初中二次函数教案

初中二次函数教案

设计人员：李明强 知识内容

1. 二次函数的解析式三种形式 一般式: y ＝ax 2 +bx ＋c （a ≠0)

顶点式:

2

()y a x h k =-+ 2

24()24b ac b y a x a a -=-+

交点式: 12()()y a x x x x =--

二次函数图像与性质

１、系数ａ,b,ｃ及b 的几何意义

①a 的符号决定抛物线的开口方向、大小;形状；最大值或最小值。

0a >?开口向上?有最小值(最低点的纵坐标)。

0a

a

越大，开口越小;

a

越小,开口越大。(描点法可以证明）

②a b 、决定抛物线对称轴

0b =?对称轴是y 轴。

a b 、同号?对称轴在y 轴的左侧

a b 、异号?对称轴在y 轴的右侧

③ｃ的符号决定抛物线与y 轴交点的位置。

0c =?抛物线过原点

0c >?抛物线与y 轴交于正半轴 0c

④Δ的符号决定抛物线与x 轴的交点个数。 240b ac ->?抛物线与x 轴有两个交点 240b ac -=?抛物线与x 轴只有一个交点 240b ac -

⑤抛物线的特殊位置与系数的关系.

顶点在X 轴上 ?240b ac -=

顶点在y 轴上 ? b=0.

顶点在原点 ?ｂ＝c ＝0． 抛物线经过原点 ?c ＝0.

２、二次函数的对称轴与顶点坐标以及单调性（增减性）与

最值一般式:2

y ax bx c =++(0)a b c a ≠、、是常数，且,

其对称轴为直线2b

x a

=-，顶点坐标为24()24b ac b a a --，

ⅰ．当0a >时，有最小值,且当2b

x a

=-时,244ac b y a -=最小值;

当2b x a <-时,y 随ｘ的增大而减小；当2b

x a >-时，y 随x

的增大而增大。

ⅱ．当0a <时，有最大值,且当2b

x a

=-时,244ac b y a -=

最大值；

当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a

>-时，y 随x 的增大而减小

顶点式：

2()y a x h k =-+(0)a h k a ≠、、是常数，且,其对称轴为直线x h =，顶

点坐标为()h k ，

ⅰ.当0a >时,有最小值,且当x h =时,y k =最小值；

当x h <时,y 随x 的增大而减小；当x h >时,y 随x 的增大而增大。

ⅱ.当0a <时,有最大值,且当x h =时，y k =最大值；

当x h <时，y 随x 的增大而增大；当x h >时,y 随x 的增大而减小

1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=

对称轴:2b

x a

=-

顶点坐标:2

4(,

)24b ac b a a

-- 与y 轴交点坐标(0，c)

增减性：当ａ>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小;对称

轴右边，ｙ随x 增大而增大

当ａ＜0时，对称轴左边,ｙ随x 增大而增大;对称轴右边，y 随x 增大而减小

二次函数图像画法：

勾画草图关键点:（1）开口方向 (2)对称轴（3)顶点（4)与x 轴交点（5)与y 轴交点

图像平移步骤

(1）配方 2()y a x h k =-+,确定顶点(h ，ｋ） （２）对x 轴 左加右减;对y 轴 上加下减

二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形,有这样一个结论：当横坐标为x 1, ｘ2 其对应的纵坐标相等,那么对称轴122

x x x +=

根据图像判断ａ，b,c 的符号

（１)ａ ——开口方向

（２）b ——（就对称轴而言）与a 左同右异 (３）ｃ ——交于y 轴的位置

3.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax ２ +bx+c 与x 轴交点的横坐标x １, x 2 是一元二次方程ax ２ ＋bx+c=0(a ≠0)的根。

抛物线y ＝ａｘ2 +ｂx+c ，当y=０时,抛物线便转化为一元二次方程ａx 2 +bx+c=0

24b ac ->0

时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数

图像与x 轴有两个交点

24b ac -=０时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数

图像与ｘ轴有一个交点；

24b ac -<０时，一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与

x轴没有交点

4．二次函数与一元二次不等式的关系

（1)如图所示，当a＞0时，抛物线ｙ＝ax2＋bx+c开口向上，

它与x轴有两个交点(x

1，０），（x

2

,０）. x＝x

1

，ｘ=x

2

是

方程ａx2+ｂx+c＝０的解。x

1,或x＞x

2

是不等式ax2＋

bx+c＞0的解集. x１＜x

(２）当a＜0时,抛物线ｙ=ax2＋bx+c开口向下，它与x轴

有两个交点(x

1,0）,（x

2

,0). x=ｘ

1

,x＝x

2

是方程ａｘ2+

ｂx+ｃ＝0的解. x

1

2

是不等式ａｘ2＋ｂx＋c>０的解集.

x＜x

1,或ｘ＞x

2

是不等式ａx2＋ｂx＋c＜0的解集.

【典型例题】

题型 1 二次函数的概念

例1(基础).二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（－１,8） B.（1,８) C(-1,2) D （1,-４) 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 题型２ 二次函数的性质

例３ 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与ｘ轴的交点为（4,0)，（－２,０）知,此抛物线的对称轴为直线ｘ＝1,此时121,2x x =-=时，对应的y １ 与ｙ２的大小关系是（ ) A.y １

B. ｙ１ ＝y ２

C. ｙ1 >y 2

D.

不确定 【举一反三】

变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点,试比较

12q q 与的大小

变式2:已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点,试比较

12q q 与的大小

变式3:已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较

12q q 与的大小

题型3 二次函数图像性质(共存问题、符号问题)

例4、函数y =a ｘ＋1与ｙ=ax 2+b ｘ+1(a ≠0)的图象可能是( ） ?

题型4二次函数的平移

例 5.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是( )

Ａ.22(1)y x =+?? B.22(1)y x =-?? C ．221y x =+ ?D ．221y x =-?

B ．

C ．

D ．