数列的概念及其表
第一课时
一学习目标
1 了解数列的定义及表示法
2 了解数列是反映自然规律的基本数学模型
二教学重点
理解数列的概念，探索并掌握数列的几种简单的表示方法
三学习难点
1认识数列是一种特殊函数
2认识数列的规律，找出数列可能的通项公式
四学习过程
问题一
请阅读课本P38回答下列问题
<1>三角形数
1 3 6 10 …
这些数有什么规律？与它表示的三角形序号是什么关系？
<2>正方形数
1 4 9 16 …
这些数有什么规律？与它表示的三角形序号有什么关系？
上述三角形数，正方形数的共同特点是什么？数列的定义
各项依次叫做这个数列的_________
数列一般形式可写成
简记________ 其中________ 叫做数列的第n项
问题二
观察下列数列，它们有什么样的特点？
1 1996-2002年，某市普通高中人数（单位：万）
82 ，93 ，105, ，119 ，129 ，130 ，132
2无穷多个3构成数列
3 ，3 ，3 ，3 …
3目前通用的人民币的面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）
100 ，50 ，20 ，10 ，5 ，1 ，，
4全体自然数构成的数列
0 ，1 ，2 ，3 ，4 ..
5 -1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂。。。构成数列
-1 ，1 ，-1 ，1 …
冋题三
中央电视台开心辞典节目中曾经出现这样的一道题，观察以下几数的特点，按照其中的规律，写出括号里的数
项2 ，5 ，10，17，26 （），50 ，- a n n2 1 …
你能从中得到什么启示？ 通项公式的概念 例题探究
1判断下列数列哪些有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数列 <1> 1 ,
1 1 … 1 …
3
J
J
5
2n-1 <2> 1 , 2,
22 ,
23 (263)
<3> 1 ,,
0.12 ,,
…，(-0.1)n-1
<4> 0,10,20 ,, …，1000
<5> 4 ,4 , 4 , 4
…
2请先出下列数列的一个通项公式 <1> 1 , 3 , 6 <2> 1 , 4,9,16 <3> 1 ,
-1, 2
<4> 2, 0,2,0
<5> 1 ,3 ,5 ,7 <6> 8,88 ,888, 8888
1 9 <7>丄，
2 , 9
, 8 2 2
八 1 M c 9 <8>1 — , 2- , 3 , 2 5 10
<1>写出数列的前三项
<2>试问丄 和16
是不是它的项，如果是，是第几项？ - 27
数列的概念与简单表示法
第二课时
学习目标
1 进一步了解数列的通项公式
2 了解数列的其它表示方法 学习重点
了解数列的递推公式以及数列和函数的关系 学习难点 数列和函数的关系 学习过程
我们在前面学习了数列的定义以及数列的通项公式表示数列 ，那么,数列还有其它的 表示方法吗？
请同学们研究下列问题 问题一
全体正偶数按从小到大的顺序构成数列，完成下表，并用描点法把相应的点在图像 上作出
,10 25 2
J6
4 17
3已知数列的通项公式为
a n
4 n 2 3n
10
若一个数列的首项a i 1，从第二项起每一项等于它的前一项的 2倍，再加1 ,
则有：
a 2 +1= _________ a 3 +1= _____
a n
+1 (n >1)
画出数列a n 的图像
等差数列
第一课时
学习目标
1 了解等差数列的定义，等差中项
2 了解等差数列是一种特殊的函数 学习重点
等差数列的通项公式的应用 学习难点
了解等差数列是一种特殊的函数 学习过程 探究一
阅读课本P 36 ,从现实生活中引入这样的几个数列
0 ,5 , 10 , 15 , 20 ,…
48 , 53 , 58 , 63
我们 道， 列还 和_ 问题二
可以知 表示数 可以用 表示
a 4
+1 =
a 5
+1=
______
像这样给出数列的方法叫做
递推法，其中a n
+1 (n >1)
叫做这个数列的递推公式, 例题研究 递推公式也是表示数列的一种方法 <1>在数列 a n 中, a 1 1)n 2a n 1(n 2)
则a 5
<2>在数列 a n 中, a n 1)n
a n 1
1(n 2) , a 7
则a 5
<3>在数列 a n 中, a 1 3a n 2 ,
则a 3
<4>在数列 a n 中, a 1
a n 1
n
Fl%
(1) ⑵ 写出这个数列的前 猜想这
个数列的通项公式
18 , , 13 , , 8 ,
10072,10144,10216 ,10288,10360
观察这四个数列，它们的共同特点是什么？
等差数列的定义
