线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
第一节 矩阵及其运算
一．选择题
1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2
1
,0,0,21(
=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T
+ （B ）E （C ）E - （D ）0
3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T
A A + （
B ）T
A A - （C ）T
AA （D ）A A T
二、填空题： 1．?
??
? ??---=???? ??--+????
??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32???
??
??--56125252781314
3．=????? ??????? ??-127075321134????
?
??49635
4．=?????
?
? ??---???? ??-20413121013
143110412???? ?
?---6520876
三、计算题：
设????
? ?
?--=11
1111
111
A ，4
???
?
? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T
;229
42017222132222222222092650850311111111
1215042
132111111111
1323????
? ?
?----=????
?
?
?---????? ??-=??
??? ??---?????
?
?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111
1????
? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T
T ，则对称，由
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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第二节 逆 矩 阵
一．选择题
1．设*
A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [
B ] （A ）1
-*
=A A A （B ）1
-*
=n A
A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=*
*A
2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |
3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）
A A λλ= （
B ）A A λλ= （
C ）A A n λλ= （
D ）A A n λλ=
4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
（A ）E C A B A T
T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2
二、填空题：
1．已知A B AB =-，其中????
??-=1221B ，则?????
? ??-=12
1
211A 2．设???
?
??=???? ??12643152X ，则X = ????
??-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6
421
n
B
A -=-*
4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(2
1
)(1
E A E A +=-- 三、计算与证明题：
1． 设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和1
2-+)(E A
;
2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=?=-?
=-?
=---可逆，且 .4
3)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0
212E
A E A E A E
E A E A E
E A E A E E A E A A E A E A A E A A --
=++?=+--?-=+-?=++-+?=--+?=---可逆，且
2． 设???
?
? ??---=14524
3121A ，求A 的逆矩阵1-A 解：设3)(ij a A =，则
,
24
321)
1(,12
31
1
)
1(,02
41
2
)
1(,14452
1)1(,615
11)1(,21412)1(,
324
54
3)1(,131523)1(,414243
3332
3323
1313
2232
22221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=
++++++++A A A A A A A A A
从而????
? ??-----=214321613024*
A .
又由
26
141
26
14512
3
00121
4
524
3
1211
312=--=
--+----=c c c c A
则?
???
? ??-----==-1716213213012*
1
A A A
3． 设???
?
?
??-=32
1011
330A 且满足B A AB 2+=，求 B ????
?
??-=????? ??---?=-?+=321011330121011332)2(2B A
B E A B A AB
??
??
? ??-+??
???
??---????? ??--?????
?
??-----?????
??-++?????
?
?----?????? ??----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21
(022
20035231
00110
1133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r
则????
?
??-=-=-011321330)2(1
A E A B
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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第三节（一） 矩阵的初等变换
一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：
()()()??
?
??
?
?
??------÷-÷-÷??????? ??-----------???????
?
?---------221002210
022100343115341010500663008840034311323124330232214
533343
11432141312r r r r r r r r r
??
?
?
?
?
?
?
?----???????
?
?-----000000000
02210
03201
130********
02210034311212423r r r r r r
二、把下列矩阵化为标准形：
??
?
??
?
?
??--------???????
??------????????
??------7675012988
01111
04202
132347310382
37313
24202
13473103823420217313214131221r r r r r r r r ??
??
?
??
??---????????
??-----410002120
01111
04202
1212004100
0111104202
158432423r r r r r r ??
?
?
?
?
?
??----???????
??---+--410002020
02001
04002
12141000202003011040
021232
414243r r r r r r r r
??
??
?
?
?
??-+-???????
??--???????
?
?---+010*******
00010
00001
4241000
10100
20010
00
00121
41000202002001000
001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵
???????
??-----=12102
32112201023A ??
??
?
?
?
??-----????????
?
?-----100012100001
10230010122
00100
232110001210010023210010122
00001102331r r ??
?????
?
?----????????
??-----0010122003015
94010
0121001002
321100012100301594000
1
0122
00100232134213r r r r
??
??
???
?
?-------+???????
??----------10612100043011
10010
001210010023212201012004301110
010
001
210010
0232124342423r r r r r r ??
?
??
?
?
??----------+???????
??------------+1061210006311010
010********
11
02
123106121000631101
0011612021
020112
4
32123231434241r r r r r r r r r r ??
?
?
?
?
?
?
?-------+106121000631101001010001042
1
1
001
221r r
?????
?
? ??-------=∴-106126
3111010
42111A 四、已知111101022110110014X -????????=????
????-????
