课题：_直线的方程___
教学任务
教学目标知识与技能目标
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公
式，掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的
点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直
线的方程。
过程与方法目标
学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中，理解直线的倾
斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个
点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、斜截式、
两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
情感,态度与价值
观目标
在探究活动中，培养学生的观察、分析的思维能力。
重点掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
难点
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和斜
率导出直线方程的方法
教学流程说明
活动流程图活动内容和目的
活动1课前热身－练习重温概念领会新知
活动2 概念性质－反思
掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、
一般式，并能根据条件熟练地求出直线的
方程。
活动3提高探究－实践
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过
两点的直线的斜率公式，掌握由一个点和
斜率导出直线方程的方法
活动4归纳小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
设计
意图
活动1课前热身（资源如下）
1、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直
线，如果把x轴绕着交点按
__________________________________________________________,
那么角就叫做直线的倾斜角。规定：当直线和x轴平行或重合时其
倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：
_______________.
2、直线的斜率是指：
_____________________________________________.
3、经过两面点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线的斜率公式为：
k=_______________.
4、直线方程的五种形式及其应用范围：
方程名称方程形式应用条件
点斜式
斜截式
点方向式
一般式
点法向量式
重温
概念
领会
新知
活动2概念性质
1、直线方程的各种形式
点斜式斜截式
形式：)
(
x
x
k
y
y
形式：b
kx
y
截距式
形式：1
b
y
a
x
一般式
c
By
Ax
★特殊的直线方程
2、直线的斜率
1、定义：倾斜角的正切值，)
90
(
90
斜率不存在。
2、斜率公式)
90
(
tan
k
1
2
1
2
x
x
y
y
k
)
(
2
1
x
x
培
养学
生用
自己
的语
言来
描述、
理解
有关
概念
公式。
注意
定义
中的
重点、
核心。
3、倾斜角和斜率的关系
0 k k arctan 0 k k arctan
4、[0,)
3、求直线方程：待定系数法
4、沙尔公式：A B x x AB 数轴上两点间距离公式：
A B x x AB
两点间距离公式212212)()(y y x x d
，当已知直线l 的斜
率k 时，公式变形为1221x x k d 或12211y y k
d ；当已知
直线的倾斜角 时，还可以得到 sec 12 x x d 或
csc 12 y y d
活动3提高探究 资源1、
1、已知直线l 的方程为023cos y x ()R 求直线l 倾斜角的取值范围。
2、已知直线l 过点)2,0(M 且与以两点)4,1(A )1,3(B 为端点的线段AB 相交，求直线l 斜率的范围及倾斜角的范围。
3、已知点)1,1( P ，直线l 的方程为6210x y ，求经过点p 且倾斜角为直线l 倾斜角的一半的直线方程。
直线的倾斜角和斜率问题
4、已知点)4,2( A )2,4(B 直线l 过点)2,0( P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是：
资源2、
1、在△ABC 中，已知)2,5( A )3,7(B 且AC 边的中点M 在y 轴上，B Ｃ边的中点Ｎ在x 轴上，求（1）顶点C 的坐标；（2）直线MN 的方程。
2、已知直线l 过点)1,0(P 并与直线0103:1 y x l 和
082:2 y x l 分别交于点A 、B （如图），若线段AB 被点
P 平分，求直线l 的方程。
3、直线l 过点)3,4( P 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且3:5: BP AP ，求直线l 的方程。
求直线的方程
4、已知△ABC 的三个顶点)6,5( A )7,1( B )10,1( C 过A 点的一条直线交BC 于D ，使△ABD 为△ABC 的面积的5
3
，求AD 的方程。
资源3、
1、已知过原点O 的一条直线与函数x
y 8log 的图象交于A 、B 两点，分别过AB 作y 轴的平行线交函数x
y 2log 的图象于C 、D 两点。
（1）求证：点O 、C 、D 共线 （2）当BC 平行于x 轴时，求A 点坐标。
2、在平面直角坐标第中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与直线坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段CD 上。
（1）若折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在的直线方程；
（2）求折痕长度的最大值。
3、过点P (2,1)作直线l 分别交x 、y 轴正半轴于A ，B 两点. (1)当ΔAOB 面积最小时，求直线l 的方程; (2)当|P A |·|PB |取最小值时，求直线l 的方程
直线方程与函数的综合问题
活动4归纳小结
活动5巩固提高
附作
业
提高
直线的方程
一、填空：
1．若直线的倾斜角为)2
1arctan( 且过点(1,0)，则直线的方程为_____________
2．直线
)0,0(1 b a b
y
a x 的倾斜角是______ 3．直线过点（－2，－1），且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为 4．如果AC <0且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C =0不通过的象限是 5．已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为
6．直线经过点P （－2，－1）并且在两坐标轴上的截距和为0，则此直线方程为 。
7、已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2,－3),B (3,0)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的值范围是：___________________________
8、直线Y=3x －1绕其与Y 轴交点逆时针旋转π/6后所得的直线方程为_____________ 9、不论a, b 为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a －b=0均通过一定点，并求此定点坐标_______ 10、函数y=asinx-bcosx 的一条对称轴的方程是4
x
，则直线ax-by+c=0的倾斜角为________ 二、选择：
11、直线xcos θ+3y+2=0的倾斜角的取值范围是：
A 、]65,2()2,6[
B 、),65
[]6,0[ C 、]6
5,0[ D 、需视θ的取值而定
12、下列四个命题中真命题是（ ）
(A )经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示.
