第七讲 常微分方程
Ⅰ. 考试要求
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法． 3．理解线性微分方程解的性质及解的结构． 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法．
5．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
6．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 注：
(1) 数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,),(,)()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程．
(2) 数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,)()(y x f y x f y n '=''=， ),(y y f y '=''；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． (3) 数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题．
Ⅱ. 考试内容
一．基本概念
1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. 一般形如()
(,,,)0n F x y y y '=.
2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶.
3. 使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.
4. 如果解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数, 称其为微分方程的通解.
5. 对于一阶(或二阶)微分方程, 给定0x x =时的函数值(或再给出此时的导数值), 则可将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初始条件(定解条件).
二．一阶微分方程
形式:(,)y f x y '=, (,)dy
f x y dx
=, (,)(,)0P x y dx Q x y dy +=.
1．可分离变量方程：dy y g dx x f )()(= 通解为
C dy y g dx x f +=??)()(．
2．齐次方程：
)(x
y f dx dy = 令x y u =，有dx
du
x u dx dy xu y +==,，得x dx u u f du =-)(，
通解为 C x dx u u f du +=-??
)(，在通解中代回x
y
u =．
3*．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'
通解为: ])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P +???
=?
-． 解的结构: 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
一阶线性方程的另一种形式为：
)()(y Q x y P dy
dx
=+， 通解为: ])([)()(C dy e y Q e x dy
y P dy y P +???
=?
-．
4．伯努利方程（数一、二）：)1,0()()(≠=+'n y x Q y x P y n 令 n y z -=1，方程化为一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n z -=-+'， 由一阶线性方程的通解公式求出通解，代入n y z -=1即可得到原方程的通解． 【例1】. 4
2的通解求y x y x
dx dy =- 【解】，得
两端除以 y ,4
12x y x dx dy y
=-,y z =
令
,21 dx
dy
y dx dz =由22 2x z x dx dz =-原方程化为
,22
??? ??+=C x x z 还原，得原方程的通解.22
4??
?
??+=C x x y
5．全微分方程（数一、二）： 0),(),(=+dy y x Q dx y x P ，其中
y
P
x Q ??=??. 其通解为C y x u =),(，这里),(y x u 称为微分式Qdx Pdx +的原函数．
(1) ??+=y
y x
x
dy y x Q dx y x P y x u 00
),(),(),(0；
或者，??+=
x x y
y dx y x P dy y x Q y x u 0
),(),(),(0；
(2) 由
Q y
u P x u =??=??,，通过不定积分求得),(y x u ； du Pdx Qdy =+ P x
u
=??∴
，则dx P u ?=)(y C + ?'+??
=??)(y C Pdx y
y u ，u
Q y
?=?又，???-='∴Pdx y Q y C )(
??
??
-
=∴dy Pdx y Q y C )()(，u ∴=. (3) 用分组凑微分法求出),(y x u ，使得Qdx Pdx y x du +=),(，
6. 简单的变量代换解某些微分方程 【例2】解微分方程x dy
dx
x x y +++=sin()0. 作变换y x u +=
三. 可降阶微分方程（数一、二要求）
1．)()(x f y n =：方程两边对x 积分n 次，即可求得通解．
2．),(y x f y '=''，称为不显含y 的可降阶方程， 令y p '=，原方程化为一阶方程 ),(p x f dx
dp
=．
3．),(y y f y '=''，称为不显含x 的可降阶方程，
令y p '=，dy
dp p dx dy dy dp dx dp y =?==
''，原方程化为一阶方程),(p y f dy dp p
=． 【例3】求微分方程2
xy y x '''-=满足条件20()lim 1x y x x
→=的特解.
分析： 可降阶第二种微分方程及一阶线性微分方程解法,凑微分. 【解1】设)()(x y x p '=,则)()(x p x y '='';原方程化为
2xp p x '-=, 解此一阶线性微分方程,得
21p x C x =+, 从而321211
32
y x C x C =++
由20()lim 1x y x x →=可知32
13
y x x =+. 【解2】原方程可化为2
1()1xy y y x x
''''
-'=?= 【例4】求微分方程y y x y '='+'')(2
满足初始条件1)1()1(='=y y 的特解.