，求X
3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211
022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---?????? ? ? ?
-+ ? ? ?
? ? ?---??????
??? ?-- ??-- ?+ ? ???u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u u r 21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ?
? ?
?
? ? ? ?
??
????
? ? ? ? ? ??----- ? ? ? ? ? ? ? ?
????
u u u u u r u u u u u r 故1
5326
1
1126
2
013X ??
?????
?=--????????
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩
一．选择题
1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n 2．设n m ?矩阵A 的秩为s ，则 [ C ] （A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零 （C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成???
?
??000s
E
3．欲使矩阵???
?
? ??12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]
（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，则 [ B ] （A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB
5．设?????
??=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ，?????
??+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B ，????
?
??=1000010101P ，
???
?
?
??=1010100012P ，则必有=B [ C ]
（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：
1．设???
?
? ??---=44311211201
3A ，则=)(A R 2
2．已知????
??
? ??-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3
三、计算题：
1． 设???
?
??
?
??---=0230108523570
3273
812A ，求)(A R 。
????
??? ??---------???????
??---????????
??---7121002420536300230
123273812085
23570
32023
010230108523570327381214131241r r r r r r r r ??????
? ?
?--???????
?
?-++???????
??------?00
001400007121002
30178160
001400007121002301
3253630024207121
00230124242342r r r r r r r r 故R(A)=3
2．设A ???
?
? ??----=32321321k k k ，问k 为何值，可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R
????
?
??-+-----????? ??------+????? ??----)1)(2(300332203213322033220321323213212321312k k k k k r r k k k k k kr r r r k k k
(1) R(A)=1当且仅当
10)1)(2(3022=??
?
?
=-+-=-k k k k (2)由(1)可知R(A)=2当且仅当k=-2 (3)R(A)=3当且仅当21-≠≠k k 且
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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第四节 矩阵的分块
1110000若，则P P A A Q Q ---????== ? ????? 11
1
0000若，则P Q A A Q
P
---????== ?
?????
一．选择题
设A ，B 为n 阶矩阵*A ，*B 分别为A ，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵???
?
?
?=B A C 0
0，则C 的伴随矩阵=*
C [
D ]
（A ）????
??**
B B A A 00 （B ）????
??**A A B B 00 （C ）????
?
?**
A B B A 00 （D ）???
? ?
?**B A A B 00 二、填空题：
1．??????
?
??=540032000043
0021
A ，则=-1
A 2100310022
530
0220
2
1-?? ? ?
- ? ? ?- ? ?-?
?
A = 4 2．设???
????
?
?=003000132000
1200
A ，则=2A 6
500060000650006??
?
?
?
?
??
三、计算题：
1．设Λ=-AP P 1
，其中???? ??-=1141P ，???
? ??-=Λ2001，求11
A
11
111111111
111111313131111
111
455(),;115
5141
01415110211141221
241151151221
24P AP P A P P A
P P ----??- ?
?Λ=== ? ?
??---??????=Λ=- ? ? ?
--??????
-????
-+??=-= ? ?
?---+-??????
2. 设???
??
?
?
?
??=000430001230000
02000
00100A ，求1-A
11
1
111100041011,,00,02532010034100055320005510
00010
00021000
03
P Q A A P
Q Q P
A ------?
? ?
?
-??????
?==== ?
? ? ?-??????
? ??
?
?
?- ?
? ?- ?
?= ? ? ? ?
? ??
?
3．设??????
?
?
?-=22000200003
40043A ，求8
A 及 4A 8
8
8816
444
44
4
0||||,,||||||254100,||||10;0
62501600,,;
0625641606250
00062500.001600
06416P
A A A A P Q A A Q P A P Q Q A ??====-?=-==
???
??????=== ? ? ???????
??
?
?= ?
???
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
综 合 练 习
一．选择题
1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ] （A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵 （C ）2222)(B AB A B A ++=+ （D ）2
2))((B A B A B A -=-+
2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ] （A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A *
≠ 0 （D ）| A *
| ＞0 3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1
)
(CB [ A ]
（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 二．填空题：
1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵???? ?
?=42
21*M ，则???
?
??--=1224M 2．若A ??
?
?
?
?
?
??=12110622321
1043
a 可逆，则a 为 不等于-6
三．计算题与证明题：
1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设β
αT A =
，求n
A
ββααβαββαα1)(-==n T T T T T n A Λ
3321)3/1,2/1,1(=?
????
??=T
βα，????
?
??=????? ??=12/333/212
3/12/11)3/1,2/1,1(321βαT
???
?
?