(B )经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示.
(C )不经过原点的直线都可以用方程
1 b
y
a x 表示. (D )经过定点A (0,
b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示. 13、设点P （a, b ），Q(c, d)是直线y=mx+k 上两点，则|PQ|等于 （ ） A 、21||m
c a B 、21||m c a C 、21||m
d b D 、21||m d b 三、解答
14、1）求将直线x －y 3 =2绕点
3,2逆时针旋转
12
后所得直线方程. 2）直线L 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1并且经过点（6，－2），求此直线方程.
15、已知直线L：y=ax+2和A（1，4），B（3，1）两点，当直线L与线段AB相交时，求实数a的取值范围。
16、已知点F（6，4）和直线L1：y=4x，求过P的直线L，使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积
最小。
17、已知P（2，1），过P作一直线，使它夹在已知直线x+2y－3=0,2x+5y－10=0间的线段被点P平分，求直线方程。
高二数学直线方程人教版（理） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 直线方程 二. 重点、难点： 1. 两点间距离公式 ),(11y x P ，),(22y x Q 221221)()(||y y x x PQ -+-= 2. 倾斜角α ?<≤?1800α 3. 斜率k （1）?<≤?900α或?<
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般 式方程：关于y x ,的二元一次 方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
典型例题一 例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：5 4sin =α， 所以：3 4tan ± =α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()13 4 3+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ． 说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 典型例题二 例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程． 分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类． 解：法一：利用直线的两点式方程 ∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线 AB 的方程是3=y ； （2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ； （3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程 1 21 121x x x x y y y y --=--得： 2 2 3--= --n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程 （1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是2 3--=n m k ， 又∵过点A （2，m ） ∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ?=≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 要点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为 A C y x B B =--，它表示过点0, C B ?? - ? ?? ，斜率为 A B -的直线． 当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即 C x A =-，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0， 也可以是 11 22 x y -+=，还可以是4x―2y+2=0等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
高二数学练习题—直线的方程 满分:100 时间：40分钟 姓名_____________________总分______________ 一、选择题（每道题5分，共60分） 1．点(-1,4)P 作圆22-4-6120x y x y ++=的切线，则切线长为 （ ） A ． 5 B ． 5 C ． 10 D ． 3 2．圆22-64120 x y x y +++=与圆22-14-2140x y x y ++=的位置关系是 ( ) A ．相切 B ． 相离 C ．相交 D ．内含 3 .如果直线l 将圆x 2+y 2 –2x –4y =0平分，且不通过第四象限，则l 的斜率的取值范围( ) A .[0, 2] B. [0, 1] C. [0, 21] D. [– 1, 0] 4．设M ={(x , y )| y y ≠0}, N ={(x , y )| y =x +b }，若M ∩N ≠?，则b 的取值范围是（ ） A ．–32≤b ≤32 B 。 –3≤b ≤32 C ． 0≤b ≤32 D 。 –3高中数学直线方程练习题集
高中数学直线方程练习题 一?选择题(共12小题) 1 .已知A (- 2, - 1) , B ( 2 , - 3)，过点P (1 , 5)的直线I与线段AB有交点， 则I的斜率的范围是( ) A.(-x, 8] - B. [2 , + x) C.(-汽8] -u [2, +呵 D.8) -U(2 , + x) 2.已知点A (1, 3), B (- 2, - 1).若直线I: y=k (x- 2) +1与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. [ , + x) B.(-x, 2] - C .(-x, 2]-U [ , +x) D. [ - 2,] 3 .已知点A (- 1, 1) , B (2, - 2),若直线I: x+my+m=O 与线段AB (含端点) 相交，则实数m的取值范围是( ) A ?(-x, ]U [2 , + x) B . [ , 2] C. (-x, 2] u- [-, + x) D . [- , - 2] 1 1 t 1 4 ?已知M ( 1 , 2) , N (4, 3)直线I过点P (2 , - 1)且与线段M N相交，那么 直线I的斜率k的取值范围是( ) A.(-x, 3] -U [2 , +x) B. [-, ] C .[-3, 2] D.(-x,- ] U [ + x) 1 A 1 1 5 .已知M (- 2, - 3) , N (3 , 0)，直线I过点(-1 , 2)且与线段MN相交，则直 线I的斜率k的取值范围是( ) A. 或k>5 B. C. D. 6.已知A (- 2, ) , B (2, ), P (- 1 , 1)，若直线I过点P且与线段 K^h A J n V ■iH、科
