第五章 二次曲线的仿射性质
如果将仿射变换
(5.0.1) 111112213
221122223
''x a x a x a x a x a x a =++??
=++? 1112
2122
0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设
''
1212''3333
',',,x x x x
x y x y x x x x ====，
于是(5.0.1)化为
'112
111213'
333
'212212223'3
33x x x a a a x x x x x x a a a
x x x ?=++????=++??
设'
33x x ρ=，上式变为
(5.0.2) 1111122133
221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++??
=++?≠≠??=?
上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。
显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。
本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。
§1 二次曲线的仿射性质
1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置
设二次曲线的方程为
(5.1.1) 3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑
现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得
(5.1.3)
1211
x x =
因此
当2
1211220a a a -<时，(5.1.3)为二虚根； 当21211220a a a -=时(5.1.3)为二相等实根； 当21211220a a a ->时(5.1.3)为二不等实根。
现在我们根据2
33121122()A a a a =--的符号将(5.1.1)所表示的二次曲线分类。
定义1.1 当330A >时，称(5.1.1)所表示的曲线为椭圆型的曲线；当330A <时，称
(5.1.1)所表示的曲线为双曲型曲线；当330A =时，称(5.1.1)所表示的曲线为抛物型曲线，
且||0ij a ≠当时，把上述三种类型的曲线分别称为椭圆，双曲线，抛物线。
由定义，显然双曲线与无穷远直线有两个实交点，抛物线与无穷远直线相切，椭圆与无穷远直线有两个共轭虚交点，我们称二次曲线与无穷远直线的交点为曲线上的无穷远点，如图5-1-1所示
图5-1-1
由定义显然可知，一个非退化二次曲线表示抛物线的充要条件是它与无穷远直线相切。
1.2二次曲线的中心
定义1.2 无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心。
定理1.1 二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的中心坐标为313233(,,)A A A
证明 设无穷远直线30x =关于二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的极点为
123(,,)C c c c ，于是根据求已知直线的极点公式有
111122133211222233311322333
00,0,a c a c a c a c a c a c a c a c a c λλ++=??
++=≠??++=? 所以
(5.1.4) 12
1313
111112
123313233
222323212122
::::::a a a a a a c c c A A A a a a a a a =
= 故二次曲线的中心坐标为313233(,,)A A A
定理1.2 双曲线，椭圆各有唯一中心且为有穷远点，而抛物线的中心为无穷远点。 证明 由定理1.1 的结论，当二次曲线表示双曲线或椭圆时，由于330A ≠，所以其中心为有穷远点，坐标为313233(,,)A A A 。当二次曲线表示抛物线时，由于330A =，所以其中心为无穷远点，坐标为3132(,,0)A A 。图5-1-2表示三种二次曲线中心的情况。
图5-1-2
定理1.3 抛物线的中心C 的坐标为1211(,,0)a a -或者2212(,,0)a a -。
证明 当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线相切，这时无穷远直线的极点即抛物线与无穷远直线的切点C ∞，所以抛物线的中心是无穷远点C ∞，
把30x =代入3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑，得
22111121222220a x a x x a x ++=
所以
1211
x x = 因为
2
1211220a a a -=
所以 112
211
x a x a -=
从而
1211(,,0)C a a -
又由2
1211220a a a -=，得
1222
1112
a a a a =
，又有 2212(,,0)C a a -
以后我们把椭圆与双曲线称为有心二次曲线，抛物线称为无心二次曲线。 1.3二次曲线的直径与共轭直径
定义1.3 无穷远点关于二次曲线的极线称为这个二次曲线的直径。
注意：(1)由于中心是无穷远直线的极点，根据配极原则，过中心的直线的极点必是无穷远点，反之，无穷远点的极线必过中心，因此，直径的定义也可叙述为：通过二次曲线
的中心的直线称为直径。
（2）由于抛物线与无穷远直线相切，所以无穷远点关于抛物线的极线均过这个切点，即抛物线的直径有公共的无穷远点，亦即抛物线的直径是互相平行的，如图5-1-3所示。
图5-1-3
定理 1.4 二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ====∑的一组平行弦的中点在它的一条
直径上。
证明 设二次曲线0S =的一组平行弦交于P ∞，则P ∞与每条平行弦的中点关于
0S =共轭，即每条平行弦的中点都在P ∞的极线上，也就是在二次曲线0S =的一条直径
上。
下面求出二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的直径方程。
因为直径是无穷远点的极线，设无穷远点为(,,0)P αβ，则它的极线为0p S =，即
(5.1.5) 111122133211222233()()0a x a x a x a x a x a x αβ+++++=
当0α≠时，直径的方程也可写为
(5.1.6) 111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
