1.2.3 简单复合函数的导数
[对应学生用书P11]
已知函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2
.
问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．
问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2
是如何复合的？
提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2
是由 g (u )＝u 2
，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2
，g (u )＝u 2
，u ＝3x ＋2的导数．
提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2
]′＝[9x 2
＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.
若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .
1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单． 3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
[对应学生用书P11]
复合函数的求导
[例1] (1)y ＝
12x ＋3
3
；
(2)y ＝e
－0.05x ＋1
；
(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．
[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．
[精解详析] (1)y ＝
12x ＋3
3
＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －3
2
，u ＝2x ＋3的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －3
2)′·(2x ＋3)′
＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.
(2)y ＝e
－0.05x ＋1
是函数y ＝e u
，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝
(e u
)′·(－0.05x ＋1)′
＝－0.05e u
＝－0.05e
－0.05x ＋1
.
(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．
(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1
u ln 2
＝
－35－3x ln 2＝3
3x －5ln 2
.
[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．
1．若函数f (x )＝ln 1
x
，则f ′(x )＝________.
解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1
x
的复合函数，
所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·? ??
??1x
′
＝1u ·? ??
??－1x 2＝－1x
.
答案：－1
x
2．函数y ＝sin 3
x ＋sin x 3
的导数为________．
解析：y ′＝(sin 3
x ＋sin x 3
)′＝(sin 3
x )′＋(sin x 3
)′ ＝3sin 2
x cos x ＋cos x 3
·3x 2
＝3sin 2
x cos x ＋3x 2
·cos x 3
. 答案：3sin 2
x cos x ＋3x 2
·cos x 3
3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝
11－3x
4
.
解：(1)y ＝e u
，u ＝2x 2
＋3x ，
所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2
＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2
＋3x . (2)∵y ＝
11－3x
4
＝(1－3x )－4
，
∴可设y ＝u －4
，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5
，u ′x ＝－3，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5
×(－3)＝12(1－3x )－5
.
求导法则的综合应用
[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝3
1－x
sin(2x －1)；
(2)y ＝ln 2x －12x －1
.
[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x
)′sin(2x －1)＋3
1－x
·[sin(2x －1)]′
＝－31－x
ln 3·sin(2x －1)＋31－x
·2cos(2x －1)
＝3
1－x
[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．
(2)y ′＝
[ln
2x －1]′·2x －1－ln 2x －1·
2x －1′
2x －1
2
＝
22x－1
2x－1
－ln2x－1·
1
2
2x－1－
1
2
·2
2x－1
＝
2
2x－1
－
ln2x－1
2x－1
2x－1
＝
2－ln2x－1
2x－1·2x－1
.
[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．
(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．
4．若函数f(x)＝x cos 2x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′
＝cos 2x－2x sin 2x.
答案：cos 2x－2x sin 2x
5．求下列函数的导数：
(1)y＝
2x－1
x
；(2)y＝
1
2
sin2(1－x)．
解：(1)y′＝
2x－1′x－2x－1·x′
x2
＝
x
2x－1
－2x－1
x2
＝
1－x
x22x－1
.
(2)∵y＝
1
2
sin2(1－x)＝
1
4
[1－cos(2－2x)]
＝
1
4
－
1
4
cos(2－2x)＝
1
4
－
1
4
cos(2x－2)．
∴y′＝
1
2
sin(2x－2)．
复合函数导数的应用
[例3] 已知函数f (x )＝ax 2
＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2
＝14
相切，求a 的值．
[思路点拨]
求函数f
x 的导数→
求f ′1得切线l 的斜率→
写出直线l 的
点斜式方程
→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .
[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2
)′＋2·12－x ·(2－x )′
＝2ax －2
2－x
，
∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2
＝14 相切，
∴圆心(0,0)到直线l 的距离为1
2，
所以有
|2－a |4
a －1
2
＋1＝12
，解得a ＝118. ∴a 的值为11
8
.
[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．
6．函数y ＝cos 2x 在点? ??
??π4，0处的切线方程是________．
解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π
2
＝－2.
∴切线方程为y －0＝－2?
????x －π4，
即2x ＋y －π
2
＝0.
答案：2x ＋y －π
2
＝0
7．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点? ??
??－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝2
2x ＋3.
当x ＝－12时，y ′＝2
3－1
＝1，
即在? ??
??－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4
.
8．设曲线y ＝e －x
(x ≥0)在点M (t ，e －t
)处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为
S (t )．
(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x
，
∴y ′＝(e －x
)′＝－e －x
， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t
.
故切线方程为y －e －t
＝－e －t
(x －t )， 即x ＋e t
y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t
(t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t
(t ＋1)
＝12
(t ＋1)2e －t
(t ≥0)．
求复合函数导数的技巧及注意点
(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．
(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．
(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．
[对应课时跟踪训练(五)]
一、填空题
1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，
∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)
2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x －1
在点(1,1)处切线的斜率等于________．
解析：y ′＝e x －1
＋x e
x －1
，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2.
答案：2
3．设曲线y ＝f (x )＝e ax
在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax
)′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：2
4．函数y ＝x sin ?
