文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1．(2009年全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 、满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150
B ．120°
C ．60°
D ．30°
2．(2008年四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )
A ．(7,3)
B ．(7,7)
C ．(1,7)
D ．(1,3)
3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )
A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14
b 4．(2009年浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量
c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )
A.? ????79，73
B.? ????－73，－79
C.? ????73，79
D.? ????－79
，－73 5．(2009年启东)已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p ⊥q ，若由x 的值构成的集合A 满足A ?{x |ax ＝2}，则实数a 构成的集合是( )
A ．{0}
B ．{23}
C ．?
D ．{0，23
} 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面
积为32
，则b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32
D ．2＋ 3 7．(2008年银川模拟)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )
A ．2a km
B ．a km C.3a km D.2a km
8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
9．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32 B. 3 C.158 D.157
10．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，在△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＋BP →＋CP →＝0，
设|PA →||PD →|
＝λ，则λ的值为( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14
二、填空题
11．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λ a ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ________.
12．(2009年皖南八校联考)已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |
＝________. 13．已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，1)，α∈(0，π)，且a ∥b ，则α的值为________．
14．(2008年烟台模拟)轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h 、15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
15．(2008年江苏高考)满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．
三、解答题
16．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，
(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值；
(2)求c 在a 方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .
17．如图，已知A (2,3)，B (0,1)，C (3,0)，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标．
18．(2009年厦门模拟)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α，sin α)，
α∈? ??
??π2，32π. (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；
(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α
的值．
19．(2009年南充模拟)在△ABC 中，已知内角A ＝π3
，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .
(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；
(2)求y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状．
20．(2008年福建高考)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m ·n ＝1，且A 为锐角．
(1)求角A 的大小；
(2)求函数f (x )＝cos2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．
21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C .
(1)若a ＝3，b ＝4，求|CA →＋CB →|的值；
(2)若C ＝π3
，△ABC 的面积是3，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值．
答案
一、选择题
1．B 【解析】 ∵(a ＋b )2＝c 2，∴a ·b ＝－c 22
， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12
，〈a ，b 〉＝120°.故选B. 2．A 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
3．B 【解析】 AD →＝AB →＋BD →＝a ＋34
BC → ＝a ＋34(AC →－AB →)＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34
b . 4．D 【解析】 设
c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)．
∵(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，
∴2(y ＋2)＝－3(x ＋1),3x －y ＝0.
∴x ＝－79，y ＝－73
，故选D. 5．D 【解析】 ∵p ⊥q ，∴2x －3(x －1)＝0，
即x ＝3，∴A ＝{3}．又{x |ax ＝2}?A ，
∴{x |ax ＝2}＝?或{x |ax ＝2}＝{3}，
∴a ＝0或a ＝23
， ∴实数a 构成的集合为{0，23
}． 6．B 【解析】 由12ac sin 30°＝32
得ac ＝6， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos30°，
即b 2＝4＋23，
∴b ＝3＋1.
7．C 【解析】 如图，△ABC 中，
AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝120°.
由余弦定理，
得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°
＝a 2＋a 2－2a 2×(－12)＝3a 2
，
∴AB ＝3a .
8．B 【解析】 ∵AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →
＝BC →·(AB →＋BA →)＋CB →·CA →＝CB →·CA →，
∴BC →2－CB →·CA →＝BC →·(BC →＋CA →)＝BC →·BA →＝0，
∴∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．
9．D 【解析】 设底边长为a ，则腰长为2a ，
∴cos A ＝4a 2＋4a 2－a 22×2a ×2a ＝78?sin A ＝15
8.
∴tan A ＝15
7，故选D.
10．C 【解析】 ∵PA →＋BP →＋CP →＝0，
即PA →－PB →＋CP →＝0，即BA →＋CP →＝0，
故四边形PCAB 是平行四边形，∴|PA →||PD →|
＝
2.
二、填空题
11．【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，
∴λ a ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λ a ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.
【答案】 2
12．【解析】 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos120° ＝－1
2|a||b |.
又∵c ⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝0，
∴a 2＋a ·b ＝0，
即|a |2＝－a ·b ＝12|a||b |，∴|a ||b |＝1
2.
【答案】 1
2
13．【解析】 ∵a ∥b ，∴tan α－3＝0，即tan α＝3，
又α∈(0，π)，∴α＝π
3.
