx μσ?<≤=?，
则称随机变量X 服从正态分布。记为2
(,)X N μσ:。 （2）正态分布的期望与方差
若2
(,)X N μσ:，则X 的期望与方差分别为：EX μ=，2
DX σ=。
要点诠释：
（1）正态分布由参数μ和σ确定。
参数μ是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。σ是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它
就服从或近似服从正态分布．
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．
要点三、正态曲线及其性质：
1. 正态曲线
如果随机变量X 的概率密度函数为22
()21
()(R)2x f x e x μσπσ
--
=
∈，其中实数μ和σ为参数
（0,σμ>-∞<<+∞），则称函数()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
2．正态曲线的性质：
①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称； ③曲线在μ=x 时达到峰值
2πσ
； ④当μ
⑤曲线与x 轴之间的面积为1； ⑥μ决定曲线的位置和对称性；
当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。
⑦σ确定曲线的形状；
当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，
曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。
要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=μ时取最值；性质⑦说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集中．
要点四、求正态分布在给定区间上的概率 1. 随机变量取值的概率与面积的关系
若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，那么对于任意实数a 、b （a ＜b ），当随机变量ξ在区间（a ，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a ，b]上取值的概率．
一般地，当随机变量在区间（－∞，a ）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a ，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图（3）．
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．
2、正态分布在三个特殊区间的概率值：
()0.683P X μσμσ-<≤+=； (22)0.954P X μσμσ-<<+=； (33)0.997P X μσμσ-<≤+=。
上述结果可用下图表示：
要点诠释：
若随机变量X 服从正态分布2
(,)N μσ，则X 落在(3,3)μσμσ-+内的概率约为，落在
(3,3)μσμσ-+之外的概率约为，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不
可能发生。
一般的，服从于正态分布2
(,)N μσ的随机变量X 通常只取(3,3)μσμσ-+之间的值，简称为3σ原则。
3、求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x 轴之间面积为1。 ①正态曲线关于直线x μ=对称，与x μ=对称的区间上的概率相等。 例如()()P X P X μσμσ<-=>+； ②()1()P X a P X a <=-≥； ③若b μ<，则1()
()2
P b X b P X b μμ--<<+<=
。
(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率： ①()0.6826P X μσμσ-<≤+=； ②(22)0.9544P X μσμσ-<<+=； ③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=。 【典型例题】
类型一、正态分布的概率密度函数 例1. 下列函数是正态密度函数的是（ ）．
A ．22
()2()2x P x μσπσ
-=
μ，σ（0σ>）都是实数
B ．2
22()x P x π-= C ．2
(1)4()22x P x π--= D ．2
2()e 2x P x π
=
【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断． 【解析】
正态密度函数为：22
()2()x P x μσ--
=
，
其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．
选项A
σ
，指数错为正数．选项C ，从系数可得σ=2，而从指
数处可得σ=
D 中指数为正，错误．所以正确答案为B ．
【总结升华】注意函数22
()2()x P x μσ--
=的形式特点是解题的关键．
举一反三：
【变式1
】设一正态总体，它的概率密度曲线是函数2
(10)8()x f x --=的图象，则这个正态总体的均
值与方差分别是（ ）
A ．10与8
B ．10与4
C ．8与10
D ．2与10
【答案】在该正态分布中，μ=10，σ=2，则E(X)=10，D(X)=2
σ=4，故选B 。。 【变式2】．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）),(,21)(2
2
+∞-∞∈=
-
x e
x f x π
（２）),(,221
)(8
)1(2
+∞-∞∈=
--
x e
x f x π
（３）2
2(1)(),(,)x f x x -+=
∈-∞+∞ 【答案】(1) 0，1 (2) 1，2 (3) -1，
【变式3】正态总体为1
,0-==σμ1概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
。因为2
2()x f x -=所以选B 。
【变式4】一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：，，10，，，，，10，，．如果机床生产零件的尺寸X 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．
【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数μ和σ即可，而μ即样本均值，σ即样本标准差．
依题意得1
(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010
μ=
?+++++++++=，
2222221
[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)10
σ=
