第八章 立体几何初步第4课时 平面与平面的位置关系
1. (必修2P50习题1改编)设a 、b 为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题： ① 若a ∥α且b ∥α，则a ∥b ；② 若a ⊥α且b ⊥α，则a ∥b ；③ 若a ∥α且a ∥β，则α∥β；④ 若a ⊥α且a ⊥β，则α∥β.
其中为真命题的是________．(填序号)
2. (必修2P49练习4改编)如果平面α⊥平面β，直线l ⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系是________．
3. (必修2P48习题12改编)已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a ⊥α，a ∥β，则α、β的位置关系是________．
4. (必修2P51习题16改编)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γT
⊥γ”是真命题，如果把
α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是________． 5. (必修2P49练习4改编)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
① ?????a ∥c ，b ∥c Ta ∥b ；② ?????a ∥γ，b ∥γTa ∥b ；③ ?????c ∥α，c ∥βTα∥β； ④ ???
?
?α∥γ，β∥γTα
∥β；⑤ ?
????α∥c ，a ∥c Tα∥a ；⑥ ???α∥γa ∥γTa ∥α. 其中正确的命题是________．(填序号)
1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行．
2. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
3. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．
4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
题型1两平面的平行
例1(江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、SC的中点．求证：(1) 平面EFG∥平面ABC；(2) BC⊥SA.
变式训练
如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．
备选变式（教师专享）
在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：平面B1AC∥平面DC1A1.
题型2两平面的垂直关系
例2如图，三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，
AD上的动点，且AE
AC＝AF
AD＝λ(0＜λ＜1)．
(1) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.
备选变式（教师专享）
(江宁高中期中)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.
(1)求证：C1E∥平面ADF；(2) 设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?
题型3平行与垂直的综合问题
例3如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图
②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点．求证：
(1) 直线FM∥平面A1EB；(2) 平面A1FC⊥平面A1BC.
【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，G 、H 分别为DC 、BC 的中点．
(1) 求证：平面FGH ∥平面BDE ；(2) 求证：平面ACF ⊥平面BDE. 学生错解： 证明：
(1) 如图，设AC 与BD 交于点O ，连结OE 、OH.由已知EF ＝12AB ，得EF ∥12AB.
∵ OH ∥=1
2AB ，∴ EF ∥=OH ，∴ 四边形OEFH 为平行四边形，∴ FH ∥EO.
∵ G 、H 分别为DC 、BC 的中点，∴ GH ∥DB.∴ 平面FGH ∥平面BDE. (2) 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC.又EF ∥AB ，∴ EF ⊥BC ， 而EF ⊥FB ，∴ EF ⊥平面BFC.∵ FH ì平面BFC ，∴ EF ⊥FH.
∴ AB ⊥FH.又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴ FH ⊥BC ，∴ FH ⊥平面ABCD. ∴ FH ⊥AC.又FH ∥EO ，∴ AC ⊥EO.又AC ⊥BD ，∴ AC ⊥平面BDE. 又AC ì平面ACF ，∴ 平面ACF ⊥平面BDE.
审题引导： (1) 探索求解过程的关键是弄清线线平行线面平行面面平行；线线垂直线面垂直面面垂直；不要跳步造成错误，如本例(1)，易出现由线线平行直接推得面面平行，从而导致证明过程错误．(2) 正确理解运用线线、线面、面面的平行、垂直关系的判定定理和性质定理，特别注意将条件写完整，不可遗漏，如本例(2)在证明线、面垂直时，没有指出线线相交，就直接写出线面垂直，造成导致证明过程不严谨． 规范解答：
证明： (1) 如图，设AC 与BD 交于点O ，连结OE 、OH ，由已知EF ＝12AB ，得EF ∥1
2AB.(2分)
∵ OH ∥=1
2AB ，∴ EF ∥=OH ，∴ 四边形OEFH 为平行四边形，∴ FH ∥EO.(4分)
∵
平面BDE ，
平面BDE ，∴ FH ∥平面BDE.∵ G 、H 分别为DC 、BC 的中点，∴ GH ∥DB.
