第一 函数与极限
函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一切内容都将从这二者开始。
§1、 函 数 一、集合、常量与变量
1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A 、B 、C ……等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a 是集合M 的一个元素，就记a ∈M （读a 属于M ）；若事物a 不是集合M 的一个元素，就记a ?M 或a ∈M （读a 不属于M ）；集合有时也简称为集。
注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。
2：集合的表示方法：
?
??
??
??
????
??===+++======等。中
在点；为我校的学生；须有此性质。如：
中的元素必中，且，即：有此性质的必在所具有的某种性质合可表示为：
，那么该集
若知其元素有某种性质不到元素规律的集合，、列不出全体元素或找为全体偶数集；，，，然数集，为全体自，，，写出，如：元素的规律，也可类似、对无限集，若知道其
；鸡一只猫，一只狗，一只
的方法来表示，如：可用列举出其全体元素、若集合为有限集，就
枚举法}),(),{(}{}0375{}{)(}642{}321{)(}{},10,,3,2,1{)(23D y x y x C x x B x x x x A A A x x A iii B A ii B A i 3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的
集合记为R 。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ∈，必有B x ∈，就称A 为B 的子集，记为B A ?,或A B ?(读B 包含A)。 显然：R Q Z N ???.
若B A ?,同时A B ?,就称A 、B 相等,记为A=B 。
5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。
6：不含任何元素的集称为空集,记为Φ,如：{R x x x ∈=+,012}=Φ,{12:-=x x }=Φ,空集是任何集合的子集,即A ?Φ。
7：区间：所有大于a 、小于b a (＜)b 的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即(a,b)=}{b x a x 。
同理：[a,b]=}{b x a x ≤≤为闭区间，[)}{,b x a x b a ≤=和(]}{,b x a x b a ≤= 分别称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。
以上均成为有限区间，a 、b 分别称为左、右端点。
对无穷区间有：(]R x x x a x a b x x b =+∞∞-=+∞-∞=+∞≤=∞-}{),(},{),(},{, ，
在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I 表示。
8：邻域：设a 和δ为两个实数，且δ 0.集合}{δ a x x -称为点a 的δ邻域，记为
),(δa U ,a 为该邻域的中心，δ为该邻域的半径，事实上，
),(}{),(δδδδδ+-=+-=a a a x a x a U 。
同理：我们称}0{),(δδ a x x a U -=∧
为a 的去心δ邻域，或a 的空心δ邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。
2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。
【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。
注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。
2：常量一般用a,b,c ……等字母表示，变量用x,y,u,t ……等字母表示，常量a 为一定值，在数轴上可用定点表示，变量x 代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：),(b a x ∈表示x 可代表),(b a 中的任一个数。
二、函数的概念
【例】正方形的边长x 与面积S 之间的关系为：2x S =，显然当x 确定了，S 也就确定了。 这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互约束着。
定义：设x 和y 为两个变量，，D 为一个给定的数集，如果对每一个D x ∈，按照一定的
法则f 变量y 总有确定的数值与之对应，就称y 为x 的函数，记为)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。
当x 取数值D x ∈0时，依法则f 的对应值称为函数)(x f y =在0x x =时的函数值。所有函数值组成的集合}),({D x x f y y W ∈==称为函数)(x f y =的值域。 注 1：函数通常还可用)(),(),(t u s x F y x g y ===等表示。
2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。 【例1】 x y sin =的定义域为),(+∞-∞，值域为]1,1[-。 【例2】 x y +=1的定义域为),1[+∞-，值域为),0[+∞。
【例3】 ??????
?≤--=≤=0
11021
102 x x
x x x y 的定义域为]1,1[-，值域为]2,0[。
【例4】 1)(≡x f 的定义域为),(+∞-∞，x
x
x h =
)(的定义域为),0()0,(+∞?-∞，从而显然)()(x h x f ≠。
3、若对每一个D x ∈，只有唯一的一个y 与之对应，就称函数)(x f y =为单值函数；若有不止一个y 与之对应，就称为多值函数。如：1,12222=-=+y x y x 等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。
4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x 在]1,0(上取值，其函数值为2x ；当x 取0时，2
1
)(=
x f ；当x 在)0,1[-上取值时，其函数值为x -1。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！
5、对D 中任一固定的x ，依照法则有一个数y 与之对应，以x 为横坐标，y 为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当x 取遍D 中的每一数时，便得到一个点集
}),(),{(D x x f y y x C ∈==，我们称之为函数)(x f y =的图形。换言之，当x 在D 中变动
时，点),(y x 的轨迹就是)(x f y =的图形。 【例5】 书上的几个例子。（同学们自己看） 【例6】 例3的图形如下图
三、函数的几种特性
1、 函数的有界性：设)(x f y =在D 上有定义，若对0, M D x ?∈?，使得：M x f ≤)(，就称)(x f 在D 上有界，否则称为无界。
注：1、若对D x ∈?，M ?，使得))(()(M x f M x f ≥≤，就称)(x f 在D 上有上(下)界。)(x f 在D 上有界?)(x f 在D 上同时有上界和下界。
2、)(x f 在D 上无界也可这样说：对0 M ?，总D x ∈?0，使得M x f )(0。 【例7】 上段例1、
3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。
2、函数的单调性：设函数)(x f 在区间I 上有定义，若对I x x ∈?21、，当21x x 时总有：
（1）)()(21x f x f ≤，就称)(x f 在I 上单调递增，特别当严格不等式)()(21x f x f 成立时，就称)(x f 在I 上严格单调递增。
（2）)()(21x f x f ≥，就称)(x f 在I 上单调递减，特别当严格不等式)()(21x f x f 成立时，就称)(x f 在I 上严格单调递减。
注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！
2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。
3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。 【例8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。 【例9】 x
y 1
=
在),0(+∞上是严格单减函数。 【例10】 [例3]中的函数在定义域]1,1[-上不是单调的，但在)0,1[-上是严格单减的，在
]1,0(上是严格单增的。
3、函数的奇偶性：设函数)(x f 的定义域D 为对称于原点的数集，即若D x ∈，有D x ∈-， (1) 若对D x ∈?，有)()(x f x f =-恒成立，就称)(x f 为偶函数。 (2) 若对D x ∈?，有)()(x f x f -=-恒成立，就称)(x f 为奇函数。
【例11】 2x y =，x y cos =,x y =,是偶函数，3x y =，x y sin =，x y sgn =，是奇函数。 32x x y +=，x x y sin cos +=是非奇非偶函数。
【例11】﹡ )1l n (2x x y ++=是奇函数。
注：1、偶函数的图形是关于y 轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。
2、若)(x f 是奇函数，且D ∈0，则必有0)0(=f 。
3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。
4、周期性：设函数)(x f 的定义域为D ，如果0≠?l ，使得对D x ∈?，有D l x ∈±，且)()(x f l x f =+恒成立，就称)(x f 为周期函数，l 称为)(x f 的周期。
【例12】 tgx y x y x y ===,cos ,sin 分别为周期为πππ,2,2的周期函数，][x x y -=为周期为1的函数。
注1：若l 为)(x f 的周期，由定义知 l l l 4,3,2也都是)(x f 的周期，故周期函数有无穷
多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）
例如：1cos sin 22≡+=x x y ，设有最小正周期。
2：周期函数在一每个周期))1(,(l k a kl a +++（a 为任意数，k 为任意常数）上，有相
同的形状。
四、反函数
设)(x f 的定义域为D ，值域为W ，因此，对W y ∈?，必D x ∈?，使得y x f =)(，这样的x 可能不止一个，若将y 当作自变量，x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数)(y x ?=，称之为函数)(x f y =的反函数，而)(x f 叫做直接函数。 注1：反函数)(y x ?=的定义域为W ，值域为D ；
2：由上讨论知，即使)(x f y =为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；
3：在习惯上往往用x 表示自变量，y 表示因变量，因此将)(y x ?=中的x 与y 对换一下，)(x f y =的反函数就变成)(x y ?=，事实上函数)(x y ?=与)(y x ?=是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母""?没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若)(x f y =的反函数为)(y x ?=，那么)(x y ?=也是)(x f y =的反函数，且后者
较常用；
4：反函数)(x y ?=的图形与直接函数)(x f y =的图形是对称于x y =（证明很简单，大家自己看书）；
5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。
【例13】 函数3
2,,x y x y b ax y ==+=的反函数分别为：31
,,y x y x a
b
y x =±=-=或分
别为31
,,x y x y a
b
x y =±=-=。
§1、2 初等函数
一、幂函数
形如μx y =（μ为常数）的函数叫做幂函数。 其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论： （1） 当μ为非负整数时，定义域为),(+∞-∞； （2） 当μ为负整数时，定义域为),0()0,(+∞?-∞； （3） 当μ为其它有理数时，要视情况而定。 【例1】 3
1x y =的定义域为),(+∞-∞；
4
321,x y x y == 的定义域为[)+∞,0；
2
1-=x
y 的定义域为),0(+∞。
（4） 当μ为无理数时，规定其定义域为),0(+∞，其图形也很复杂，但不论μ取何值，
图形总过（1，1）点，当μ>0时，还过（0，0）点。
二、 指数函数与对数函数
1、 指数函数：形如)1,0(≠>=a a a y x 的函数称为指数函数，其定义域为),(+∞-∞，其图形总在x 轴上方，且过（0，1）点， （1） 当1>a 时，x a y =是单调增加的； （2） 当10< 以后我们经常遇到这样一个指数函数e e y x ,=的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特 别地，x a y =与x a y -=关于y 轴对称。 2、对数函数：指数函数x a y =的反函数，记为a x y a (log =为常数，)1,0≠>a a ,称为对数函数，其定义域为),0(+∞，由前面反函数的概念知：x a y =的图形和x y a log =的图形是关于x y =对称的，从此，不难得x y a log =的图形， x y a log =的图形总在y 轴右方，且过（1，0）点 （1） 当1>a 时，x y a log =单调递增，且在（0，1）为负，),1(+∞上为正； （2） 当< 三、 三角函数与反三角函数 1、 三角函数 三角函数主要是： 正弦函数：),(sin +∞-∞∈=x x y 余弦函数：),(cos +∞-∞∈=x x y 正切函数： ,2,1,02 tan ±±=+≠=n n x x y π π 余切函数： ,2,1,0cot ±±=≠=n n x x y π 正弦函数和余弦函数均为周期为π2的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为π的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割x x y cos 1sec = =和余割x x y sin 1csc ==，其图形在此不做讨论了。 2、 反三角函数： 反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为： 反正弦函数：]1,1[sin -∈=x x Arc y 反余弦函数：]1,1[cos -∈=x x Arc y 反正切函数：),(tan +∞-∞∈=x x Arc y 反余切函数：),(cot +∞-∞∈=x x Arc y 显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下： 将x Arc y sin =限制在]2 ,2[π π-上，得一单值函数，记为x y arcsin =，它就是所取主值函数，]2 ,2[π π-叫做主值区间，显然2 arcsin 2 π π ≤ ≤- x ， 同理：将x Arc y cos =限制在],0[π上，得x y arccos = 将x Arc y tan =限制在]2 ,2[π π-上，得x y arctan = 将x Arc y cot =限制在],0[π上，得x arc y cot = 从图中不难看出x arcsin 和x arctan 是单调递增的，x arccos 和x arc cot 是单调递减的。 四、 复合函数和初等函数 设)(u f y =，定义域为1D ，)(x u ?=，定义域为2D ，值域为2W ，且12D W ?，这样对于 2D x ∈?，由)(x u ?=可算出函数值12D W u ?∈，所以1D u ∈，由)(u f y =又可算出其函 数值y ，因此对于2D x ∈?，有确定的值y 与之对应，从而得一个以x 为自变量，y 为因变量的函数，我们称之为以)(u f y =为外函数，)(x u ?=为内函数复合成的复合函数，记为))((x f y ?=，其中u 为中间变量。 【例1】 x y 2sin =就是2u y =和x u sin =复合而成； 2c o s x y =就是u y cos =和2x u =复合而成。 注1：并非任何两函数都可以复合的， 例如：u y arcsin =和22x u +=不能复合； u y =和21x u --=也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如： 2)tan(ln x y =就是x v v u u y ln ,,tan 2===复合成的。 3：在函数复合中，未必都有)(u f y =、)(x u ?=的形式，一般为)(x f y =和)(x g y =，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有)(x f y =和)(x g y =之分。 2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。 【例2】 x x y x y x y y x y x sin 1sin 1arctan ,)tan(ln ,sin ,21,122-+===-=+=等都是初等函 数。 本教材讨论的主要都是初等函数。 五、 双曲函数和反双曲函数 双曲正弦：),(2+∞-∞∈-= =-x e e shx y x x 双曲余弦：),(2+∞-∞∈+= =-x e e chx y x x 双曲正切：),(+∞-∞∈+-== =--x e e e e chx shx thx y x x x x 反双曲正弦：),()1ln(2+∞-∞∈++==x x x arshx y 反双曲余弦：),1[) 1ln(2+∞∈-+==x x x archx y （多值函数)1ln(2-+±=x x y 取“+”号为主值） 反双曲正切：)1,1(11ln 21-∈-+==x x x arthx y 由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。 §1、3 数列的极限 所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这样的话来定义： 定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1), (==n n f x n ，由于全体自然 数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列： n x x x ,,21，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为{}n x 或数列n x 。数列中的每一数称为数列的项，第n 项n x 称为一般项或通项。 【例1】 书上用圆内接正126-?n 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列 ,,,21n A A A （多边形的面积数列） 【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数 列： ,21,21,21, 2132n ，通项为n 2 1 。 【例3】;,)1(,,1,1;1 ,31,21,11 ---n n ;,1 , ,34,23,2;,2,,6,4,2 n n n + 都是数列，其通项分别为n n n n n 1 ,2,)1(,11+--。 注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将n x 依次在数轴上描出点的位置， 我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，? ? ? ???????? ?n n 1,21是无限接近于0的；{}n 2是无限增大的；{} 1)1(--n 的项是在1与1-两点跳动的，不接近于某一常数；? ?? ???+n n 1无限接近常数1。 对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定 的状态，这就是常说的数列的极限问题。 我们来观察? ? ? ?? ?+n n 1的情况。从图中不难发现n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时， n n 1+与1可以任意地接近，即11 -+n n 可以任意地小，换言之，当n 充分大时 11 -+n n 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。例如，取1001=ε，由1001001111>?<=-+n n n n ，即??? ???+n n 1从第101项开始，以后的项 ,102103,101102102101== x x 都满足不等式100 1 1<-n x ，或者说，当100>n 时，有100111<-+n n 。同理，若取100001=ε，由10000100001111>?<=-+n n n n ，即? ? ? ???+n n 1从第10001项开始，以后的项 ,10002 10003 ,10001100021000210001== x x 都满足不等式1000011< -n x ，或说，当10000>n 时，有10000 1 11<-+n n 。一般地，不论给定的正数ε 多么小，总存在一个正整数N ，当N n >时，有 ε<-+11 n n 。这就充分体现了当n 越来越大时，n n 1+无限接近1这一事实。这个数“1”称为当∞→n 时，? ?????+n n 1的极限。 定义：若对0>?ε（不论ε多么小），总?自然数0>N ，使得当N n >时都有ε<-a x n 成 立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。 【例4】证明数列 ,1 ,,34 ,23,2n n +收敛于1。 证明：对0>?ε，要使得 ε<=-+n n n 111，只须ε1>n ，所以取?? ? ???=ε1N ，当N n >时， 有 ε<=-+n n n 1 11，所以11lim =+∞→n n n 。 注1：ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管ε具有 任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，ε具有任意性，那么2,2,2 εεε 等也 具有任意性，它们也可代替ε） 2：N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。在解题中，N 等于多 少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。 【例5】证明1lim 2 2=+∞→n a n n 。 证明：对0>?ε，因为ε<=-+n n n 1 11,因为 n a n a n n a n a n 222222)(1<++=-+ （此处不妨设0≠a ，若0=a ，显然有1lim 2 2=+∞→n a n n ） 所以要使得ε<-+12 2n a n ，只须ε 即有ε2a n >. 所以取][2 εa N = ，当N n >时，因为有 ε a 2 ? ε<-+12 2n a n ，所以1lim 22=+∞→n a n n 。 注3：有时找N 比较困难，这时我们可把a x n -适当地变形、放大（千万不可缩小！）， 若放大后小于ε，那么必有ε<-a x n 。 【例3】 设1 →n n q 。 证明：若0=q ，结论是显然的，现设10< 要使得ε<--01n q ，即ε<-1 n q ，只须两边放对数后，εln ln )1(<-q n 成立就行 了。因为10< n q n ln ln 1ln ln 1ε ε+>?> - 。 取??? ?????+=q N ln ln 1ε，所以当N n >时，有ε<--01 n q 成立。 收敛数列的有关性质： 定理1：（唯一性）数列n x 不能收敛于两个不同的极限。 