安徽省安庆市怀宁中学2020-2021学年高三上学期第一次质
量检测理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}2
20A x x x =--≤，(){}
ln 1B x y x ==-，则A
B =（ ）．
A ．(]0,2
B ．()(),12,-∞-+∞
C ．[
)
1,1-
D ．()()1,00,2-?
2．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1
()f x x
=-
D ．3()log ||f x x =
3．设x ∈R ，则“|1|2x +<”是“lg 0x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知命题p ：0x ?>，总有()11x
x e +>，则p ?为（ ）
A ．00x ?≤，使得()0011x
x e +≤
B ．00x ?>，使得()0011x
x e +≤
C ．0x ?>，总有()11x x e +≤
D ．0x ?≤，使得()11x
x e +≤
5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
6．函数ln ||
()x
x f x e
=
的部分图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知函数()()()1,0
ln 2,20
a x a x f x x x ?-+>?=?+-<≤??的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．ln 2a <
B ．ln 2a ≤
C ．0a >
D ．ln 21a <<
8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2
3f x x x =-，则函数
()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）
A ．{}1,3
B ．{}3,1,1,3--
C ．{}
2-
D ．{}
2-
9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意的实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当
3
(0,]2
x ∈时，()268f x x x =-+，则()()()()012...2020f f f f ++++=（ ）
A ．6
B ．3
C ．0
D ．3-
10．若函数()ln f x ax x =-在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．[
)1,+∞
C ．1,2??+∞????
D ．1,2
??-∞ ??
?
11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时()()0f x xf x '+>，且()12f =，则不等式()2
0f x x
-
>的解集是（ ） A ．()()1,01,-?+∞ B ．()1,0- C ．()(),10,1-∞-?
D ．()
(),11,-∞-+∞
12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，
()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是
A ．9,4
??-∞ ??
?
B ．7,3
??-∞ ??
?
C ．5,2
??-∞ ??
?
D ．8,3
??-∞ ??
?
二、填空题
1324x =的解是__________.
14．设函数2019,0()2020,0
x e x f x x ?+≤=?>?，则满足()2
4(3)f x f x ->-的x 的取值范围为
________.
15．已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，且对任意,a b ∈R 都满足
()()()f ab af b bf a =+，若(2)2f =，则1
()2
f 的值为________
16．函数()2(1)sin 1f x x x π=-?+在区间[2,4]-上所有零点之和为___________.
三、解答题
17．（1）已知集合A ＝{x |1﹣m ≤x ≤2m +1}，B ＝{x |1
9
≤3x ≤81}，若B ?A ，求实数m 的取值范围；
（2）计算：2lg 4+lg 5﹣lg 82
133(3)8
ln e ---．
18．函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++. （1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A
B ；
（2）若存在1[0,]2
x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围.
19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2
123
C x x x =
+（万元）；当年产量不小于7万件时，()3
6ln 17e C x x x x
=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品
当年能全部售完.
（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）. 20．已知函数4
()31
=-+x
f x a （a 为实常数）为奇函数. （1）求a 的值；
（2）对于任意的[1,5]x ∈，不等式()3
≥
x u
f x 恒成立，求实数u 的最大值. 21．已知函数()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈． （1）设()()
g x f x ='，求函数()g x 的极值；
（2）若1
a e
≥
，试研究函数()f x 的零点个数． 22．己知函数2()ln f x x a x =+
（1）若1a =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[1,e]上的最小值.
参考答案
1．C 【分析】
通过解一元二次不等式和对数函数的定义域可得集合A ，B ，利用交集运算求解即可. 【详解】
{}2|20{|12}A x x x x x =--≤=-≤≤
(){}
{}ln 11B x y x x x ==-=<
所以{|11}A B x x ?=-≤< 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了求集合的交集，一元二次不等式的解法以及对数函数的定义域，属于基础题. 2．A 【分析】
依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案. 【详解】
B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，
C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，
只有A 中函数符合题意：3
()f x x x =+，()3
()f x x x f x -=--=-，奇函数.
2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增.
故选：A . 【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．B 【分析】
解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可. 【详解】
由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件，
故选：B . 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题. 4．B 【分析】
本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果. 【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ?>，总有()11x
x e +>，
所以p ?：00x ?>，使得()0011x
x e +≤，
故选：B . 【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题. 5．D 【分析】
利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】
555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，
ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.
因此，c a b <<. 故选：D. 【点睛】
本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 6．A 【分析】
根据函数在(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞上()0f x >排除CD ，根据奇偶性排除B 得到答案. 【详解】
易知函数()f x 的定义域为{}
0x x ≠，0x e >.
又因为当(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞时，ln ||0x >，所以()0f x >，排除选项CD ； 又()f x 不是偶函数，排除选项B. 故选：A. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的识图能力和应用能力. 7．B 【分析】
由于函数的值域为R ，所以可得函数(1)(0)y a x a x =-+>和ln(2)(20)y x x =+-<≤的值域的并集为R ，由此可求出a 的取值范围 【详解】
解：因为函数()()(
)1,0ln 2,20a x a x f x x x ?-+>?
=?+-<≤??的值域为R ，函数ln(2)(20)y x x =+-<≤的
值域为(,ln 2]-∞，
所以10(1)0ln 2a a a ->??-?+≤?，得1
ln 2a a
，解得ln 2a ≤，
所以a 的取值范围是ln 2a ≤， 故选：B 【点睛】
此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域是各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题. 8．D 【分析】
根据题设条件，求得0x <时，()2
3f x x x =--，分类讨论，根据()0g x =，求得方程的
根，即可求解.
【详解】
设0x <，则0x ->，
因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，()2
3f x x x =-，
所以()2
2
()[()3()]3f x f x x x x x =--=----=--，
当0x ≥时，函数()()2
343g x f x x x x =-+=-+，
令()0g x =，即2430x x -+=，解得1x =或3x =； 当0x <时，函数()()2
343g x f x x x x =-+=--+，
令()0g x =，即2430x x --+=，解得2x =--
综上可得，函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{}
2--. 故选：D. 【点睛】
函数零点的判定方法：
（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；
（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数. 9．B 【分析】
根据函数()f x 恒有()()3f x f x +=-，得到函数()f x 的周期是6，再由()f x 定义在R 上的奇函数，得到()()00,30f f ==，然后()()()()
012...2020f f f f ++++()()()()012...5336f f f f =++++?????()()()()()01234f f f f f +++++求解.
【详解】
因为函数()f x 对任意的实数x ，恒有()()3f x f x +=-， 所以()()()63f x f x f x +=-+=，
所以函数()f x 是以6为正切的周期函数， 又()f x 定义在R 上的奇函数， 所以()()()00,300f f f ==-=， 又当3(0,]2
x ∈时，()2
68f x x x =-+，
所以()()()()()13,213113f f f f f ==-+=--==，
()()()()()()41313,52323f f f f f f =+=-=-=+=-=-，
所以()()()()012...2020f f f f ++++，
()()()()012...5336f f f f =++++?????
()()()()()01234f f f f f +++++， 033633=?+=，
故选：B 10．B 【分析】
()f x 在[]1,2内单调递增，所以所以()0f x '≥对[]1,2x ∈恒成立，从而求出答案.
【详解】
()1
f x a x
'=-
，因为()f x 在[]1,2内单调递增， 所以()0f x '≥对[]
1,2x ∈恒成立，即1
a x
≥对[]1,2x ∈恒成立， 所以max
11a x ??≥= ???；
即[)1,a ∈+∞ 故选：B ． 【点睛】
本题考查根据函数的单调性求参数的范围，属于基础题. 11．A 【分析】
构造新函数()()g x xf x =，由已知确定此函数的奇偶性与单调性（单调性可通过导数说明），然后可解不等式． 【详解】
设()()g x xf x =，(1)(1)2g f ==，由题当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，又()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，在(),0-∞上单调递减.所求不等式等价于当0x >时，()20xf x ->，即()(1)g x g >，解得1x >；当0x <时，
()(1)g x g <，解得10x -<<.
综上不等式的解集为()()1,01,-?+∞． 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是构造新函数
()()g x xf x =，然后奇偶性与单调性．
12．B 【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】
(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个
单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令8
4(2)(3)9
x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278
(37)(38)0,,33
x x x x ∴--=∴=
=（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ?
?∴∈-∞ ??
?，故选B ．
【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 13．712
x =
【分析】
将根式转化为分数指数幂，等号两边全部转化为以2为底的指数形式，即可得解. 【详解】
24x =，∴()1
231284x =， 即()()
12723
2
2x
=，得
743
22
x
=，故而
7
43x =，解得712
x =， 故答案为7
12
x =. 【点睛】
本题主要考查了指数式方程的解法，熟练掌握指数的运算性质是解题的关键，属于基础题. 14．(1,)+∞ 【分析】
当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，故需满足243x x ->-，且30x -<，解得答案. 【详解】
2019,0()2020,0x e x f x x ?+≤=?>?
，当0x ≤时，函数单调递增，当0x >时，函数为常数，
()24(3)f x f x ->-需满足243x x ->-，且30x -<，解得1x >.
故答案为：(1,)+∞. 【点睛】
本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 15．12
-
【分析】
令1a b ==,求出(1)f 的值,再由111
(1)(2)2()(2)222
f f f f =?=+
,结合(2)2f =,求出1
()2
f 的值. 【详解】
解:由()f x 对任意的,R a b ∈都满足()()()f ab af b bf a =+, 令1a b ==,则(1)(1)(1)f f f =+,所以(1)0f =, 所以111
(1)(2)2()(2)0222
f f f f =?=+=. 因为(2)2f =,所以11()22
f =-. 故答案为:12
-. 【点睛】
本题考查了抽象函数求值问题,关键是合理选择满足条件的值代入等式,属中档题. 16．8 【分析】
作出函数2sin y x =π和1
1
y x =--的图象，根据两函数图象的对称性即可得解. 【详解】
函数()2(1)sin 1f x x x π=-?+在区间[2,4]-上所有零点之和等价于函数2sin y x =π和
1
1
y x =-
-在区间[2,4]-上所有交点的横坐标之和， 作出函数2sin y x =π和1
1y x =--的图象如图所示：
因为函数2sin y x =π和1
1
y x =-
-的图象都关于点(1,0)对称，因此两图象的交点也关于点(1,0)对称，由图象知它们在[1,4]上有4个交点，因此在[2,1)-上也有4个交点，且对应点
的横坐标之和为2，所以函数()2(1)sin 1f x x x π=-?+在区间[2,4]-上所有零点之和为8. 【点睛】
本题考查函数的零点问题，解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交点，属于中档题. 17．（1）[3，+∞）；（2）4
9
-． 【分析】
（1）解对数不等式求得集合B ，根据B 是A 的子集列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.
（2）利用对数运算、指数运行进行化简求值. 【详解】 （1）集合B ＝{x |1
9
≤3x ≤81}＝{x |﹣2≤x ≤4}， ∵B ?A ，
∴12214m m -≤-??+≥?
，解得m ≥3，
∴实数m 的取值范围为[3，+∞）；
（2）原式2
0344lg 2lg53lg 2lg 2lg5129e -??=+---=+-- ???
＝149--149=-．
【点睛】
本小题主要考查根据集合的包含关系求参数，考查指数不等式的解法，考查指数和对数运算，属于基础题.
18．（1）(2,4]A B ?=；（2）1m ≤-. 【分析】
（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；
（2）若存在102x ??
∈????，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ??∈????
，使得不等式﹣m
211x x x ++≥
+成立，得﹣m ≥（21
1
x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围． 【详解】
（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ??
∈????
，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，
即存在102x ??∈????，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（21
1
x x x +++）min
因为21
1
x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1． 【点睛】
本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．
19．（1）()2
3
142,073
15ln ,7x x x P x e x x x ?-+-<
；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元. 【分析】
（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；
（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果. 【详解】
（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，
由题意可得，当07x <<时，
()()2211
626224233
P x x C x x x x x x =--=---=-+-； 当7x ≥时，()()33
6266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ??=--=-++--=-- ???