当二次曲线表示抛物线时，它与无穷远直线的切点为1211(,,0)O a a ∞-或者2212(,,0)a a -。因为这时直径均经过O ∞点，是一组平行直线，所以直径的方程为
(5.1.7) 11112230a x a x bx ++= 其中b 是参数
或
(5.1.8) 21122230a x a x bx ++= 其中b 是参数
定义1.4 二次曲线的一条直径与无穷远直线的交点的极线称为该直径的共轭直径 注意：（1）由定义及配极原则，显然二直径的共轭关系是互相的。 （2）由于二互相共轭的直径彼此通过另一个的极点，所以共轭直径的定义也可叙述
为：通过中心的两条共轭直线称为共轭直径，与一对共轭直径平行的方向，称为共轭方向。
（3）因为抛物线的直径都通过抛物线与无穷远直线的切点，所以抛物线的直径无共
轭直径，但抛物线的每一直径也平分一组平行弦，如图5-1-4所示。
图5-1-4
我们称抛物线的直径与其所平分的弦的方向为共轭方向，但不是共轭直径。
定理1.5 与有心二次曲线的一条直径平行的一组弦，被它的共轭直径平分。
证明 设直径AB 与直径CD 共轭，直径AB 的无穷远点P ∞是
CD 的极点，过P ∞点引直线交曲线于,E F ，交CD 于G ，则有 (,)1EF GP ∞=- 所以G 平分EF ，又EF
AB ，所以CD 平分与AB 平行的弦。
反之，如果CD 平分与AB 平行的弦，则CD 必为AB 与无穷远直线交点P ∞的极线，所以CD 为AB 的共轭直径。
由下图5-1-5还可看出过,C D 两点的切线必通过的极点P ∞，所以这两条切线平行于
AB ，故有
图5-1-5
推论 过一条直径两端点的切线平行于该直径的共轭直径（如图5-1-6）
图5-1-6
定理1.6 一对共轭直径和无穷远直线组成一个自极三角形。 证明 共轭直径的交点是二次曲线的中心C ，C 是无穷远直线的极点。同时一条直径与无穷远直线的交点正好是其共轭直径的极点，所以它们组成一个自极三角形。
下面我们将求出两条直径成为共轭直径的条件： 已知二次曲线3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑的一条直径l ：
111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
l 与无穷远直线之交点为12221112(,(),0),P a a k a a k P ∞∞+-+之极线
'l 为l 的共轭直径。'l 的方程为 11112213312222112222331112()()()()0
a x a x a x a a k a x a x a x a a k +++-+++=
即
(5.1.9) 111122133211222233()'()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
其中
11121222'a a k
k a a k
+=-
+
即
(5.1.10) 111222(')'0a a k k a kk +++= (5.1.10)为两条直径l 与'l 成为共轭直径的条件。
注意：条件(5.1.10)为两个线束
111122133211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=与 111122133211222233'()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
的对应成为对合对应的条件，所以二次曲线的直径和其共轭直径间的对应是对合对应。
1.4二次曲线的渐近线
定义1.5 二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的 渐近线。
显然，由定义可得：抛物线无渐近线，双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线。 渐近线有如下性质：
定理1.7 二次曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭直径。 证明 如图5-1-7，
图5-1-7
t 和't 是渐近线，,'l l 是一对共轭直径，
因为渐近线是切线，所以切点,'T T 就是它们的极点，但,'T T 在l ∞上，所以l ∞通过渐近线t 和't 的极点，根据配极原则，渐近线也通过l ∞的极点，而l ∞的极点是二次曲线的中心，即渐近线通过中心，也就是渐近线相交于中心。 设一对共轭直径,'l l 与l ∞交于,'P P ，根据共轭直径的定义有 (',')1PP TT =- 故
(',')1ll tt =-
即渐近线调和分离共轭直径。
定理1.8 若双曲线的一条切线被它的两条渐近线所截，则切点是截得线段的中点。 证明 如图5-1-8
图5-1-8 切线AB 被渐近线CA ∞，CB ∞所截，求切点M 是AB 的中点。
令C ∞是AB 与l ∞的交点，D ∞是CM 与l ∞的交点，
则C ∞的极线是CD ∞，因此CD ∞
和 CC ∞为共轭直径，且有 (,)1C A B D C ∞∞∞∞=- (,)1AB MC ∞=-
即M 为AB 的中点。
下面我们将讨论渐近线的求法： 已知二次曲线为3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑
（1） 由于渐近线是二次曲线上的无穷远点的切线，所以它是无穷远点的极线，因 此渐近线是直径，而且它通过本身的极点，这就是说它是共轭直径。而两条直径成为共轭的条件是(5.1.10)。
现在是自共轭直径，所以'k k =，故有 (5.1.11) 211122220a a k a k ++= 由此解得12,k k ，则得渐近线的方程为
1111221331211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++= 与
1111221332211222233()0a x a x a x k a x a x a x +++++=
注意：由于直径和共轭直径的对应是一个对合对应，而渐近线是自共轭直径，所以它是对合对应中的自对应元素，所以以上求法可以理解为求对合对应的自对应元素。 （2）直接应用定义求渐近线方程 由于3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑与无穷远直线30x =的交点满足
(5.1.12) 22
111121222220a x a x x a x ++=
上述方程表示两条通过原点的直线，因为这两条直线与渐近线有公共的无穷远点，所以二渐近线分别与这两条直线平行。因此，若中心为(,)C λμ，则渐近线的非齐次方程为 (5.1.13) 22111222()2()()()0a x a x y a y λλμμ-+--+-= 所以求出中心后即可得渐近线。
§2 二次曲线的仿射分类.