????2x ＋π2cos ? ????2x ＋π2的导数为________．
解析：∵y ＝x sin ? ????2x ＋π2cos ? ????2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ， ∴y ′＝? ????－x 2′sin 4x ＋? ????
－x 2·(sin 4x )′
＝－1
2sin 4x －2x cos 4x .
答案：－1
2
sin 4x －2x cos 4x
5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )①
对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1
x ＋a
， 则
1
x 0＋a
＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题
6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(5
3π－7x )；
(3)y ＝(2x －1)5
.
解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1. 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝
5u ln 2×2＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2
. (2)设y ＝cos u ，u ＝5
3
π－7x .
则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ? ????53π－7x . (3)设y ＝u 5
，u ＝2x －1，
则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4
×2＝10u 4
＝10(2x －1)4
.
7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2
.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝1
1＋x －1＋2x .
由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝3
2
，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为
y －ln 2＝3
2
(x －1)，
即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.
8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．
解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，
a＝(1,1)，
∴f(x)＝AB―→·a＝x－1＋ln(2－x)－f′(1)＝ln(2－x)＋x－f′(1)－1
∴f′(x)＝
1
2－x
·(2－x)′＋1＝
1
x－2
＋1，
∴f′(1)＝0，
∴f(x)＝ln(2－x)＋x－1.
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
高中数学-导数的计算练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+ B ．21 (log )ln 2 x x '= C ．3(3)3log x x x '= D ．2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ，所以A 项应为2 11x -；由1(log )ln a x x a '=知B 项正确；由()ln x x a a a '=可知C 项错误；D 项中，2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(2,8)--或(2,8) D ．(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1 ()1()2f x f x '='+ ，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A ．2e 2 B ．23e C ．26e D ．29e 【答案】A
§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （ 1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x 在处有增量△x （△ x 可正可负），则函数y 相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （ 2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记, 则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0
高中数学导数公式及运算法则 1.y=cc为常数 y'=0 2.y=x^n y'=nx^n-1 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 加（减）法则：[fx+gx]'=fx'+gx' 乘法法则：[fx*gx]'=fx'*gx+gx'*fx 除法法则：[fx/gx]'=[fx'*gx-gx'*fx]/gx^2 由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下： 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。 2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。 3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。 4、如果有复合函数，则用链式法则求导。 函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的
结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学导数的计算精选题目（附答案） (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． （3）复合导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 1 2x ；
(4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝? ????1e x ； (2)y ＝? ????110x ； (3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3 x ； (5)y ＝2co S 2x 2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1 . 4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝ 1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1 x 2. 5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ? ???? π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程． 7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）
第十二单元 导数的八个求导公式和四则运算求导 体验高考 1.(2020·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x )=x+e x ,则 f ′(1)= . 2.(09辽宁文15)若函数2()1 x a f x x +=+在1x =处取极值， 则a = . 本题是导数部分的基础,考察的知识点是导数的求值,熟练掌握导数的基本求导公式和四则运算法则是求解这类题目的敲门砖.若单独出题， 本部分题目以填空、选择的形式出现, 另外， 本部分作为一切导数题的必备基础， 贯穿出现在所有的导数题型中。 解题基本思路：题1：用换元法求函数解析式——求)('x f ——求)1('f 题2：由题意知：)1('f =0， 解a 知识铺垫 一、大纲要求 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的导数， 能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数。 二、知识点回顾 函数 导数 y c = *()()n y f x x n Q ==∈ sin y x = cos y x =
()x y f x a == ()x y f x e == ()log a f x x = ()ln f x x = 2导数的四则运算法则： 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3． []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? []' '()()cf x cf x = （c 为常数） 3简单复合函数的求导：函数))((x g f 是复合函数,且)(x f 和)(x g 都可导,则='))((x g f ? 三、典型例题 4.(山东省实验中学2020届高三适应训练)已知)1('2)(2xf x x f +=， 则=)0('f . 思路分析：先求)1('f ——则)1('2)0('f f = 解：)1('22)('f x x f +=Θ )1('22)1('f f +=∴ 即：2)1('=-f 2)1('-=f 4)1('2)0('-==∴f f