??===---12/333/2123/12/1133)(111n T n n T T n A βαββαα
2．设?
??
?
?
??-=101010112A ,???
?
? ??=02
010
301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X 031
01010
013
101010
1
1231≠=---r r
()A A
A E A AA 1
1
**=
?=-故由，因此 B X E A B X A
AX BA XA AXA -=+?=++
?=++-)2(06
06*1* ???
?
? ??----=-????? ??-=+0201003013010301142B E A ，
?
????
??-----????? ??----??????? ??-----3811310100030020
3014301114100030020301)1(02030110003030111413131r r r r r ?
?????
??
?
?-----????
?
??----÷3108113003100010020301381131031000100203013232r r r
?
??????? ?
?----+?????
?
??
??----÷391013813110031
00010131013213300133910138131100310001002030113313r r r
故?
????
??? ??----=391013813
131
001310132133
X
3．设n 阶矩阵A 满足062
=--E A A ，试证：
（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆
6
)(,6)(616)(06112A
E A E A A E E A A E E A A E A A =--=?=-?
=-?=---- 0)2)(3()2(3)2(63)2(62=+-=+-+=--+=--E A E A E A E A A E A E A A E A A
，故0|2|0|3|0|2||3|=+=-?=+-?E A or E A E A E A A + 2E 和A －3E 不同时可逆。
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
§4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,
就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) {
int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } }
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。 题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只 需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。 解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。 解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有 当k=n时，也成立。 所以 巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。 题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
第五章相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1．内积的定义： 内积的符号：括号或方括号
: : 证（3）
二、向量空间的单位正交基 1．正交向量组定义 2．定理1 正交向量组线性无关 P113 解设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足 （a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0 即x1 ＋x2 ＋x3 = 0, x1－2x2 ＋x3=0
这是一个齐次线性方程组AX= 0, 即??? ? ??=???? ? ?????? ??-00121111321x x x ， 由??? ? ?????? ??-???? ??-=010101~030111~121111A ， 得???=-=0231x x x ，方程组的通解为??? ??==-=c x x c x 3210，即????? ??-=????? ??101321c x x x 取c = 1, 则a3=??? ? ? ??-101即为所求。 3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。 规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化 施密特方法：将基改造为正交基（P114）
例2 用施密特方法把基正交化（P114） 例3 已知 T a )1,1,1(1=，求一组非零向量32,a a ，使32,1,a a a 两两正交。 解 32,a a 应满足01 =x a T ，即 0321=++x x x 解这个齐次线性方程组得213 x x x --=，通解为 ?????--===2 13221 1c c x c x c x ，即? ?? ?? ??-+????? ??-=????? ??11010121321c c x x x ，基础解系为 ??? ? ? ??-=????? ??-=110,10121ξξ，把基础解系正交化 111212312) ,(),(,ξξξξξξξ-==a a ，于是得 ?? ???? ? ? ??--=??? ?? ??--????? ??-=????? ??-=2112110121110,101232a a 三、正交矩阵 1．定义4 因为 1A A E -= 所以 A 是正交矩阵←→1 T A A -= （充分必要） 2．正交矩阵的构造
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.; .; .; .1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关 条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=10 01,10 01 B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特 征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。
一[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ２８;一[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ０４一[基金项目]国家自然科学基金青年项目(１１６０１４７０);云南省高等学校卓越青年教师特殊培养计划项目(C ６１５２７０４) ;云南大学校级教改项目(WX １６２０７２);云南大学校级本科教材建设项目(WX １６２０７２ )一[作者简介]李源(１９７８－),男,硕士,副教授,从事计算数学和大学数学课程的教学和研究．E m a i l :l i y u a n ＠y n u ．e d u ．c n 第３５卷第２期大一学一数一学V o l ．３５,?．２２０１９年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p r ．２０１９判定线性代数中矩阵相似关系的 原理和方法 李一源１,一郝小枝２(１．云南大学数学与统计学院,昆明６５０５００;一２．云南中医药大学信息学院,昆明６５００２１ )一一[摘一要]指出教育部考试中心２０１９版考研数学考试分析中关于矩阵相似试题解答中的一个错误． 系统梳理了高等代数和线性代数课程中关于相似矩阵刻画的角度和方法,明确了在线性代数课程体系中３类可以作出相似判定的矩阵类别及其对应的判别方法,给出不能一般判定相似关系的第４类矩阵的基本特征,并结合实例给出在特殊情形下解决第４类矩阵相似关系判定的方法．[关键词]线性代数;相似矩阵;相似对角化;特征多项式[中图分类号]O １７７．５一一[文献标识码]C 一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ０１２２Ｇ０５ １一引一一言 矩阵相似的判定是近年考研数学命题的热点问题,也是线性代数教学中的难点之一．由于所需方法 具有较高的综合性,学生在判定矩阵相似时的各种错误逻辑频现,甚至在教育部考试中心２０１９年版的数学考试分析中对２０１８年全国硕士研究生招生考试数学科考试( 数学一二二二三)中的一道试题的解答均出现疏误!为明确起见,将其摘录如下: 下列矩阵中,与矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷相似的为[１](一一)(A )１１－１０１１００１?è?????÷÷÷．一(B )１０－１０１１００１?è?????÷÷÷．(C )１１－１０１０００１?è?????÷÷÷．一(D )１０－１０１０００１?è????? ÷÷÷．解一易知矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷的特征值为λ＝１(３重),其线性无关的特征向量只有１个,即ξ１＝１００?è????? ÷÷÷．对于选项中的４个矩阵,都是以λ＝１为３重特征值的矩阵．选项(A )中的矩阵１１－１０１１００１?è?????÷÷÷只有１个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è????? ÷÷÷;