设二次曲线的方程为
3
,,1
0,()ij i
j
ij ji i j S a x x
a a ==
==∑，(5.2.1)
由本章引言中所述，根据2
33121122()A a a a =--的符号将(5.2.1)所表示的二次曲线分
类。当330A >时，称(5.2.1)所表示的曲线为椭圆型的曲线；当330A <时，称(5.2.1)所表示的曲线为双曲型曲线；当330A =时，称(5.2.1)所表示的曲线为抛物型曲线。
在0ij a ≠时方程(5.2.1)是非退化二次曲线。对于椭圆型的情形，有一种是椭圆，方
程的标准形是221210x x +-=，当然又应有另一种标准形是22
1210x x ++=，即是空集。
若0ij a =，则曲线(5.2.1)是退化的二次曲线。根据射影分类的结果，齐次坐标的标
准形22120y y +=在仿射平面上应分为22120x x +=和 2110x +=两类，标准形22120y y -=应分为22120x x -=和 2110x -=两类，最后还有标准形210y =一类。
综上所述，二次曲线可以分为以下9类：
（1）330A <，0ij a ≠，标准方程22
1210x x -+=，双曲型，非退化，双曲线。 （2）330A =，0ij a ≠，标准方程21220x x -=，抛物型，非退化，抛物线。 （3）330A >，0ij a ≠，标准方程221210x x +-=，椭圆型，非退化，椭圆。 (4) 330A >，0ij a ≠，标准方程221210x x ++=，椭圆型，非退化，空集(虚椭圆) （5）330A <，0ij a =，标准方程22120x x -=，双曲型，退化，两相交直线。 （6）330A >，0ij a =，标准方程22120x x +=，椭圆型，退化，一点（两虚直线交
于一点）。
（7）330A =，0ij a =，标准方程2110x -=，抛物型，退化，一对平行直线。 （8）330A =，0ij a =，标准方程2110x +=，抛物型，退化，空集（两虚直线互相
平行）.
（9）330A =，0ij a =，标准方程210x =，抛物型，退化，两直线重合为一直线。
§3 二次曲线的度量性质
在代数中我们通常通过引入虚数使得运算能够拓展到复数上，利用类似的方法在几何中我们引入虚元素，使得运算能够在复射影平面上进行，并且使得一些运算大大的简化。
3.1虚元素的引进 虚圆点
首先我们约定若任意三个复数构成的有序数组123(,,)x x x 中，至少有一个数不等于
零，而且有两个的比值不是实数，那么就称这个三数组为虚点。若λ是不等于零的任意复数，则123(,,)x x x 和123(,,)x x x λλλ表示同一点。同样，三个复数的有序数组123(,,)u u u 称为虚直线。点123(,,)x x x x =与直线123[,,]u u u u =如果满足关系
1122330x u x u x u x u ?=++=，那么就称它们为结合的，即点在直线上。虚点与虚直线统称
为虚元素。在射影平面上引进了虚元素之后，我们称它为复射影平面。我们有如下定义：
定义 3.1 以复数为坐标的点和直线称为复元素，由复元素构成的射影平面称为复射影平面。
例1 (3,,0),(1,,2)i i --是虚元素。(,,3),(,0,0)i i i i --是实元素。它们都是复元素。 定义3.2 设有点123(,,)x x x x =与123(,,)x x x x =，其中i x 与(1,2,3)i x i =互为共轭复数，则x 与x 互为共轭点，同样的，直线123[,,]u u u u =与123[,,]u u u u =互为共轭直线。
定理3.1 一个元素为实元素的充要条件是该元素与其共轭元素重合。
证明 必要性显然，只证明充分性。
若两个共轭元素的第三个坐标不是零，则可以写成1212(,,1),(,,1)x x x x ，如果它们重合，则一定有12
12
1x x x x ==从而有1122,x x x x ==，即12,x x 是实数，说明12(,,1),x x 是实元素。
若两个共轭元素的第三个坐标是零，则它们可以写成1212(,,0),(,,0)x x x x ，由它们重合所以有1122,(0)x kx x kx k ==≠从而有
111222
()x x x
x x x ==即12x x 是实数，从而12(,,0)x x 是
实元素。
定理3.2 两共轭复点的连线为实直线，两共轭虚直线的交点为实点。
证明 设两共轭点为123(,,)x x x x =，123(,,)x x x x =，则其连线
232331311212[,,]x x x x x x x x x x x x ξ=---，因为
2323223232323233()x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-=--
故ξ的三个坐标都是纯虚数，约去i 得到实数，故两共轭点的连线为实直线。 同理可证两共轭直线的交点是实点。
定理3.3 每条实直线上至少有一对共轭复点。
证明 设直线非齐次方程为0Ax By C ++=，若实点00(,)x y 在其上，则有
000Ax By C ++=，这时复点0000(,),(,)A x iB y iA A x iB y iA +--+经验证可知也满足直
线方程，故实直线上至少有一对共轭复点。
定理3.4 一条虚直线上有唯一一个实点，过一虚点有唯一一条实直线。
证明 因为两个实点连线必为实直线，两条实直线的交点必为实点，所以虚直线上不可能有两个实点，过一虚点不可能有两条实直线。
定义3.3 共轭复点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -称为虚圆点，简称圆点或圆环点。
显然，圆点的线坐标为22120u u +=，这是由于22
121212()()u u u iu u iu +=+-，故
22120u u +=代表两个虚点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -。
在笛氏坐标系下，圆的方程可写为
22211121313232333311()220,0a x x a x x a x x a x a ++++=≠ （7.1）
我们可以证明
定理3.5 一条非退化二次曲线3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑表示圆的充要条
件是它通过两共轭虚点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，即两个虚圆点。
证明 必要性：如果0S =是圆，则方程为（7.1）将(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的坐标分别代入这方程，得
22211132333(1)2(1)(0)2()(0)(0)0,a i a a i a ++++= 22211132333(1())2(1)(0)2()(0)(0)0,a i a a i a +-++-+=
所以圆0S =通过点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -。
充分性：如果二次曲线0S =通过点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，则
222112212132333(1)()2(1)()2(1)(0)2()(0)(0)0,a a i a i a a i a +++++= 222112212132333(1)()2(1)()2(1)(0)2()(0)(0)0,a a i a i a a i a +-+-++-+=
化简后得11221211221220,
(1)20,
(2)
a a a i a a a i -+=??