探究二
观察上述四个数列，取任意的相连的三项，观察它们有什么样的共同特点？等差中项
探究三
上述四个数列的通项公式是什么？
对于这样的数列，我们能得出一般规律吗？
等差数列的通项公式
典例研究
1在等差数列a
2, d3,n 10,则a n
n , a1
2在等差数列a n , a13，a n21,d 2则n
3在等差数列a
12，a627,则d
n , a1
8,则a1
4在等差数列a n , d1
3,a7
5在等差数列a n , a510, a1231 则am
6已知数列8,a ,2 ,b ,c成等差数列，则a=b=c=
7已知m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是____________ 8已知等差数列a n中，a1 a2 .... a n，且a3和a6是方程x2 10x 16 0的两个实根<1>求此数列a n的通项公式
<2>268是否是此数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由。
8体育场一角看台的座位是这样排列的，第一排有15个座位，从第二排起每一排比前一
排多2个座位，那么第十排有多少个座位？
等差数列
第二课时（等差数列的性质）
学习目标
了解等差数列的性质，并能运用有关性质解决等差数列的有关问题
学习重点
应用等差数列的有关性质解决等差数列的有关问题
学习难点
等差数列的有关性质的推导
学习过程
探究一
在直角坐标系下，画出通项公式为 a n 3n 5的数列及函数y 3x-5的图像，它们的 图像有什么特点？
已知数列a n 的通项公式为a n pn q 其中p ,q 为常数，那么这个数列是等差数列 吗？若是，请说明理由 探究二
设a n 是公差为d 的等差数列，那么a n a m (n m)d ， d 色一a
m
成立吗？
n m
探究三
若a n 是公差为d 的等差数列，，则下列数列
<1> c a n , <2> ca n 是等差数列吗？
探究四
若a n 是公差为d 的等差数列
<1>若去掉前几项后，余下的项还是等差数列吗？
<2>取出数列中所有的奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？
<3>取出数列中所有项的序号是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？ 探究五
a n 是公差为d 的等差数列，
若m,n ,p ( m,n, p N )成等差数列，是否有a m ，a n ，a p 成等差数列？ 探究六 a n 是公差为d 的等差数列，m,n ,p q ( m,n, p , q N ) 若 m+n=p+q 是否有 a m a n a p a q ？ 若 m+n=2p ,是否有 a m a . 2a p 课堂训练
3在3与27之间插入7个数，使得这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第四个的 值为 4 在等差数列 a n 和 b n 中，a 1 34 ，b 1 66 ，a 98 85,b 98 15
1在等差数列a n 中，a 2
5, a 6 a 3 6,贝U 印 ___________
y,且两个数列x,a 「a 2,y
，各成等差数列,
那么
b 2
a
b 1
贝U a2008 b2008 =
5在等差数列a n中, a1a4a719,a2 a5 a813 ,
求a3 a6a
8
6在等差数列a n中, a619,a1546,则a4 a仃
7在等差数列a n中, a
6a g a12a15 20,求a1a20
8在等差数列a n中, a3a
11
10,则a6 a7 a8
9在等差数列a n中, a4a5a6a7 56, a4 a7187，求a14及公差d 10在等差数列a n中，满足a3 a7 12,a4 a6 4，求数列的通项公式11三个数成等差数列，它们的和为12,首尾二数的积也为12,求这三个数
12若四个数成递增的等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，12 在数列a n 中，a1 1, a n 1 4,则a? __________
a n
(2)求数列a n的通项公式
等差数列前n项和
第一课时
学习目标
1 了解等差数列前n项和的公式推导
2会用等差数列前n项和的公式解决一些实际问题学习重点
会用等差数列前n项和的公式解决一些实际问题学习难点
倒序相加法推导等差数列前n项和的公式
学习过程求这四个数
13已知数列是等差数列，且
a n
4,求a n
14已知数列a n是各项均为正数，且满足a n 1a n 2 a n 1, a1 2,求a.