1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α, 则k=tan α (α2 π ≠) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21 21 y y k x x -= - 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,111 2 1 2 1 22 1 1 2=---= - 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111 12222 ||A B C l l A B C ? =≠ ； ②1212120l l A A B B ⊥?+= 4..直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 5.“到角”及“夹角”公式 ： 设 l 1 ：b k x y 11+= ； l 2 ：b k x y 22 += （）
专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y = 的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。
4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2x a y b r -+-=外，即()()2 2 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。
直线与方程复习A 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且s i n c o s 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(2 2=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 -≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3． 若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。 4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2 2 x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为 (1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角定义 （2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。 例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。 例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。 例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。 例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 两直线的平行与垂直 1、 两直线平行：l 1//l 2 ?k 1=k 2 例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？ （2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。 2、 垂直：l 1 ⊥ l 2 ?k 1k 2 =—1 例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）. 例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。 直线的方程 二、直线方程的分类： 1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) 1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) 2、 两点式: 121y y y y --=1 21x x x x -- 3、 一般式：A x +B y +C=0 4、 截距式：a x +b y =1 三、典型例题 1.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程。 2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。 4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。 5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。 直线的交点坐标与距离公式 1、求两条直线的交点（联立方程组）
直线的点法向式方程 教学目标： 1、掌握直线的点法向式方程 2、通过直线点法向式方程的推导，体会向量知识的应用和坐标法的含义.初步认识曲线与方程的关系，并体会解析几何的基本思想 3、培养学生的自主探索研究能力. 教学重点：直线的点法向式方程 教学难点：选择恰当的形式求解直线方程 教学方法：教师启发引导，学生主动探索 教学过程： 一、复习引入 上节课我们学习了直线方程及直线的点方向式方程，首先我们一起回顾一下： （1） 若给出方程y ＝x －1 问：①点（2,1），（3,2）是否在直线l 上？②如 何判断点P 是否在直线l 上？ （①l 上任意点的坐标满足方程y ＝x －1②以方程y ＝x －1的任意解为坐标 的点都在直线l 上） 我们就称方程y ＝x －1是直线l 的方程，直线l 是方程y ＝x －1的图形 （2） 复习点方向式方程 直线的方向，与直线平行的向量有无数个，所以方向向量不唯一，则直线的点方向式方程显然也不唯一 问：若过已知点与某一非零向量垂直的直线是否唯一确定呢？ 今天我们就来学习根据上述条件求出直线l 的方程。（写出课题） 二、概念形成 设P 00(,)x y ，非零向量(,)n a b =，Q (,)x y 为直线l 上任意一点 则=PQ ),(O O y y x x -- ∵PQ n ⊥∴0=? 即00()()0a x x b y y -+-=① ∴直线l 上的任一点都满足方程① 反之，若11(,)x y 为方程①的解，即1010()()0a x x b y y -+-=，则1Q 11(,)x y 符合1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上. 根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --= --= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
高二直线和圆的方程单元测试卷 班级： 姓名： 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．),0[π B ．),4 3 []4,0[πππ? C ．]4,0[π D ．),2(]4,0[ππ π? 2. 如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于 A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－2 3.已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，点P （a ，b ）（ab ≠0）是圆O 内一点，以P 为中点的弦所在的直线为m ，直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则 A ．m ∥n ，且n 与圆O 相交 B ．m ∥n ，且n 与圆O 相离 C ．m 与n 重合，且n 与圆O 相离 D ．m ⊥n ，且n 与圆O 相离 4. 若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆22 4280x y x y +---=的周长，则12a b + 的最小值为 A ．