--=?
解上述方程组得：1122120,0a a a =≠=
所以方程0S =为222111213132323333()220,a x x a x x a x x a x ++++= 这是圆的方程。
定义3.4 通过虚圆点的直线（无穷远直线除外）叫做迷向直线。 显然，通过平面上任一点有两条迷向直线。
通过(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的迷向直线方程分别为
213,(x ix ax a =+为复数）
和213,(x ix bx b =-+为复数）。 因为两个圆点是无穷远点，所以平面上的迷向直线分别构成两个以(1,,0)I i 和
(1,,0)J i -为中心的平行直线束，其中一个线束中的直线斜率为1k i =，另一个线束中直线
的斜率为2k i =-。而121k k =-，由此我们有如下结论： 定理3.6 迷向直线是自身垂直的直线。
定理3.7 过圆心的两条迷向直线是圆的渐近线。
证明 因为平面上每个圆都经过圆点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -，所以圆与无穷远直线的交点为两个圆点，圆心是圆的中心，所以过圆心的迷向直线是圆上两个无穷远点处的切线，因而是圆的两条渐近线。
定理3.8 迷向直线上任意两个非圆点的距离为零。
证明 设两点(,),(',')x y x y 在迷向直线y ix b =+上，于是有,''y ix b y ix b =+=+，故有'(')y y i x x -=-，所以有22(')(')0y y x x -+-=即两点(,),(',')x y x y 的距离为零。同理可证，在另外一类迷向直线上也成立。
在欧氏平面上，保持圆环点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -的集合{,}I J 不变的射影变换称为相似变换。
这个相似变换的表达式为：
2',1,0'()x ax by c
a b y bx ay d
b a ερε=-+-?=±=≠?
=++? 容易验证，上述相似变换保持集合{,}I J 不变。
由于集合{,}I J 就是退化的二次曲线22120u u +=，故我们也说，相似变换是以退化二次曲线22120u u +=作为绝对形的射影变换。显然，全体相似变换的集合构成一个变换群，它是仿射群的子群，称为相似群。
定理3.9 （拉格尔定理）设两条非迷向直线12,l l 的交角为θ，过12,l l 交点的两条迷向直线为12,m m ，若四线的交比为u ，则1
ln 2u i
θ=
。 证明 如图5-3-1所示，
图5-3-1
设12,l l 的斜率为12,k k ，又已知12,m m 的斜率为,i i -于是
12121212()()
(,;,)()()
k i k i u l l m m k i k i +-==
-+
21
212211*********
1(1)()11(1)()111i k k i
k k i k k k k itg e k k k k i k k itg i k k θθθ
-+++-++====-+----+ 从而1
2ln ,ln 2i u u i
θθ==
定理3.10 若两条直线与无穷远直线l ∞的交点,P Q 与,I J 调和共轭，则这两条直线 互相垂直。
证明 设两直线的交角为θ，由题设
(,)1PQ IJ =-
所以 111ln(1)ln()2222
i e i i i i ππθπ=
-=== 3.2 二次曲线的主轴
定义3.5 二次曲线（非退化）的一条直径如果平分一组和它垂直的弦，则此直径叫做主轴，主轴与曲线的交点如果是普通点，则该点叫做顶点。
显然，对于有心曲线，若一对共轭直径相互垂直，则它们都是主轴；对于无心曲线（即抛物线），由于中心就是它上面的唯一无穷远点，它的所有直径都过此无穷远点，故所有直径都平行，因此垂直与这些直径的弦只有一组，平分这一组弦的直径只有一条，故有
定理3.11 抛物线只有一条主轴。
推论 抛物线的主轴垂直于顶点处的切线。
定理3.12 除实圆以外的实中心二次曲线有唯一的一对主轴，它们是两条渐近线所成角的两条平分线。
证明 设,'p p 是中心为O 的实中心二次曲线Γ的两条渐近线,'t t 所成角的平分线（如图5-3-2），
图5-3-2
则'p p ⊥且(',')1tt pp =-，于是,'p p 为一对共轭直径，从而它们是一对主轴。 如果另有一对主轴,'q q ，因(,'
)1,(,')1OI J p p OI J q q =-=-故,OI OJ 为共轭直径
对形成的对合的固定直线，从而,OI OJ 是渐近线，因此二次曲线Γ过圆点,I J 而成为实圆。这与已知条件矛盾，故定理得证。 下面讨论主轴方程的求法： 设中心二次曲线3
,,1
0,(||0)ij i
j
ij ji ij i j S a x x
a a a ==
==≠∑的直径方程为
111212221323()()()0a X a Y x a X a Y y a X a Y +++++=
若它与所平分的弦（方向为:X Y ）垂直，则
11121222:():()X Y a X a Y a X a Y =++
故有 11121222(0)a X a Y X
a X a Y Y
λλλ+=?≠?