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
第四章 相似矩阵 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1) ????? ??=931421111),,(321a a a ； (2) ???? ?? ? ??---=011101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令? ???? ??==11111a b ，[][]???? ? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]???? ? ??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，故得: ? ????? ?? ?? --=311132 013111),,(321b b b ． 2．下列矩阵是不是正交阵: (1) ????? ?? ? ?? --- 12 13 12 1121312 11; (2) ??????? ? ??------ 97949 4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A T =-1，B B T =-1 E AB A B AB A B AB AB T T T ===--11)()(，故AB 也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ??-4211; (2)????? ??633312321; (3)())0(,121 21≠? ??? ??? ??a a a a a a a n n . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(42 11--=---= -λλλ λλE A 故A 的特征值为3,221==λλ． ② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系???? ??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系???? ??-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量． ③ 023 121)1,1(],[2121≠=???? ??--==P P P P T 故21,P P 不正交． (2) ① )9)(1(6333123 2 1-+-=---=-λλλλ λλλE A 故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由
第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n a a a b a a a b a a a b ξ+ξ++ξ=?? ξ+ξ++ξ=?? ??ξ+ξ++ξ=? → Ax b = ij T 12n T 12n A (a )x [,,]b [b ,b b ]=?? ?=ξξξ ? ?=?? 设() 0ij n n A A a ?==,设 A 的k 阶顺序主子式为k ?， 若(0)1 11 a 0?=≠，可以令(0) i1i1011 a c a = 并构造Frobenius 矩阵 21 1n1n n 1 0c 1 L c 0 1???????=???? ?? → 2111n1 10c 1 L c 01-????-??=???? -?? 计算可得
(0) (0)(0) 11121n (1)(1)(1)1(0) 222n 1(1)(1)n2 nn a a a a a A L A 0a a -???? ??==????? ? → (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故01 21122a a ?=， 若20?≠， 则1 22 a 0≠，又可定义 (1) i2i2(1)22 a c (i 3,4,n)a = = ，并构造Frobenius 矩阵 232n2 1 1L c c 1????? ?=??? ??????? → 1 232n2 11L c c 1-?? ??? ?=-??? ?????-?? (0) (0) (0) (0) 1112131n (1)(1)(1)22 232n (2)1(1) (2)(2)2333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A L A a a a a -???? ?? ??==??????? ? → (1)( 2 2 A L A = 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、
6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。
矩阵直接三角分解法 算法 将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。具体算法： ○ 1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j 对i=2,3,…,n 计算 L i1=a i1/a 11 ○ 2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算 U kj=a kj- LkqUqj k?1q =1 b.对i=k+1，k+2，…，n 计算 l ik =(a ik-) LiqUqk k?1q =1/u kk ○ 3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k - LkqUq k?1q =1 ○ 4X n =y n /U nn ,对k=n-1，n-2，…2,1计算 X k =(y k - UkqXq n q =k +1/U kk 注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵 [A|b]= a11 a12…a1n a1,n +1a 21 a 22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1 施行算法○ 2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。 程序与实例 求方程组Ax=b A= 1 2 ?12 85 4 7 ?2?3 7 9 56 ?12 ?8 3 ，b= 2741149 程序 #include
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
矩阵 第章 第一章矩阵
矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地，,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律，即： . Y X AY AX ==一般推不出
逆矩阵 定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆 的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作
()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =
一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵 对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =
正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵 其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A