解题思路 可降解微分方程及一阶线性微分方程解法. 【解】设)()(x y x p '=,则)()(x p x y '='';原方程化为
p p x p =+')(2,则
01
2=--p x p
dp dx ,解此一阶线性微分方程,得 Cp p x +=2
,由1)1(=p ,可知2
p x =;取x y =',从而023
3
2
C x y +=
由1)1(=y 可知3
1
3223
+=x y .
【例5】微分方程0)(2
='+''y y y 满足条件1)0(=y ,2
1
)0(='y 的特解是 . 分析： 用可降阶第三种微分方程的解法求解.
【解】 变量替换, 令y p '=,dy
dp p y dy dp dx dp y ='==
'', 于是上述方程化为2p dy
dp
yp
-=. 0=p 时, 得C y =, 没有满足初始条件的解.
0≠p 时，p dy dp y -=，分离变量y
dy p dp -=. 解此方程得到1C yp =, 即1C y y ='；由此推出)(2212
C x C y +=.根据两个初值条件可以得到211=C ，2
12=C . 于是所求特解
是1+=x y .
【例6】（11218）
设函数()y x 具有二阶导数， 且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点， 记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角， 若
d d d d y
x x
α=
， 求()y x 的表达式. 分析： 用可降阶第二、三种微分方程的解法求解. 【解】 由题设，(0)0y =，(0)1y '=． 由α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，得
d tan d y
x
α=， 则22
222d d d sec (1tan )(1)d d d y y y x x x
ααα
α''==+=+． 令y p '=，代入方程，得2d (1)dx
p
p p =+，
211()1dp dx p p -=+
，1x C =+，
由(0)1y '=
，可知，1ln 2C =
2x
=
所以，x y '=
2)24
x y e C π
=++， 由(0)0y =，可知24
C π
=-
，因此，())4
x y x π
=-．
四、二阶线性微分方程解的性质与解的结构(n 阶相同)
二阶非齐次线性微分方程：)()()(x f y x q y x p y =+'+'' ①
二阶齐次线性微分方程： 0)()(=+'+''y x q y x p y ②
1．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个解，则)()(2211x y C x y C +是方程 ② 的解； 2．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ① 的两个解，则)()(21x y x y -是方程 ② 的解； 3．若)(x y *,)(x y 分别是方程 ① ，② 的解，则)()(x y x y *+是方程 ① 的解； 4．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个线性无关解，则方程 ② 的通解为 )()(2211x y C x y C +；
5．若)(1x y ,)(2x y 是方程 ② 的两个线性无关解，)(x y *是方程 ① 的一个特解，
则方程 ① 的通解为 )()()(2211x y x y C x y C *++； 6．（叠加原理）若)(1x y ,)(2x y 分别是方程
)()()(1x f y x q y x p y =+'+''
与
)()()(2x f y x q y x p y =+'+'' 的解，则)()(21x y x y +为方程 )()()()(21x f x f y x q y x p y +=+'+''的解．
五、二阶常系数线性微分方程的解法
标准形式为 )(x f qy y p y =+'+''． 1．求齐次方程0=+'+''qy y p y 的通解
对应的特征方程为 02=++q p λλ，其两个特征根为1λ,2λ，按特征根1λ,2λ
2．求非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的特解
六、欧拉方程（数一要求）
二阶欧拉方程：)(2x f qy y px y x =+'+''，
令：t
e x =，得 dt
dy
dt y d y x dt
dy y x -
=
''='2
22
,，代入原方程，将原方程化为二阶 常系数线性微分方程：
)()
1(2
2t e f y q dt
dy
p dt y
d =+-+． 【例7】欧拉方程)0(02422
2>=++x y dx dy x dx
y d x 的通解为______________．
【解】 令t
e x =，则
dt
dy
x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1=
=?=-， ][1112222
2222dt dy
dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得 0232
2=++y dt dy
dt
y d ， 解此方程，得通解为 2
21221x c x c e c e c y t