【答案】 π
3
14.【解析】 如图，由题意可得OA =50，OB =30.
而AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OB cos120°
=502+302-2×50×30×(-1
2)
=2 500+900+1 500=4 900，∴AB =70.
【答案】 70
15．【解析】 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，
根据面积公式得S △ABC ＝12
AB ·BC sin B ＝12
×2x 1－cos 2B ， 根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC
＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 2
4x
， 代入上式得
S △ABC ＝x 1－(4－x 24x )2＝128－(x 2－12)216， 由三角形三边关系有??? 2x ＋x >2x ＋2>2x ，
解得22－2 故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 【答案】 2 2 三、解答题 16．【解析】 (1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210 . (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72 ＝－72 2. (3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ， ∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)， ∴????? 4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得????? λ1＝－237λ2＝3 7. 17．【解析】 要求点D 坐标，关键是求得点D 分AB →所成比λ的值，求λ值可由已知条件△ ADE 是△ABC 面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝? ?? ??AD AB 2 . 由已知，有? ????AD AB 2＝12，即AD AB ＝12 . 设点D 分AB →所成的比为λ，利用分点定义， 得λ＝12－1 ＝2＋1. ∴得点D 的横、纵坐标为x ＝2 1＋2＋1＝2－2， y ＝3＋2＋1 1＋2＋1＝3－ 2. 则点D 坐标为(2－2，3－2)． 18．【解析】 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)且|AC →|＝|BC →|， ∴(cos α－3)2＋sin 2α＝cos 2α＋(sin α－3)2， 整理，得sin α＝cos α，∴tan α＝1. 又π 2<α<3 2π，∴α＝5 4π. (2)∵AC →·BC →＝cos α(cos α－3)＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝－1， 即sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59， ∴2sin 2 α＋sin 2α 1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin α cos α ＝2sin αcos α＝－5 9. 19．【解析】 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π， 由A ＝π 3，B >0，C >0得0 3π， 应用正弦定理知AC ＝BC sin A sin B ＝23 sin π3 sin x ＝4sin x . AB ＝BC sin A sin C ＝4sin ? ????2 3π－x ， ∵y ＝AC ＋AB ＋BC ， ∴y ＝4sin x ＋4sin ? ????2 3π－x ＋23? ????0 3π. (2)∵y ＝4? ????sin x ＋3 2cos x ＋1 2sin x ＋2 3 ＝43sin ? ????x ＋π 6＋23， 且π 6 6π， ∴当x ＋π 6＝π 2即x ＝π 3时，y 取得最大值63， 此时△ABC 为等边三角形． 20．【解析】 (1)由题意得m ·n ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝1 2. 由A 为锐角得A －π 6＝π6，A ＝π 3. (2)由(1)知cos A ＝12 ， 所以f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin x －12)2＋32 . 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32 ， 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3， 所以所求函数f (x )的值域是[－3，32 ]． 21．【解析】 由(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得 (a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 由两角和与差的正弦公式展开得： 2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B . 根据正弦定理有：2sin B cos B ＝2sin A cos A ， 即sin 2B ＝sin 2A ， ∵A 、B 为三角形的内角， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2 . (1)若a ＝3，b ＝4，则A ≠B ，∴A ＋B ＝π2，C ＝π2 ，CA →⊥CB →， ∴|CA →＋CB →|＝(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →) ＝a 2＋b 2＝5. (2)若C ＝π3，则C ≠π2 ，∴A ＝B ，a ＝b ，三角形为等边三角形． 由S △ABC ＝12 a 2sin C ＝3，解得a ＝2， ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝3×2×2cos 2π3 ＝－6. 8在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,向量(cos ,sin )m A A = , (2sin ,cos )n A A =- ,若||2m n += . (1) 求角A 的大小; (2)若42b =,2c a =,求ABC ?的面积. 9. 已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求 ⑴)()2(b a b a +?-； ⑵|2|b a -； ⑶a 与b a +的夹角 10. 已知向量a =)2,1(，b =)2,3(- 。⑴求||b a +与||b a -；⑵ 当k 为何值时，向量b a k + 与b a 3+垂直？⑶ 当k 为何值时，向量b a k +与b a 3+平行？并确定此时它们是同向还是反向？ 11设D 、E 、F 分别是ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 2 1= BC BD 31=，CA CE 41=，若记m AB =，n CA =，试用m ，n 表示DE 、EF 、FD 。
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