2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.复数()i 2i -= A .12i +
B .12i -
C .12i -+
D .12i --
2.若x ,y 满足010x y x y x -??
+???≤,
≤,≥,则2z x y =+的最大值为
A .0
B .1
C .
32
D .2
3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A .()22-,
B .()40-,
C .()44--,
D .()
08-,
4.设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m α?.“m β∥”是“αβ∥”的
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是
A
.2 B
.4 C
.2+ D .5
6.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是
A .若120a a +>,则230a a +>
B .若130a a +<,则120a a +<
C .若120a a <<
,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a -->
7.如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式
开始
x =1,y =1,k =0
s =x -y ,t =x +y x =s ,y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ,y )
结束
是否
正(主)视图
11俯视图侧(左)视图
21
()()2log 1f x x +≥的解集是
A .{}|10x x -<≤
B .{}|11x x -≤≤
C .{}|11x x -<≤
D .{}
|12x x -<≤
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是
A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D .某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在()5
2x +的展开式中,3x 的系数为 .(用数字作答)
10.已知双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线为30x y +=,则a =
.
11.在极坐标系中,点π23?
? ??
??到直线()
cos 3sin 6ρθθ+=的距离为
.
12.在ABC △中,4a =,5b =,6c =,则
sin 2sin A
C
= .
13.在ABC △中,点M ,N 满足2AM MC =,BN NC =.若MN xAB y AC =+,则x =
;
y =
.
14.设函数()()()2142 1.
x a x f x x a x a x ?-
=?--?????≥
①若1a =,则()f x 的最小值为 ;②若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是
.
A B O
x
y -1
2
2C
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.(本小题13分)已知函数2()cos 222
x x x
f x =-.
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-,上的最小值.
16.(本小题13分)A ,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A 组:10,11,12,13,14,15,16
B 组:12,13,15,16,17,14,a
假设所有病人的康复时间互相独立,从A ,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;
(Ⅱ) 如果25a =,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(Ⅲ) 当a 为何值时,A ,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
17.(本小题14分)如图,在四棱锥A EFCB -中,AEF △为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF BC ∥,4BC =,2EF a =,60EBC FCB ∠=∠=?,O 为EF 的中点.
(Ⅰ) 求证:AO BE ⊥;
(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值;
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.
18.(本小题13分)已知函数()1ln 1x
f x x
+=-.
(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当()01x ∈,
时,()323x f x x ??
>+ ??
?; (Ⅲ)设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ??
?对()01x ∈,
恒成立,求k 的最大值.
O F
E C B A
19.(本小题14分)已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>
,点()01P ,
和点()A m n ,()0m ≠都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);
(Ⅱ)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N .问:y 轴上是否存在点Q ,使得OQM ONQ ∠=∠?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.
20.(本小题13分)已知数列{}n a 满足:*1a ∈N ,136a ≤,且121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?,≤,
,()12n =,,
…. 记集合{}
*|n M a n =∈N .
(Ⅰ)若16a =,写出集合M 的所有元素;
(Ⅱ)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (Ⅲ)求集合M 的元素个数的最大值.
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7)C (8)D 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)40 (10
(11)1 (12)1 (13)12 16
- (14)1- [)1,12,2??
+∞????
三、解答题(共6小题,共80分) 15. 解:(Ⅰ) (
)2cos 222
x x x f x =
cos 222
x x =
+-
sin 42x π?
?=+-
??
? 所以()f x 的最小正周期22.T π
πω
=
=
(Ⅱ)
0,x π-≤≤, 3444
x πππ
∴-
≤+≤ 当42
x π
π
+=
,即34
x π
=-
时,()f x 取得极小值。
sin 1,42x π?
?
?∴+
∈-? ??
???, (
)12f x ??
∴∈--???
? 所以()f x 在[],0π-的最小值(
)min 3142f x f π??
=-
=-- ?
??
16. 解:(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A
()1
3173
.7
C P A C ==
所以甲的康复时间不少于14天的概率为3.7
(Ⅱ) 因为25a =,假设乙康复的时间为12天,则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天,共4人。
若乙的康复时间为13天,则符合题意的甲有14天、15天、16天,共3人。 若乙的康复时间为14天,则符合题意的甲有15天、16天,共2人。
当乙的康复时间为其它值时,由于甲的康复时间为16天,均不符合题意。 所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种
而所有甲、乙组合情况共11
7749C C =种
因为所有情况都是等可能的,所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率
1049
P =
(Ⅲ) 11a =或18a =
17. (Ⅰ) 证明:AEF ?是等边三角形,O 为EF 的中点。
AO EF ∴⊥ 又平面AEF ⊥平面EFCB , 平面AEF 平面EFCB EF = AO ?平面AEF AO ∴⊥平面EFCB 又BE ?平面EFCB
AO ∴⊥BE (Ⅱ) 取CB 得中点D ,连接OD
如图分别以,,OE OD OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
()()()()(
)
0,0,3,,0,0,2,233,0
,0,3,2,233,0
A a E a
B a AE a a EB a a -=-=--
易见平面AEF 的法向量为()10,1,0n = 设平面AEB 的法向量为()2,,n x y z =
()()30
2320
ax az a x a y ?-=??-+-=??