+=?
即 11121222()0
()0
a X a Y a X a Y λλ-+=??
+-=?
从而
1112
12
220a a a a λ
λ
-=-
从上式求出λ，即可得主轴方程里的
12112212:():()():()X Y a a a a λλ=--=--
当曲线为抛物线时，直径都过无穷远中心1211(,,0)a a -或1211(,,0)a a -。若一直径垂直于它所平分的弦（方向为:X Y ），则
11121222:::X Y a a a a ==
故抛物线的主轴方程为 111112*********
()()0a a x a y
a a a x a y a +++++= 或1211121322122223()()0a a x a y a a a x a y a +++++=
3.3 二次曲线的焦点和准线
定义3.6 自圆点(1,,0)I i 和(1,,0)J i -所引二次曲线的切线(称为迷向切线)，它们彼此的有穷交点称为二次曲线的焦点，焦点关于二次曲线的极线称为二次曲线的准线。
下面对各种类型分别讨论 （1） 圆
圆通过圆点I ，J ，而过I ，J 所作的切线交于圆心，所以圆心就是圆的焦点。但圆心的极线是无穷远直线，所以无穷远直线是圆的准线，因此在欧氏平面上圆的准线不存在。
（2） 抛物线
因为抛物线与无穷远直线相切，所以抛物线只有两条有穷的迷向切线，它们的焦点即是抛物线的焦点，所以抛物线只有一个焦点，焦点的极线即准线，它是两条迷向切线上的切点的连线，准线也只有一条。事实上，抛物线的焦点在主轴上，迷向切线的切点在准线上，准线垂直于主轴。
例2 求抛物线2
2y px =的焦点和准线
解 过(1,,0)I i 和(1,,0)J i -作抛物线的切线，其斜率为,i i -，所以方程为2p y ix i
=+
和2p y ix i =--，由此解出两条切线的交点，得到焦点为(,0)2
p
F ，求出它的极线，经计算得2
p
x =-
为准线的方程。 显然焦点(,0)2p F 在主轴0y =上，迷向切线上的切点(,),(,)22
p p
pi pi ---在准线
上。
（3） 椭圆和双曲线
定理 3.13 对圆以外的实的有心二次曲线，过圆点可以作它的四条切线，共有四个焦点分别在两主轴上，有四条准线，迷向切线的切点在对应准线上，准线分别垂直于两主轴。
证明 如图5-3-3（1）是椭圆情况（2）是双曲线情况
图5-3-3
过圆点I ，J 作二次曲线的切线共四条，两两相交，除I ，
J 外有四个交点,',,'F F G G 是二次曲线的焦点。因为''FF GG 是二次曲线的外切四线形，所以其对顶三线形CP Q ∞∞是自极三线形，即C 是P Q ∞∞的极点,因此C 是中心，','FF GG 是一对共轭直径，又
(,)1C P Q IJ ∞∞=-，所以
''FF GG ⊥，故','FF GG 是主轴，也即四个焦点,',,'F F G G 分别在两主轴上。
因为'FF 经过'MM 的极点F ，所以'FF 的极点P ∞在
'MM 上。同理P ∞在'NN 上，所以,'F F 的极线平行于'GG ，同理,'G G 的极线平行于'FF ，因此有四条准线分别垂直于两主轴。
习题五
1．试求二次曲线22342100x xy y x y +-+-=的中心和渐近线。
2．判断二次曲线1223310x x x x x x ++=的类型，求出中心，并求过点(0,1,1)的直径及其共轭直径。
3．求二次曲线22226290x xy y x y ++--+=中直径30x y +-=的共轭直径。 4.试证明：如果一个平行四边形内接于一条二次曲线，那么它的两条对角线是二次曲线的直径而且它的两边分别平行于一对共轭直径。
5.已知一条二次曲线通过点(0,1),(1,0)A B 且中心为(2,3)C ，试求它的方程。
6.已知ABC ?，在AB 上取动点P ，在BC 上取动点Q ，使得()()ACP CBQ =，试证PQ 的轨迹是抛物线。
7.从双曲线上任何一点引直线各平行于渐近线，证明这两条直线与渐近线所成的平行四边行面积一定。
8.证明双曲线22221x y a b
-=的两条以,'k k 为斜率的直径称为共轭的条件是2
2'b kk a =
9.试求具有同一中心00(,)x y 的任意二次曲线的一般方程。
10.试求通过四点(0,0),(2,0),(0,1),(1,2)O A B C 的所有有心二次曲线中心的轨迹。 11求仿射坐标变换，化下列方程为标准形式并指出其仿射分类 （1）22
2262150x xy y x y ++-++= （2）22
22450x xy y y -+-+= （3）22
4442480x xy y x y ++++-= (4)22
222580x xy y x y --++-= (5)22
22210x xy y x y -+-++=
12.试证一条迷向直线与另一条直线的交角是不定的.
