第1章 （之1）
第1次作业
教学内容: §1.1 实数集 区间 §1. 2 函数的概念 §1.3 初等函数
1.选择题:
*（1）上是，在其定义域)()3(cos )(2∞+-∞=x x f ( )
）
答（
非周期函数的周期函数； 最小正周期为
的周期函数；
最小正周期为的周期函数； 最小正周期为B D C B A .)(3
2)(3
)(3)(ππ
π
**（2） )()()(x f x x x f ，则，，设∞+-∞= ( )
）
答（ 内单调增，内单调减，而在
，在内单调减；，内单调增，而在，在单调增；，在单调减；，在B D C B A .
)0()0()()0()0()()()()()(∞+-∞∞+-∞∞+-∞∞+-∞
**（3）的是下列函数中为非偶函数
( ) ).
1lg(1)(4343)(arccos )(1
212sin )(2
2
2
2
x x x
x
y D x x x x y C x y B x y A x
x
++
+=
+++
+-=
=+-?=；
； ；
答（ B ）
**2.设一球的半径为r ，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V 表示为高h 的函数，并指出其定义域。
解：如图，R
r
AC AD ABC AOD =∴??～因， 2
2
)
(r
r h rh R --=
故， ]
)
[( 3 2
2
3
2
r r h h
r V --=
π体积，
)2(+∞< **3.设对一切不等于0及1-的实数x 恒有 1 2)1()(22 2 ++= +x x x x f x x f ， （1）证明1 2)1(2)(2 2 ++= +x x x x f x x f ；（2）)(x f 求. 解：（1）以 x 1 代入式 1 2)1 ()(22 2 ++=+x x x x f x x f 中的x ，可得 ,1 2)()1 (2,)1(1 2)(1 )1 (22 22++=+?++=+x x x x f x f x x x x x f x x f （2）在上式与所给之式中:)1 (得消去x f 1 31 242)(32 2 += +--+= x x x x x x x x f 就可以得到 1 )(+=x x x f . ***4.设函数 ()????? -≥-<-=1,1 ,1x x x x x x f 和 ()? ? ? ??>+≤-=1,1 1, x x x x x x g 求()()()x g x f x F = 的表达式，并求 ()0F 及 ()2F . 解： - -?-=?=x x x x x f x g x F ； 11≤≤-x 时，()()()()2x x x x g x f x F -=-?=?=； 1>x 时，()()()112+=??? ? ? +?=?=x x x x x g x f x F ， ()?????>+≤≤---<+-=∴,1, 1,11,, 1,12 2 2x x x x x x x F ()00=∴F ，()51222=+=F . ***5.设0≥x 时，()12-+=x x f x . ()1若()x f 是()+∞∞-,上的奇函数，试写出0 --+=-∴ -x x f x ， ()x f 是奇函数，()()x f x f -=-∴， ()12 1)(++-=--=∴x x f x f x ()0 ()2 0 ，则 0>-x ， ()()12--+=-∴-x x f x ， ()x f 是偶函数，()()x f x f =-∴， ()12 1--=∴x x f x ()0 **6.()1 设函数()x f 在[]l l ,-上有定义，试证明()()() 2 x f x f x -+=?是[]l l ,-上的偶函 数，而()()() 2 x f x f x --= ψ是[]l l ,-上的奇函数； ()2 试证明在区间[]l l ,-上有定义的函数()x f ，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和； ()3 试将函数()31x x f +=表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 解：()1 对于()()() 2 x f x f x -+=?， 显然有()()() ()x x f x f x ??=+-= -2 ，所以()x ?是[]l l ,-上的偶函数。 而对于()()() 2 x f x f x --=ψ， 显然有()()() ()x x f x f x ψψ-=--=-2 ，所以 ()x ψ是[]l l ,-上的奇函数. ()2因为()()() ()() 2 2 x f x f x f x f x f --+ -+=，而由()1知 ()() 2 )(x f x f x -+= ?