?-+-+-++-+- 2
2
2
2
2
(10.310)(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-+-=． 即10μ=，2
0.03σ=．所以X 的概率密度函数为2
50(10)3
()e 6x x ?π
--
=．
类型二、正态曲线
例2. 如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【思路点拨】 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20，最大值为
2π
，因此，μ=20，由
22π
πσ
=
可求得σ的值． 【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是
2π
，所以μ=20．
由
22πσπ
=，解得2σ=． 于是概率密度函数的解析式是2
(20)4
()e
2x P x π
--
=
，x∈（－∞，+∞）．总体随机变量的期望是μ=20，
方差是22
(2)2σ==．
【总结升华】 利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴x=μ，一是最值
2πσ
．这两点确定以后，相应参数纵μ、σ便确定了，代入P （x ）中便可求出相应的解析式． 举一反三：
【变式1】 关于正态密度曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x=μ对称，整条曲线在x 轴上方； ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
③曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“高瘦”． 其中叙述正确的有（ ）．
A ．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 B
根据曲线关于直线x=μ对称，只有当μ=0时函数才是偶函数，故②错．利用排除法选B ．
4
3
2
1
-1
-4-224
2
1
【变式2】如图，两个正态分布曲线图：
1为)
(
1
,1
x
σ
μ
?，2为)
(
2
2
x
σ
μ
?，
则
1
μ
2
μ，
1
σ
2
σ（填大于，小于）
【答案】＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。
【变式3】如图是三个正态分布X～N（0，），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。
【答案】①②③。
【变式4】已知正态总体落在区间()
+∞
,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=
x时达到最高点。
【答案】。
由于正态曲线关于直线xμ
=对称，由题意知0.2
μ=。
类型三、正态分布的计算
例3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝，则P(ξ≤0)＝( )
A．B．
C．D．
【思路点拨】可画出正态曲线，利用正态曲线的对称性解决。
【解析】∵P(ξ≤4)＝，μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)
＝1－＝，故选A.
【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。
举一反三：
【变式1】（1）(0,1)
X N
:，μ和σ的值各是多少（2）(1,9)
X N-
:，μ和σ的值各是多少【答案】
（1）比照2
(,)
X Nμσ
:（0
σ>），(0,1)
X N
:时，μ=0，σ=1。
（2）比照2
(,)
X Nμσ
:（0
σ>），(1,9)
X N-
:时，μ=－129
σ=，所以μ=－1，σ=3。
【变式2】在某次测量中，测量结果ξ服从正态分布2
(1,)
Nσ(0)
σ>，若ξ在（0，1）内取值的概率为，则ξ在（0，2）内取值的概率为________。
【答案】
ξ服从正态分布2
(1,)
Nσ，
∴在（0，1）与（1，2）内取值的概率相同，均为。
ξ在（0，2）内取值的概率为+=。
【变式3】设随机变量X ～N （0，1）， （1）P(－a ＜X ＜0)=P(0＜X ＜a)(a>0)； （2）P(X ＜0)=；
（3）已知P(|X|＜1)=，则P(X ＜－1)=； （4）已知P(|X|＜2)=，则P(X ＜2)=； （5）已知P(|X|＜3)=，则P(X ＞－3)=。 其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】D ；均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。
例4. 设ξ～N （1，22
），试求： （1）P （－1＜ξ≤3）； （2）P （3＜ξ≤5）； （3）P （ξ≥5）．
【思路点拨】 要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值．
【解析】 ∵ξ～N （1，22），∴μ=1，σ=2，
（1）P （－1＜ξ≤3）=P （1－2＜ξ≤1+2）=P （μσ-＜ξ≤μσ+）=． （2）∵P（3＜ξ≤5）=P （－3＜ξ≤－1）， ∴P（3＜ξ≤5）
1
[(35)(13)]2P P ξξ=-<≤--<≤ 1
[(1414)(1212)]2P P ξξ=-<≤+--<≤+ 1
[(22)()]2P P μσξμσμσξμσ=-<≤+--<≤+ 1
(0.9540.683)0.1362
=?-≈． （3）∵P（ξ≥5）=P （ξ≤－3）， ∴1()[1(35]2P P ξξ≥=
--<≤1
[1(1414)]2
P ξ=--<≤+ 1[1(22)]2P μσξμσ=--<≤+1
(10.954)0.0232
=-=． 【总结升华】 在求随机变量ξ在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量ξ的取值转化到区间
(,)μσμσ-+、(2,2)μσμσ-+以及(3,3)μσμσ-+，然后利用在(,)μσμσ-+上的概率约为，在(2,2)μσμσ-+上的概率约为，在(2,2)μσμσ-+上的概率约为．
举一反三：
【变式1】(2,25)X N :，求(1317)P X -<≤。
【答案】(2,25)X N :时，μ=2，σ=5，313μσ-=-，317μσ+=，
∴(1317)0.9974P X -<≤=
【变式2】若η～N （5，1），求P （5＜η＜7）． 【答案】∵η～N （5，1），
∴正态分布密度函数的两个参数为μ=5，σ=1， ∵该正态密度曲线关于x=5对称．
∴11
(57)(37)0.9540.47722
P P ηη<<=
?<<=?= 【变式3】设(0,1)X N :。
（1）求P(－1＜X ≤1)；（2）求P(0＜X ≤2)。 【答案】
（1）(0,1)X N :时，1μσ-=-，1μσ+=，
∴(11)0.6826P X -<≤≈。
（2）22μσ-=-，22μσ+=，正态曲线0,1()x ?关于直线x=0对称，
∴11