13.证明虚直线是迷向直线的充要条件是它上面任意两个不同的非无穷远点间的距离
是零.
14.求证:直线1230a x a x a ++=是迷向直线的充要条件是22
120a a +=.
15.试求二次曲线22
76160x xy y +--=的主轴,顶点,焦点和准线. 16．写出过一点(2,3)的迷向直线方程。
17．求有心二次曲线的主轴方程，并证明它们是实直线。
18．求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴，顶点，焦点和准线
19．求椭圆22
221x y a b
+=的焦点和准线
20．已知双曲线2276160x xy y +--=，求主轴的方程，顶点和焦点的坐标，准线
的方程
21 求证：有心二次曲线的互相垂直的切线的交点的轨迹是一个与二次曲线同心的
圆。
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
数学与应用数学专业《高等几何》试卷B 一、 填空题（2分?12=24分） 1、仿射变换的基本不变性与不变量有 同素性、结合性、简比不变、保持平行性 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 22121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 32221=+++++x x x x x x x x x 的极线方程 063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→， 01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得， 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（10分） 证明：三点形ABC 和三点形C B A '''内接于二次曲线（C ），设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A '' AC=E '，则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所以， ),E , D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,, E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC ，B C ''，A C '',BC 连同这两个点列的底AB ， B A ''属于同一条二级曲线（ C '），亦即三点形ABC 和三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。
目录 摘要 (2) Abstract . (2) 一.德萨格(Desargues)定理及其证明 (3) 二.德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用 (9) (一).德萨格(Desargues)逆定理在证明共点问题上的应用 (9) (二).德萨格(Desargues)定理在证明共线问题上的应用 (11) (三)德萨格(Desargues)定理在求轨迹问题上的应用 (14) (四)德萨格(Desargues)定理在作图方面的应用 (15) (五)德萨格(Desargues)定理在设计中学几何命题方面的应用 (15) 三.总结 (16) 参考文献 (18) 致谢 (19)
德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用 摘要：德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。德萨格定理主要研究的是三点共线或者三线共点的问题，而这个是初等几何中经常碰到的一类问题。用德萨格定理去解决此类问题及其派生出来的一系列相关问题，相对于初等的方法而言过程极其简便。因此，德萨格定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。 关键字：德萨格定理；高等几何；初等几；射影几何；指导性意义 The application of Desargues theorem in primary geometry Abstract：Desargues theorem plays an important role in the foundation of projective geometry, then projective geometry is the major part of higher geometry, so Desargues theorem is also one of the basic propositions in higher geometry. Desargues theorem mainly investigates the problems about a total of three lines or three lines total points which are often seen in primary geometry. Comparing with primary methods, that using Desargues theorem to solve this kind of questions and some other related problems can make the process extremely simple. Therefore, Desargues theorem can be applied in many ways in primary geometry. It is also to show that some fundamental applications of higher geometry in primary geometry and to reject the view that higher geometry has nothing to do with primary geometry. The higher geometry is able to help us to study and realize the primary geometry better. Thus it points out the guidance of higher geometry in primary geometry. Keywords：Desargues theorem；higher geometry；primary geometry；projective geometry guidance
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1.射影变换基本不变量是__________。 2.欧氏几何基本不变图形是__________。 3.直线2x-y+1=0上无穷远点的齐次坐标是__________。 4.原点的方程是__________。 5.自极三角形是__________。 6.二次曲线在无穷远点处的切线叫做__________。 7.共线四点A ，B ，C ，D 交比的定义是(AB ，CD )=__________。 8.两个射影点列成透视的充要条件是__________。 9.平面上两个圆点的齐次坐标是__________。 10.焦点的极线称为__________。 二、计算下列各题(每小题6分，共36分) 1.求仿射变换? ??-=+-=y 2x 4'y 4y x 3'x 的自对应点 2.一直线上取A=（5，-7，-1）为第一基点，B=（1，-2，1）为第二基点，C=（-1，1，1） 为单位点，建立射影坐标系。求点D=（1，1，-5）的齐次射影坐标。 3.设直线上三个点A ，B ，C 的齐次坐标依次为（2，1），（1，2）与（-1，1），求D 点坐标，使(AB ，CD )=2。 4.求点（5，1，7）关于二次曲线2x 12+3x 22+x 32-6x 1x 2-2x 1x 3-4x 2x 3=0的极线。 5.设一对合由非齐次坐标为3的二重点，以及非齐次坐标为1和4的一对对应点决定，求对合的表达式。 6.求二次曲线xy+y 2-x-3y-2=0的渐近线。 三、求作下列图形(写出作法，画出图形，每小题6分，共12分) 1．已知共点直线l 1，l 2，l 3，求作直线l 4，使l 1,l 2，l 3和l 4构成调和线束。 作法：