和()() 2 )(x f x f x --= ψ分别为[]l l ,-上的偶函数和奇函数， 这样就证明了所需证之结论. ()3()()() ()() 2 2 13x f x f x f x f x f x --+ -+= =+ 2 112 113 3 3 3 x x x x -- ++ -+ +=. **7.数的定义域。的反函数，并指出反函 求函数)1(12 -≤-= x x y 解： 得，由 时，当1012 -= +∞<≤-≤x y y x x y =- +2 1， )0(1)(2 +∞<≤+-=x x x ?故所求的反函数为 . **8.已知)(x f 是二次多项式，且38)()1(+=-+x x f x f ，0)0(=f ，求)(x f . 解：c bx ax x f ++=2 )(设, 因为，0)0(=f 所以0=c , 而)()1()1()()1(2 2 bx ax x b x a x f x f +-+++=-+ b a ax ++=2 据题意有 382+=++x b a ax , ?? ?-==?? ?=+=, 1, 4,3, 82b a b a a 解得故 x x x f -=∴2 4)(. *9.求常数c b a ,,，使2 2 ) 1(1 ) 1(3-+ -+ = -+x c x b x a x x x . 解: 2 2 2 2 2 ) 1()2()() 1()1()1() 1(1 -+--++= -+-+-= -+ -+ x x a x b a c x b a x x cx x bx x a x c x b x a 比较系数可知有 3,12,0==--=+a b a c b a . 解得 4,3,3=-==c b a . **10.根据下列给定的表达式，求()()[]{}x f f f x f n =（n 重复合）的表达式： () ()2 11x x f + = ； ()()()0122 ≥+= x x x x f . 解：()1 ()21x x f + =， 2=n 时，()[]22 21121211x x x f f ++=??? ??++ =， 3=n 时，()[]{}3 222212112211211x x x f f f +++=??? ??+++=， ， ()()[]{}n n n n n x x x f f f x f 2 2 122 2 12 12 111 1 2 + - =+ + +++ ==∴-- . ()2 ()2 1x x x f += ， 2=n 时，()[]2 2 2221111x x x x x x x f f += ++ += ， 3=n 时，()[]{}2 31x x x f f f += ， 用数学归纳法可得()2 1nx x x f n +=. ***11.，．， ；， ；， 设)21()(21210010)(x f x F x x x x x x f -=?? ? ??<≤-<≤<≤-= 的图形画出的表达式和定义域；求)()2()()1(x F x F . 解：? ? ? ? ?? ???≤<≤<-≤<-+=．， ；，；，12102102102121)()1(x x x x x x F ??? ??-121)(， 的定义域为x F . (2) ***12.设 ()x x f 17cos 2sin =??? ?? ，求 ??? ? ? 2cos x f . 解：()x x x f x f 17cos 17cos 2sin 2cos -=-=??? ? ?-=??? ? ? ππ. ***13.若()()()x h x g x f ,, 都是单调增加函数，且对一切 x 都有 ()()()x h x g x f ≤≤，试证明 ()[]()[]()[]x h h x g g x f f ≤≤。 证明：()()x g x f ≤ ， ()[]()[]x g g x f g ≤∴， 由于对一切 x 都有 ()()x g x f ≤ 可知： ()[]()[]x f g x f f ≤， ()[]()[]x g g x f f ≤∴ 。 同理，()[]()[]x h h x g g ≤， ()[]()[]()[]x h h x g g x f f ≤≤∴. ***14.)()()()(y f x f y x f y x x f +=+满足关系式： 、对任意实数设函数 的奇偶性。 判定函数； 求)()2()0()1(x f f 解： )0()0()0(0)1(f f f y x +===时，有 取，0)0(=f 故. ， ，，即 ， ，于是，有取)()()(0)()()()()0()2(∞+-∞∈-=-=-+-+=-=x x f x f x f x f x f x f f x y 是奇函数因此)(x f .
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