随机变量及其分布列
体验高考
1.(2015·四川)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值.
2.(2016·天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和均值.
3.(2015·福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和均值.
高考必会题型
题型一 条件概率与相互独立事件的概率
例1 (1)先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.12 B.13C.14 D.25
(2)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1
4.现在三人同时
射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.7
10
变式训练1 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 (1)A (2)0.128
题型二 离散型随机变量的均值和方差
例2 (2015·山东)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和均值E (X ).
变式训练2 (1)(2016·四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________.
(2)(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是3
4，乙每轮猜对的概
率是2
3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮
活动，求：
①“星队”至少猜对3个成语的概率；
②“星队”两轮得分之和X 的分布列和均值E (X ). 题型三 二项分布
例3 某市为丰富市民的业余文化生活，联合市国际象棋协会举办国际象棋大赛，在小组赛中，小王要与其他四名业余棋手进行比赛，已知小王与其他选手比赛获得胜利的概率都为2
3，
并且他与其他选手比赛获胜的事件是相互独立的. (1)求小王首次获胜前已经负了两场的概率；
(2)求小王在四场比赛中获胜的场数X 的分布列、均值和方差.
变式训练3 (2015·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和均值.
高考题型精练
1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次点数均为奇数}，B ＝{两次点数之和为6}，则P (B |A )等于( ) A.59 B.13C.536 D.23
2.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好在由曲线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (B |A )等于( )
A.14
B.15
C.16
D.17
3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X 表示击中目标的次数，则P (X ≥2)等于( )
A.81125
B.54125
C.36125
D.27125
5.设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( ) A.n ＝5，p ＝0.32 B.n ＝4，p ＝0.4 C.n ＝8，p ＝0.2
D.n ＝7，p ＝0.45
6.在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事
件A 在一次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25C.5
6
D.以上全不对 7.小王参加了2015年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历.假定小王得到A 公司面试的概率为1
3，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的.记ξ为
小王得到面试的公司个数.若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝1
2，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝______.
8.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝1
5
，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.
9.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝________.
10.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>7
4，则p 的取
值范围是________.
11.(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
(1)求T 的分布列与均值E (T )；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
12.(2016·课标全国甲)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X
服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
第三讲随机变量及其分布列 1．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________. 解析：依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲 A 组 基础关 1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2 )，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞ a )＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 A 解析 因为随机变量X ～N (5，σ2 )，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A. 2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B 解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2 D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B. 3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 p ＝1－16－13＝12 ， E (X )＝0×1 6＋2×12＋a ×13 ＝2?a ＝3， ∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2 ×13＝1. ∴D (2X －3)＝22 D (X )＝4. 4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100， σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( ) A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 答案 C 解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7，
6.4.2 随机变量及其分布 必备知识精要梳理 1.超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则 P (X=k )=C M k C N -M n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *. 2.二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为 p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0 随机变量及分布列 1．已知随机变量() 20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2．已知随机变量 ，若 ，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知 ，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球 号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2 的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布， ，则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个 数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. （Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望. 2.3 第一课时 离散型随机变量的均值 一、课前准备 1．课时目标 (1) 理解离散型随机变量的均值的定义； (2) 能熟练应用离散型随机变量的均值公式求值； (3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的均值公式求值. 2．基础预探 1．若离散型随机变量X 的分布列为 则称_______________________为随机变量X 的均值或数学期望. 2.两点分布：若X 服从两点分布，则EX ＝__________. 3.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，则EX =___________. 4.超几何分布：若随机变量X 服从N ，M ，n 的超几何分布，故EX =___________. 二、学习引领 1.随机变量的均值与样本的平均值的关系 随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平．随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2.求随机变量的均值的步骤 ①分析随机变量的特点，若为两点分布、二项分布、超几何分布模型，则直接套用公式；②否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；③列出分布列；④利用离散型随机变量的均值公式求解． 3. 试验次数对随机变量的均值有没有影响 假设随机试验进行了ｎ次，其中1x 出现了1p n 次， 2x 出现了2p n 次，…，n x 出现了 n p n 次；故X 出现的总值为1p n 1x ＋2p n 2x ＋…＋n p n n x .因此ｎ次试验中，X 出现的均值 1122n n p nx p nx p nx EX n ++ += ，即EX ＝1122n n p x p x p x +++.由此可以看出，试验 次数对随机变量的均值没有影响. 三、典例导析 题型一 离散型随机变量的数学期望 例1 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、ξ、η等表示． ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==，则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1)0,123≥，，，i p i =L ；123(2)1p p p +++=L 3．常见的分布列 ⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下： x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L ．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列 第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量 第一课时 思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化． 定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域． 例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？ 定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，…. 思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？ 电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量： ?? ≥?0，寿命<1000小时； Y=1,寿命1000小时. 与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易． 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验 § 2.1.1离散型随机变量及其分布列导学案 、学习目标: 1. 会熟练说出离散型随机变量的概念、分布列的表示方法； 2. 能够熟练写出离散型随机变量的分布列。 二、预习课本自主掌握以下概念和原理： 1. 随机变量 (1) 定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示. 在 这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化. 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2) 表示法：随机变量常用字母 X , Y , ￡ n ,表示. 2. 离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 3. 随机变量和函数的关系 随机变量和函数都是一种 映射，随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在 这两种映射之间，试验结果的范围相当于 函数的定义域，随机变量的 取值范围 相当于函数的值域?我 们把随机变量的取值范围叫做 随机变量的值域 . 4. 分布列的定义 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X j , x 2, , , x i , , , x n , X 取每一个值X j (i = 1,2, , , n)的概 率P(X = x i ) = p i ,以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 5. 分布列的性质 (1) Pi_A 0 , 1 2 = 1,3,3, n (2)、P i =」 i = 1 6. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即_ P( -X k ) =P( =X k ) P( =X ki ) 一 三、基础自测： 2 .下列变量中，不是随机变量的是 ( ) A .一射击手射击一次命中的环数 B .标准状态下，水沸腾时的温度 C .抛掷两颗骰子，所得点数之和 D .某电话总机在时间区间(0, T)内收到的呼叫次数 n ; 的分布列. 2． 1．2离散型随机变量的分布列 教学目标： 知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数， 则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 为随机变量的概率分布，简称的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 ???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 第二章 随机变量及其分布 章末复习提升课 , 超几何分布 [问题展示] (选修2-3 P50习题2.1B 组T1)老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 【解】 (1)他能背诵的课文的数量X 的可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝C 06C 3 4C 310＝1 30， P (X ＝1)＝C 16C 2 4C 10＝3 10 ， C 102P (X ＝3)＝C 36C 0 4C 310＝1 6， 所以X 的分布列为 (2)他能及格的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3 . 某位同学记住了10个数学公式中的m 个(m ≤10)，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为1 2. (1)求m 的值； (2)分别求他记住的数学公式的个数X 与没记住的数学公式的个数Y 的数学期望E (X )与 E (Y )，比较E (X )与E (Y )的关系，并加以说明． 【解】 (1)P (X ＝2)＝C 2m C 1 10－m C 310＝1 2， 即m (m －1)(10－m )＝120，且m ≥2. 因为120＝2×5×12＝4×5×6＝3×5×8＝2×4×15＝2×2×30. 而m 与m －1一定是相邻正整数． 所以?????m －1＝4，m ＝5，10－m ＝6或???? ?m －1＝5，m ＝6，10－m ＝4 解得m ＝6. (2)由原问题知，E (X )＝0× 130＋1×310＋2×12＋3×16＝9 5 ， 没记住的数学公式有10－6＝4个，故Y 的可能取值为0，1，2，3. P (Y ＝0)＝C 04C 3 6C 310＝1 6， P (Y ＝1)＝C 14C 26C 310＝1 2， P (Y ＝2)＝C 24C 16C 310＝3 10 ， 关于《离散型随机变量的均值》的说课稿 银川二中（西校区）黄海霞 说课内容：普通高中人教A版（数学选修2-3）第二章第3节第一课时─《离散型随机变量的均值》. 下面，我将分别从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计等六个方面对本节课的设计进行说明. 一、背景分析： 1、学习任务分析 《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时. 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质()()b E+ aX +. = X aE b 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础.离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点. 在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性.因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念. 2、学生情况分析 本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备.本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难. 基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。 X ＝ai P(X ＝ ai) X 012P 0.3 0.4 0.5 X x 1x 2x 3P 0.3 －1 0.8 X 1 2 3 P X x 1 x 2 x 3 P 随机变量及其分布学案 基础梳理一 1．离散型随机变量 我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个 ．随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．连续型随机变量 离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，有的随机变量可以取 ，这样的随机变量我们称为连续型随机变量．3．离散型随机变量的分布列 (1)定义：我们设离散型随机变量X 的取值为a1，a2，…，随机变量X 取ai 的概率为pi(i ＝1,2，…)记作： ，或把上式列 成表： （2）离散型随机变量分布列的性质① ② 质疑探究：如何求离散型随机变量的分布列？ 首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一值对应的概率，最后列成表格 自我检测 1、 下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是（ ） (A) (B) (C) (D) 2、设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值为( ) (A)1 (B) (C) (D) 3．已知袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个编号，任意 抽取两个球，其号码之和为 X，则X的所有可能取值的个数为( B ) (A)6个 (B)7个 (C)10个 (D)25个 4．下列变量中属于离散型随机变量的是________． ①某大桥一天经过的车辆数为X； ②一天内某地的温度为X； ③某地16岁孩子的身高为X； ④某射手对目标进行射击，击中得1分，不击中得0分，在一次射击 中的得分为X. 基础梳理二 1．超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N) 件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝ (其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则 称 的超几何分布． 2．条件概率与独立事件 (1)条件概率：已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A 发生的条件概率， 记为 且P(B)>0时，P(A|B)＝，P(B|A)叫作A发生时B发生 的条件概率，且P(A)>0时，P(B|A)＝. (2)独立事件：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称 A，B相互独立．同时A与 ，与B，与也相互独立．相互独立可以推 广至有限个，即A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝ 3．二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件 ①每次试验只有，可以分别称为“成功”和“失败”； ②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为； 2．1．2离散型随机变量的分布列 教学目标： 知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课： 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.两点分布列: 随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概 2．2.1 条件概率 [学习目标] 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． [知识链接] 1．3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？ 答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 3，不比其他同学小． 2．若事件A ，B 互斥，则P (B |A )是多少？ 答 A 与B 互斥，即A ，B 不同时发生． ∴P (AB )＝0， ∴P (B |A )＝0. [预习导引] 1．条件概率的概念 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ） P （A ） 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率． P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈[0，1]． (2)如果B 与C 是两个互斥事件，则 P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 要点一 条件概率 例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． 解 法一 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B . 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为 P (AB )＝ 6×410×9＝4 15 . 由条件概率的计算公式，得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4 15610 ＝4 9 . 法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是4 9 . 规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数． (2)条件概率的定义揭示了P (A )，P (AB )及P (B |A )三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系． 跟踪演练1 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率． 解 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则 (1)因为100件产品中有70件一等品，P (B )＝70100＝710 . (2)法一 因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB ＝B ，∴P (B |A )＝7095＝1419 . 法二 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝70 10095100＝14 19 . 要点二 条件概率的综合应用 例2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 解 设事件A 为“该考生6道题全答对”，随机变量及分布列习题
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