(02)(22)0.95440.477222
P X P X <≤=
-<≤≈?=。 类型四、正态分布的应用
例5. 某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N （70，102
），如果规定低于60分为不及格，那么 （1）成绩不及格的人数占多少 （2）成绩在80～90分内的学生占多少
【思路点拨】 本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律．因为正态密度曲线关于直线x=μ对称，故本题可利用对称性及特殊值求解． 【解析】（1）设学生的得分情况为随机变量X ， 则X ～N （70，102
），其中μ=70，σ=10．
成绩在60～80分之间的学生人数的概率为 P （70－10＜X ＜70+10）=， ∴不及格的人数占
1
2
×（1－）=． （2）P （70－20＜X ＜70+20）=， ∴成绩在80～90分内的学生占
1
2
[P （50＜X ＜90）－P （60＜X ＜80）]=． 【总结升华】 本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律． 举一反三：
【变式1】工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N 1
(4,)9
，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个 【答案】∵X ～N 1(4,)9，∴μ＝4，σ＝13
. ∴不属于区间(3,5)的概率为
P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3 ＝1－P (4－1 ∴1 000×＝3(个)， 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个． 【变式2】商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N （10，）（单位：kg ）。现进1000袋这种大米，质量不在～10.3 kg 的大米大约有多少袋 【答案】 由正态分布N （10，），知μ=10，σ=， ∴质量在～10.3 kg 的概率为P(10－3×＜X≤10+3×= ∴质量不在～10.3 kg 的概率为P=1－=。 ∴质量不在～10.3 kg 的大米大约有1000×=3袋。 【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90，100)。 （1）试求考试成绩X 位于区间（70，110）内的概率是多少 （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）之间的考生大约有多少人 【答案】∵X～N(90，100)，∴90μ=，10σ==。 （1）μ－2σ=90－2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110， 又∵正态分布2 (,)N μσ在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是， ∴考试成绩X 位于区间（70，110）内的概率约为。 （2）∴μ－σ=90－10=80，μ+σ=90+10=100。 又∵正态分布2(,)N μσ在区间(,)μσμσ-+内取值的概率为， ∴考试成绩X 位于区间（80，100）内的概率约是， ∴这2000名考生中，成绩在（80，100）内的人数大约为2000×≈1366（人）。 正多边形和圆（一）教案 教材分析 学生在前面已经学习了正多边形的概念，了解正多边形的各边相等、各内角相等以及多边形内角和的运算公式。在本册中学习了圆及圆的有关性质，理解圆中弧与弦的关系，从而为本节课研究正多边形与圆的关系打下了良好的基础，本节课先通过观察美丽的图案，让学生感受到数学来源于生活。接下来研究正多边形和圆的关系，按由特殊到一般的规律，以正五边形为例进行探索和证明，并将结论推广到正n边形。让学生体会到化归思想在研究问题中的重要性。培养学生观察、比较、分析问题的能力，发展了学生合情推理能力和演绎推理能力。 教学目标 知识技能：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 数学思考；通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。 解决问题：进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想，体会化归思想在研究问题中的重要性，能综合运用所学知识和技能解决问题。 情感态度：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。 重点难点 教学重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。 教学难点：探索正多边形与圆的关系。 教学过程： 一、观察图案，提出问题 （设计说明：学生通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，从中感受到数学美，并提出本节课所要研究的问题。） 问题l：观看教科书图24。3－1，这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，利用正多边形得到的物体。你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 教师引导学生回忆、理解正多边形的概念。 问题2：菱形，矩形，正方形是正多边形吗？ 问题3：通过观察图案，你们知道正多边形和圆有什么关系吗？ 问题4：给你一个圆，怎样就能做出一个正多边形来？ （教师引导学生观察、思考，学生分组讨论、交流，发表各自见解） 此问题比较抽象，是本节课的难点。教师要求学生观察教材图案，会发现正多边形的边数多给人一种接近圆的印象。教师展示课件：在圆中依次出现几条相等的弦，学生会想到弧相等，教师迸一步引导学生明确只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形。 A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 中考数学复习（48）：正多边形和圆 知识考点： 1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算； 2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长； 3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积； 4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。 精典例题： 【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。 分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。 