15数列a n满足a1
1
2a n
1(n
(1)求证：数列是等差数列
探究一
阅读P42了解1 2 3 100 ? 12 3 n ?的求和的算法体会其中的思
想
一般地，若S n a1 a2 a3a n,我们则称S n为数列a n的前n项
和
探究二
若a n的首项为內，公差为d的等差数列，请同学们由上面的启示来研究等差数列的前n项公式公式推导
例题探究
1在等差数列a n中，S n为数列a n的前n项和
<1> 已知a610 ，S5=5，求a8
<2> 已知a1030,a2050,求S5
<3>已知a2 a44, a3 a510,求S10
<4>已知a6-a3 1,4S6 11S3,求a1
<5> 已知S10310，S201220求S n
48
<6>已知a2a4求S5
5
2为了参加冬季运动会的5000米的比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划，第一天跑了5000米，以后每天比前一天多跑500米，这个同学7天一共跑了多长的距离？
等差数列前n项和
第二课时
学习目标
学会在数列a n中，已知S n求a n
学习重点
学会在数列a n中，已知S n求a n
学习过程
探究
在数列a n中，S n a1 a2 a3 a n
当n=1 时，S i= ___________
当n 2 时，a n = ___________________
典例研究
1
1已知数列a n的前n项和为S n n2gn求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
2已知下面数列的前n项和S n的公式，求a n的通项公式
<1> S n 2n2 3n
<2> S n 3n 2
<3>S n n2 2
3思考：若一个数列a n的前n项和为S n，若S n pn2 qn r ，其中p ,q ,r
为常数，且p 0 ,这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
拓展研究
1
已知在正数数列a n中，前n项和T n」@n 2)2求证数列a n为等差数列，求其前
8
n项和
等差数列前n项和
第三课时
学习目标
了解等差数列前n项和S n是关于n的一个一元二次函数
掌握等差数列前n项和S n的最值问题
学习重点
了解等差数列前n项和S n是关于n的一个一元二次函数
掌握等差数列前n项和S n的最值问题
学习难点
等差数列前n项和S n的最值问题学习过程探究
等差数列当首项为a i ,公差为d满足什么条件时，S n有最大值或最小值，并探讨研究S n的最值的求法
典例研究
1已知等差数列5 , 42 , 34，…的前n项和为S n ,求使得S n最大的序号
2已知等差数列a n中，a i 3,11a s 5a$ 13 ,
<1>求公差d
<2>求数列a n的前n项和的最小值
等差数列前n项和
第四课时（等差数列前n项和的性质）
学习目标
了解等差数列前n项和的简单性质
学习重点
等差数列前n项和的性质的应用
学习难点
等差数列前n项和的性质的理解
学习过程
探究一
S n为等差数列a n前n项和，S k,S2k S k, S3k S2k ，是否成等差数列？
探究二
数列a n是等差数列S n an2 bn（a,b为常数）鱼为等差数列
n
探究三
在等差数列a n中，若S奇表示奇数项之和，S偶表示偶数项之和
<1>若项数为偶数2n时，贝U S偶-S奇=nd
<2>若项数为偶数2n+1时，S奇- S偶=a n 1
探究四
若等差数列a n b n的前n项和为S n，「，则弘
b n T2n 1
典例研究
1 在等差数列a n 中，S10 100，S100 10,求S110
2 在等差数列 a n 中，S 4 1, S 8 4,则 a 17 a 18 a 19 a 20 ________
3已知两个等差数列a n
b n ,它们的前n 项和为S n , T n ,
4 一个等差数列共有10项，S 偶15, S 奇12.5则a1 _______________ d _________
等比数列
一学习目标
1 了解等比数列的定义，及其通项公式
2利用通项公式解决一些简单的计算问题，及一些实际应用问题 3掌握等比中项 二学习重点
1理解等比数列的定义及其通项公式且能利用公式解决问题 2利用等比中项进行技巧性计算 三学习难点
等比数列的定义的理解及等比数列的通项公式的推导 四学习过程
探究一阅读P 48，并观察以下数列有什么共同特点?