1 B ．5 C ． D ．3+5. 00(,)M x y 为圆222 (0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．相切或 相交 6. 已知两点M （2，－3），N （－3，－2），直线L 过点P （1，1）且与线段 MN 相交，则直线L 的斜率k 的取值范围是 A ．3 4-≤k ≤4 B ．k ≥43或k ≤－4 C ．43≤k ≤4 D ．－ 4≤k ≤4 3 7. 过直线y x =上的一点作圆22 (5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直 线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为 A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 8．如果实数x y 、满足条件10 1010 x y y x y -+≥??+≥??++≤? ，那么14()2x y ?的最大值为 A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆22 2x y +=相切，则a 的值为 Ａ．4± Ｂ．± Ｃ．2± Ｄ．10．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是 A. B.36 4 C.4 D.3 一、 二、 11．已知直线1:sin 10l x y θ+-=，2:2sin 10l x y θ++=，若12//l l ，则 θ= ． 12．有下列命题： ①若两条直线平行，则其斜率必相等； ②若两条直线的斜率乘积为－1, 则其必互相垂直； ③过点（－1，1），且斜率为2的直线方程是 21 1 =+-x y ； ④同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行; ⑤若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0. 其中为真命题的有_____________(填写序号). 13．直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于两点M 、N ，若满足C 2＝A 2＋B 2，则OM ·ON （O 为坐标原点）等于 _ . 14．已知函数32)(2 -+=x x x f ，集合(){} 0)()(,≤+=y f x f y x M ， 集合(){} )()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M 的面积 是 ； 15．集合{05|),(≤-+=y x y x P ，∈x N* ，∈y N*｝， {-=x y x Q 2|),(}0≤+m y ， {y x z y x M -==|),，})(),(Q P y x ?∈，若z 取最大值时，{})1,3(=M ，则实数m 的取值范围是 ； 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知ABC ?的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为 610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求 BC 边所在直线的方程． 17．（本小题满分12分） 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千 元。甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500。如何 安排生产可使月收入最大？ 18．（本小题满分12分） 设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图 象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程； （Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 19．（本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ， ，AB 边所在直线的方程为360x y --=, 点(11) T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程； （III ）若动圆P 过点(20)N -， ，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的方程．
高中数学直线方程练习题 一．选择题（共12 小题） 1．已知 A（﹣2，﹣1）， B（2 ，﹣3），过点 P（1，5）的直线 l 与线段 AB 有交点， 则 l 的斜率的范围是（） A．（﹣∞，8]﹣B．[2， +∞）C．（﹣∞，8]﹣∪[2，+∞） D．（﹣∞，8）﹣∪（2， +∞） 2．已知点 A（1，3）， B（﹣2，﹣1）．若直线 l：y=k （x﹣2）+1 与线段 AB 相交， 则 k 的取值范围是（） A． [，+∞）B．（﹣∞，2]﹣C ．（﹣∞，2]﹣∪[，+∞）D．[﹣2，] 3．已知点 A（﹣1，1）， B（2，﹣2），若直线 l：x+my+m=0 与线段 AB （含端点） 相交，则实数 m 的取值范围是（） A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2]C．（﹣∞，2]∪﹣[﹣，+∞） D．[﹣，﹣2] 4．已知 M（ 1，2），N（4，3 ）直线 l 过点 P（2 ，﹣1）且与线段 MN 相交，那么 直线 l 的斜率 k 的取值范围是（） A．（﹣∞，3]﹣∪[2，+∞）B．[﹣，] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 5．已知 M（﹣2，﹣3），N（3 ，0），直线 l 过点（﹣1，2）且与线段 MN 相交，则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是（） A．或k≥5B．C．D． 6．已知 A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段 AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的范围是（） A．B． C．D．∪
7．已知点 A（2，3）， B（﹣3，﹣2），若直线 l 过点 P（1，1）与线段 AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A．＜k＜2B． k＞ 2 或k＜C．k＞D．k＜2 8．已知O 为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t 的值为（） A．B．C．D． 9．经过（ 3，0），（ 0， 4）两点的直线方程是（） A． 3x+4y ﹣12=0 B ． 3x﹣4y+12=0 C ．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y ﹣12=0 10 ．过点（ 3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（） A． 2x+y=0 B ．x+y+3=0 C． x﹣y+3=0 D．x+y+3=0 或 2x+y=0 11．经过点 M（ 1， 1）且在两轴上截距相等的直线是（） A． x+y=2 B．x+y=1 C．x=1 或 y=1 D． x+y=2 或 x﹣y=0 12．已知△ABC 的顶点 A（ 2，3），且三条中线交于点 G（4，1），则 BC 边上的中点坐标为（） A．（5，0）B．（6，﹣1）C．（ 5，﹣3）D．（ 6，﹣3） 二．填空题（共 4 小题） 13 ．已知直线 l1： ax+3y+1=0 ， l2： 2x+ （a+1） y+1=0 ，若 l1∥l2，则实数 a 的值是． 14．直线 l1：（3+a ）x+4y=5 ﹣3a 和直线 l2：2x+（ 5+a ）y=8 平行，则 a=．15．设直线 l：x+my+6=0和 l：（m﹣2） x+3y+2m=0 ，当 m=时， l∥l ，1212