∵ GH ?平面BDE ，DB ì平面BDE ，∴ GH ∥平面BDE.又∵ FH∩GH ＝H ，∴ 平面FGH ∥平面BDE.(6分) (2) 由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC.又EF ∥AB ，∴ EF ⊥BC ，(8分)
而EF ⊥FB ，BC∩FB ＝B ，∴ EF ⊥平面BFC.FH ì平面BFC ，∴ EF ⊥FH.(10分)
∴ AB ⊥FH ，又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴ FH ⊥BC ，AB∩BC ＝B ，∴ FH ⊥平面ABCD. ∴ FH ⊥AC ，又FH ∥EO ，∴ AC ⊥EO.(12分) 又AC ⊥BD ，EO∩BD ＝O ，∴ AC ⊥平面BDE.又AC ì平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BDE.(14分)
错因分析：证明两平面平行、垂直关系时一定要正确运用两平面平行或垂直的判定定理，并将相应的条件写全．本题(1)直接由线线平行推得面面平行，不符合面面平行的判定定理，导致证明过程不严谨．(2)在证明线、面垂直时，没有指出相交的条件；导致证题过程不正确．
1. (常州调研)给出下列命题：
①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，真命题是________．(填序号)
2. 下列命题错误的是________．(填序号)
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；
④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.3题图
3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
4. 如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE 沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：(1) AE⊥BD；(2) 平面PEF⊥平面AECD.
图①图
5. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
1. 在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．
(1) 求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2) 求该多面体的体积．
2. 如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直．EF∥BD，AB＝2EF.求证：
(1) BF∥平面ACE；(2) BF⊥BD.
3. 如图，在正三棱柱ABCDEF中，AB＝2，AD＝1.P是CF的延长线上一点，FP＝t.过A、B、P三点的平面交FD于M，交FE于N.(1) 求证：MN∥平面CDE；(2) 当平面PAB⊥平面CDE时，求t的值．
4. (徐州三模)如图，AB、CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE.求证：
(1) 平面BCEF⊥平面ACE；(2) 直线DF∥平面ACE.
1. 判断或证明面面平行的常用方法：
(1) 利用两个平面平行的定义；
(2) 利用两个平面平行的判定定理(aìα，bìα，a∩b＝A，a∥β，b∥βT∥β)．
2. 判定面面垂直的方法：
(1) 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；
(2) 利用平面与平面垂直的判定定理(l⊥α，lìβTα⊥β)．
3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用：
(1) 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；
(2) 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径．
4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的．
高考数学经典题型归纳 数学是人类探究世界，研究自然界任何事物的核心。小编准备了高考数学经典题型，希望你喜欢。 多元函数积分学 解读：在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。备考这一部分重点掌握各类多元函数积分的计算。对于数学二、三的考生而言，每年的命题热点在二重积分的计算。对于数学一的考生而言，除重积分(包括二重及三重积分)的计算外，还需注意曲线面积分的计算，三个公式：格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的应用。 重点分布： 1.二重积分的计算 2.三重积分的计算(数一) 3.曲线积分的计算(数一，重点) 4.曲面积分的计算(数一，重点) 级数 解读：无穷级数，属于数学一和数学三的备考范围。主要考察点有两个，一是常数项级数的敛散性，二是幂级数的收敛域、求和及将函数展开为幂级数。考生要掌握其常数项级数敛散性判别的一般方法，对于正项级数的判敛方法比较多，
一般类型的级数通过绝对收敛的性质与正项级数相联系，交错级数用莱布尼茨判别法。对于幂级数，掌握求和的一般思路，同时注意注明和函数的收敛域，这是容易忽略的一点。重点分布： 1.求幂级数的和函数 2.将函数展开成幂级数 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。不等式的证明 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。解读：不等式的证明是思路较为灵活的一类题型，这也是一般考生认为它是比较难的考点，建议考生掌握证明不等式的一般思路，如利用构造辅助函数，函数的单调性来构筑从已知到结论的一个桥梁。另外，不等式证明是证明题的一类，证明题在解答题中一般多考察中值定理的应用，考查考
2019高三数学总复习资料 高三数学总复习资料：立体几何 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形. (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形. (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形. (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一
周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形. (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径. 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度. 高三数学总复习资料：直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当时,;当时,;当时,不存在.
