2019年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数2z i =+，则(z z =g ) A
B
C ．3
D ．5 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知直线l 的参数方程为13,
(24x t t y t =+??
=+?
为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( ) A ．15 B ．25 C ．45 D ．65
4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b = 5．若x ，y 满足||1x y -?，且1y -…，则3x y +的最大值为( )
A ．7-
B ．1
C ．5
D ．7
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252E
m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天
狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A ．10.110
B ．10.1
C ．10.1lg
D ．10.110-
7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如
图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。 9．函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．
11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为 ．
12．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 13．设函数()(x x f x e ae a -=+为常数）．若()f x 为奇函数，则a = ；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．
三、解答题 共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在ABC ?中，3a =，2b c -=，1
cos 2B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．
16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，
2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且1
3PF PC =．
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；
（Ⅲ）设点G 在PB 上，且2
3PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅
率；
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 18．（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
19．（13分）已知函数3
21()4
f x x x x =
-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为l 的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当
M （a ）最小时，求a 的值．
20．（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、?、第m i 项12()m i i i <
数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；
（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)?，求数列{}n a 的通项公式．
2019年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数2z i =+，则(z z =g ) A B
C ．3
D ．5
【思路分析】直接由2||z z z =g 求解．
【解析】：2z i =+Q ，22||5z z z ∴===g ．故选：D ． 【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 1k =，1s =
不满足条件3k …
，执行循环体，2k =，2s = 不满足条件3k …
，执行循环体，3k =，2s = 此时，满足条件3k …
，退出循环，输出s 的值为2． 故选：B ．
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
3．已知直线l 的参数方程为13,
(24x t t y t =+??
=+?
为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( ) A ．15 B ．25 C ．45 D ．65
【思路分析】消参数t 化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解． 【解析】：由13(24x t
t y t =+??
=+?
为参数），消去t ，可得4320x y -+=． 则点(1,0)到直线l
的距离是6
5d =
=． 故选：D ．
【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，则( )
A ．222a b =
B ．2234a b =
C ．2a b =
D ．34a b =
【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c =+得答案．
【解析】：由题意，1
2
c a =，得2214c a =，则22214a b a -=，
22244a b a ∴-=，即2234a b =．
故选：B ．
【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题． 5．若x ，y 满足||1x y -?，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-
B ．1
C ．5
D ．7
【思路分析】由约束条件作出可行域，令3z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：由||11x y
y -??-??…作出可行域如图，
联立1
10y x y =-??+-=?
，解得(2,1)A -，
令3z x y =+，化为3y x z =-+，
由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215?-=． 故选：C ．
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
121252E
m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天
狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110
B ．10.1
C ．10.1lg
D ．10.110-
【思路分析】把已知熟记代入1212
52E
m m lg E -=，化简后利用对数的运算性质求解．
【解析】：设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.45m =-，
由题意可得：12
51.45(26.7)2E
lg E ---=，
∴1250.510.15E lg E ==，则10.11210E E =．
故选：A ．
【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【思路分析】“AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角” ? “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”，“ ||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ” ? “AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解析】：点A ，B ，C 不共线，
“AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角” ? “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”， “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ” ? “AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角”，
∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r
的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的充分必要条件． 故选：C ．
【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③
【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图
形可得．
【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称， 当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；
当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…
，解得(0x ∈
， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，
根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．
当0x >时，由2
2
1x y xy +=+得22
22
12
x y x y xy ++-=?，（当x y =时取等），
222x y ∴+?，
∴即曲线C 上y
轴右边的点到原点的距离不超过，根据
对称性可得：曲线C
故②正确．
在x 轴上图形面积大于矩形面积122=?=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1
2112=??=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．
【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 2π
．
【思路分析】用二倍角公式可得11
()cos(4)22
f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．
【解析】：2()sin (2)f x x =Q ，
11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π
．
【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题．
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = 0 ，n S 的最小值为 ．
【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．
【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，
∴113
54
5102
a d a d +=-????+=-??，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+?=， 21(1)(1)1981
4()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--，
4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．
【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为 40 ．
【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解． 【解析】：由三视图还原原几何体如图，
该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，
则该几何体的体积1
422(24)24402V =??++??=．
故答案为：40．
【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
12．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若l α⊥，l m ⊥，则//m α ．
【思路分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l α⊥，l m ⊥，则//m α．
【解析】：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．故答案为：若l α⊥，l m ⊥，则//m α．
【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
13．设函数()(x x f x e ae a -=+为常数）．若()f x 为奇函数，则a = 1- ；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．
【思路分析】对于第一空：由奇函数的定义可得()()f x f x -=-，即()x x x x e ae e ae --+=-+，变形可得分析可得a 的值，即可得答案；
对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得()f x 的导数
()0x x f x e ae -'=-…在R 上恒成立，变形可得：2x a e ?恒成立，据此分析可得答案． 【解析】：根据题意，函数()x x f x e ae -=+，
若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x e ae e ae --+=-+，变形可得1a =-， 函数()x x f x e ae -=+，导数()x x f x e ae -'=-
若()f x 是R 上的增函数，则()f x 的导数()0x x f x e ae -'=-…
在R 上恒成立， 变形可得：2x a e ?恒成立，分析可得0a ?，即a 的取值范围为(-∞，0]； 故答案为：1-，(-∞，0]．
【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．
【思路分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x ，可得所求值；
②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -??…，解不等式，结合恒成立思想，可得x 的最大值．
【解析】：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得()80%70%m x m -??…，
即有8
m x ?
， 由题意可得120m …，
可得120
158x =?，
则x 的最大值为15元． 故答案为：130，15
【归纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在ABC ?中，3a =，2b c -=，1
cos 2B =-．
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．
【思路分析】（Ⅰ）利用余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；
（Ⅱ）sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代入即可得解．
【解析】：（Ⅰ）3a =Q ，2b c -=，1
cos 2
B =-．
∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2
b b =+--??-?-，
7b ∴=，25c b ∴=-=；
（Ⅱ）在ABC ?中，1
cos 2
B =-Q
，sin B ∴=，
由正弦定理有：
sin sin c b
C B
=
，
∴5sin 2sin 7c B C b === b c >Q ，B C ∴>，C ∴为锐角，11
cos 14C ∴=，
sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=
-111()142=--
=
． 【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．
16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，
2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且1
3PF PC =．
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；
（Ⅲ）设点G 在PB 上，且2
3PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
【思路分析】（Ⅰ）推导出PA CD ⊥，AD CD ⊥，由此能证明CD ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F AE P --的余弦值．
（Ⅲ）求出4(3AG =u u u r ，0，2
)3
，平面AEF 的法向量(1m =r ，1，1)-，
4220333
m AG =-=≠u u u
r r g ，从而直线AG 不在平面AEF 内．
【解答】证明：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥， AD CD ⊥Q ，PA AD A =I ，
CD ∴⊥平面PAD ．
解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，
AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0A ，0，0)，(1E ，0，1)，2(3F ，23，4
)3
，(0P ，0，2)，
(1AE =u u u r ，0，1)，224(,,)333AF =u u u r ，
平面AEP 的法向量(1n =r
，0，0)，
设平面AEF 的法向量(m x =r
，y ，)z ，
则0
2240333m AE x z m AF x y z ?=+=?
?=++=?
?
u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，1，1)-， 设二面角F AE P --的平面角为θ，
则||cos ||||m n m n θ===r r g r r g
∴二面角F AE P --
． （Ⅲ）直线AG 不在平面AEF 内，理由如下：
Q 点G 在PB 上，且23PG PB =．4(3G ∴，0，2
)3
，
∴4(3AG =u u u r ，0，2)3
，
Q 平面AEF 的法向量(1m =r
，1，1)-，
4220333m AG =-=≠u u u
r r g ，
故直线AG 不在平面AEF 内．
【归纳与总结】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅
率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【思路分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望()
E X．
（Ⅲ）从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为
3 3 3 30
1 4060
C
p
C
==，不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．
【解析】：（Ⅰ）由题意得：
从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，
A，B两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，
A
∴，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540
---=，
∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率
40
0.4
100
p==．
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，
则X的可能取值为0，1，2，
样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在(0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，
样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在(0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，
18101806
(0)
302575025
P X==?==，
1815121039013
(1)
3025302575025
P X==?+?==，
12151806
(2)
302575025
P X==?==，
X
∴的分布列为：
数学期望()0121252525
E X =?
