湘教版九年级数学下册教案
课题：二次函数
【学习目标】
1．理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
【学习重点】
二次函数的概念及列二次函数解析式．
【学习难点】
在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式．
情景导入生成问题
旧知回顾：
1．什么是一次函数？
答：如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)．2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？
(1)正方形边长为a(cm)，它的面积S与a的函数关系式为__S＝a2__；
(2)已知正方体棱长为x(cm)，其表面积y(cm2)与x的函数关系式为__y＝6x2__；
(3)矩形长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，那么y与x的函数关系式为__y＝x2＋7x__．它们都不是一次函数．
自学互研生成能力
知识模块一二次函数定义及自变量的取值范围
阅读教材P2～P3，完成下列问题：
1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？
答：以上所列出的函数表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
2．如何求二次函数的自变量的取值范围？
答：二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制．
【例1】下列函数是二次函数的是(C)
A．y＝3x－1B．y＝－2 x
C．y＝x2＋2 D．y＝2(x－1)2－2x2
【变例1】已知y＝(m－1)xm2＋2m－1是关于x的二次函数，则m＝__－3__．
【变例2】已知函数y＝(a＋2)x2＋x－3是关于x的二次函数，则常数a的取值范围是__a≠－2__．
【例2】 有长为24m 的篱笆，如图所示，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.求S 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解：S ＝－3x 2＋24x.(143 【变例1】 若等边三角形的边长为x ，它的面积y 与x 之间的函 数关系式为y ＝34x 2，则x 的取值范围是__x>0__． 【变例2】 用一根长为60m 的绳子围成一个矩形，请写出这个矩形的面积y(m 2)关于一条边长x(m )的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围． 解：y ＝－x 2＋30x.(0 知识模块二 实际问题中的二次函数 【例3】 (安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三 月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__． 【变例1】 某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式：__y ＝x （x －1）2 __它__是__(选填“是”或“不是”)二次函数． 【变例2】 某商人将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，经试验，把这种商品每件提价1元，每天的销售量会减少10件，则每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为__y ＝－10x 2＋280x －1600(8≤x ≤20)__． 【变例3】 如图所示，农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房，则需要塑料布y(m 2)与其半径R(m )的函数关系式为(不考虑塑料埋在土里的部分)__y ＝πR 2＋30πR(R>0)__． 交流 展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次 通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一二次函数定义及自变量的取值范围 知识模块二实际问题中的二次函数 检测反馈达成目标 见光盘 课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________________ ____________ 2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________ 课题：二次函数的图象与性质——y＝ax2(a>0)的图象与性质【学习目标】 1．会用描点法画函数y＝ax2(a>0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质． 2．体会数形结合的转化，能用y＝ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题． 【学习重点】 理解并掌握图象的性质，会画y＝ax2(a>0)的图象． 【学习难点】 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．什么是二次函数？ 答：二次函数的定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． 2．描点法画函数图象一般步骤是什么？ 答：列表，描点，连线． 自学互研生成能力 知识模块一二次函数y＝ax2（a>0）的图象 阅读教材P5～P7，完成下列问题： 二次函数y＝ax2(a>0)的图象是怎样的？ 答：二次函数y＝ax2(a>0)的图象是一条抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，对称轴与图象的交点是原点． 【例1】函数y＝ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是(C) A．对称轴B．顶点坐标C．开口方向D．开口大小 【变例1】如图，函数y＝2x2的图象大致为(C) ,A),B),C) ,D) 【变例2】若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A) A．(2，4)B．(－2，－4) C．(－4，2) D．(4，－2) 【变例3】(柳州中考)抛物线①y＝3x2；②y＝2 3x 2；③y＝ 4 3x 2的 开口大小的次序应为(C) A．①>②>③B．①>③>② C．②>③>①D．②>①>③ 知识模块二二次函数y＝ax2（a>0）的性质 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象的性质有哪些？ 答：二次函数y＝ax2(a>0)的图象的性质：二次函数y＝ax2(a>0)的图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为右升；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为左降；当x＝0时，函数值有最小值，值为0. 【例2】已知原点是二次函数y＝(m－3)x2的图象上的最低点，则m的取值范围是(A) A．m>3B．m>－3C．m<3D．m<0 【变例1】已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在二次函 数y ＝2x 2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( D ) A ．