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) =x 2+b x +c f /(x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．．的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线2 3ln 4 x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B
17 导数的概念及运算 【考试要求】了解导数的实际意义（某时刻的瞬时变化率），理解导数的几何意义（某点处切线的斜率）；掌握常见函数的导数及导数的运算法则，能熟练求简单函数的导数． 【重点与难点】导数的实际意义比较简单；常见函数的导数和导数的运算是导数研究有关问题的基础，必须准确熟练，本节重点研究导数的几何意义，即与曲线的切线有关的问题，要注意区分“某点处”的切线和“过某点”的切线．【知识点与方法】 （一）平均变化率与瞬时变化率 1、一般地，函数在区间上的平均变化率为：，其几何意义是：过曲线上两点的割线的斜率． 2、当无限趋近于0时，若无限趋近于某个常数，这个常数称为函数在处的瞬时变化率，也叫做函数在处的导数，记作．其几何意义是：曲线在处的切线的斜率． （二）常见函数的导数（为常数，为有理数） 1、下列函数的导数要熟记： 1；2； 3（，且）；4； 5（，且）；6； 7；8． （三）导数的运算法则
1、导数的四则运算法则：一般地，如果两个函数都是可导函数，那么：1；2； 3；（特别地，为常数时，_______） 4（其中）． 2、复合函数的导数：形如的函数称为“复合函数”，它可以看作由 及“复合而成”，这种函数的导数按下列法则来求： ，可形象理解为：对于的导数等于对于的导数乘以对于 的导数． （五）导数的几何意义 函数在点处有导数，则函数的图像在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率，切线的方程为． 一、基础训练 1．水波的半径以50cm/s的速度向外扩展，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率是． 2．（2011江西卷）曲线在点处的切线斜率为． 3．一物体的运动方程是，则物体在s时的瞬时速度是m/s．4．（1）；（2）；（3）；（4）． 5．已知函数，则． 6．已知函数的图像经过点，且图像在点处的切线方程是
导数的计算 【主要内容】 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 【习题】 填空题 1．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数()cos(3)(0)f x x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设321()252 f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则
高中数学-导数的概念及其运算测试题 一、填空题 1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)． 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ， 因为函数图象在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0， 所以切线的倾斜角是钝角． 答案 钝角 2．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a n ，a 2n )处的切线与x 轴交点的横坐标为a n ＋1， n ∈N *，若a 1＝16，则a 3＋a 5＝________，数列{a n }的通项公式为________． 解析 k ＝f ′(a n )＝2a n ，切线方程为y －a 2n ＝2a n (x －a n )，令y ＝0， 得－a 2 n ＝2a n (a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n ＝12.所以{a n }是首项为16，公比为12 的等比数列， 所以a n ＝16·? ????12n －1 ＝25－n ，a 3＋a 5＝5. 答案 5 25－n 3．曲线y ＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程是________． 解析 y ′＝3x 2－2，k ＝3－2＝1，所以切线方程为y ＋1＝x －1， 即x －y －2＝0. 答案 x －y －2＝0 4.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于_______． 解析 求导后导函数为奇函数,所以选择B. 答案-2 5．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 解析 设P (t ，t 2－ln t )，由y ′＝2x －1x ，得k ＝2t －1 t ＝1(t ＞0)，解得t ＝1. 所以过点P (1,1)的切线方程为y ＝x ，它与y ＝x －2的距离d ＝2 2 ＝2即为所求． 答案 2
高中数学-导数的计算练习 1．下列结论正确的是 A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 2．函数在处的导数为 A ． B ． C ． D ． 3．已知函数，若，则的值等于 A ． B ． C ． D ． 4．若函数的导函数为,且满足,则 A ． B ． C ． D ． cos y x =sin y x '=sin y x =cos y x '=-1y x = 21=y x ' -y =y '= ()()y x a x b =--x a =ab ()a a b --a b -32()32f x ax x =++(1)4f '-=193 163 133 103 ()f x ()f x '()2e (1)3ln x f x f x '=+(1)f '=3-2e 2 12e -3 12e -
5．函数在处的切线方程是 A ． B ． C ． D ． 6．一物体做加速直线运动，假设时的速度为，则时物体的加速度为 A ． B ． C ． D ． 7．已知,则 . 8．已知直线是曲线的切线,则的值为 . 9．若函数,则 A ． B ． C ． D ． 10．曲线的倾斜角为 的切线的切点坐标为 cos ()1x f x x = +(0,1)10x y +-=210x y +-=210x y -+=10x y -+=(s)t 2()3v t t =+2t =()2x f x =1 ( )ln 2 f '=y kx =ln y x =()f x =(4)f '-=16 - 13 -16 13 ()e x y f x ==π 6
A ． B ． C ． D ． 11．设函数的导函数为，且，则 A ． B ． C D 12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 13．已知二次函数的图象过原点，且它的导函数的图象是过第一、二、 三象限的一条直线，则函数的图象的顶点在第 象限. 14．已知，且 ，则 . 1(ln 3,)23 - 1 (ln 2 1(ln 21 (ln 2 - ()f x ()f x '()c (sin os )6f x f x x π='+3 ()f π'=(1,0)3y x =2 15 94 y ax x =+ -1-2564 - 1-214 74- 25 64 -7 4 - ()y f x =()y f x '=()y f x =1si c )s (n o f x x x =+*21321,,()()()()()(),,,2n n f x f x f x f x f x f x n n -'''===∈≥N 14 ()f π + 220154 4 ()()f f ππ ++=
导数的计算 一、基本概念： 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这节课我们将研究比较简捷的求导数的方法，今后可以作为公式直接应用. (一)几个常用函数的导数 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为 ()()0y f x x f x c c ?+?--===所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为 ()()1y f x x f x x x x x ?+?-+?-===?所以00 lim lim 11x x y y x ?→?→?'=== 1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-= =???2222()2x x x x x x x x +?+?-==+??所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=?
高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法） 高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （ 1 ） 能 根 据 导 数 定 义 求 函 数 231 (),,,,,y C C y x y x y x y y x ======为常数的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 》 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的 导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ ` 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线