解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径 为6R ，由题意得：AB R 3 3 3=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3； ∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。 【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。 分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 2 1 3602=π＝ 扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。 解：设扇形的半径为R ，则180 R n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020R ππ＝ ，24=R ∴ππ24024202 1 21=??=lR S ＝扇形。 【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部 分的周长。 分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和? AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200 ，因此可求出? AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。 解：连结OA 、OB ∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ 2 O 1O ?? 例1图 B A 例3图 24.3 正多边形和圆 24.3 正多边形和圆（二） 教学内容 正多边形和圆 教学方法 学法：1.思考探索 2.协作学习。 教法：启发式教学，在提出问题的背景下，通过先独立思考，再借助教师的引导和学习伙伴的帮助，充分发挥学生的主动性、积极性，最终达到使学生有效地掌握当前所学知识的目的。 教学过程 一.创设情境 （图片展示）生活中多姿多彩的正多边形 （1）它们的底座分别是什么图形？ （2）底座图形的内角、中心角各为多少？ （教师活动）展示图片，提出问题。 （学生活动）观察图片，思考问题。 附：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 二．探索新知 问题1：如何用尺规画出正六边形？ 方法一：利用圆规将圆周六等分可找到正六边形的六个顶点，连接即可得正六边形。方法二：用圆规先画一个圆，在圆上任取一点，并以该点为起点，依次截取长度等于所作圆半径的弦，可将圆六等分，也可作出正六边形。 问题2：能够通过已知正六边形变换得到正三角形、正十二边形？ 答：可以，正六边形中心角为60，正三角形中心角为120，正十二边形中心角为30，所以由正六边形得到正三角形只需连接彼此间隔的两点即可；而要由正六边形变换得到正十二边形只需作每条边的中垂线，得到中垂线与圆的交点，将圆周上所有标出的点连接起来即可得到正十二边形。 （教师活动）引导学生思考如何变换得到相应的图形。 （学生活动）通过在正六边形中不断地尝试、探索，找出怎样得出正三角形等图形的方法。 思考：能否用正六边形得到正二十四边形呢？ （练）你能利用尺规作出正四边形吗？并想想能否由正四边形得到正八边形，如果可以，请描述变化的过程；如果不可以，请说明理由。 答：可以，两条互相垂直的线段可将圆均分成四等分，连接四等分点即可得正四边形。正八边形的产生只需先作出正四边形每边的中垂线，找到与圆的相应交点，最后连接所有圆周上所有标出的点，即可得到正八边形。图形如下： 归纳：作正多边形的方法有两种： (1)用圆规等分圆周； (2)用尺规作图法将简单正多边形变化为复杂正多边形。 三．应用提高 某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉，为了美观，种植要求如下： （1）种植牡丹的4块面积各自相等，种植月季的4块面积各自相等。 （2）花卉总面积等于广场面积。 （3）花圆边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植与牡丹没有公共边。 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高 AD= 3 思路解析：因为正 n 边形的中心角为 360? 3 4 24.3 正多边形和圆 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所 以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3 a ，外接圆半径 OA= a ，边心距 2 3 OD= 3 6 a ， 所以 AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A 3.正 五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 6 4.中心角是 45°的正多边形的边数是__________. 360? ，所以 45°= ，所以 n=8. n n 答案：8 5.(2010 上海静安检测△)已知 ABC 的周长为 20,△ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4, 那么 BC=__________. 思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 2 3 时，此时该正 n 边形有_________条对称轴. 360? (n - 2) ? 180? 思路解析：因为正 n 边形的外角为 ，一个内角为 ， n n 360? 2 (n - 2) ? 180? 所以由题意得 = · ，解这个方程得 n=5. n 3 n 答案：5 2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是( ) A. 6 6 B. C. D. 2 3 4 3 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A. 答案：A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S 3、S 4、S 6 之间的大小关系是( ) 八年级数学 正多边形和圆、弧长和扇形面积（精品教学设计） 一、目标认知 学习目标 1．了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形． 2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形 面积的计算公式，并应用这些公式解决问题． 3．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题． 重点 1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系． 2．