1 , 20 , 20
2 , 20
3 ,
2
3
4
10000 1.0198 , 10000 1.01982
, 10000 1.01983
, 10000 1.01984
,…
等比数列的定义
思考(1)公比q 可以为0吗？
(2)在等比数列中可以有某些项或某一项为零吗？
探究二 若三个数a,G,b 成等比数列，这三个数有着什么样的的关系？ 探究三 等比数列通项公式的推导
等比数列的通项公式 ___________________________ 典例研究
1在等比数列a n 中,
(1) a 4
27,q 1
3,求 a 7
，则
a n
b n
3H ，则￥=——
b 10
(2)
a2
18,
a 4
8,求6与q
(3)a54, a76,求a9
(4) a5a115, a4 a2 6,求a3
(5) a42, a78, 求a n
(6)
a2a5
18,a3 a6 9,a n 1,求
n
⑺a1a i10,a4 a6 5,求q
4
(8)a i2,a220十a4 ,求a n
3
2阅读P50的例2, 了解等比数列的实际应用并完成P52,2, P53,2
学习心得
等比数列
第二课时
学习目标
了解判断等比数列的方法，并能证明简单的等比数列
学习重点
证明一个数列为等比数列
学习过程
阅读P50,例2并探究发现证明等比数列的方法
典例研究
1
1已知数列a n是首项为2，公差为-1的等差数列，令b n （1）an，求证数列b n且等比数列，并求其通项公式
2已知数列a n的前n项和S n 2 a n,求证：数列a n是等比数列
3已知数列a n满足a! 1, a n 1 2a n 1
（1）证明：a n 1是等比数列
（2）求数列a n的通项公式
1
4已知a n的前n项和S n 1何1）
3
(1)求a「a2
(2)求证：数列a n是等比数列
5 已知数列a n 中，a i 1,a n 2a n 1 3(n 2)
(1)判断数列a n 1是否为等比数列？并说明为什么？
(2)求a n
学习心得
等比数列
第三课时(等比数列的性质)
学习目标
(1)了解等比数列的性质
(2)应用性质解决简单的问题
学习重点
等比数列性质的应用
学习过程
探究一
在直角坐标系中，画出通项为a n 2n1的数列和函数y 2x1的图像以及
1 1 a n (2)n1，和y (2)x1的图像，观察图像，你能发现什么？
探究二已知a n , b n是项数相同的等比数列，仿照表格中的例子填写表格，你能得出什
么结论?
考虑：亚，a n ( 0)，丄是否也为等比数列
b n a n
探究三
a n是等比数列，公比为q ,在数列中取出若干项，若项的序号成等差数列，那么这
些项是否成等比数列? 探究四
(1) 在等比数列 a n 中，若m n P q.,则a m ,a n ,a p ,a q 有什么关系? (2) 在等比数列 a n 中，若m n
2p
，则a m ,a n ,a p 有什么关系？
(3)
n a n a m q
m
，证明这个结论
探究五
在等比数列a n 中，a n 0 , lg a n 是否为等比数列? 典例研究
1在等比数列a n 中
(1) a 2 _________________________________ 2,a 6 12,则氐 (2)
a ?