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2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如 数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ={0，1，2，①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N + 3，…}； ②描述法：一般格式：{} ∈，如：{x|x-3>2}， x A p x () {(x,y)|y=x2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: ;A B A B A ??=A B A B B ??= 注：本章节五个定义 1.子集
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③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 (二) 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这
精心整理 文科艺术生高考复习数学试题内容：集合与简易逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图 1.已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为（） A.{}1 B.{}2,1 C.{}32,1， D.{}21,0， 2.命题“∈?x R,0123=+-x x ”的否定是（） A ．∈?x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R,0123≠+-x x C ．∈?x R,0123=+-x x D ．∈?x R,0123≠+-x x 3．已知函数()1,0,, 0.x x x f x a x -≤?=?>?若()()11f f =-，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知ni i m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 5．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212 a b +≥”的否命题是（） A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2 a b a b +=+<则 C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12 a b a b +≥+=则 6．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（） （A ）10（B ）11（C ）12（D ）16 7.“x x 22-<0”是“40< 2015艺考生高考数学总复习讲义 第一章、集合基本运算 一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…； 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合 第1部分：简易逻辑与基本初等函数18-58 题型1：已知命题P为假命题，求x取值范围易错点 题型2：充要条件的判断及利用充要条件求参问题 题型3：常考的函数的定义域、值域 题型4：利用解方程组求一类函数解析式 题型5：锚点法秒杀比较大小题秒珠连连 题型6：已知分段函数的单调性求参数值及单调性反向考查的解答策略题型7：幂函数考查角度探秘 题型8：函数单调性与奇偶性综合考查绝杀手段 题型9：比较大小之比较棘手的3类题目与解答方法归类 题型10：根据函数奇偶性求参数值没有最好只有更快 题型11: 奇函数+C型函数的特别性质，又称中值秒杀模型 题型12: 你不可不知的一类隐形奇、偶函数，快是因为渊博 题型13：函数的对称性-轴对称题型的解答模式 题型14：两大技法秒杀图像选择题 题型15：分段函数的奇偶性题型，要想快就得砍 题型16：秒杀函数性质小题之构造特殊函数法，速度无敌 题型17：数形结合策略题的13个盲区就得全覆盖 题型18：反函数问题解答的就是压轴题 题型19：皇帝的新装一类有具体函数外衣下的抽象函数不等式的解法题型20：函数的对称性-点对称题型的解答模式 题型21：迅速求解复数的模问题既准又快 题型22：二次函数恒成立问题不得不搞明白的基础 题型23：零点和或积的计算有妙法 题型24：分段函数的零点求参问题任你东西南北风 题型25：函数的零点与不等式的结合你可真是无处不在 题型26：函数周期性的几个重要结论及应用轮回到哪个周期我依然是我题型27：函数图象辨析题型解答策略数学灵魂的载体 第2部分：导数部分58-118页 题型28：巧用临界位置的切线破解参数取值范围天山横断南北 题型29：利用同构解高考试题（同构技巧） 题型30：利用两个简单不等式解导数大题四两拨千斤 题型31：导数大题：函数零点个数与参数范围的破解途径 题型32：高考函数导数“多元”问题中的消元 题型33：极值点偏移之构造函数法 题型34：两条公切线的压轴题破解 题型35：函数不单调问题的处理策略 题型36：用三次函数性质秒杀三次函数 题型37：含参函数求解单调区间的题型 题型38：端点处取等的不等式恒成立问题 成人高考数学复习资料 集合和简易逻辑 考点：交集、并集、补集 概念： 1、由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”（求公共元素）A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2、由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”（求全部元素）A∪B={x|x∈A,或x∈B} 3、如果已知全集为U，且集合A包含于U，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A的补集，记作 A C u,读作“A补” A C u={ x|x∈U，且x?A } 解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现 考点：简易逻辑 概念： 在一个数学命题中，往往由条件A和结论B两部分构成，写成“如果A成立，那么B成立”。充分条件：如果A成立，那么B成立，记作“A→B”“A推出B，B不能推出A”。 必要条件：如果B成立，那么A成立，记作“A←B”“B推出A，A不能推出B”。 充要条件：如果A→B,又有A←B，记作“A←B”“A推出B ，B推出A”。 解析：分析A和B的关系，是A推出B还是B推出A，然后进行判断 不等式和不等式组 考点：不等式的性质 如果a>b，那么b 第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学总复习讲义：积分 知识讲解 一、函数定积分 1.定义：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把 区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +?=-=-， ，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 0()n n i i i I f x ξ-==?∑． 当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定 积分，记作()b a f x dx ?，即1 00()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑?．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积． 2.曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ， 上的定积分，即()b a S f x dx =?． 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割．在区间[]a b ， 中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -?=-， 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． y=f (x )O y x b a 高考最有可能考的50题 (数学文课标版) （30道选择题+20道非选择题） 一．选择题（30道） 1．集合}032|{2 <--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M I 等于 A ．(1,1)- B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1,0)- 2．知全集U=R ，集合 }{ |A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ?= A ．[1,)+∞ B ．()1+∞， C ．[0)∞，+ D ．()0∞，+ 3．设a 是实数，且 112 a i i +++是实数，则a = A.1 B.12 C.3 2 D.2 4． i 是虚数单位，复数1i z =-，则2 2 z z += A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 5． “a=-1”是“直线2a x y 60-+=与直线4x (a 3)y 90--+=互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.既不充分也不必要条件 6．已知命题p ：“βαsin sin =，且βαcos cos =”，命题q ：“βα=”。则命题p 是命题q 的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件 7．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是 （A ）(42，56] （B ）(56，72] （C ）(72，90] （D ）(42，90) 9．如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为 A ．?2≤n B ．?3≤n C ．?4≤n D ．?5≤n 10．在直角坐标平面内，已知函数()log (2)3(0a f x x a =++>且1)a ≠的图像恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则2 cos sin 2θθ+的值等于（ ） A ．12- B ．12 C. 710 D ．7 10 - 11．已知点M ，N 是曲线x y πsin =与曲线x y πcos =的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 12．如图所示为函数()()2sin f x x ω?=+(0,0ω?π>≤≤)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ） x y O 2 2- A B 2020高考数学复习资料 任一x∈Ax∈B，记作AB AB，BAA=B AB={x|x∈A，且x∈B} AB={x|x∈A，或x∈B} card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q 逆否命题若q，则p (2)四种命题的关系 (3)AB，A是B成立的充分条件 BA，A是B成立的必要条件 AB，A是B成立的充要条件 1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法②描述法 ③韦恩图④数轴法 3.集合的运算 ⑴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n 真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2 圆的切线方程 (1)已知圆. ①若已知切点在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率 ②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. ③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线. 线线平行常用方法总结： (1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。 (2)公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。 (3)初中所学平面几何中判断直线平行的方法 (4)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。 (5)线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。 (6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 线面平行的判定方法: ⑴定义：直线和平面没有公共点. 第1部分：简易逻辑与基本初等函数 题型1：已知命题P为假命题，求x取值范围易错点 题型2：充要条件的判断及利用充要条件求参问题 题型3：常考的函数的定义域、值域 题型4：利用解方程组求一类函数解析式 题型5：锚点法秒杀比较大小题秒珠连连 题型6：已知分段函数的单调性求参数值及单调性反向考查的解答策略题型7：幂函数考查角度探秘 题型8：函数单调性与奇偶性综合考查绝杀手段 题型9：比较大小之比较棘手的3类题目与解答方法归类 题型10：根据函数奇偶性求参数值没有最好只有更快 题型11:奇函数+C型函数的特别性质，又称中值秒杀模型 题型12:你不可不知的一类隐形奇、偶函数，快是因为渊博 题型13：函数的对称性-轴对称题型的解答模式 题型14：两大技法秒杀图像选择题 题型15：分段函数的奇偶性题型，要想快就得砍 题型16：秒杀函数性质小题之构造特殊函数法，速度无敌 题型17：数形结合策略题的13个盲区就得全覆盖 题型18：反函数问题解答的就是压轴题 题型19：皇帝的新装一类有具体函数外衣下的抽象函数不等式的解法题型20：函数的对称性-点对称题型的解答模式 题型21：迅速求解复数的模问题既准又快 题型22：二次函数恒成立问题不得不搞明白的基础 题型23：零点和或积的计算有妙法 题型24：分段函数的零点求参问题任你东西南北风 题型25：函数的零点与不等式的结合你可真是无处不在 题型26：函数周期性的几个重要结论及应用轮回到哪个周期我依然是我题型27：函数图象辨析题型解答策略数学灵魂的载体 第2部分：导数部分 题型28：巧用临界位置的切线破解参数取值范围天山横断南北 题型29：利用同构解高考试题（同构技巧） 题型30：利用两个简单不等式解导数大题四两拨千斤 三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余 ） ． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b == ，3 ()126 22 f a b π = += ，所以4b = ，a = （2 ）()24cos 24 f x x x π =++=故当226 2 x k π π π+ =+ 即(6 x k k π π=+ 点评： 结论sin cos a b θθ+= 解决三角函数的图象、单调性、最值、点内容． 题型2 三角函数的图象：三角函数图象从重点考查的问题之一． 例3．（2009只需将函数sin 2y x =的图象 B ．向右平移 5π 12个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 552sin 2sin 232612x x x ππππ????? ?++=+=+ ? ? ??????? ， 5π 12 个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008 图象是 分析解析：函数tan y x =点评题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 已知πcos sin 6αα? ?-+= ?? ?7πsin 6α??+ ?? ?的值C ．45 - D ． 45 )6 π α+，将已知条件分拆整合后解决． 34sin sin 6522565πααα? ??+=?+= ?? ?? ?，所以74sin sin 6 65ππαα??? ?+ =-+=- ? ? ? ?? ?． A 2021高考文科数学核心考点总结 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的 试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这 些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查 有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中 深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数 函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数 、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。 导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求 函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是 导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一 些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三：三角函数与平面向量 一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一 道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道 和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向 量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概 念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、 共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基 本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解 析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、 性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合 运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量 2019-2020学年高考数学复习讲义 平面几何 一、考试要求：平面几何是自主招生考试中北约、华约、卓越共同考查的内容，主要考查平 面图形中三边角关系以及长度、角度、面积的计算；考查学生逻辑思维能力，推理认证 能力及计算能力. 二、知识准备： 定理：梅涅劳斯定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延长线与一条不经过其 顶点的直线交于P 、Q 、R 三点，则1=??RB AR QA CQ PC BP . 梅涅劳斯逆定理：设P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或他们的延 长线上三点，若有1=??RB AR QA CQ PC BP ，则P 、Q 、R 三点在同一条直线上. 三、题型训练： 类型一：凸多边形有关的计算或证明 例1：（2012北约）求证：若圆内接五边形的两个角都相等，则它为正五边形. 例2：（2008北约）求证：边长为1的正五边形对角线长为2 15+. 例4：（2013北约）如果锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边距离比. 例5：（2009北大）圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4.求圆的半径. 例6：（2011北约）在△ABC 中，若c b a 2≥+，证明 60≤∠c .其中∠A,∠B,∠C 的对 边 分别为c b a ,,. 例7：（2009中国科技大）如图：已知D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的三等分点.且EC ＝ ２AE ，BD ＝２CD ，AF ＝２BF ，若1=?ABC S ，试求PQR S ?. 例８：（２０１１华约）如图，已知△ABC 的面积为２，D ，E 分别 为边AB ，AC 上的点， F 为线段DE 上一点，设z DE DF y AC AE x AB AD ===,,，且1=-+x z y .则△BD 下面 积的最大值为（ ） A. 278 B. 2710 C. 2714 D. 27 16 高三数学复习资料汇总 数学是一个系统化的逻辑体系，它有着明确的结构。在这个结构的体系中，数学知识具有一定的抽象性和具体性。下面是为大家整理的有关高三数学复习资料，希望对你们有帮助!高三数学复习资料汇总1(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是 x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(A,B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系 一、 集合的概念 1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合． 集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?； 2． 集合的性质： 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L 2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内． 例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=} 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元 素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 3． 常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ． 三、 集合之间的关系 1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 2． 简单性质：1）A ?A ；2）??A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； 3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ?且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作 A B ü（或B A Y） 4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且B A ? ，那么集合A 与B 相等，记作A B = 集合的概念及其关系 知识讲解 高考数学必考题型以及题型分析 大家觉得数学难不难?很多学生都觉得数学相当难，尤其是文科生。数学对于文科生来说是拉开分数的关键。数学学得好的同学能得130分以上，数学差的学生可能就只有几十分。下面是小编为大家带来的高考数学必考题型以及题型分析，希望能帮到大家! 高考数学必考题型以及题型分析 第一，函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式 主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七，解析几何 高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 一、高考各章节占比情况 1.集合(必修1)与简易逻辑，复数(选修)。分值在10分左右(一两道选择题，有时达到三道)，考查的重点是计算能力，集合多考察交并补运算，简易逻辑多为考查充分与必要条件及命题真伪的判别，复数一般考察模及分式运算。 2.函数(必修1指数函数、对数函数)与导数(选修)，一般在高考中，至少三个小题一个大压轴题，分值在30分左右。以指数函数、对数函数、及扩展函数函数为载体结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)以选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。压轴题，文科以三次函数为主，理科以含有ex ，lnx的复杂函数为主，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立零点为设置条件，求解范围或证明结论为主。 3.立体几何(必修2)：分值在22分左右(两小一大)，两小题以基 文科数学题型及其特点 1.全国卷文科数学卷概述 高考数学全国卷一共考22道题，选择题12道，填空题4道，解答题5道，选做题1道。 2.高考全国卷数学题型 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-12题，满分60分。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13-16题，满分20分。 三、解答题：每小题满分12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17-21题，满分60分。 22-24题，满分10分。 考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。其中22小题为选修4-1：几何证明；23小题为选修4-4：坐标系与参数方程；24小题为选修4-5：不等式选讲。 3.高考全国卷新课标Ⅰ数学命题规律 （1）函数与导数：2—3个小题，1个大题，客观题主要以考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查;解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题。 （2）三角函数与平面向量：小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利 用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查(注意在实际问题中的考查)或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查. （3）数列：2个小题或1个大题，小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题;解答题以考查等差(比)数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推为主. （4）解析几何：2小1大，小题一般主要以考查直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解，大题一般以直线与圆锥曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线之间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等. （5）立体几何：2小1大，小题必考三视图，一般侧重于线与线、线与面、面与面的位置的关系以及空间几何体中的空间角、距离、面积、体积的计算的考查，另外特别注意对球的组合体的考查.解答题以平行、垂直、夹角、距离等为考查目标. 几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主。 （6）概率与统计：2小1大，小题一般主要考查频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样(特别是分层抽样)、排列组合、二项式定理第几个重要的分布.解答题考查点比较固定，一般考查离散型随机变量的分布列、期望和方差.仍然侧重于考查与现实生活联系紧密的应用题，体现数学的应用性. （7）不等式：小题一般考查不等式的基本性质及解法(一般与其他知识联系，比如集合、分段函数等)、基本不等式性质应用、线性规划;解答题一般以其他知识(比如数列、解析几何及函数等)为主要背景，不等式为工具进行综合考查,一般较难。 （8）算法与推理：程序框图每年出现一个，一般与函数、数列等知识结合，难度一般;推理题偶尔会出现一个. （9）选考：几何证明主要考查圆内接四边行、圆的切线性质、圆周角与弦 高考数学一轮复习模拟试题集 第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系 1．(2011年江西)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N ) N U ?(∩)M U ?) D ．(N U ?(∪)M U ?C ．( ) ＝(N ＝{2,4}，则N U ?∩M ＝{1,2,3,4,5}，N ∪M ＝U 设全集)年湖南(20112． A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4} ) 为(B ∪A ，则???? ?? 12＝B ∩A }，若b ，a ＝{B }，a ＝{1,2A 3．已知集合 ? ?????－1，12B. ??????12，1，b A. ????? ?－1，12，1D. ? ?????1，12C. 4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图 如图K1－1－1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) 图K1－1－1 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．无穷多个 5．(2011年广 的元素个数B ∩A }，则x ＝y 为实数，且y 、x )|y ，x ＝{(B ＝1}，2y ＋2x 为实数，且y ，x )|y ，x ＝{(A 已知集合)东为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ) ＝(P U ?，则?????? ????y ??? y ＝1 x ，x>2＝P >1}，x ，x 2＝log y |y ＝{U 已知)年湖北2011(6． ???? ??1 2 ，＋∞A.艺考生高考数学总复习讲义
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