n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用． 3．圆锥侧面积和全面积的计算公式． 难点与关键 1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 2．弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．3．圆锥侧面积和全面积的计算公式． 二、知识要点透析 知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 个性化辅导教案 1 2 学生姓名：授课教师：所授科目： 3 学生年级: 上课时间： 2016 年月日时分至时分共4 小时 分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM?中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形 面积组成的。 例2：已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； (2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. F D E C B A O M 例3（中考）： 如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 课堂练习： 选择题 1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( ) A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( ) A． cm B． cm C．cm D．1 cm 第2题图第3题图第4题图 3．如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( ) A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图4所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° 5．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，?则这段弧所对的圆心角为（） A．18° B．36° C．72° D．144° 6．正六边形的周长为12，则同半径的正三角形的面积为________，同半径的正方形的周长为________． 7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 . 8．如图所示，正△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，求△ABC的边长a，周长P，边心距r，面积S． 1. 若x ～N (0,1),求(l)P (- 2.32 正多边形和圆 一、学习目标： 1知识与技能： （1）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 （2）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 2过程与方法： （1）学生在探讨正多边形有关计算过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。 （2）在探索正多边形有关过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题。 3情感、态度与价值观： ' （1）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。 （2）运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心。 二、教学重难点： 教学重点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能进行有关计算。 教学难点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。 三、教学方法：引导学生采用自主合作探究的方式进行学习 四、教学准备：PPT课件、圆规、直尺 五、教学过程： 导入： 前面我们学习了许多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢（多边形）那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。看看它们之间有怎样的联系，又给我们带来什么样的知识。 / （一）自习交流： 1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容，勾画你认为重要的地方和有 疑问的地方。 ①什么是多边形多边形的内角和与外角怎么计算的 ②正多边形和圆有什么关系 ③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知 识说说它们的特点 ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面 积 2.师生交流重要知识点： （1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 如正五边形：AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ( 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 正多边形和圆练习 一、课前预习（5分钟训练） 2?圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（ 有变化 2?正三角形的商、外接圆半径、边心距之比为（ C.4 ： 2 ； 1 4?中心角是45。的正多边形的边数是 5?已知△ABC 的周K 为20,A ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么 BC= 二、课中强化（10分钟训练） i. 若正n 边形的一个外角是一个内角的彳时，此时该正n 边形有 称轴. 2?同圆的内接正三角?形与内接正方形的边长的比是（ 3?周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关 系 是（ 4?已知OO 和OO 上的一点A （如图24-3-1）. （1）作OO 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； ⑵在⑴题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是OO 内接正十二边形 的一边. A ?扩大了一倍 B ?扩大了两倍 C ?扩大了四倍 D ?没 3?正?五边形共有 条对称轴，正六边形共有 条对称轴. 条对 >S4>S6 >S4>3 C>S3>S4 >S6>S3 图 24-3-1 三、课后巩固（30分钟训练） 1 ■正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（ 二边形 3?