2,则 a i a ? ________________ a i2 a i3
2已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为91，求这三个数?
等比数列前n 项和
学习目标
(1) 学会等比数列前n 项和公式及其推导
(2) 会用前n 项和公式解决简单问题
学习重点
会用公式解决简单的计算问题 学习难点
前n 项和的公式推导的理解 学习过程
探究一 阅读P 55 , 了解等比数列前n 项和的推导，并试着推导等比数列前n 项和公 式 等比数列等比数列前n 项和公式 例题研究
(3) a n 0,a 6 a io
a 3 a 5
41, a 4 a 8
5.求 a 4 a 8
(4)
a ? a 12 5,则 a $ a ? a 1o
a 11 ____________________
(5) a 1 a 2 a 3 21? a 2 a 3 216,则 a n ___________________
(6) a ? an
6, a 4 a 14
5,则坐 _____________
a 10
(7) a n 0, a 5 a 6 a ° a ? 18,log 3 a 1 log 3 a 2 log 3 a n _______________
1求下列等比数列的前8项和
1 1 1 (1)
2 4 8
⑵2 ,
2 , 2 ,…
(3) 31
27忌
243，
q 0
2在等比数列 a n 中
(1) 31 1,a 4 64,求q 与S 4
5
(2) a a 3
10月4 a 6
,求 a 4 和 S 5 4
课堂检测
在等比数列a n 中， (1) a 1 1,a 5 16,q
0,求S 7
(2) a 3
|，S 3 9
,求^与q
2
⑶S n
189,q 2,a n 96,求 a^n
课后训练
等比数列前n 项和的性质
学习目标
等比数列前n 项和的性质及其应用 学习重点
性质的应用 学习过程 探究一
在等比数列a n 中，前n 项和为S n ,S n ,S 2n 亦务 S ?.…是否成等比数列?
探究二
(1) q 2, S 4 1,求 S 8
(2) a 3
3S 2 2, a 4 3S 3 2,求公比 q
(3)
S 2 30,S 3
155,求 S n
(4) 4a 1
,2a 2
, a
3
，成等差数列，若a 1 1,求S 4
中,
在等比数列a n
若等比数列项数为2n ,则§偶
S奇
典例研究
（1）在等比数列a n中，S2 7，S6 91，求S
（2）设等比数列前n项和为S n，若鱼3,则鱼
S3 S6
（3）等比数列a n中共有2n项，其和为-240,且奇数项之和比偶数项之和大80, 求公比q
数列求和
学习目标
1 学习几种求和的方法
2 利用所知道的求和方法求各种数列的和
学习重点
会求数列的和
学习过程
分组求和
若一个数列的每一项是由几个独立的数列的项组合而成，并且各独立的项也可以组成等差，等比数列，则该数列前n项和可考虑拆项后利用公式求和
111
典例1已知数列C n 1—,2—,3-,...试求数列C n的前n项和T n
2 4 8
裂项相消法
对于裂项后明显有相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”分式的求和多利
用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消的规律，即消去哪些项。保留哪些项。
常见的拆项公式有（自己总结）
典例2已知数列a n满足a3 7盘a7 26 ，a.的前n项和为S n ，
（1）求a n及S n
1
（2）令b n ，求数列b n的前n项和T n
a n 1
错位相减法
若数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，若a n b n的前n项和为S n，求S n时,
常常采用将a n b n的各项乘以公比q,然后错位一项与a n b n的同次项对应相减，即可转化为特殊数列求和，这种求和的方法叫做错位相减法
典例3已知数列a n的前n项和为S n且S n 2n2 n，数列b n满足a n 4 log 2 b n 3
(1)求a n,b n
(2)求数列a n b n的前n项和T n
课堂检测
求下列数列的和
(1)(2-3 5-1)(4-3 5-2) (2n 3 5 n)
(2) 1 2x 3x2n x n1(x 1)
111 1
(3)———- ——
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
课后训练
1设数列b n的前n项和为S n 2n2, g为等比数列，且6 d , b2(a2 aj b1 ，
(1)求数列a n和b n的通项公式
a
(2)设C n 虫，求数列C n的前n项和T n
b n
2数列a n ，b n满足a n b n 1 ，a n n2 3n 2，求b n的前n项和T n 3求数列11，103，1005，10007,…的前n项和T n
4已知数列a n的前n项和为S n，a1 2,S n n2 n
(1) 求a n
1
(2)设的前n项和为T n，求证：T n 1
第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式．
3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答] 由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
课题：数列（第一课时） 一、教学目标： 知识目标：（1）了解数列的概念，了解数列的分类，了解数列是一种特殊的数列， 会用列表法和图像法表示数列； （2）理解数列的通项公式，会根据通项公式写出数列的前几项，会 根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 能力目标：通过数列概念的归纳概括，初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力， 渗透函数思想。 情感目标：通过有关数列的实际应用，激发学生学习数列的积极性。 二、重点：数列的概念，数列的通项公式及其简单应用. 三、难点：根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法：观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合 五、教学手段：多媒体课件、投影仪 六、教学过程： 1、问题情境 （1）庄子说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。