数学二线性代数
（22）（本题满分11分）（2018）
2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；
(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.
（23）（本题满分11分） （2018）
1212=130=011.
27111a a a A B a ???? ? ? ? ? ? ?--????
已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I) ;a 求
(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵
（22）（本题满分11分）（2017）
三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+
（1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解
（23）（本题满分11分）（2017）
设二次型13222
1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下
的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .
（22）（本题满分11分）（2016）
设矩阵11110111a A a a a -?? ?= ? ?++??，0122a β?? ?= ? ?-??
，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求方程组T T
A Ax A β=的通解。
（23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -?? ?=- ? ???
（Ⅰ）求99A
（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分
别表示为123,,ααα的线性组合。
22、（本题满分11分）（2015）
设矩阵111100a A a a ?? ?=- ? ???
,且O A =3.
（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,2
2=+--为3阶单位矩阵，求X 。
23、（本题满分11分）（2015） 设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??，相似于矩阵12000031B b -?? ?= ? ???
，
（1）求b a ,的值（2）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵。 (22)(本题满分11分)（2014）
设矩阵
，为3阶单位矩阵. (I)求方程组
的一个基础解系； (II)求满足的所有矩阵B .
(23)(本题满分11分)（2014）
(24)证明阶矩阵
与相似. 22．本题满分11分）（2013）
设???
? ??=???? ??=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．
23（本题满分11分）（2013）
设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记
????
? ??=????? ??=321321,b b b a a a βα．
（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T
T ββαα+2；
（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． (22)(本题满分11 分)（2012）
设100010001001a a A a a ?? ? ?= ? ???，1100β?? ?- ?= ? ???
(I) 计算行列式A ；
(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)（2012）
已知1010111001A a a ?? ? ?= ?- ?-??
，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；
(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
（23）（本题满分11分）设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值。（2009）
（22）（本题满分12分） （2008）
设元线性方程组，其中
，
，，
（1）证明行列式()1n A n a =+； （2）a 为何值，该方程组有唯一解，并求1x ；
（3）a 为何值，该方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）（2008）
设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，
（1）证明123,,ααα线性无关；
（2）令()123,,P ααα=，求1
P AP -.
（23） (本题满分11分) （2007）
设线性方程组12312321
2302040x x x x x ax x x a x ?++=?++=??++=?与方程组12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值
及所有公共解.
（24） (本题满分11分)（2007）
设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，
T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.
（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；
（II ）求矩阵B .
（22）（本题满分9分）（2006）
已知非齐次线性方程组
1234123412
341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-??++-=-??+++=?有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A
的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.
（23）（本题满分9分）（2006）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.
（22）（本题满分9分）（2005）
确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组 ,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.
（23）（本题满分9分）（2005）
已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵????
??????=k B 63642321（k 为常数），
且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
（22）（本题满分9分）（2004）
设有齐次线性方程组
123412341
2341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,
a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??++++=??++++=??++++=? 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
（23）（本题满分9分）（2004）
设矩阵12314315a -?? ?-- ? ???
的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角
化.
十 一、（本题满分10分）（2003）
若矩阵????
??????=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P
十二 、（本题满分8分）（2003）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a
十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为3阶矩阵，且满足E B B A 421
-=-，其中E 是3阶单位矩阵.（2002）
⑴证明：矩阵E A 2-可逆； ⑵若????
? ??-=200021021B ，求矩阵Ａ．