y 1 B ．y 3 C ．y 1 D ．y 2 【变例2】 下列函数中，当x>0时，y 值随x 值的增大而减小的是( C ) A ．y ＝x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝1x D ．y ＝x 2 【变例3】 二次函数y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点P(b ，1)． (1)求a ，b 的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，该函数y 随x 的增大而增大． 解：(1)a ＝14，b ＝2； (2)y ＝14x 2，x>0. 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 二次函数y ＝ax 2(a>0)的图象 知识模块二 二次函数y ＝ax 2(a>0)的性质 检测反馈 达成目标 见光盘 课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________________ ____________ 2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________ 课题：y＝ax2(a<0)的图象与性质 【学习目标】 1．会用描点法画函数y＝ax2(a<0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质． 2．经历探索二次函数y＝ax2(a<0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验． 【学习重点】 类比y＝ax2(a>0)的图象性质，理解掌握y＝ax2(a<0)的图象性质．【学习难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 情景导入生成问题 旧知回顾： 二次函数y＝ax2(a>0)的图象性质是怎样的？ 答：(1)函数图象开口向上，并且有最低点(0，0)； (2)对称轴为y轴； (3)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大，简记为“左降右升”； (4)当x＝0时，函数有最小值，其最小值为0. 自学互研生成能力 知识模块一二次函数y＝ax2（a<0）的图象 阅读教材P8～P9，完成下列问题： 二次函数y＝ax2(a<0)的图象是怎样的？ 答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象是一条曲线，像这样的曲线叫作抛物线，它的开口向下，对称轴是y轴，对称轴与图象的交点坐标是(0，0)，又叫作抛物线的顶点． 【例1】若把函数y＝4x2沿x轴翻折，则所得函数对应的解析式是(D) A．y＝－1 4x 2B．y＝ 1 4x 2C．y＝4x2D．y＝－ 4x2 【变例1】下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是__(－1，－2)__．【变例2】已知抛物线y＝(a－4)x2的图象有最高点，则a的取值范围是__a<4__. 知识模块二二次函数y＝ax2（a<0）的性质 1．二次函数y＝ax2(a<0)的图象性质是怎样的？ 答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象的性质：二次函数y＝ax2(a<0)的图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为左升；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为右降；当x＝0时，函数有最大值，值为0. 2．二次函数y＝ax2与y＝－ax2(a>0)有何关系？ 答：(1)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于x轴对称；(2)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于原点中心对称；(3)|a|越大，抛物线的开口反而越小．【例2】已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在y＝－3x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y1>y2>y3__． 【变例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y ＝ax2的图象可能是(C) 【变例2】已知y＝nxn2－2是二次函数，且有最大值，则n的值为(B) A．2B．－2C．±2D．n ≠0 【变例3】下列四个函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝1 2x 2； ④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是__③①②④__． 【变例4】抛物线y＝－7x2开口__向下__，当x＝__0__时，y 有最__大__值，是__0__．当x__>0__时，y随x的增大而减小． 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一二次函数y＝ax2(a<0)的图象 知识模块二二次函数y＝ax2(a<0)的性质 检测反馈达成目标 见光盘 课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________________ ____________ 2．存在困惑： ____________________________________________________________ ____________ 课题：y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质 【学习目标】 1．能够画出y＝a(x－h)2的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响． 2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【学习重点】 掌握y＝a(x－h)2的图象及性质． 【学习难点】 理解y＝a(x－h)2与y＝ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．二次函数y＝ax2的图象是怎样的？ 答：二次函数y＝ax2图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫作抛物线的顶点． 2．填写下表： 自学互研 生成能力 知识模块 二次函数y ＝a （x －h ）2的图象与性质 阅读教材P 11～P 12，完成下列问题： 二次函数y ＝a(x －h)2图象是怎样的？它与y ＝ax 2有何关系？ 答：(1)二次函数y ＝a(x －h)2的图象是抛物线，它与抛物线y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)； (2)二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2平移得到．当h>0时，抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位得y ＝a(x －h)2；当h<0时，抛物线y ＝ax 2向左平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2. 