每次剩下的部分依次是： 1111,,,,24816 （2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分类成2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为：1,2,4,8,16,32，┅┅ （3）2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1：这几组数据有什么共同的特点？ 2、学生活动 都是一列有顺序的数。 特点1：都是一列数，2：有一定的次序 3、建构数学 （1）数列的定义：按照一定次序排成一列的数称为数列； 数列中的每个数都叫做这个数列的项； 各项依次叫做这个数列的第1项（首项）,第2项，…，第n 项，…，如： 数列 2, 4, 8, 16 问题2：① 1，-1,1，-1，……是数列吗？ ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列？ （2）数列的分类：有穷数列，无穷数列。 问题3：下面三个数列哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ a 4 a 1 a 2 a 3
第六章数列 命题探究 解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法 考纲解读 分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分.
五年高考 考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.
数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 【知识通关】 1．数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 4．数列的分类 [
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用??? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1.(n ≥2， n ∈N *)或?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1) ，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 5n －4
数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】： 知识点一：数列的概念 ⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项 知识点二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列：的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…； 它的通项公式可以是，也可以是. （3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
§ 数列的概念及简单表示法 1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋ 递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项的数列 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? ?? S 1 ?n ＝1? S n －S n －1 ?n ≥2? .
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋?－1? n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3 ，则{a n }的通项公式是a n ＝_____. 答案 (－2) n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2 3a n －23 a n －1， 故 a n a n －1 ＝－2，故a n ＝(－2)n －1 . 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1 . 综上，a n ＝(－2) n －1 . 5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1， B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，
高一数学必修5数列新容：数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类： （1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列; ④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 练习： 1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号的数 （1）()() 1,3,6,10,,21,,??????; （2）()() 3,5,9,17,33,,,??????; （3）() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是 （1）0,1,2,3,??????;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,??????; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1, ---??????;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9??????; （2）9,7,5,3,1,??????; （3） 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- （4） 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .
第三讲 数列的概念与表示方法 【知识要点】 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3，…，a n ,…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项. 2.数列的表示方法 （1）列举法 （2）图象法 （3） 解析法 （4）递推法 3.数列的分类 4.数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N * （或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项，如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 （1）已知数列的前n 项，求其通项公式 ①据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： 分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n 或（-1）n+1来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决. 题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，… (2) ,32 31,1615,87,43,21
2021年新高考数学总复习第六章《数列》 数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列{a n}的第n项a n 通项公式 数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式 叫做数列的通项公式 前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等 表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n， 则a n＝ ?? ? ??S1，n＝1， S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列a n＋1> a n 其中n∈N* 递减数列a n＋1< a n 常数列a n＋1＝a n
概念方法微思考 1．数列的项与项数是一个概念吗？ 提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？ 提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．(×) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×) 题组二教材改编 2．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝. 答案21 解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝. 答案5n－4 题组三易错自纠 4．已知a n＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是． 答案(－3，＋∞) 解析因为{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋1>a n，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*) 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是．
数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}． (2)通项公式：如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________． (4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________．递增数列a n＋1______a n ；递减数列a n＋1_____a n；常数列a n＋ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________． 3．数列前n项和S n与a n的关系 已知S n，则a n＝ ? ? ?（n＝1）_________， （n≥2）_________. 自查自纠： 1．(1)项首项a1，a2，a3，…，a n，… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n－1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S1S n－S n－1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2) 2 3 ， 4 15 ， 6 35 ， 8 63 ， 10 99 ，…；
数列的概念与简单表示法(第一课时) 教学设计案例 山东省滕州市第一中学时科峰（277500） 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系． 二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合．
五．板书设计 六、教学评价与反思 新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现: (1)体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置 本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学
数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项 注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类： 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。 （1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7； （3）5 15,414,313,2122222----； 例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。
三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项： （1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项 （1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 （1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n
数列的概念及其表示方法 一、学习目标 1．了解数列的概念及其表示方法；理解数列通项公式的有关概念； 2．给出数列的通项公式，会写出数列的前几项；给出简单数列的前几项，会写出它的一个通项公式； 3．通过独立思考、小组合作来提升获取知识的能力，增强团结协作的意识，养成善于观察、归纳、类比、联想等良好的思维品质． 二、学习重点与难点 学习重点：数列的概念及其通项公式. 学习难点：用函数的观点理解数列的概念. 三、学习过程 活动一：创设情境 1. 同学们，以下四个问题蕴含着四列数，你能写出来吗？ （1）国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数: . （2）古语：如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为: . （3）童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿，这句童谣中蕴含的一列数为: . （4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为: . 2. 同学们，你能说说上述几列数有什么共同特点吗？ 活动二：数列的概念及其理解 1. 数列的定义：__________________________________________________. 数列的项： __________________________________________________. 2. 数列的分类（按项数分）：__________________________________________________.
思考1：1．数列1，2，3，4，5.与数列5，4，3，2，1.相同吗？ 2．金，木，水，火，土.是数列吗？ 3．数列1，2，3，4，5.与数列1，2，3，4，5，… 相同吗？ 3. 数列的表示方法： 数列的一般形式可以写成 . 其中1a 是数列的第 项（或称为 ），2a 是数列的第 项，…， n a 是数列的第 项. 有时，我们把上面的数列简记为 . 思考2：1.此处的n a 与{}n a 有何区别？ 2.数列中的项和集合中的元素有何区别? 活动三：探索数列与函数的关系 国际象棋每格棋盘上的麦粒数: 序号n 1 2 3 4 ... 64 项 a n 1 2 22 23 ... 263 请回答： 1.这个数列中，对每一个项的序号n 都有唯一的项 a n 与之对应吗？ 2.一般数列中，对每一个项的序号n 存在唯一的项a n 与之对应？
练习一 1．数列1，12，14，…，1 2n ，…是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 2．已知数列{an}的通项公式an ＝1 2[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是 ( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 3．数列{an}的通项公式an ＝cn ＋d n ，又知a2＝3 2，a4＝154，则a10＝__________. 4．已知数列{an}的通项公式an ＝2 n2＋n . (1)求a8、a10. (2)问：1 10是不是它的项？若是，为第几项？
练习二 一、选择题 1．已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3等于( ) A．3 B．9 C．12 D．20 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，…新课标第一网
D ．1，2，3，…，n 3．下列说法不正确的是( ) A ．根据通项公式可以求出数列的任何一项 B ．任何数列都有通项公式 C ．一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D ．有些数列可能不存在最大项 . 4．数列23，45，67，8 9，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223 5．已知非零数列{an}的递推公式为an ＝n n －1 ·an －1(n ＞1)，则a4＝( ) A ．3a1 B ．2a1 C ．4a1 D ．1 6．(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an ＋1＝12an ，则数列{an} 是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 二、填空题 7．已知数列{an}的通项公式an ＝19－2n ，则使an>0成立的最大正整数n 的值为__________．
§6.1 数列的概念及简单表示法
1． 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类 3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．已知S n ，则a n ＝??? S 1 (n ＝1) S n －S n －1 (n ≥2).