证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。 由极限的定义，对0>?ε，必分别?自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n …(1) 当2N n >时，有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时 成立。现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =?，所以n x 的极限只能有一个。 注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。 【例4】证明数列1)1(+-=n n x 是发散的。 证明：（反证法）假设n x 收敛，由唯一性，设a x n n =∞ →lim ，按定义，对?=,2 1 ε自然数N ， 当N n > 时，21= <-εa x n ，考虑12 1 2111=+<-+-≤-++a x a x x x n n n n ，而n x ，1+n x 总是一个“1” ，一个“1-”，所以11=-+n n x x ,所以矛盾， 所以 1)1(+-=n n x 发散。 定理2. （有界性）若数列n x 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 n x ，若?正数M ， 对一切n ，有M x n ≤。 证明：设a x n n =∞ →l i m ，由定义对?=,1ε自然数,N 当N n >时，1=<-εa x n ，所以当N n >时，a a a x x n n +<+-≤1，令}1,,{21a x x x Max M N += ，显然对一切n ， M x n ≤。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列1)1(+-=n n x 是有界的（1≤n x ）， 但函数收敛。此点希望注意！ §1、4 函数的极限 由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，)(n f x n =，因此，数列是函数的一种特性情况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面： 一、 自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应 的函数值)(x f 的变化情况。 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况。 一、 自变量趋向有限值0x 时函数的极限 与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值0x 时的函数极限可理解为：当0x x →时，A x f →)(（A 为某常数） ，即当0x x →时，)(x f 与A 无限地接近，或说A x f -)(可任意 小，亦即对于预先任意给定的正整数ε（不论多么小），当x 与0x 充分接近时，可使得 A x f -)(小于ε。用数学的语言说，即 定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当 0x x →时的极限，记为 A x f n =∞ →)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧ ∈x U x 。 显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε。一般地，ε越小，δ相应地也小一些。 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是 否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）。 3：几何解释：对0>?ε，作两条平行直线εε-=+=A y A y ,。由定义，对此0,>?δε。 当δδ+<<-00x x x ，且0x x ≠时，有εε+<<-A x f A )(。即函数)(x f y =的图形夹在直线εε-=+=A y A y ,之间（)(0x f 可能除外）。换言之：当),(0δ∧ ∈x U x 时，),()(εA U x f ∈。从图中也可见δ不唯一！ 【例1】 证明C C x x =→0 lim （C 为一常数） 证明：对0>?ε，可取任一正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-=-0)(C C A x f ， 所以C C x x =→0 lim 。 【例2】 证明)0()(lim 00 ≠+=+→a b ax b ax x x 证明：对0>?ε，要使得ε<-=-=+-+000)()()(x x a x x a b ax b ax ，只须 a x x ε < -0， 所以取0>= a ε δ显然当δ<-0x x 时，有ε<+-+)()(0b ax b ax 。 【例3】 证明3 2 121lim 2 21=---→x x x x 。 证明：对0>?ε，因为,1≠a 所以) 12(313212132121.0122+-=-++=----?≠-x x x x x x x x [此处1→x ，即考虑10=x 附近的情况，故不妨限制x 为110<- 1≠x ]。因为3 1)12(31,112-< +-?>+x x x x ，要使ε<----3212122x x x ,只须 ε<-3 1 x ，即ε31<-x 。取}3,1min{ εδ=（从图形中解释），当δ<-<10x 时，有ε<----3 2 1212 2x x x 。 定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0 ， （i ） 若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧ ∈x U x 时，0)(>x f )0)(( 若)0)((0)(≤≥x f x f ，必有)0(0≤≥A A 。 证明：（i ）先证0>A 的情形。取2 A =ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧∈x U x 时， 2)(A A x f =<-ε，即0)(2 32)(220>?=+<<-= A A x f A A A 。?ε，（因为ε越小越好，不妨设1<ε），