所以(
)
23,1,1n =
- 121212
5
cos ,5
n n n n n n ?∴=
=-
因为二面角F AE B --为钝角,所以它的余弦值为55
-
. (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 AO ⊥平面EFCB AO BE ∴⊥ 若BE ⊥平面AOC , 仅需BE OC ⊥
由(Ⅱ)得()2,233,0BE a a =-- , ()
2,233,0OC a =-- 0BE OC ?= ,()
2
22423324121230a a
a a a -+-=-+-+=
2
31080a a -+= , 解得2a =(舍)或43
a =. 18.解:
(Ⅰ)()1ln
,1x f x x +=- ()()22
122
',111x f x x x x -=?=+--
所以切线方程为2y x =.
(Ⅱ)原命题?()0,1,x ?∈ ()320.3x f x x ??
-+> ???
设()()()3ln 1ln 123x F x x x x ??
=+---+ ??
?
()42
2
112'22,111x F x x x x x
=+--=+-- 当()0,1x ∈时,()'F x 0>,
函数()F x 在()0,1x ∈上单调递增。
()()00F x F >= , 因此()0,1,x ?∈ ()32.x f x x x ??
>+ ???
(Ⅲ)31ln ,13x x k x x ??+>+ ?-?? ()0,1x ∈ ? ()()31ln 0,0,113x x t x k x x x ??
+=-+>∈ ?-?
?
()()()42
22
22'1,0,1,11kx k t x k x x x x +-=
-+=∈-- 所以当[]()0,2,'0.k t x ∈≥ 函数()t x 在()0,1上单调递增, ()()00.t x t >=
当2k >时,令()'0,t x = 解得()4
02
0,1k x k
-=
∈ x
()00,x
0x
()0,1x
()'t x -
0 +
()t x
减
极小值
增
()()000,t x t <= 显然不成立。 综上可知:k 的最大值为2.
19.解:(Ⅰ)由题知:2
222
221c a b a b c ?=???=??=+???
解得2221a b ?=??=??
∴所求的椭圆的方程为2
212
x y +=. ()()0,1,,,P A m n
∴直线PA 的方程为1
1,n y x m
--=
令0y = ,则,1M m x n =
- ,01m M n ??
∴
?-??
(Ⅱ)
()()0,1,,P B m n -
∴直线PB 的方程为11n
y x m
+-=-, 直线PB 与x 轴交于N 令0y = , 则1N m x n =+, ,01m N n ??
∴
?+??
设()00,Q y
()00
1tan 1m
m
n OQM y n y -∠==- , ()0
1tan 1y n y ONQ m m n
+∠=
=+
OQM ONQ ∠=∠ , tan tan OQM ONQ ∴∠=∠
()()00
11y n m n y m +∴=- , 22
02
,1m y n ∴=- 又
(),A m n 在椭圆上, 22
12
m n ∴-= 2
02,y ∴=
0y ∴= ∴在y
轴存在点(0,,Q 使OQM ONQ ∠=∠。
20. 解:(Ⅰ)12346,12,24,2243612,a a a a ====?-= {}6,12,24.M ∴= (Ⅱ)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数。 由121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?,≤,
,()12n =,,… 当n k ≥时,n a 都是3的倍数。
如果1k =,则集合M 的所有元素都是3的倍数。
如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-, 所以12k a -是3的倍数, 于是1k a -是3的倍数。 类似可得,231,,
k k a a a --都是3的倍数。
综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数。
(Ⅲ)若136a =,由121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?,≤,
,()12n =,,
…, 可归纳证明36n a =()12n =,,
…,
{}36.M =
因为1a 是正整数,由1122,18
236,18
a a a a a ≤?=?
->?, 所以2a 是2的倍数。
从而当3n ≥时,n a 时4的倍数。
如果1a 是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数n ,n a 是3的倍数。 因此当3n ≥时,n a {}12,24,36∈.这时M 的元素个数不超过5. 如果1a 不是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数n ,n a 不是3的倍数。
因此当3n ≥时,{}4,8,16,20,28,32.n a ∈这时M 的元素个数不超过8.
当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =由8个元素。 综上可知:集合M 的元素个数的最大值为8. 法二: