第1章 函数的极限与连续
例1．求
lim
x x x
→．
解：当0>x 时，
00
lim lim lim 11x x x x x
x x +
+
+→→→===，
当0 00lim lim lim (1)1x x x x x x x - -- →→→==-=--， 由极限定义可知， x x x 0 lim →不存在（如图）． 例2．求x mx x sin lim 0→（m 是非零常数）． 解：令u mx =，显然当0x →时0u →，于是 m u u m mx mx m x mx u x x ==?=→→→sin lim sin lim sin lim 000． 例3．求x x x )2 1(lim +∞ →． 解：令 2x t = ，当x →∞时，有t →∞， 原式2 2222])1 1(lim [])11[(lim )21(lim e t t x t t t t x x =+=+=+=∞→∞→?∞→ 例4．求x x x x +-+→11lim 20． 解： 2220011lim lim (11)x x x x x x x x →→+-+=+++201lim 211x x x →==-+++ 例5．求x a x x 1lim 0-→． 解：令t a x =-1，则log (1)a x t =+，0x →时0t →，于是 0001lim lim lim ln log (1) ln x x t t a a t t a t x t a →→→-===+ 第2章 一元函数微分及其应用 例1．讨论函数3 2)(x x f =在0=x 处的可导性与连续性． 解：3 2)(x x f =为初等函数，在其定义域),(+∞-∞上连续， 所以在0=x 处连续．又 0(0)(0) (0)lim h f h f f h →+-'=3020lim h h h →-= 3 2 02lim h h →==+∞ )0(f '不存在．所以函数32)(x x f =在0=x 处连续，但不可导．事 实上，曲线 32)(x x f =在)0,0(点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具 有垂直于x 轴的切线0=x （如图）． 例2．求x y sin =的各阶导数． 解： ) 2sin(cos π +=='x x y ， ) 22sin(]2)2sin[()2cos(π πππ?+=++=+=''x x x y ， )23sin(]2)22sin[()22cos(π πππ?+=+?+=?+='''x x x y ， ……. ) 2sin()(π ?+=n x y n ， 所以： ()(sin )sin() 2n x x n π =+?． 例3 ．求 4 5 )(1)x y x -= +的导数． 解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[2,1)(1,)--?-+∞ 当1x >-时，0y >，函数式两边取对数得： 1 ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x = ++--+ 因此上式两边对x 求导，得 11 5 3142 121+--++='x x x y y 整理后得， ]15 34)2(21[)1()3(25 4+--+++-+= 'x x x x x x y 当21x -<<-时可得同样结论． 例4．11 ln 1lim 1-- →x x x ． 解：这是“∞-∞”型，通分即可化为“00 ”型． 111 1 1111ln lim lim lim 1ln 1(1)ln ln x x x x x x x x x x x x x →→→- ---==---+ 1 1111 lim lim ln 1ln 112x x x x x x x →→-=== +-++． 例5．求内接于半径为R 的球内的圆柱体的最大体积． 解：设圆柱的底半径为r ，高为h 则体积2 v r h π=， 而222 ()2h r R += 2223()(/4)(/4)v h h R h R h h ππ=-=-（02h R ≤≤）， 故题转化为求函数()v h 的最大值． 问 由223()()0 4v h R h π'=-=得驻点3h R =（负值不合题意舍去）． 根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大 值的，而最大值显然不能在端点0h =，2h R =处取得，故只在唯一驻点 3h R = 处取得．即当3h R =，6r R =时圆柱体的体积最大，最 大体积 3max 43 v R π= ． 第3章 一元函数的积分学 例1． ? -dx a x 2 2 1（0>a ）． 解：当a x >时，设t a x sec =( 02t π << )，tdt t a dx tan sec =代入有： 原 式 2 2 sec tan (sec )a t tdt a t a =?-? sec ln(sec tan )tdt t t C ==++?． 为将变量t 还原为x ，借助如图的直角三角形（或利用三角恒等式）有 a x t = sec ， 22 2 tan sec 1x a t t a -=-=从而：2222 ln()dx x x a C x a =+-+-?． 当a x -<时，令u x -=，则a u >，由上，我们有： =- 11ln(ln(u C x C =-+=--+ ln(x C =-+． 综合以上结论得， ln x C =． 例2．求?++dx x x x cos sin 1sin ． 解：2tan sin 22 1sin cos (1)(1)x t x t dx dt x x t t =++++?? c t t t dt t t t +++++-=++++-=?arctan |1|ln 21 |1|ln )1111( 22 ln |sin cos |222x x x c = -++． 例3．讨论积分1 1 p dx x +∞ ?的收敛性． 解：当1=p 时，1 1 1 ln dx x x +∞ +∞==+∞ ?，发散；当1≠p 时， 1111lim b p p b dx dx x x +∞→+∞=??111 11 lim lim (1) 11b p p b b x b p p --→+∞→+∞==---； 当1>p 时，有0 lim 1=-+∞ →p b b ，所以 1 111p dx x p +∞=-? ，广义积分收敛； 当1 =-+∞ →p b b 1lim ，从而1 1p dx x +∞ ?是发散的． 例4．求曲线02 =+x y 和2x y +=-围成的图形的面积． 解：由202y x x y ?+=? +=-?得交点(1,1)--，(4,2)- 选x 为积分变量，把面积分成两部分 1 4 1 9((2))22A x x dx xdx ---=---+-= ??． 另解：选y 为积分变量，积分区间[1,2]-， 2 2 2 2 11((2))(2)A y y dy y y dy --=----=-++??32 2 1 119(2)32 2y y y -=-++= ． 显然选y 为积分变量计算较简单． 例5．计算曲线arctan x t =，21 ln(1) 2y t =+从0t =到1t =的弧长． 解： 112222 220 1(())(())( )()11t s x t y t dt dt t t ''=+=+++? ? 144 2 tan sec ln |sec tan | 1t u dt udu u u t π π ===++? ? ln(12)=+． 第4章 常微分方程 例1．求齐次方程y x y x dx dy -+= 的通解． 解：原方程变形为x y x y dx dy -+ = 11，设u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程y x y x dx dy -+= 有： u u dx du x u -+= +11?u u dx du x -+=112， 分离变量积分有： ??=+-dx x du u u 1112?1 2 ||ln )1ln(21arctan c x u u +=+-， 即：c u e u x +=+arctan 222)1(?222arctan u c x y e ++=（这里12c c -=）， 所以，原方程的通解为c x y e y x +=+arctan 22 2． 例2．求解微分方程3 )1(12+=+-x y x dx dy ． 解：对应齐次方程为：0 12 =+-y x dx dy ，分离变量后积分，可得其 通解为：2 )1(+=x c y ； 设2 )1)((+=x x c y ，代入方程3 )1(12 +=+-x y x dx dy 有： 3 22)1()1)((12 )1)((2)1)((+=+?+- +++'x x x c x x x c x x c 解得：1)(+='x x c ? c x x c ++= 2)1(21 )(， 所以原方程的通解为：2 2)1]()1(21 [+++=x c x y ． 例3．求微分方程y x x dx dy x -=sin 的通解． 解法一：原方程化为：x y x dx dy sin 1 =+，对应齐次方程为： =+y x dx dy 1 0， 分离变量积分得对应齐次方程的通解为：x c y = ； 设 x x c y )(= ，代入方程x y x dx dy sin 1 =+有： 2()()11() sin c x x c x c x x x x x '-?+?= 解得：)sin()(x x x c ='?c x x x x c ++-=sin cos )(， 所以原方程的通解为： x c x x x y ++-= sin cos ． 解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有： ??+?=? ?+? =- -??dx x dx x dx x P dx x P e c dx xe e c dx e x Q y 1 1 )()()sin ())(( 1 (cos sin )x x x c x = -++ 例4．求x y xe '''=的通解． 解：连续积分三次得： 1 x x x x x x y xe dx xde xe e dx xe e c ''===-=-+???， 11[(1)](1)x x y x e c dx x de c dx '=-+=-+???1(1)x x x e e dx c x =--+? 12(2)x x e c x c =-++， 322121 )3(c x c x c e x y x +++ -=． 一般将通解写成： 322 1)3(c x c x c e x y x +++-=． 例5．求微分方程xy y '''=的通解． 解：这是一个不显含y 的二阶微分方程，令()y p x '=，则()y p x '''=， 代入原方程得：xp p '=，这是一个可分离变量方程，分离变量：x dx p dp = ， 积分得：c x p +=||ln ||ln ?x e p c ±=?1y c x '=（这里c e c ±=1）， 所以原方程的通解为： 221121 c x c xdx c y += =?，一般写成：22 1c x c y +=． 故原方程的通解为：12c x y c e =． 第5章 空间解析几何 例1．设点(1,0,1)A -，10AB =，AB 的方向角0 60α=，045β=，求：（1）γ的值；（2）点B 的坐标． 解：（1）由 1cos cos cos 2 22=++γβα有 41 45cos 60cos 1cos 02022= --=γ， 所以 01 cos 602γγ=± ?=或0120γ=； （2）设),,(z y x B ，有0 110cos 60010cos 456110cos x y x z γ?-=?-=?=??+=? ，52y =，4z =（或6-）， 则B 点的坐标为(6,52,4)或(6,52,6)-． 例2．证明三角形的三条高线交于一点. 证明：如图，设ABC ?在边AC ，BC 上的高交于点P ，且令PA a =，PB b =，PC c =，有AB b a =-， BC c b =-，CA a c =-， 再由PA BC ⊥，PB CA ⊥有()0a c b ?-=，()0b a c ?-=， 两式相加有0()00a c b c a b c BA PC ?-?=?-?=??=， 从而有AB PC ⊥，所以，ABC ?的三条高线交于一点. 例3．平面过三个定点(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c （a ，b ，c 均不为零），求该平面的方程． 解：如图，设所求平面方程为：0=+++D Cz By Ax ，由所求平面 过三点)0,0,(a P ，)0,,0(b Q ，),0,0(c R 有： c D C b D B a D A D Cc D Bb D Aa - =- =- =??? ? ?? =+=+=+000，代入所设平面方程得： 0=+--- D z c D y b D x a D ?1 =++c z b y a x ． 例 4．已知点)3,1,2(P 和直线L ： 12131-= -=+z y x ，求过点)3,1,2(P 并且与直线L 垂直相交的直线方程． 解法一：过点)3,1,2(P 且与直线L ：1213 1-=-=+z y x 垂直的平面方程为：0)3()1(2)2(3=---+-z y x ，即0523=--+z y x ， 再设直线L 与此平面的交点为),,(z y x N ，则将直线??? ??-=+=+-=t z t y t x 2131代入上面 的平面方程得：0)3()121(2)221(3=----++-+-t t t 解得 73 = t ，从而有交 点) 73 ,713,72(-N ，所以126246{,,}{2,1,4}7777NP =-=-． 取所求直线的方向向量{2,1,4}s =-，则所求直线方程为 43 1122-=--=-z y x ． 解法二：设垂足为),,(0000z y x P ，其在直线L 上对应的参数为0t ，则： ??? ??-=+=+-=00 00002131t z t y t x ，{}000033,2,3PP t t t =---，由 000 PP s PP s ⊥??=0003(33)2(2)(1)(3)0t t t ?-++---=， 解得 037t = ，从而有垂足)73,713,72(0-P ，所以 0126246 {,,}{2,1,4} 7777P P =-=-． 取垂线的方向向量{2,1,4}s =-，则所求垂直相交的直线方程为 431122-=--=-z y x ． 从此例我们也顺便得到了点P 到直线L 的距离为： 222021336 ||(2)(1)(3())21 7777P P =-+-+--= 例5．设圆柱面222R y x =+上有一质点，它一方面绕z 轴以等角 速度ω旋转，另一方面同时以等速度0v 平行于z 轴的正方向移动，开 始时（0t =），质点在)0,0,(R A 处，求质点运动的方程． 解：如图，设时间t 时，质点在点),,(z y x M ，M '是),,(z y x M 在xoy 平面上的投影，则AOM t ?ω'∠==， cos cos x OM R t ?ω'==， sin sin y OM R t ?ω'==， t v M M z 0='=． 所以质点运动的方程为 0cos sin x R t y R t z v t ωω=?? =??=? ． 此方程称为螺旋线的参数方程． 第6章 多元函数微分学 例1．求2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→． 解：当),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(时有： 22424 2(,)(0,0)0lim lim x y x y kx x y x y x y x y →→==++2420lim 0()x x kx x kx →?==+ 但仍不能说函数),(y x f 在)0,0(存在极限． 实际上，当),(y x 沿曲线2 x y =趋于)0,0(时有： 2 22242422001 lim lim ()2x x y x x y x x x y x x →→=?==++． 所以2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在． 例2．求函数 2 2 22),(b y a x y x f +=在点),(y x 处沿其梯度方向的方向导数． 解： 2222x y gradf i j a b = +，其方向余弦 42422 cos b y a x a x += α， 42 422 cos b y a x b y += β 所以，函数在点),(y x 沿其梯度方向的方向导数为 424222 f a l a ?==?． 例3．设2 2ln y x z +=，求其二阶偏导数． 解：22z x x x y ?=?+，22z y y x y ?=?+， 2222222()2()z x y x x x x y ?+-?=?+22222()y x x y -=+，2222z xy x y x y ?=-??+， 2222z xy y x x y ?=-??+，222 2222()z x y y x y ?-=?+． 例4．设v e z u sin =，xy u =，2y x v +=，求x z ??，y z ?? 解：由公式（1）得： x v v z x u u z x z ?????+?????=??1cos sin ?+?=v e y v e u u )cos sin (v v y e u +=)]cos()sin([22y x y x y e xy +++= y v v z y u u z y z ??? ??+?????=??y v e x v e u u 2cos sin ?+?= )cos 2sin (v y v x e u +=)]cos(2)sin([22y x y y x x e xy +++= 例5．要修建一容积为3 50m 的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省 解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有50=xyz ． 从而：22S xy yz xz =++11 100() xy x y =++ （0,0>>y x ） ?????? ? =-==-=0 100010022y x S x y S y x ?3100==y x 根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域D 内 取得，现在函数S 在D 内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于m 3 100时，水池的表面积最小． 第7章 多元函数积分学 例1．计算??D xyd σ ，其中D 是由直线1=y ，2=x 及x y =所围成的 闭区域． 解法一：如图，积分区域D 可看成x -型区域，则 ??D xyd σ22211111[]2x x dx xydy xy dx ==??? 2 422311119()()22428 x x x x dx =-=-=? 解法二：积分区域D 亦可看成y -型区域，则 221y D xyd dy xydx σ????＝22211[]2y x y dy =?2311(4)2y y dy =-? 2 42 119(2)248 x y -＝＝ 例2．计算??--D y x d e σ 2 2 ，其中 {} 222(,),0 D x y x y a a =+≤> 解：在极坐标系下，积分区域 D 可表示为{}a r r D ≤≤≤≤=0,20),(πθθ 所以22 2 x y r D D e d e rdrd σθ ---=???? 2 2 20 00 12()2a a r r d e rdr e πθπ--==?-? ?2(1)a e π-=- 例3．求抛物面2 2y x z +=在平面1=z 下面那部分的面积． 解：如图，∑在xoy 面上的投影区域为122≤+y x ，因为2x z x ' =， 2y z y '=，所以 ?? ++= xy D y x dxdy f f S 221 22144xy D x y dxdy =++?? 2 1) 6 d ππ θ== ? ? 例4．设曲线L 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限的那段弧，求L xyds ?． 解：L 的方程为 y = 0x a ≤≤）， ds =， L xyds ?0a =? 20a b a =?22 ()3()ab a ab b a b ++=+ 例5．计算 ??∑ dS xyz ，其中∑为曲面2 2y x z +=被1=z 割下的有限部分． 解：∑在xoy 面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤， dS ==，所以 2 2(xy D xyz dS xy x y ∑ =+???? 1 20 4sin cos d r π θθθ=?? 1 2 2sin 2d r π θθ=?? 第8章 级数 例1．判断级数∑∞ =++12)(1 n p c bn an （0≠a ，0p >）的收敛性 解：由于1)/(1)/(1lim 22=++∞→p p n an c bn an ，所以原级数与 ∑∞ =12)(1n p an 具有相同 的敛散性，而221111 1()p p p n n an a n ∞ ∞ ===∑∑，可知 当1 2p >时，∑∞ =++12)(1n p c bn an 收敛； 当1 02p <≤时，∑∞ =++12)(1n p c bn an 发散． 例2．讨论级数1()n s n n α∞ =-∑（,0s α>）的敛散性． 解： n n n u u 1lim +∞→1lim (1)n s s n n n n αα+→∞=?+α=，利用比值判别法 则 当10<<α时，∑∞ =-1)(n s n n α绝对收敛． 当1>α时，∑∞ =-1)(n s n n α发散． 当1=α时，11()(1)n n s s n n n n α∞ ∞==--=∑∑，11(1)1n s s n n n n ∞∞==-=∑∑是一个p 级数 当1>s 时，绝对收敛． 当10≤ (1)n s n n ∞ =-∑ 是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断 ∑∞ =-1 )1(n s n n 收敛． 所以∑∞ =-1)(n s n n α为 绝对收敛级数 α<<01 发散级数 α>1 绝对收敛级数 α=1，>1s 条件收敛级数 α=1，<≤01s 所以∑∞ =-1)1(n s n n 条件收敛． 例3．求级数∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n x 的收敛半径和收敛域． 解： 1 1 1 (1)lim lim 11 (1)1n n n n n n a n R a n +→∞ →∞+-===-+； 当1=x 时，1 11 11(1) (1)n n n n n x n n ∞ ∞ ++==-=-∑∑收敛； 当1-=x 时，1 1 11(1) n n n n x n n ∞ ∞+==-=-∑∑发散； 所以，级数∑∞ =+-1 1 ) 1(n n n n x 的收敛半径1=R ，收敛域为]1,1(-． 例4．求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数，并求级数1 2 n n n ∞ =∑的和． 解：可求得级数的收敛区间为(1,1)-；先求1 1 n n nx ∞ -=∑的和函数． 设1 11()n n S x nx ∞ -==∑，则 () 1 110 1 1 ()x x x n n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞ --====∑∑ ? ? ? 21n x x x x x =++++ = -， (1,1)x ∈- 上式两边求导得 12 1()1(1)x S x x x ' ??== ?--??所以12()()(1)x S x xS x x ==-， (1,1)x ∈- 当12x =时，2 11 2(1)212(1)2n n n S ∞ ====-∑ 例5．将231 2++x x 展开成1-x 的幂级数． 解：2111 3212 x x x x =- ++++1111 11 231123x x = - --++ 001111(1)()(1)()2233n n n n n n x x ∞∞==--=---∑∑11011 (1)()(1)23n n n n n x ∞ ++==---∑ 要使上式成立，应有112x -<，11 3x -<即13x -<<． 中考数学经典题例（一）及解答 1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 【解答】 24. 解：(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = -41?(3a )2+25?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)，∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)， 点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在 中考数学典型试题及解析 常见几何模型 两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立） M D C B A M D C B A M D C B A M D C B A 例题讲解 1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。 【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的 条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解. 我们回顾下共边定理，发现右图三角形中存在一个比例关系： ()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影. 2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积。 C B 【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M ::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB == 1535S BCO =÷= 1527.5S BDC =÷= 17.5 1.8754 S FCM =?=， 阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。 2、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且 BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 【解】根据定理： ABC BED ??=3211??=6 1 ，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。 3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图) 2009年全国中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二 次方程2 7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值． （2）若E 为x 轴上的点，且16 3 AOE S = △，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？ （3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由． （09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解2 7120x x -+=得1243x x ==， OA OB > 43OA OB ∴==， · ············································································· 1分 在Rt AOB △ 中，由勾股定理有5AB = 4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= = · ······································································· 1分 （2）∵点E 在x 轴上，16 3 AOE S =△ 11623 AO OE ∴?= 8 3OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或， ········································································ 1分 由已知可知D （6，4） 设DE y kx b =+，当8 03E ?? ??? ， 时有 28题图 中考数学压轴题汇编 1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。 （1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝1 2 时，这种变换满足上述两个要求； （2）若按关系式y=a(x －h)2 ＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】（1）当P= 12时，y=x ＋()11002x -,即y=1 502 x +。 ∴y 随着x 的增大而增大，即P= 1 2 时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y= 1 100502 ?+=100。 而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1 2 时，这种变换满足要求；……6分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()2 20a x k -+,……8分 ∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a ×802 ＋k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=?， ∴()212060160y x = -+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -， 与(2B m +，是反比例函数 k y x = 图象上的两个点． （1）求k 的值； （2）若点(10)C -，，则在反比例函数k y x =图象上是否存在点 D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在， 求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由(1)2(33)m m -= +，得m =-k = ····· 2分 （2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3 CE =， BE =BC =30BCE =∠． 由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ． 由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF =，12AD m =， 由点(1A --， ，得点11(1)D m --，． 几何综合题 一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形 3、基本辅助线 （1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】* （2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】* （3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见(一)7】 作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006北京，25*）…… 注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。 三.题目举例 在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段： 第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。 第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。 第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。 (一)基本图形与辅助线的添加 #角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6） 1、（2010宣武一模，23）已知： AC 平分MAN ∠ （1）在图1中，若?=∠120MAN ，?=∠=∠90ADC ABC ，AC AD AB ___+。（填写“>”或“<”或“=”） （2）在图2中，若?=∠120MAN ，?=∠+∠180ADC ABC ，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中： 中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小 例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三 角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ； （2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长。 例2、如图13，抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x 轴于A 、B ，交y 轴于D ，其中B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 的垂线，垂足为M ，过点M 作直线M N ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由. A B A ' ′ P l 中考数学经典例题讲解 中考数学一轮复习知识讲解+例题解析+强化训练 用函数的观点看方程（组）与不等式 ◆知识讲解 1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数 y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于 0 时自变量 x 的值就是一元一次方程 ax+?b=0 （a≠0）的解，所对应的坐标（－b5E2RGbCAP b a ，0）是直线 y=ax+b 与 x 轴的交点坐标，反过来也成立；?直线 y=ax+b 在 x 轴的上方，也就是函数的值大于 零，x 的值是不等式 ax+b>0（a≠0）的解；在 x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是 不等式 ax+b<0（a≠0）的解．p1EanqFDPw 2．坐标轴的函数表达式 函数关系式 x=0 的图像是 y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式 x=0 表示；?函数关系式 y=0 的图像是 x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式 y=0 表示．DXDiTa9E3d 3．一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线， 从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值 是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图 像与二元一次方程组有着密切的联系．RTCrpUDGiT 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 ? y =k 1x +b 1 （1） 二元一次方程组? 有唯一的解?直线 y=k1x+b1 不平行于直线 y=k2x+b2 ?k 1≠k2．5PCzVD7HxA y =k x +b ? 22? y =k 1x +b 1 （2） 二元一次方程组? 无解?直线 y=k1x+b1∥直线 y=k2x+b2 ?k 1=k2，b 1≠b2．jLBHrnAILg ? y =k 2x +b 2 ? y =k 1x +b 1 （3）二元一次方程组? 有无数多个解?直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 重合?k 1=k2，b 1=b2．xHAQX74J0X y =k x +b ? 22 ◆例题解析 例 1 （2006，长河市）我市某乡 A ，B 两村盛产柑橘，A ?村有柑橘 200t ，?B ?村有 柑橘 300t ．现将这些柑橘运到 C ，D 两个冷藏仓库，?已知 C ?仓库可储存 240t ，?D ?仓库 可储存 260t ；从 A 村运往 C ，D 两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 村运往 C ，D 两 第一章 实数与中考 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4、掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5、会用多种方法进行实数的大小比较。 2010年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 例题精讲 例1.(-2)3 与-23 ( )． (A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。 答案：A 例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半 径约为6．71×103 千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( ) A ．5．90 ×105千米 B ．5．90 ×106 千米 C ．5．89 ×105千米 D ．5．89×106 千米 分析：本题考查科学记数法 答案：A 例3.化简 2 73 的结果是( )． (A)7-2 (B) 7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2) 分析：考查实数的运算。 答案：B 例4.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )． ①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。 答案：C 例5.-3的绝对值是 ；-3 21 的倒数是 ；9 4 的平方根是 ． 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。 答案： 3，-2/7，±2/3 例6.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D A ．-3与3 B ．｜-3｜与一 31 C ．｜-3｜与3 1 D ．-3与2(-3) 分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念 答案：D 例6.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标 语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数据填上．(已知1克大米约52粒) 答案：25 例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当 楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法． 分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和 答案：89 例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号) 1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…， 计算： ! 98! 100= ． 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．中考数学经典题例(一)及解答
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