；
所以()2
3
142,073
15ln ,7x x x P x e x x x ?-+-<
； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2
211426101033
P x x x x =-+-=--+≤， 当且仅当6x =时，等号成立；
当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()3322
1e e x
P x x x x
-'=-+=， 所以，当3
7x e ≤<时，()0P x '>，即函数()3
15ln e
P x x x
=--单调递增；当3x e >时，
()0P x '<，即函数()315ln e
P x x x
=--单调递减；
所以当3
x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333
315ln 11e P e e e
=--=；
综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；
即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元. 【点睛】 思路点睛：
导数的方法求函数最值的一般步骤：
（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性； （2）根据函数单调性，即可求出函数的最值. 20．（1）2a =;(2) 实数u 的最大值是3 【分析】
（1）根据函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值； （2）对任意的[]1,5x ∈，不等式()
3
x u
f x 恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()
g x ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值． 【详解】
（1）由于函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，
即44
3131
x x
a a --
=-+++，对x ∈R 恒成立，所以24a =，解得2a = （2）由（1）得，2a =，()4
231x f x =-+，
因为对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x
u
f x 恒成立，
所以对任意的[]1,5x ∈，不等式4231
33x
x
x u ?≤-+?恒成立，
令()()
4?34
2323163131
x x
x x x g x =?-=?++-++，
令[]14,2443x
t +∈=，
因为4
62y t t
+
?-=，在[]4,244是增函数， 所以当4t =时，min 3y =，即()min 3g x =， 所以3u ≤，
所以实数u 的最大值是3. 【点睛】
关键点睛：解题的关键，（1）利用()()f x f x -=-，得出44
3131
x x
a a --=-+++，求出a 值（2）利用参变分离法，把不等式()
3x u f x 恒成立，转变为不等式4231
33x x
x u ?≤-+?恒
成立，利用导数求出u 的最大值，考查函数的性质和恒成立问题，考查函数奇偶性的定义，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．
21．（1）极小值为()ln 1g a a =+，无极大值；（2）1个． 【分析】
（1）先求得()g x ，然后求()g x '，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合单调性求得()g x 的极值.
（2）首先判断()f x 在()0,∞+上递增，结合零点存在性定理判断出()f x 的零点个数. 【详解】 （1）
()()ln f x x a x x a =+-+，a R ∈，
()()ln a g x f x x x ∴='=+
，0x >．∴221()a x a
g x x x x
-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上是增函数，无极值． ②当0a >时，x a =，
当(0,)x a ∈时，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()g x 单调递增，
()g x ∴的极小值()ln 1g a a =+，无极大值．
（2）由（1）知，当1
a e
≥
时，()g x 的极小值()1ln 1ln 10e g a a =+≥+=，
结合()g x 的单调性可知min ()0g x ≥，即()0f x '≥恒成立．
()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，
1111
112ln 0f a a a a e e e e
e e e ????=+-+=---+=-< ? ?????，
()2
()ln 20e a e e f a e e a a e a e
=+-+=+-+=≥
>， ()f x ∴在1e e ??
???
,中有一个零点，
∴函数()()ln f x x a x x a =+-+的零点个数为1个．
【点睛】 方法点睛：
利用导数解决函数零点问题的方法：
1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与
x 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论
的思想；
2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
3.分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ?=，研究直线y a =与()y x ?=的图像的交点问题.
22．（1）320x y --=；（2）答案不唯一，见解析 【分析】
（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程； （2）求导后，对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性可得最值. 【详解】
（1）当1a =时，()'
12f x x x
=+
，故()'
13f =， 又
()11f =，由点斜式可得13(1)y x -=-，即320x y --=，
∴切线方程为：320x y --=.
（2）()222a x a
f x x x x
+'=+=，
当0a ≥时，()()0,f x f x '≥在[]1,e 上单调递增，
()()min 11f x f ∴==，
当0a <时，由()0f x '=解得x =，设0x =
1≤，即2a ≥-，也就是20a -≤<时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈>单调递增，()()min 11f x f ∴==，
若1e <
<，即222e a -<<-时，[]()()01,,0,x x f x f x '∈≤单调递减，[]()()0,,0,x x e f x f x '∈≥单调递增.
故()()0min ln 1222a a a f x f x a ????==-
+=-- ? ?????
e ≥即22a e ≤-时[]()()1,,0,x e
f x f x '∈<单调递减.()()2min f x f e e a ∴==+，
综上所述：当2a ≥-时，()f x 的最小值为1； 当222e a -<<-时，()f x 的最小值为
ln 122a a ????-- ? ?????
当22a e ≤-时，()f x 的最小值为2e a +. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了分类讨论思想，考查了利用导数讨论函数的单调性，利用单调性求函数的最值，属于中档题.