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝ 1＋(－1) n ＋1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1 2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项． ( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2 ，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 答案 A 解析 ∵S n ＝n 2 ，∴a 1＝S 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2 ＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 A 解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.
数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计 【课题】数列的概念与简单表示法(第一课时) 【课型】新授课 【授课教师】昆明市第24中学云付泽 一、教材与教学分析 1．数列在教材中的地位 根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)． 2．教学任务分析 (1) 理解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类． (2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系． 3．教学重点与难点 重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。 三、教学基本流程
四、学习过程设计 【创设问题情境】 1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… 2. 古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成的数: 1,21,41,81,161,32 1,…… , 3. 4月10日至4月17日昆明的日最高气温(单位:℃) 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 思考：上述这些问题中的几列数有什么共同特点？ （1） 都是一列数；（2）都有一定的顺序 【设计意图】：引出课题------数列的概念与简单表示法 活动一：数列的概念探究 引导学生观察一下几列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出数列概念。 （1）1，3，6，10，… 1，4，9，16，25，… 1,21,41,81,161,32 1,…… （2）1,21,31,4 1,…… （3）23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 （4）1-,1,1-,1,…… （5）1,1,1,1,…… 引导学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些 数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。 教师引导归纳出： 1. 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数叫数列． 2. 数列的项 数列中的每一个数就是数列的项 3. 数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a 简记为{}n a 【设计意图】：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活” 活动二：数列和集合的关系 将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别？ 经过以上问题可得出集合和数列的区别是： 第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都
2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时） 一、教学目标 （1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画 自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。 （2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。 二、教学重点与难点 教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。 教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。 三、? 四、教学过程 一、创设情境，实例引入 1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题 2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。 师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律? 2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。 板书课题：数列的概念与简单表示法 二、| 三、新课教学 （一）引入 1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。 师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。 我们看三角形数分别是1，3，6，10……(板书) 师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25……（板书） （二）新课教学 问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？ ~ 我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数 所以第一个特点是什么？都是一列数 第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的， 也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。
第 1 课时 数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 ● 教学目标 知识与技能：1、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3、对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ● 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ● 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ● 教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，…（三角形数是指形如 n(n+1)/2 的数） 正方形数：1，4，9，16，25，…（正方形数是指形如 n^2 的数） Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第 1 项（或首项），“9”是这个数列中的第 6 项. ⒊数列的一般形式： a 1 , a 2 , a 3 , , a n , ，或简记为{a n }，其中a n 是数列的第 n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1 1 是这个数列的第“3”项，等等 ”，“ ” 3 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用
第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． [小题能否全取] 1．数列1，23，35，47，5 9 …的一个通项公式是 ( ) A ．a n ＝n 2n ＋1 B ．a n ＝n 2n －1 C ．a n ＝n 2n －3 D ．a n ＝n 2n ＋3 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1 ，则这个数列是 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝? ???? 2· 3n － 1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________. 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3 2 ，则a 8＝________. 1．B 2．A 3．A 4．答案：54 5．答案：9 4 小结
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)． 由数列的前几项求数列的通项公式 典题导入 [例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是 ( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n ＋12 C ．a n ＝2－????sin n π2 D ．a n ＝(－1)n － 1＋32 [答案] C 若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝??? ? ? 0(n 为奇数)，1(n 为偶数). ??? ?或a n ＝1＋(－1)n 2或a n ＝1＋cos n π2 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1 来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 以题试法 1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，31 32，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3 6，…. 解：(1)a n ＝2n ＋1 (2)a n ＝2n －12n (3)a n ＝1 3 (10n －1)．