重点高中数学直线方程公式
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直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2 π≠ ) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则2121y y k x x -=- 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 212122112=---=- 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ? =≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。 （4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。
【课前测试】 1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为． 2、直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________． 3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________． 1
2 直线方程 【知识梳理】 一、直线方程 1、直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π]． 2、斜率公式 (1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π 2 ，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 3、直线方程的五种形式 二、两直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
3 ①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2、两条直线的交点的求法 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与 l 2的交点坐标就是方程组? ???? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0， A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0的解． 3、距离问题 (1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0. (3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．
1．已知点 (1,2),(3,1)A B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ) A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 2．若 1 (2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为( ） A ．21 B ．2 1 - Ｃ.2- Ｄ．2 3．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（ ） A. b ?B.2b -?C ．b 2 ?Ｄ.±b ４.直线13kx y k -+=，当k 变动时,所有直线都通过定点（ ） Ａ.(0,0) ?Ｂ.(0,1) ? Ｃ．(3,1) D ．(2,1) 5．直线cos sin 0x y a θ θ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是( ） Ａ．平行 Ｂ.垂直 C.斜交 Ｄ.与,,a b θ的值有关 6.两直线330x y + -=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为（ ） Ａ．4? B ７.已知点 (2,3),(3,2)A B --,若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交,则直线l 的 斜率k 的取值范围是( ） A.3 4 k ≥ Ｂ.3 24 k ≤≤? C.3 24 k k ≥≤ 或? D ．2k ≤ 二、填空题 1.方程 1=+y x 所表示的图形的面积为_＿_______。 2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是_＿＿＿_____＿__。 ３.已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则2 2b a +的最小值为
4．将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是__________＿_＿＿____＿。 5．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题 1.求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。 2．一直线被两直线0653:,064:21 =--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点,当P 点分 别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。 2． 把函数 ()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象近似地看作直线,设 a c b ≤≤， 证明: ()f c 的近似值是:()()()[]f a c a b a f b f a + ---． ４.直线 3 1y x =- +和x 轴,y 轴分别交于点,A B ,在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ,如果在第一象限内有一点1 (,)2 P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值。 ?一、选择题 1．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿 y 轴正方向平移1个单位后, 又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是（ ) ?A ．-1 3 ?B.3- C ． 13 D.3 2．若 ()()P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为( ) A ． ()a c m ++12 B. () m a c - C. a c m -+12 D. a c m -+12 3．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为 ?(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ） A ． 2 3 ?B ． 32 ?C ．32 - ?D ． 2 3 -