1.1二次函数
教学目标设计
1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求
1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求
1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计
由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。教学过程
导学提纲
设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的
巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
（一）前情回顾：
1.复习二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+ 2x－3的最值。
（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、抛物线在什么位置取最值？
（二）适当点拨，自主探究
1.在创设情境中发现问题
[做一做]：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？
2、在解决问题中找出方法
[想一想]：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？
（问题设计思路：把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）
3、在巩固与应用中提高技能
例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学
生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）
解：设垂直于墙的边AD=x米，则AB=（32-2x）米，设矩形面积为y米2，得到：Y=x（32-2x）=-2x2+32x
［错解］由顶点公式得：
x=8米时，y最大=128米2
而实际上定义域为11≤x ﹤16，由图象或增减性可知x=11米时， y最大=110米2 （设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）
（三）总结交流：
（1）同学们经历刚才的探究过程，想想解决此类问题的思路是什么？.
引导学生分析解题循环图：
（2）在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法？
二次函数（第1课时） 1内容简析 “二次函数的概念”是本章的第一课时，是一节概念课，数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心，因此概念教学耀格外的重视，把教学目标确定为对概念的理解和表达式的掌握，符合课标要求．此外，把观察、类比、猜想等思想方法和分析、综合、抽象、概括等思维能力的培养作为教学目标，符合知识发展规律和学生认知水平、能力培养要求． 2 教学目标 教学目标： 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式. 2. 会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围. 3.经历对实际问题情境分析，引导学生观察、类比、归纳等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等思维能力； 3 教学重难点 重点：二次函数的概念，经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 难点：确定问题中二次函数的关系式； 4 教学过程设计 4.1预习导航 知识准备： （１）一元二次方程的一般形式是什么？（发挥学生积极性，请学生回答。）（２）回忆学过的正比例函数、一次函数、反比例函数的一般形式又是怎样的？提出问题（展示交流）
1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是_______________________. 2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为____________________. 3．要给一个边长为x (m )的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是___________________________. 4.2 归纳提高（讨论归纳）： 观察上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 【设计意图】以复习的方式把学生的思路引导函数大家庭中，暗示寻找新的家庭成员，培养学生的求知欲。 “复习”不是单纯对知识的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，通过对一次函数、反比例函数表达式的回顾、比较，体会不同函数形式与函数名称之间的区别，为本节课二次函数概念的类比教学打下坚实的基础． 5 课堂探索与展示： 5.1 自觉思考 你对“二次函数”这个课题有什么感到好奇的地方？说出你想提出的问题！在这节课中，我们首先要关注什么问题？ (1)二次函数的概念； (2)二次函数关系式的简单应用； 2．唤醒已有知识和经验： （1）看到函数你会想到什么数学知识？ 一次函数：形如y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数） 反比例函数：形如 y= （k ≠0，k 为常数）k x …… （2）看到二次你会想到什么数学知识？ 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数） …… （3）猜想
二次函数教案-二次函数教案 二次函数教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k 对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记 二次函数能够利用二次函数的对
称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响。二次函数教案但我科在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记 二次函数的应用3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学过程：由合作学习3引入:拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大.图案(4)小结：实际
问题转化为数学模型。作业：作业本。 二次函数的图象和性质主备人 用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标会用描点法画出二次函数的图像；2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；重点会画形如的二次函数的图像难点的二次函数的顶是由抛物线怎样移动得到的？四、总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a能决定什么？怎样决定的？2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？ 二次函数主备人用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。重点经历探索二次函数关间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S与
第二章 二次函数 第1课时 二次函数 一、阅读课本： 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽 然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为___________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_____________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3 时，x 的值．
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
26.1二次函数及其图象 三水中学吴世斌 第二课时 学习内容：26.1.2 二次函数y=ax2的图象 学习目标： 1、会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。学习重点：理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。 学习难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。 学习过程： 一、自主学习： （一）、提出问题 1.我们回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? （二）、范例 例1、画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的 坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 1、提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （1）抛物线概念： （2）顶点概念： 2、由图象可得二次函数y＝x2的性质： （1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________． （2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．（3）自变量x的取值范围是____________． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称． （5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． （6）抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）． （三）、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 解:
二次函数教案设计 一、基本信息 设计者：蔡际钧（数学112） 教材：浙江教育出版社九年级数学第三章二次函数 课时：２课时 二、教学内容分析 本节主要内容是使学生了解二次函数的概念，二次函数y=ax2(a≠0)的图像，初步学会用待定系数法求二次函数解析式，以及函数与一元二次方程的相互关系等内容。综合性较强是本章的主要难点，一个显著的特点就是数形结合紧密，综合应用知识要求高，掌握最一般的二次函数y=ax2 (a≠0)的图像和性质，了解二次函数的增减性，教学中应该充分利用直观图像，多媒体等辅助手段，来加强教学的直观性、动态性。 三、教学（学习）目标与重难点 知识与技能：1.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；2.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。 过程与方法：通过学习对二次函数的了解，做出二次函数的图像，运用数形结合的方法掌握二次函数的性质。教师引导——自主探究——合作交流 教学重点： 二次函数的概念；会画二次函数y=ax2图象；了解二次函数的增减性；待定系数法求二次函数的解析式。 教学难点： 1．探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。 2．了解二次函数的一般式及特殊形式，掌握y=ax2的图像和性质， 四、学习者分析 二次函数的教学对象是九年级学生，在此之前他们学习了正比例函数，一次函数和反比例函数。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基础的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数，体会函数的思想奠定基础和积累经验。为高中阶段继续学习函数做好铺垫。要教会学生画图像，学会观察图像，借助图像理解与掌握二次函数的图像与性质解决相关问题，并能运用到解决实际问题中。，学习中要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言和图形语言的灵活转换，但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，。要体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法及性质的灵活应用仍然是他们的难点。 五、教学策略选择与设计 本节课主要采用讲解法和自主探究法，教师通过一定的引导，把学生引导到函数学习的氛围上。在教学过程中，教师让学生通过描点法来发现二次函数图像的特点，以及发现二次函数的一些基本的性质，自主学习是本章学习的主要学习方式，让学生在学习中发现和掌握二次函数的图像和性质。 六、教学资源与工具设计 教学环境：多媒体教室 资源准备：教学课件
最新二次函数数学教案范文 二次函数的基本表示形式为y=ax?+bx+c(a≠0).二次函数最高次必须为二次, 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线.二次函数表达式为y=ax?+bx+c(且a≠0),它的定义是一个二次多项式(或单项式).下面就是小编给大家带来的初三数学二次函数教案及教学方法,希望能帮助到大家! 数学《二次函数》教案一 教学目标 (一)教学知识点 1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 2.进一步发展估算能力. (二)能力训练要求 1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验. 2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想. (三)情感与价值观要求 通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力. 教学重点 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 教学难点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 教学方法 学生合作交流学习法. 教具准备 投影片三张 第一张:(记作§2.8.2A)
第二张:(记作§2.8.2B) 第三张:(记作§2.8.2C) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根. 数学《二次函数》教案二 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标. (二)能力训练要求 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神. 2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想. 3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识. (三)情感与价值观要求 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 2.具有初步的创新精神和实践能力. 教学重点
26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：①2 6y x =；②2 35y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④3 2y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
二次函数 【教学目标】 1．经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2．了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 【教学重难点】 体会二次函数意义，确定二次函数关系式中各项的系数。 【教学过程】 一、情景创设 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是____________。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？设长方形的长为x 米，则宽为____________米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为________________________。 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与______有关，为_______元，踢脚线的费用与 有关，为____________元；其他费用固定不变为____________元，所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是________________________。 二、新知探索 上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？________________________________________________________________。 一般地，我们称________________________表示的函数为二次函数。 其中____________是自变量，____________函数。 一般地，二次函数 c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是____________，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 三、典例分析 例1．判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数A ．B ．C 的值。
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26．2 二次函数的图象与性质 教学目标： 1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点 1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗? [实践与探索] 例1．求下列函数的最大值或最小值． （1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0， 因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值． 因为5322--=x x y =8 49)43 (22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是8 49-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值． 因为432+--=x x y =4 25)23 (2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是4 25．
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 教学目标 【知识与技能】 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】 通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点 1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？ 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 二、思考探究，获取新知 全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给 予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=1 2 n(n-1)而不 是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一. 思考函数y=6x2，m=1 2 n2- 1 2 n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】 针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习. 三、运用新知，深化理解 1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。 34.1 认识二次函数（第1课时）教案 教学任务分析 教学目标知识与技能 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题； 过程与方法通过画二次函数的图象，提高动手能力； 经历画图、观察、分析、总结、归纳的过程，总结出二次函数的性质. 情感态度价值观体会数形结合的思想方法； 重点二次函数的图象和性质； 难点函数性质的应用. 教学流程安排 活动说明活动目的 活动1 回顾一次函数 活动2二次函数概念学习活动3解析 活动4观察 活动5布置作业为二次函数的学习做准备学二次函数的有关概念巩固二次函数 小结复习 加强练习 教具学具补充材料 电脑、投影仪课件资源、投影仪
问题与情景师生行为设计意图 活动1： 1.我们以前学过函数，函数是用来描述一个量与另一个量之间的对应关系的，大家回忆一下，我们到现在都学过哪些函数？ 2.请描述一下你对一次函数、反比例函数是如何理解的. 3.在现实生活中，我们除了接触到一次函数、反函数，我们还会遇到另外一种函数——二次函数，现在我们就来认识二次函数. 活动2： 我们看引言中正方体的表面积的问题. 正方体的六个面是全等的正方形（图 26.1–1），设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y＝6x2① 我们再来看几个问题. 问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 师引导设问 学生回答 师引导设问 学生活动：一般地，形 如y=kx+b（k、b是常数， k≠0）的函数是一次函数， 例如：y=2x+1，y= 1 2x等都 是一次函数.形如y=1 kx- （k≠0）的函数就是反函 数，例如：y=1 3x-. 引导设问 学生解答，教师点评 学生解答教师点评 学生解答教师巡视指导 回忆到现在都学过的函数 回忆一次函数、反比例函 数的概念 引出二次函数 从实际情境中感受二次函 数
2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 -
22．5 二次函数的应用 岑川中学龙小丹 一、教学目标 1、知识与技能： 通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2、过程与方法： 通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3、情感态度价值观： 通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。 二、重点、难点 教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题 教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用 三、教学方法与手段的选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，因而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。 四、教学流程 （一）复习引入 （1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？（2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为：
（二）讲解新课 1、在情境中发现问题 [做一做] 1）、你能够画一个周长为40cm 的矩形吗？ 2）、周长为40cm 的矩形是唯一的吗？ 3）、谁画出的矩形的面积最大？ 4）、有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？ 2、在解决问题中找出方法 [想一想]：某小区想用40m 的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？ 3、在巩固与应用中提高技能 变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m ） 那么此时用40m 的栅栏可以围成矩形的面积 （1）能够为202m 2 吗？ （2）能够为200m 2 吗？ （3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。 在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。 （三）、师生小结 1、通过本节课的探讨，在实际问题中求解最值，你有怎样的收获？ 2、体会数学的价值
二次函数 第一课时：22.1 二次函数（1） 教学目标 知识与技能： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 过程与方法： 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 情感、态度与价值观: 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学难点：求出函数的自变量的取值范围。 教学用具：多媒体 教学过程： 一、问题引新 1.设矩形花圃的垂直于墙（墙长18）的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， 2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题， (1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=x(20－2x) 二、提出问题，解决问题 1.引导学生看书第二页问题一、二 2.观察概括
y=6x2 d= n /2 (n－3) y= 20 (1－x)2 以上函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项) 3.二次函数定义： 形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。 4.课堂练习 （1） (口答)下列函数中，哪些是二次函数? y=5x＋1 y=4x2－1 y=2x3－3x2 y=5x4－3x＋1 （2）P29练习第1，2题。 五、小结叙述二次函数的定义。 六、作业：课本第14页习题1.2 七、板书 课后反思： 第二课时：22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学目标 知识与技能： 使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 过程与方法： 使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的
1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a/0)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。 能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。 2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。 情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。 2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。 方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式"为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。 为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。 教学过程 导学提纲 设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 （一）前情回顾： 1.复习二次函数y=ax2+bx+C(a0)的图象、顶点坐标、对称轴和最值 2.（1）求函数y=X2+2x-3的最值。 （2）求函数y=×2+2x-3的最值。（0sx≤3）3、抛物线在什么位置取最值？ （二）适当点拨，自主探究1.在创设情境中发现问题请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？ 2、在解决问题中找出方法 某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和竞各取多少米，才能使存放场地的面积最大？ （问题设计思路：把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值？？我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含×的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习