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
《高等几何》试题（１） 1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1） 的象为原点 .( 15 ) 2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 ) 3. 写出直线3x x x 轴,y10 2x +2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.() 1 4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 ) 6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12) 124 1 2 3 43 7.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 ) 8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 ) 9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 ) 《高等几何》试题（２） 1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 ) 2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 ) 3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使 c i la i mb i(i 1,2,3). (10) 4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ， x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2 l 2的方程.(15)，求 3 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 ) 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应 . ( 10) 7. 求两对对应元素 , 其参数为1 1 ,02, 所确定对合的参数方2
仿射变换在初等几何解题中的应用 …… …… 摘 要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用. 关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何 Abstract: Affine transformation, namely parallel projection, is an important transformation in geometry. It is the bridge from the motion converting to the projective transformation. This article will start with the concept of affine transform, to understand the geometry of affine geometry research by affine transformation invariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship, and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry. Key words ：affine transformation ；affine invariance ；elementary geometry 1 仿射变换的基本概念及相关性质 1.1 仿射变换的概念 定义1.1[1] 设同一平面内有n 条直线1a ，2a ，3a ，…n a ， 1T ，2T ，3T ，…1-n T 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1-n a 到n a 的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，称为1a 到n a 的仿射或仿射变换如图1-1. T =1-n T 122T T T n ????- ，T 称为1T ，2T ，3T ，… 1-n T 按这个顺序的乘积. )(A T = 1-n T 122T T T n ????- )(A = 1-n T )(22A T T n '???- =…=n A ，)(B T =n B 等
某高校《高等几何》期末考试试 卷 （120分钟） 一、填空题（2分?12=24分） 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ； 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为： 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ，则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程
063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形，过A 引AE 与对角线BD 平行，则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a ）：21→，32→，43→； b ）：10→，32→，01→ 其中为对合的是： b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ，)1,5,2(B ，)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的： 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解：射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有：1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得，
《数学史》课程教学大纲 课程名称：数学史 英文名称：History of Mathematics 学时数：32 适用专业：数学与应用数学 一、课程的性质、目的和任务 数学史是数学与应用数学专业必修的重要基础课程之一。任何一门科学都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。数学是非常古老而又有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更漫长而艰辛。数学的每一阶段性成果都有着它的产生背景：为何提出，如何解决，如何进一步改进。这其中体现的思想方法或思维过程对数学专业的学生，甚至是对教师来说，无论是知识的丰富，还是其创造能力的发挥都是重要的。 讲授本课程要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。 二、本课程与其它课程的关系 本课程是线性代数、数学分析、微分方程、高等几何、概率统计等学科的基础课程。不学数学史，在很大程度上数学知识体系是不健全的。不了解数学史就不能全面的了解数学学科。数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系，数学史是对数学各课程的高度综合与概括,是将数学各课程联系起来的一门综合性的数学课程,是研究数学各课程的相互关系的课程,所以学习数学史对于学习数学其它课程能产生积极影响。 三、课程教学要求 数学史研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，如“数学年代”；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评。该课程要培养学生辩证唯物主义观点，使学生了解数学思想的形成过程，并指导当前
