北师版七年级数学单元讲解和提高练习
知识全面设计合理含答案教师必备
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2
A
?-∠
．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三
线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的判断与应用
1、（2015?泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．
【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．
举一反三：
【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.
【答案】B ；
提示：从水中看物体——上下颠倒
2、如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B?是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A?球经过的路线，并写出作法．
【答案与解析】
解：作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，则点P 即为A?球撞击桌面边缘
CF 的位置，A?球经过的路线如下图.
【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP ，通过找A 点的对称点，从而确定点P 的位置. 举一反三：
【变式】已知∠MON 内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM, ON
与点A 、B ，已知12P P ＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24
【答案】A ；
提示：根据轴对称的性质，PA=P1A ，PB=P2B ，△PAB 的周长等于12P P .
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，且BD=3cm ，△ABC 的周长为20cm ，求AC 的长．
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．
【答案与解析】
解：∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
又∵BD=3cm，
∴BC=6cm，
又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，
∴2AC=14，
AC=7cm．
【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
举一反三
【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）
Ａ．ED=CDＢ．∠DAC=∠BＣ．∠C＞2∠BＤ．∠B+∠ADE=90°
【答案】Ｄ；
类型三、角平分线性质
4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：
AB=AC．
【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则
OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC 得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC．
【答案与解析】
证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠OBE=∠OCF，
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACD，
∴AB=AC．
【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．
举一反三
【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）
A. BC的中线上
B. BC边的垂直平分线上
C.BC边的高线上
D.∠A的平分线所在的直线上
【答案】D；
类型四、等腰三角形的性质与判定
5、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组
23
328
x y
x y
-=
?
?
+=
?
，则此等腰三角形的
周长为（）
A.5
B.4
C.3
D.5或4
【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.
【答案】A；
【解析】
解：解方程组
23
328
x y
x y
-=
?
?
+=
?
得
2
1
x
y
=
?
?
=
?
，
当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，
当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5
【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
举一反三：
【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）
A.55°，55°
B.70°，40°
C.55°，55°或70°，40°
D.以上都不对【答案】C；
提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．
6、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE
相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
【思路点拨】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．
【答案与解析】
解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE，
∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．
【答案】
解：△AEC是等腰三角形．
理由如下：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE．
即△AEC是等腰三角形．
【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．
【答案】ED＝2AM
解：连接DE，
∵∠BAC＝90°，M是BC的中点
∴AM＝BM＝MC＝1
2 BC
∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD
∴△ABC≌△AED
∴ED＝BC
∴ED＝2AM
类型五、等边三角形的性质与判定
【高清课堂：389303 等边三角形：例4】
7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.
【答案与解析】
解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB＝∠DCA＝1
2
×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DBP＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠DBP，
又已知BP＝AB，
∴BP＝AC，
∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形
全等时，关键是选择恰当的判定条件．
举一反三：
【变式】（2015?营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是
（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】B．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选：B．
《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、轴对称
【高清课堂：389304 轴对称复习，本章概述】
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，
直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2
A
?-∠
．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、（2015?阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）
A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2
C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2
【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．
【答案】D；
【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，
=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴OP1⊥OP2成立．
故选D．
【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观．
举一反三：
【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA
＝（）
A.180°
B.270°
C.360°
D.480°
【答案】C ；
解：连接AP ，BP ，CP ，
∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，
∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．
2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.
【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】
解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.
∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝1
2
∠PBA. ∴
1
2
(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°
∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，
这样取得周长的最小值.
举一反三：
【变式】（2014秋?西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．
（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；
（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．
【答案】
解：（1）如图所示；
（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
∴点P的坐标为（5，0）．
故答案为（5，0）．
类型二、线段垂直平分线性质
3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．
【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出
∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．
【答案与解析】
解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，
在Rt△CDE中，CD=2DE，
在Rt△ABD中，BD=2AD，
∴BD=4DE，
∵DE=1cm，
∴BD的长为4cm．
故答案为：4cm．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，在△ABC中，∠A=50°，DE是线段AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD=_________ ．
【答案】50°；
类型三、角平分线性质
4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
证明：∵AO平分∠BAC，
∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．
【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．
【答案与解析】
证明：∵AO 平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB 和△EOC 中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE ，∠ODB=∠OEC， ∴△DOB≌△EOC（ASA ）， ∴OB=OC．
【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长． 举一反三
【变式】如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E 、F 为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD 上任一点到AB 、AC 的距离相等；④AD 上任一点到B 、C 的距离相等．其中正确的是（ ）
A ．仅①②
B ．仅③④
C ．仅①②③
D ．①②③④ 【答案】D ；
类型四、等腰三角形的综合应用
5、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：
如图①，连接AP ．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=
12AB?PE，ACP S △=12AC?PF，ABC S △=1
2
AB?CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴
12AB?PE+12AC?PF=1
2
AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ABP S △=
12AB?PE，ACP S △=12AC?PF，ABC S △=1
2
AB?CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴
12AB?PE=12AC?PF+1
2
AB?CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵ABC S △=1
2
AB?CH，AB=AC ， ∴
1
2
×2CH?CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，
∴PE=CH -PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB 的度数．
【答案与解析】
解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，
则ABD ABE △≌△，
∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．
又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°， ∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC
∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又
,AB AC AE =∴垂直平分BC ．
∴AE 平分BEC ∠． ∴
1
2
AEB BEC ∠=
∠=30° ∴∠ADB ＝30°
【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，
求∠ACD 的度数.
【答案】
A
C
D
1
2
3
B 5 E
解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形
∴∠AED＝60°
∵∠DAB＝∠DBA＝10°
∴AD＝BD＝DE＝EC
∴∠AEC＝160°，
∴∠DEC＝140°
∴∠DCE＝20°
∴∠ACD＝30°
类型五、等边三角形的综合应用
7、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为
直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．
(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？
(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．
【答案与解析】
解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．
证明：连接DF，DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，
∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，
∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°
∴∠MDF＝∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
DF DE
MDF NDE DM DN
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.
∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN
∴∠MFN＝60°
∴FN∥AB，
又∵EF∥AB，
∴E、F、N在同一直线上.
(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC．
又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，
∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．
又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
DF DE
MDF NDE DM DN
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△DMF≌△DNE，
∴ MF＝NE．
【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2015?河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）
A．B．C．
D．
2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）
A.形内
B.形外
C.斜边的中点
D.不能确定
3. 以下叙述中不正确的是（）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等