已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为 4?正多边形的一个中?心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 度. 5?如图24-3-2.两相交圆的公共弦AB 为2? 在OOi 中为内接正三角形的一边, 在002中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比. 6?某正多边形的每个内角比其外角大100\求这个正多边形的边数. 2.已知正多边形的边心距与边长的比%,则此正多边形为（ B.正方形 A ?正三角形 C ?正六边形 D ?正十 cm. 1. 若x ～N (0,1),求(l)P 四教学设计 （一）教学目标 知识与技能 1．了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长，边心距，中心角之间的关系. 2．会进行相关的计算． 过程与方法 （二）、教学重、难点 重点：讲清正多边形和圆中心，正多边形半径，中心角，弦心距，边长之间的关系． 难点探索正多边形和圆的关系． （三）、教学准备 多媒体课件 （四）、教学方法 分组讨论，讲练结合 三学情分析 学生圆的性质掌握的不牢固，课堂上注意力不持久，对数学问题缺乏兴趣。需要教师激发学生学习数学的兴趣，帮助学生树立信心，逐步养成良好的学习习惯，提高学生分析问题解决问题的能力. 效果分析 进一步巩固圆的性质，巩固垂径定理的应用．让学生进一步体会垂径定理在生活中的应用的广泛性，将正多边形问题转化为三角形问题. 八.观课记录 记录人：时春雷 本节课根据学生年龄特征，认知规律及已有的数学知识水准进行教学，所以，根据教学内容和学生实际水平，我认为教师采用了以下的教学方法： 1、教师点拨、引导，充分发挥学生的主观能动性，调动学生的理解和分析能力，让学生联系实际，动脑分析，充分体现出教为主导，学为主体的教育原则。 2、采用实验讨论法，让学生在讨论实践的过程中找出应吸取的经验教训，并联系现实，使学生在尝试学习中自主地得出结论，并使结论为现实服务。 3、采用尝试教学法，指导学生自学，让学生动手寻找问题答案，使学生的思维能力和实践创造能力得到提高。 课堂中教师为每一个学生提供参与学习活动的机会，在活动中培养他们的综合能力和合作意识，把课堂还给学生充分体现教师为辅学生为主的原则。对本节课的学习，学生的热情程度高。动手操作和课件辅助教学提高了学生的兴趣，使学生的注意力集中，全神贯注。学生学习态度认真，求知欲高。从整体来说这节课是非常成功的. 二、教材分析： 本节课是在学生学习了圆的性质后学习，这些知识为本节的学习起着铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质 九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 正多边形和圆—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】 知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称 轴，圆心是它的对称中心（p110） 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。(逆定理： 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相 等。 10.定理3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧（优弧） 相等，相等的劣弧（优弧）所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆（P117） 12.顶点在圆上，并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理：（p119-120）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角；对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r 24、6 正多边形与圆 第1课时 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 1.下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是（ ) (1)正三角形 （2)正五边形 （3）正六边形 （4）正八边形 A.（1）（2） B 。(2)（3) C.（1)（3) D 。（1)（4） 2.以下说法正确的是 A 。每个内角都是120°的六边形一定是正六边形。 B.正n 边形的对称轴不一定有n 条。 C.正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数。 D.正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形. 3、若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3,r 4,r 6,则r 3:r 4：r 6等于( ） A 。1:2:3 B 。3:2:1 C.1:2:3 D. 3:2:1 4、如图，若正方形A 1B 1 C 1 D 1内接于正方形ABCD 的内接圆,则 AB B A 1 1的值为（ ) A. 2 1 B 。22 C 。 4 1 D.42 5。 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为 ______________________. 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= 。 7.将一块正六边形硬纸片（图1）,做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于 底面,见图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度. 8。从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 。 O B C D A E F E D C B A O O D E C A 2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课： 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响正多边形和圆教案
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初三数学圆的知识点整理
2018沪科版数学九年级下册246《正多边形和圆》练习题1
正态分布讲解(含标准表)
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