t +=+=--．
七、一阶常系数线性差分方程（数三要求）
一阶常系数线性差分方程)0()(1≠=++a t f y a y t t 的通解t y 为对应的齐次方程
01=++t t y a y 的通解t y ~与非齐次方程)(1t f y a y t t =++的特解*t y 之和， 即*+=t
t
t
y y y ~．
1．齐次方程01=++t t y a y 的通解为t t a C y )(~-=（C 为任意常数）． 2．非齐次方程)(t f y a y =+的特解*y 的形式按下表确定．
【例8】差分方程t t t t y y 21=-+的通解为________________． 【解】齐次差分方程01=-+t t y y 的通解为C y t =．
设非齐次方程的特解为t t b at y 2)(+=*
，代入原方程得2,1-==b a ，
因此，原方程的通解为t t t C y 2)2(-+=．
【例9】差分方程051021=-++t y y t t 的通解为________________． 【解】将原方程化为标准形式 t y y t t 2
551=++． 对应的齐次方程的通解为t t C y )5(-=．
设非齐次方程的特解为b at y t +=*
，代入方程得72
5,125-==b a ， 因此，原方程的通解为)6
1
(125)5(-+-=t C y t
t ．
【例10】某公式每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元． 若以t W 表示第 t 年的工资总额（单位：百万元），则t W 满足的差分方程是___________．
【解】由题设，有 2)2.01(1++=-t t W W ， 即得t W 所满足的差分方程22.11+=-t t W W ．
Ⅲ. 题型与例题
一．一阶方程
方法： 1. 判断类型 2. 变量代换
【例1】当0→x ?时, α是比x ?较高阶的无穷小量, 函数)(x y 在任意点处的增量
α??++=
2
1x
x
y y , 且π=)0(y . 则=)1(y . )(A π2. )(B π. )(C 4
πe . )(D 4
ππe .
分析：可分离变量. 【解】 由α??++=21x x
y y ，得x x y x y x x ?++=??→?→?α020lim 1lim ，即21x
y y +='， 则
2
1x dx y dy +=，解之，得x
Ce y arctan =，由π=)0(y ，可知π=C ，故应选)(D .
【例2】求微分方程0)2()23(2
22=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解. 分析：1.齐次方程 2.分组凑微分
【解1】 变形得
x y x y x y xy
x y xy x dx dy 2
1)(2
32232
22
2
--+-=--+-=，作变量代换x y u =，则ux y =，dx
du
x
u dx dy +=，代入原方程，得u u u dx du x u 21232--+-=+，化简， 得22131u dx du u u x
-=---，则2ln |1|3ln ||ln u u x C --=-+，得223
xy x y x C --=.
【例3】设函数)(x f 具有连续的一阶导数，且满足
20
22)()()(x dt t f t x x f x
+'-=?，求)(x f 的表达式．
【解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得
0()2()d 2()2()2x
f x x f t t x f x xf x x '''=+?=+?，此为一阶线性方程，解之得
22d 2d ()e 2e d e 1x x
x x x f x x x C C -???
?=+=- ???
?， 将(0)0f =代入上式得 1C =，故2
()e 1x f x =-.
注: 在解微分方程时, 得到通解就结束了. 除非原题中给定初值, 还需确定任意常数,以得到特解. 在解积分方程时, 情况不同. 因为积分方程不但给出函数关系, 还可能同时给出初值.
【例4】解微分方程'=
-y x y 1
22
.
【解】将变量y 看作自变量时, 这是一阶线性微分方程. 将方程'=-x x y 22
代入一阶线性微分方程解的公式,
x e C y e dy Ce y y dy dy y =?+-???????=+++?? ??
?-?222221212()
二．高阶常系数线性微分方程
【例4】（02119）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及
()()2x f x f x e '+=，
（Ⅰ）求()f x 的表达式；
（Ⅱ）求曲线2
20
()
()x
y f x f t dt =-?
的拐点.
【解】（Ⅰ）()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为2
20r r +-=，特征根为11r =，
22r =-，所以，方程的通解为212()x x f x C e C e -=+，代入()()2x f x f x e '+=，得21222x x x C e C e e --=，则11C =，20C =，故()x f x e =.
（Ⅱ）曲线方程为2
2
x
x t y e
e dt -=?
,
2
2
21x
x
t y xe e dt -'=+?
