锐角三角函数与圆的综合题
1.如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F
在AC 的延长线上，且1
2
CBF CAB ∠=∠.
⑴ 求证：直线BF 是O e 的切线；
⑵ 若5AB =
，sin CBF ∠BC 和BF 的长.
2．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝3
2，求△ACF
3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，
且∠AED =45?． (1) 试判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O 的半径为3，sin ∠ADE =6
5
，求AE 的值．
F
E O
A B C 4. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC
边相切于点D ，联结AD.
（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线； （2）若AC = 3，tan B =
3
4
，求⊙O 的半径.
5．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，
BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE =∠DBC ．
（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若3
3
sin =∠ABE ，2=CD ，求⊙O 的半径．
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果⊙O 的直径为9，cos B ＝1
3 ，求DE 的长
O
F E
D
C B A
7：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
8：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是?BC
的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线.
（2）若AC =6, cosA=3
5
，求PD 的长.
9.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC
的延长线于点E .连接BC ．
（1）求证：BE 为⊙O 的切线；
（2）如果CD =6，tan ∠BCD=2
1
，求⊙O 的直径的长．
B
A
B
A
10.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.
（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.
11.如图，点P 在半O e 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O e 于点C ，连结BC .
（1）求P ∠的正弦值；
（2）若半O e 的半径为2，求BC 的长度.
12.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O e 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，
连结AD 、BE ，若1sin 2
A =，∠BED=30°．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若O e 的半径2R =，试求CE 的长．
例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 B C
D E
O F C
∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ，
∴ ∠EAB +∠BAD =90°.
∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4,
∴ 5222=-=
AB AE BE . …………………………………………………3分
∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ……………4分 ∴
.AE
BE AD AB =.65
24=AD 即
∴ 5512=AD . ……………………5分 例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .
∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1
122
PAB ∠=∠=
∠. ∵1
22
BOD ∠=
∠，∴PAB BOD ∠=∠. ∴P A ∥DO . ………………………………1分 ∵D P ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .
∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分 （2）连结CB 交OD 于点E .
∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.
∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴O D ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在R t △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = AB
AC
. ∵AC = 6 , cos A =
53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD =2
1
BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，
∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分
∴∠AMC ＝90°.
∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .
又∵B 是⊙O 上的点，
∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分
（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =1
2
CD =3. 在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD =
BM CM =12,∴3
BM =1
2,∴BM=32. …………… 3分
又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CMB .∴
AM CM
CM BM
=
,∴2CM AM BM =?. ∴2332
AM =?.∴AM =6. …………………………… 4分
∴AB =AM +BM =6+32
=
152. …………………… 5分，即：⊙O 的直径的长为152
. 1
2P
A
C
O
B
D
E
4.（1）连结
OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠
D =30°.∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∵cos A =
AB
AC
AC=ABcosA=4×
322
3
=∴AC=32 5：（1）证明：如图，连接OC ．∵PC 切半O e 于点C ，
90PCO ∴∠=?．…………………1分
∵2AB PA =，PA OA OB OC ∴===． 在Rt PCO △中，1
sin 2
OC P OP ∠==． ·
·····························································分 （2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ············································· 3分
1
sin 2
P ∠=Q ，30P ∴∠=?，60POC ∴∠=?．
∵OC OB =，30B OCB ∴∠=∠=?．
在Rt OBD △中，2OB =，cos303BD OB ∴=?=g ．----------------4分，23BC ∴=．
6.（1）连接OD ．--------------------------------1分
∵30BED ∠=o ，60AOD ∴∠=o ， ∵1
sin 2
A =
∴∠A=30o ∴∠A+∠AOD=90o ∴∠ADO=90o ∴ AD 是⊙O 的切线．---------------------------2分 （2）DCE △是等边三角形．理由如下：
BC Q 为O e 的直径且AC DE ⊥．??CE
CD ∴=．CE CD ∴=．--------------------3分 BC Q 是O e 的直径，90BEC ∴∠=o ，
30BED ∠=o Q ，60DEC ∴∠=o ，DCE ∴△是等边三角形．-----------------------4分
（3）Q O e 的半径2R =． ∴直径4BC = ∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60o ∴∠EBC=60o 在Rt BEC △中，sin CE
EBC BC
∠=
， sin 60CE BC ∴=o 3
4=?