【例1】 抛物线y ＝13(x －1)2的开口向__上__，对称轴是__直线 x ＝1__，顶点坐标是(1，0)，它向__左__平移__1__个单位可得到抛物 线y ＝13x 2. 【变例1】 对函数y ＝－13(x ＋1)2，当x__>－1__时，函数值y 随x 的增大而减小．当x__＝－1__，函数取得最__大__值，最__大__值为__0__． 【变例2】 对于抛物线y ＝35(x ＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x ＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x>－4时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【变例3】 抛物线y ＝－3(x －1)2的开口向__下__，对称轴是直线__x ＝1__，顶点坐标是__(1，0)__． 【例2】 某一抛物线和y ＝－3x 2的图象形状相同，对称轴平行于y 轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的解析式是__y ＝－3(x ＋1)2__． 【变例1】 已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3 【变例2】 若函数y ＝a(x ＋m)2的图象是由函数y ＝5x 2的图象 向左平移32个单位得到的，则a ＝__5__，m ＝__32__． 【变例3】 一座大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB ＝50m ，拱高(即顶点C 到AB 的距离)为20m ，建立如图所示的直角坐标系，顶点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，且AB ∥x 轴，求桥拱所在抛物线的表达式． 解：由题意得，顶点C(25，0)， ∴可设抛物线为y＝a(x－25)2，又∵(0，－20)在抛物线上， ∴625a＝－20，∴a＝－4 125. ∴所求抛物线的表达式为y＝－ 4 125(x－25) 2.(0≤x≤50) 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 检测反馈达成目标 见光盘 课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________________ ____________ 2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________ 课题：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质【学习目标】 1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，掌握y＝a(x －h)2＋k的图象和性质． 2．掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的位置关系． 3．理解y＝a(x－h)2＋k，y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k及y＝ax2的图象之间的平移转化． 【学习重点】 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质． 【学习难点】 分辨几种函数平移关系，识记它们的对称轴和顶点坐标的变化． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是怎样的？ 答：二次函数y＝a(x－h)2图象是抛物线，它的对称轴是直线x＝h，它的顶点坐标是(h，0)，当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下． 2．二次函数y＝－2(x＋4)2开口向__下__，顶点(－4，0)，当x ＝－4时，y有最大值0，当__x>－4__时，y随x的增大而__减小__；当__x<－4__时，y随x的增大而__增大__，它由y＝－2x2向__左__ 平移__4__个单位得到． 自学互研生成能力 知识模块一抛物线y＝a（x－h）2＋k图象的平移 阅读教材P13～P14，完成下列问题： 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象有何关系？ 答：二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象形状相同，位置不同．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位而得到． 【例1】由y＝2(x－3)2向__下__平移__5__个单位可以得到y ＝2(x－3)2－5，把y＝2(x－3)2－5向__左__平移__3__个单位，再向__上__平移__5__个单位，可以得到y＝2x2的图象． 【变例1】抛物线y＝－3(x＋2)2－3可由抛物线y＝－3x2平移得到，则下列平移过程正确的是(B) A．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【变例2】抛物线y＝－2 3(x－1) 2＋3的开口向__下__，顶点__(1， 3)__，对称轴是__直线x＝1__，它可由抛物线y＝－2 3x 2向__右__平移 __1__个单位，再向__上__平移__3__个单位得到． 知识模块二 二次函数y ＝a （x －h ）2＋k 图象的性质 【例2】 已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a ≠0)有最小值1，则a ，b 的大小关系为( A ) A ．a>b B ．a C ．a ＝b D ．不能确定 【变例1】 抛物线y ＝12(x ＋3)2－2的顶点坐标是__(－3，－ 2)__．二次函数y ＝－3(x －12)2＋5的对称轴是__直线x ＝12__． 【变例2】 如果抛物线y ＝(x ＋3)2 ＋12经过点A(1，y 1)和点B(3，y 2)，那么y 1与y 2的大小关系是y 1__<__y 2(选填“>”“<”或“＝”)． 【变例3】 (包头中考)函数y ＝k x 与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直 角坐标系中的大致图象可能是( B ) 【变例4】 如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是( C ) A ．y ＝(x ＋1)2－1 B ．y ＝(x ＋1)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一抛物线y＝a(x－h)2＋k图象的平移 知识模块二抛物线y＝a(x－h)2＋k图象的性质 检测反馈达成目标 见光盘 课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________________ ____________ 2．存在困惑：____________________________________________________________ ____________ 课题：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质【学习目标】
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