因式分解及应用专题训练
一．选择题
1．已知a为任意整数，且（a+13）2﹣a2的值总可以被n（n为自然数，且n≠1）整除，则n的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数
2．若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）
A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x
3．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x4+x3+x﹣5的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6
二．填空题
4．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．
5．已知a2+b2+2c2+2ac﹣2bc=0，则a+b等于．
6．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．
三．解答题
7．因式分解
（1）4a2﹣25b2（2）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
（3）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）（4）（x2+4）2﹣16x2．
8．如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积．
9．利用因式分解说明3200﹣4×3199+10×3198能被7整除．
10．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x=﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2=0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x=时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；
（2）知识运用：若y=﹣x2+2x﹣3，当x=时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．
11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
12．先阅读材料，再回答问题：
材料：分解因式：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2，再将“A”还原，原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想，你能用整体思想回答下列问题吗？
问题：
（1）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）+4．
（2）求证：若n为正整数，则代数式n（n+1）（n+2）（n+3）+1的值一定是某一个整数的平方．
*13．先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题．
例：若多项式2x3﹣x2+m分解因式的结果中有因式2x+1，求实数m的值．
解：设2x3﹣x2+m=（2x+1）?A （A为整数）
若2x3﹣x2+m=（2x+1）?A=0，则2x+1=0或A=0
由2x+1=0得x=﹣
则x=﹣是方程2x3﹣x2+m=0的解
所以2×（﹣）3﹣（﹣）2+m=0，即﹣﹣+m=0，所以m=
问题：
（1）若多项式x2+px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数P=；
（2）若多项式x3+5x2+7x+q分解因式的结果中有因式x+1，求实数q的值；
（3）若多项式x4+mx3+nx﹣16分解因式的结果中有因式（x﹣1）和（x﹣2），求实数m、n的值．
*14．已知21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…
（1）你能根据此推测出264的个位数字是多少？
（2）根据上面的结论，结合计算，试说明（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的个位数字是多少？
因式分解专题训练 一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）； 2.多项式（次数，项数） 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质：1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1.m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2.（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 3.（a+b ）（a-b ）＝22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法） 五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方） 六、实际运用 1.下列变形中，正确的是（） A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x
C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则n m 的值是（） A.2 B.0 C.－1 D.1 3.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（）A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（） A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（） A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30 6.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（） A.a （x-y ）=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解：()()21622---x x x ＝. 8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝. 9.分解因式：()9332--+x x x ＝. 10.分解因式：22my mx -＝. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式：. 12.计算：()20172016201642125.0??-＝. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ，则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝.
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册 综合练习因式分解及其应用 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7) C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-25 2.下面分解因式正确的是( ) A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 3.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( ) A.-y2+1 B.x2+(-y)2 C.m2-n2 D.-x2+(-y)2 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2 C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+1 6.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( ) A.-9，6，-1 B.9，-6，1 C.9，6，1 D.9，6，-1 7.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900
C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198 8.(-1 2)2 015+(- 1 2)2 016的结果是( ) A.-1 2 B. 1 2 C.( 1 2)2 015 D.-(1 2)2 016 9.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________. 10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________. 11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________. 12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________． 13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________. 14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________. 15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________. 16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.
因式分解 【例 1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母，可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式：22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1：将25x x 看作一个整体，设25x x t ，则 方法2：将252x x 看作一个整体，设252x x t ，则 方法3：将253x x 看作一个整体， 【巩固】分解因式： (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【巩固】若x ，y 是整数，求证：4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ，则244x x A B . 【巩固】分解因式：2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式：2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y
【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证：多项式的值一定是非负数 3.分解因式：()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证：a c b 25.已知：
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
因式分解及其应用1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A．9x2 y3 z = 3x2 z ?y3 B．x2 +x -5 =x(x +1) -5 C．a2b +ab2 =ab(a +b) D．x2 +1=x( x+1 x ) 2. 下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3 的一个因式． A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x-y 3. 因式分解： （1）3a2b + 6ab2 -3ab ；（2）y(x -y) -(y -x) ；（3）16 -8(x -y) + (x -y)2 ；（4）(a2 +1)2 - 4a2 ； （5）3m(2x -y)2 -3mn2 ；（6）(x -1)(x -5) +4；（7）(x -1)(x + 4) -3x ；（8）4(m +n)2 -12m(m +n) +9m2 ；（9）1012 -992 ；（10）2 0182 - 2 018? 4 032 + 2 0162 ．4. 要使4a2 +ab +mb2 成为一个完全平方式，则m=． 5. 要使4a2 -ma +1 4 成为一个完全平方式，则m=． 6. 若x2 - 2x +y2 +6y+10 =0，则x=，y=．