23=---------------------------------------------------5分 D
C
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．
3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝ 1 2 ，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； （2）若2 KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=3 5 ，AK=23，求FG 的长． 5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。 （1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=13 5 ，求⊙O 的半径。 图11 A C B D E F O P
备战中考数学锐角三角函数综合练习题附答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30°
锐角三角函数与圆专题 知识点回顾 锐角三角函数知识点： 1. 正弦(sin α)、余弦(cos α)、正切(tan α) 特殊角的三角函数值，如30°，45°，60° 30° 45° 60° sina cosa tana 准确运用特殊三角函 数值计算： 2sin45°-2 1 cos60°=________．2sin45°-3tan60°=________． (sin30°+tan45°)·cos60°=__ _． tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°=__ _． 例1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA=（ ） A 、 55 B 、510 C 、2 D 、2 1 圆的主要知识点： 1. 垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________. 锐 角 a 三 角 函 数
推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧圆的两条平行弦所夹的弧。 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________. 推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______. 3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距 4.切线的性质与判定、 性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径. 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径. 5.点与圆的位置关系:___________________________________. 直线与圆的位置关系:_________________________________. 圆与圆的位置关系：__________________________________. 6.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,这点和圆心的连线两条切线的夹角。
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
1：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. 2：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线. （2）若AC =6, cosA=3 5 ，求PD 的长. 3.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC 的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=2 1 ，求⊙O 的直径的长． A B C D O D B O C A P E B M D C O A
4.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长. 5.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC . （1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度. 6.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ， 连结AD 、BE ，若1sin 2 A =，∠BED=30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O 的半径2R =，试求CE 的长． A B C D E O F C B A O P
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以 为顶点作菱形 ，使点 在第一象限内，且 ；以 为圆心， 为 半径作圆．设点运动了秒，求： （1）点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当点在运动过程中，所有使 与菱形 的边所在直线相切的的
值． 【答案】解：（1）过作轴于， ，， ，， 点的坐标为． （2）①当与相切时（如图1），切点为，此时， ，， ． ②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，， 过作于，则， ，． ③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，
则，， ． 过作轴于，则， ， 化简，得， 解得， ， ． 所求的值是，和． 【解析】 （1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标 ⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC， 等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值． 3．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习 复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。 复习过程 一、热身练习 二、实战演练
三、巩固提高 2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA是⊙O的切线； 3,求BD和FG的长度． （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AH=8，DH=2，求CH的长； （3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．
4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径； （3）求sin ∠PCA 的值． 5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长； （3）求S △FAD ：S △FDB 的值． 6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ． （1）求证：AP 是半圆O 的切线； （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE?BC 成立？说明理由； （3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 例题一 2013?泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上， ∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA?CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=，求BE 的长． 例题二（2013?呼和浩特）如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心， CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos ∠AED 的值；（3）如果BD=10，求半径CD 的长． 例题四（2014?沈阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直 径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD ．（1） 求证：AD=CD ；（2）若AB=10，cos ∠ABC=，求tan ∠DBC 的值． 综合练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于 点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E. （1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长. 2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作 直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位 置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0 的半径． 3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点 D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点 E ，连结 BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2） 连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3 ABC ∠=，求BF 的长． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD ∥ BF ； （2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD= 5 4，求线段AD 的长．
第1页/共1页 第5讲 锐角三角函数的 综合应用 ※题型讲练 【例1】如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB =AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ．根据图形求tan ∠BCD 的值． 【例2】如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，，AC =6，D 为AC 上一点，若tan ∠DAB = ，求AD 的长． 【例3】如图，在△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AB ＝c ． (1)证明：△ABC 的面积S △ABC = acsinB ； (2)若△ABC 是等边三角形，边长为4，求△ABC 的面积． 【例4】如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． (1)求证：△ABF ∽△DFE ； (2)若sin ∠DFE ＝1 3 ，求tan ∠EBC 的值． 【例5】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题： (1)用签字笔画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ； (2)请你在△ABD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ． (3)若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ． 【例6】如图，已知一次函数y =kx +b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ， (1)求该一次函数的解析式； (2)求tan ∠OCD 的值； (3)求证：∠AOB =135°． 