微积分试题及答案
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。
6、???≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13
、lim ____________x →+∞
=。
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。 (A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。
2、x
x
x +-=
11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。 (A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。
3、函数?????=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。
(A)23; (B)3
2
; (C )1; (D )0。
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。
(A)1; (B)1-; (C )∞; (D )不存在但非∞。
5、???
?
???>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的 。
(A)连续点;(B)可去间断点;(C )跳跃间断点;(D )振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是( )
(A)2
lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; (B)x x f =)(,2)(x x g =
;
(C )334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;(D )1)(=x f ,x x x g 2
2tan sec )(-=。
7、 |
|sin lim
0x x
x →= ( )
(A) 1; (B) -1; (C ) 0; (D ) 不存在。 8、 =-→x
x x 10
)1(lim ( )
(A) 1; (B) -1; (C) e ; (D) 1
-e 。 9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的( )
(A)充分必要条件;(B) 充分条件;(C )必要条件;(D )既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x ( )
(A) 1; (B) 2; (C )
2
1
; (D ) 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有( )
(A )n n b a <对任意n 成立; (B )n n c b <对任意n 成立; (C )极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ; (D )极限n n n c b ∞
→lim 不存在。
12、当1→x 时,函数
1
1
21
1---x e x x 的极限( ) (A)等于2; (B)等于0; (C)为∞; (D)不存在但不为∞。
三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ; (2)x
x
x x cot csc lim
0-→ ;
(3))1(lim 1-→∞x
x e x ; (4)x
x x x 31212lim ??
?
??-+∞→ ;
(5)1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π; (6)x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;
(7)???
?
??+++?+?∞→)1(1321211lim n n n ; (8)32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 3、试确定b a ,之值,使21
11lim 2=???
? ??--+++∞→b ax x x x 。 4、利用极限存在准则求极限
(1)n
n n n 13121111
131211lim
++++++++++
∞
→ 。
(2)设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证明n n x →∞
lim 存在,并求此极限值。
5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性,若有间断点,指出其类型。
6、设)(x f 在],[b a 上连续,且b x f a <<)(,证明在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f 。
第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、x 2
sin 2 。 2
sin 22)2sin
21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。
2、0 。 016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ,
x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。
4、0>k 。
x 1sin 为有界函数,所以要使01
sin lim 0=→x
x k x ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k 。
5、 0 。 0arctan lim =-∞
→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x
x 。
6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
, 2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f ,
,)0(b f = 2=∴b 。
7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。
8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1。
9、21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,
21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。
10、a
e 2 原式=a a
a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+
?-?-∞→。 11、23-=a 由231
231~1)1(ax ax -+(利用教材P58(1)1a
x ax +-)与221~1cos x x --,以
及1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
203
1
20=-=-=--+→→a x ax x ax x x , 可得 2
3
-=a 。
12、21
41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得
?????≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ?????-≠≤≤-12
141x x ,?)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0
lim
lim
x x -=
22lim
0x ==。
14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=
3x a
a
-,所以x=3at a +
即:3211
lim(
)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===?=a a 。
15、2 )
2(2
)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++?++=-++++∞→+∞→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。
二、选择题
1、选(D) 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l - 上的奇函数,
)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。
2、选(C) ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1lim 1=-?+-=→x x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-)
3、选(A ) 233
1
21lim
1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x
x x x f x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-) 4、选(B) 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n
n n n n n n -→∞→∞--=--=-
5、选(C) 1)0(=-f , 0)0(=+
f , 0)0(=f
6、选(C) 在(A )中2
ln )(x x f = 的定义域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ,)
()(x g x f ≠∴故不正确
在(B )x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错
在(D )中1)(=x f 的定义域为R ,x x x g tan sec )(2
-=的定义域为
}2
,{π
π+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错
7、选(D) 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x
x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选(D) 1)1(1
010
)]
(1[lim )1(lim --?-→→=-+=-e x x x
x x
x ,
9、选(C) 由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0
x f x x →存在,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,
而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在,例如x x 1sin
lim 0
→,函数11
sin 1≤≤-x
有界,但在0
=x 点极限不存在
10、选(C)
(
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
11111lim
2
=
++
=∞
→x x 11、选(D ) (A )、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情
况,不可能得出“对任意n 成立”的性质。
(C)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。
12、选(D ) 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=?=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1
1
1
1
121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞。
三、计算解答
1、计算下列极限: (1)解:x x
x
n n n n n
n 222lim 2sin
2lim 11
=?
=-∞
→-∞
→。 (2)解:2
200001cos csc cot 1cos 1
sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。
(3)解:11
lim )1(lim 1
=?=-∞→∞→x
x e x x x x 。
(4)解:3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 11
3
332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+?+=-- (5)解:)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
22
3
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
11
21
41cos 1cos 4lim 3
=++?=++=→
x x x π。 (6)解:)cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 20202
02cos 1lim 2sin lim cos 1sin lim x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。 0
lim(12x →+=
(7)解:])
1(1321211[
lim +++?+?∞→n n x
)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x 。 (8)解:3312323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x x x x x x 。
3、解:1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b
x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ?????=+-=-∴21)(01b a a ???
???-==231b a
4、(1) 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x 。 (2)先证有界(数学归纳法)
1=n 时,a a a ax x =?>=12
设k n =时,a x k >, 则 a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,
11
<==+n
n
n n n x a
x ax x x
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞
→∴lim 存在,设A x n n =∞
→lim ,
则有 aA A =
?0=A (舍)或a A =,a x n n =∴∞
→lim
5、解:先求极限 得 0
00101
11lim )(22<=>?
??
??-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。
6、解:令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理,),(b a ∈?ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f 。
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分