7. 观察下列各式： 12 + 32 + 42 = 2 ?(12 + 32 + 3) 22 + 32 + 52 = 2 ?(22 + 32 + 6) 32 + 62 + 92 = 2 ?(32 + 62 +18) …… （1）小明用a，b，c 表示等式左边的由小到大的三个数，你能发现c 与a， b 之间的关系吗？ （2）你能发现等式右边括号内的三个数与a，b 之间的关系吗？请用字 母a，b 写出你发现的等式，并加以证明． 8. 观察下面的几个算式： ①14×16=100×1×2+24=224； ②24×26=100×2×3+24=624； ③34×36=100×3×4+24=1 224； …… （1）仿照上面的书写格式，请你迅速写出84×86 和124×126 的结果； （2）请利用多项式的乘法表示你所发现的规律，并进行验证．
2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学 专题训练 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm
4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22 ()()4a b a b +--=，那么 一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=， 则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100- ?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22 (32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 1 11111(1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100 -?+?-?+??-?… 132499101=2233 1001001101=2100 101=200???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++-
因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=- _______。12、若442-+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x
初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之
间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于
初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5） ）。 其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分 ．．．． 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方 差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
八年级数学上册分解因式专项练习题 一、选择题：（每小题 2 分，共 20 分） 1．下列各多项式中 , 不能用平方差公式分解的是 ( ) － 1 B ．4－0．25a 2 C ．－ a 2－b 2 D ．－ x 2+1 2．如果多项式 x 2－mx+9是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ( ) A ．－ 3 B ．－ 6 C ．±3 D ．±6 3．下列变形是分解因式的是 ( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－ 4ab+4b 2=(a －2b) 2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2 －9－6x=(x+3)(x －3) －6x 4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） （ A ） 12xyz 9x 2 y 2 3xyz(4 3xyz) （ B ） 3a 2 y 3ay 6 y 3y( a 2 a 2) （C ） x 2 ( 2 ) D 2 2 xy xz x x y z b b(a 5a) （ ）a b 5ab 5．满足 m 2 n 2 2m 6n 10 0 的是（ ） （ A ）m 1,n 3 （B ）m 1, n 3（C ）m 1, n 3 （D ）m 1, n 3 6．把多项式 m 2 (a 2) m(2 a) 分解因式等于（ ） A 、 ( a 2)(m 2 m) B 、 (a 2)( m 2 m) C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 7．下列多项式中，含有因式 ( y 1) 的多项式是（ ） A 、 y 2 2xy 3x 2 、 ( y 1) 2 ( y 1)2 B ( 1) 2 ( 2 1) D 2 C 、 y y 2( y 1) 1 、 ( y 1) 8．已知多项式 2x 2 bx c 分解因式为 2( x 3)( x 1) ，则 b, c 的值为（ ） A 、 b 3,c 1 B 、 b 6, c 2 C 、 b 9． a 、b 、c 是△ ABC 的三边，且 a 2 b 2 状是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 D 、等边三角形 6, c4 D 、 b 4,c 6 c 2 ab ac bc ，那么△ ABC 的形 C 、等腰直角三角形 10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（ a>b ）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图） 。通过计算阴影部分的面积， 验证了一个等式，则这个等式是（ ） A 、 a 2 b 2 (a b)(a b)
因式分解的应用 一、知识体系 1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。其应用主要体现在以下几个方面： ①．整体代换，代数式变形求值问题； ②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分； ③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析； ④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明． 2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题： ①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--； ②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++； ③2222 2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++； ④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---. 二、例题讲解 例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ； （2）32 322017220172015201720172018-?-+- 1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -?+=?--，3223 20172016(20172018)2016(20152014)2015b -?+=?--，则a ，b 的大小关系为（ ） A. a b > B. a b = C. a b < D. 无法确定 1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结 果是( ) A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l
初二因式分解竞赛例题精选及练习题 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法 例5、分解因式：652++x x 例6、分解因式：672+-x x 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例7、分解因式：101132+-x x 练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
因式分解专项练习题 （一）提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y －xy 2、6a 2b 3－9ab 2 3、 x （a －b ）＋y （b －a ） 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab ＋b 2－ac －bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm 21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ） 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 （2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中， 32x =） 四、在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业： 1.分解因式：(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式： (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm （5）-+-41222332m n m n mn
《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练含答案 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式，则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±，解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=，221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm 4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22()()4a b a b +--=，那么
一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果2 23x x +=，那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=，2 40ab c ++=，则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 222221 1111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22(32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 11111 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100-?+?-?+??-?… 132499101 =2233100100 1101 =2100101 =200 ???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++- 令2252y x x =++
一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x
因式分解拔高题专项 练习
因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五 个的方法” 在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1 例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。 （四）括号里面分到“底”。 例4因式分解x4－3x2－4 解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。