【例7】已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sinθ 和cosθ，且锐角θ 的范围是0°<θ<45°． (1)求m 的值； (2)求方程的两根及此时θ的值． 【例8】已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC =10， BD =8． (1)若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积 ； (2)若AC 与BD 的夹角∠AOD =60°，求四边形ABCD 的面积； (3)试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD =θ，AC =a ，BD =b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）． ※课后练习 1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝4 5 ，BC ＝10，则AB 的值是( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 1．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =2，则点B 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(1，2) C ．(2+1，1) D ．(1，2+1) 3．在Rt △ABC 中，a 、b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C =90°，则a 3cosA +b 3cosB 等于（ ） A ．abc B ．(a +b )c 3 C ．c 3 D ． 4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．24 5．如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P (3，4)，则 sinα= ． 6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA =3 5，BE =4， 则tan ∠DBE 的值是 ． 7．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =4 3，四边形EFGH 的周长为40，则矩 形ABCD 的面积为 ． 8．如图，已知：在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AB ＝82． 求△ABC 的面积(结果可保留根号)． 9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB =cos ∠DAC ． (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC = ，BC =12，求AD 的长． 10．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ． 求证： ． 11．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知OA =3，AB =1，求点A 1的坐标. 12．如图，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 5 1 2 1() . abc a b c +B b A a sin sin =13 12 第4题图 第2题图 第6题图 第7题图 第1题图 第5题图
锐角三角函数与特殊角 一、选择题 1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ） A ． B ．2 C ． D ． 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD ， 在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2， 则OD==4， tan ∠CDO= = ， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ， 则tan ∠OBC=， 故选：C ． 2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．． 的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B B C = ()C sin AD B A C = ()D sin CD B A C =
答案：C 解析：考查正弦函数的概念。 由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。 3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4,3），那么cosα的值是（） A、3 4 B、 4 3 C、 3 5 D、 4 5 答案：D 考点：三角函数，勾股定理。 解析：过点A作AB垂直x轴与B，则AB＝3，OB＝4， 由勾股定理，得OA＝5，所以， 4 cos 5 OB OA α==，选 4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（） A． B．C．D． 【考点】切线的性质． 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， ∴sin∠E=sin30°=． 故选A．
课题：锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切） 技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边） 简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2：常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sinα 2 1 2 2 2 3 分母都是2，分子分别是 √1、3 cos α 23 2 2 2 1 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 3 3 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ======== cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等 例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠＝30°，∠＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)． 【分析】 第一步：确定相关直角三角形 本题中∠、∠ 分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】 由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠＝30°，∠PBO=∠＝45°，PO=450m 在RtΔAOP 中，tan ∠PAO=PO/AO 在RtΔBOP 中，tan ∠PBO=PO/BO 代入数值，计算得 tan ∠PAO=PO/AO=tan ∠= 3 3 所以AO=3PO tan ∠PBO=PO/BO=tan ∠=1 所以BO=PO AB=AO-BO=(3-1）PO=450(3-1）m
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．1 2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4 5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( ) A.95sin α m B.95cos α m C.59sin α m D.59cos α m 5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在 同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上， 矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. 如图，以 O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不与A ，B 重合)， 连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α) 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ， 若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33 二、填空题 9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= . 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝ 15 8 ，则AB ＝________． 11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
九年级思维拓展：锐角三角函数的综合运用 ? 知识点睛 1. 利用锐角三角函数解直角三角形 （1）直角三角形中，除直角外，共有五个元素．即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素． （2）利用解直角三角形解决实际问题： ①将实际问题抽象为数学问题 画图平面图形，提取信息并标注，明确所求目标及判断标准，转化为解直角三角形的问题． ②根据问题中的条件，选用适当的锐角三角函数和其他信息解直角三角形 作高是构造直角三角形的常见手段；在分析直角三角形时，往往先从已知边长的直角三角形出发；若没有完整边长，则通常考虑从两个直角三角形的相等线段长出发，先设，然后借助三角函数值表达其他边长后进行求解． ③求解验证，回归实际 结合实际场景和判断标准进行比较后，确定判断结果，回归实际场景． 2. 利用锐角三角函数解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①1边2角 β αc C B A βα a C B A ②2边1角 αc a C B A αb a C B A 注：当一个三角形具有三个元素，但不能利用全等判定确定形状唯一时，三角形可解，但图形不唯一． ③3边
b c a B A ④1边1角2表达 αa C B A α b B A AB =mAC AB +BC =n 3. 锐角三角函数在综合问题中的应用 研究题目背景往往是分析综合问题的第一步，可以帮助我们找到题目中隐藏的信息——已知三角函数值的角． ①在直角三角形中研究边，分析直角三角形三边之比，判断两锐角的三角函数值是否已知； ②研究角度，来转移计算，判断背景中是否有特殊角（30°，45°，60°，150°，135°，120°），比如由三角形中60°，75°可以计算出第3个角为45°． ? 精讲精练 1. （2019河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者） 的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55 m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21 m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1 m ．参考数据：sin 34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 1.73 ） 60°34° A B C D E
中考数学锐角三角函数综合题含详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt △OFK 中，KO ＝OF?cos60°＝2（分米），FK ＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米）， ∴BE ＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米）， 在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2） ＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE ＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为?AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的