+?+?=． （Ⅲ）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化， 理由如下：
从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，
随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3
33301
4060
C p C ==，
虽然概率较小，但发生的可能性为
1
4060
． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化． 【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 18．（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)-，解方程可得p ，求得抛物线的方程和准线方程； （Ⅱ）抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A ，B 的坐标，可得AB 为直径的圆方程，可令0x =，解方程，即可得到所求定点．
【解析】：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =， 可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =； （Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，
设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
可得124x x k +=-，124x x =-，
直线OM 的方程为11y y x x =，即14x
y x =-，
直线ON 的方程为22y y x x =，即24
x
y x =-，
可得14(A x ，1)-，2
4
(B x ，1)-，
可得AB 的中点的横坐标为121142()224k
k x x -+==-g
， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，
半径为12||144||222AB x x =-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+， 化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．
则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．
【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（13分）已知函数321
()4f x x x x =-+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为l 的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；
（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当
M （a ）最小时，求a 的值．
【思路分析】（Ⅰ）求导数()f x '，由()1f x '=求得切点，即可得点斜式方程；
（Ⅱ）把所证不等式转化为6()0f x x --剟，再令()()g x f x x =-，利用导数研究()g x 在[2-，4]的单调性和极值点即可得证；
（Ⅲ）先把()F x 化为|()|g x a -，再利用（Ⅱ）的结论，引进函数()||h t t a =-，结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对称轴t a =与3-的关系分析即可．
【解析】：（Ⅰ）23
()214f x x x '=-+，
由()1f x '=得8
()03x x -=，
得128
0,3x x ==．
又(0)0f =，88
()327f =，
y x ∴=和88
273
y x -=-，
即y x =和64
27y x =-；
（Ⅱ）证明：欲证6()x f x x -剟，
只需证6()0f x x --剟，
令321
()()4
g x f x x x x =-=-，[2x ∈-，4]，
则2338
()2()443
g x x x x x '=-=-，
可知()g x '在[2-，0]为正，在8(0,)3为负，在8
[,4]3为正，
()g x ∴在[2-，0]递增，在[0，8]3递减，在8
[,4]3递增，
又(2)6g -=-，(0)0g =，864
()6327
g =->-，g （4）0=，
6()0g x ∴-剟， 6()x f x x ∴-剟；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
Q 在[2-，4]上，6()0g x -剟，
令()t g x =，()||h t t a =-，
则问题转化为当[6t ∈-，0]时，()h t 的最大值M （a ）的问题了， ①当3a -?时，M （a ）(0)||h a a ===-， 此时3a -…，当3a =-时，M （a ）取得最小值3； ②当3a -…时，M （a ）(6)|6||6|h a a =-=--=+，
63a +Q …，M ∴（a ）6a =+，
也是3a =-时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为3-．
【归纳与总结】此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大． 20．（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、?、第m i 项12()m i i i <
数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；
（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)?，求数列{}n a 的通项公式．
【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．
()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a …
，即可证明结论． ()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必
然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因
此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，
并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，??，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．
()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列， ∴0n a >该数列的第p 项0m a …
， ∴00m n a a <．
()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．
若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，
这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．
Q 对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与
21n -，
Q 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2
项是3与4二选1，??，第s 项是21s -与2s 二选1，
故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．
2∴，1，4，3，6，5，?
?，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．
【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．
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《高中数学教研微信系列群》简介：
目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.
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普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（）
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则
参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3.
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
1983年全国高考数学试题及其解析 理工农医类试题 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点 3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零 4．设,34π = α则)arccos(cos α的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3 π 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -= y x -=的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形 三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合 ≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合 4 0π ≤ θ≤？ 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB ???β?-ββα ?+ααcos 2cos sin sin ) sin(cos cos )cos(sin
全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量
1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ）
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=．
（1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ?=+ ?? ?，则下面结论正确的 是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单 位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233??? ???→=+=+ ? ???? ?y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = ∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A =
历年高考数学试题 命题与逻辑 一．选择题，在每小题给出的四个选择题只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ?是()U C A B U ?=的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且βα??m l ,. 有如下两个命题：①若m l //,//则βα；②若.,βα⊥⊥则m l 那么（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ??； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ? ? 其中真命题是（ ） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．“m =2 1”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．“a =b ”是“直线相切与圆2)()(22 2=++-+=b y a x x y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
历年高考数学真题全国卷 版 The pony was revised in January 2021
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 13或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +2 8 y =1
C 28x +24y =1 D 212x +2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3 cos2α= (A) 5 （B ）5 55 （8）已知F1、F2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=