,2
2
20
22(12)x
x
t y x x e e dt -''=++?
.
当0x <时, 0y ''<;当0x >时, 0y ''>,而0x =时,0y ''=; 可见(0,0)是唯一拐点.
【例5】求解微分方程22x
y y e '''-=，并求满足0
()
lim
1x y x x
→=的特解. 【解】0()
lim
1(0)0,(0)1x y x y y x
→'=?==.
方程的通解为221212x
x y C C e xe =++.由初始条件,得22111442
x x y e xe =-++.
【例6】求微分方程x x y y cos +=+''的通解.
解题思路: 在用待定系数法求该方程的特解时, 注意此方程右端是两个函数x 和x cos 之和, 所以需要分别求出方程x y y =+''的特解1y 和x y y cos =+''的特解2y . 然后得到原方程的一个特解21*
y y y +=.
【解】 高阶线性. 首先求出对应的齐次方程的通解:x C x C y sin cos 21+=. 然后用待定系数法求非齐次方程x y y =+''的特解1y . 因为0不是特征根, 所以该方程具有形如B Ax y +=1的特解, 将其代入方程求出x y B A ===1,0,1.
再用待定系数法求非齐次方程x y y cos =+''的特解2y . 由于纯虚数i 是特征根, 所以该方程具有形如x Bx x Ax y sin cos 2+=的特解, 将其代入方程求出2
1
,0=
=B A , 所以x x y sin 2
1
2=
. 因此原方程的一个特解为*121
sin 2y y y x x x =+=+
, 原方程的通解是 x C x C y sin cos 21+=x x x sin 2
1
++.
三．解的性质与结构
【例7】设线性无关函数321,,y y y 都是非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+'' 的解，21,C C 为任意常数，则该非齐次方程的通解是 [ ]．
(A) 32211y y C y C ++． (B) 3212211)(y C C y C y C +-+．
(C) 3212211)1(y C C y C y C ---+． (D) 3212211)1(y C C y C y C --++．
【例8】函数x x x xe e C e C y ++=-221满足的一个微分方程是 [ ]．
(A) x xe y y y 32=-'-''．
(B) x e y y y 32=-'-''．
(C) x xe y y y 32=-'+''． (D) x e y y y 32=-'+''．
【解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-. 则对应的齐次微分方程的特征方程为
2
(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为
20y y y '''+-=.
又*e x
y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x
f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选)(D .
四．综合题
【例10】设)()()(x g x f x F =，其中函数)(,)(x g x f 在),(∞+-∞内满足以下 条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且0)0(=f ，x e x g x f 2)()(=+．
(1) 求)(x F 所满足的一阶微分方程；
(2) 求出)(x F 的表达式．
【解】 (1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(2
2
x f x g + =)()(2)]()([2
x g x f x g x f -+=)(2)2(2
x F e x -， 故)(x F 所满足的一阶微分方程为x
e x F x F 24)(2)(=+'.
(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx x
dx +???=?
-
=]4[42C dx e e x x
+?-=x x Ce e 22-+，
将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得 1-=C ，则 x x
e e x F 22)(--=.
【例11】设?--
=x
dt t x f t x x f 0)(sin )(，其中f 连续，求)(x f ．
【解】 高阶线性. 变形??
+-=x
x dt t tf dt t f x
x x f 0
)()(sin )(，
方程两端求导数,?-='x dt t f x x f 0
)(cos )(
方程两端再求导数, 得到微分方程x f f sin -=+''. 利用上述表达式确定初值条件
1)0(,0)0(='=f f .
齐次方程0=+''f f 的通解是x C x C y sin cos 21+=. 再用待定系数法, 求原方程的
一特解.i 是特征方程的单根, 所以原方程具有形如x Bx x Ax y sin cos *
+=的特解. 将这
个解代入方程x f f sin -=+'', 并比较系数, 得到21=A ，0=B ；x x y cos 2
1*
=.因此
原方程通解为
x x x C x C x f cos 2
1
sin cos )(21+
+= 由初值条件1)0(,0)0(='=f f ，可以得到2
1
,021==C C .
于是)cos (sin 2
1
)(x x x x f +=.