第五章 二次曲线的仿射性质 如果将仿射变换 (5.0.1) 111112213 221122223 ''x a x a x a x a x a x a =++?? =++? 1112 2122 0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设 '' 1212''3333 ',',,x x x x x y x y x x x x ====， 于是(5.0.1)化为 '112 111213' 333 '212212223'3 33x x x a a a x x x x x x a a a x x x ?=++????=++?? 设' 33x x ρ=，上式变为 (5.0.2) 1111122133 221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++?? =++?≠≠??=? 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。 显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。 本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。 §1 二次曲线的仿射性质 1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 (5.1.1) 3 ,,1 0,()ij i j ij ji i j S a x x a a == ==∑ 现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得 (5.1.3) 1211 x x = 因此
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
基于数学核心素养的小学数学教师课程体系构建研究 发表时间：2018-09-11T09:46:02.497Z 来源：《中国教师》2018年11月刊作者：吾提库尔江•多力坤[导读] 随着教学改革的深化发展，小学数学教学要求也在逐渐发生变化，如突出学生的主体地位、强调对学生的思维能力培养和实践能力提升等，因此传统的高校小学数学教育专业课程体系已经难以满足当前的教育教学需求，需要作为重建课程体系，为学生的全面發展奠定重要的基础。基于小学数学教学中核心素养的培养要求，本文将着重分析小学数学教师课程体系构建策略，旨在提升小学数学教学质量， 促进学生的数学素养提升。吾提库尔江?多力坤新疆民丰县若克雅乡小学 848500 【摘要】随着教学改革的深化发展，小学数学教学要求也在逐渐发生变化，如突出学生的主体地位、强调对学生的思维能力培养和实践能力提升等，因此传统的高校小学数学教育专业课程体系已经难以满足当前的教育教学需求，需要作为重建课程体系，为学生的全面發展奠定重要的基础。基于小学数学教学中核心素养的培养要求，本文将着重分析小学数学教师课程体系构建策略，旨在提升小学数学教学质量，促进学生的数学素养提升。【关键词】数学核心素养；小学数学；教师课程体系；构建策略中图分类号：G623.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2018）11-130-01 一、引言 基于小学数学教学改革的趋势，高校在培养小学数学教师方面也应该顺应新课改要求，提升数学教育专业学生的专业教学能力，以满足当前的小学数学教学需求。 二、制定统一的培养标准 当前阶段，我国高校的小学教育专业在课程设置上缺乏系统性，随意性和经验性特点突出，这种形势影响了小学教育专业学生的知识获取和素质提升，使职前小学数学教师的专业教学素质不能达到课改要求。基于此，设置相关专业的高校应该制定统一的职前教师培养标准，提升课程体系的科学性和合理性。可组织相关的数学家、数学教育研究者以及小学数学一线教师等多方力量，在核心素养框架的指导下，结合数学学科的特点以及教学所需的数学知识等理论，梳理出小学数学教师所需的数学核心素养，并在借鉴世界其他国家有关标准的基础上，形成适合我国小学数学教师专业发展的培养标准，为各师范学校开设相关课程提供一定的方向与依据。在制定培养标准时需要考虑其可操作性，方便教师对相关内容的理解与具体实践。 三、适当转变教学方式，促进教学目标的合理发展 核心素养培养目标驱动下，小学数学教学要求教师能够顺应形势发展，调整课堂教学活动，因此在高校的职前教师培养中，也应该积极转变以往的专业教学方式，依据教育发展形势不断进行专业教学目标的调整。具体实施方法主要有三个方面：第一，基础课程，也就是国家和地方课程，要对这些课程进行校本化设计，围绕语文、数学、英语等学科进行二次开发；第二，设置选修课程，学生可以根据自己的兴趣爱好选择自己想要学习的课程，以走班的形式参加学习；第三，课程活动化，比如早操，可以组织管乐团的学生吹响集合号，其他学生迅速到操场集合，学校的校训、校风、学风等通过呼号深入头脑，最后在校歌声中走步调整。学生在此过程中不仅仅是在进行身体锻炼，还包括了知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观的全面发展；另外，鼓励适当利用科技媒体，协助学生由“知道”的层次，进入“理解”及“体验”的层次。提供体验与探索课程，使教学兼顾“知识能力”与“方法能力”的培养。 四、加强与数学类课程的内容联系 当前，我国小学教育展专业中数学专业课主要包括数学分析、高等代数、空间解析几何、初等数论、概率统计、小学数学教学研究。数学专业课程的开设，主要是为了提升小学数学教育专业学生的教学指导和研究能力，因此强化数学课程和学科体系构建之间的联系是十分有必要的，直接关乎小学数学教育专业学生的专业能力。因此小学数学核心素养培养的教学要求下，高校也应该进行小学数学教育专业的课程安排调整，小学教育新数学课程与原课程相比有重大变化，主要表现在两个方面：一方面是增加了一些新的内容。例如，离散数学、高等几何、概率论与数理统计、线性规划、数学文化、数学史、数学探究、数学建模、数学实验等。另一方面对原有内容采取了新的处理方式。这些变化对高效小学教育专业数学类课程内容及体系建构都提出了新的要求。需要高校在构建小学数学教育专业课程体系的过程中，结合专业教学需求，不断进行数学专业课程比重的有机调整，为学生的专业能力提升提供契机。 五、构建具有反思性、合作性的实践课程 要培养高质量的小学数学教师，仅教授一些显性的理论知识是不够的，还需要提供教育实践以帮助学生在体验中进行反思。因而，对于实践课程的设置，不仅要重视提高学生的教学技能，还需要加强其反思意识与能力的培养。可以将实践课程的实施与数学类课程相结合，让学生在学习相关理论知识之后，走入小学数学课堂，通过观察或是亲身实践，并在与指导教师的交流中对所学内容进行体会反思，这不仅有助于学生对于教学一般程序、基本策略的掌握，而且有助于他们能在理论与实践的结合中逐步形成教学的智慧。在基于数学核心素养的小学数学教师课程体系建构中，可开设有关数学教学设计、数学课堂观察、数学概念教学等主题实践类讨论课程，将职前小学数学教师分成若干个学习小组，通过相互合作，一同梳理教学内容的关键属性、探讨某个主题的教学设计、学习观察学生的技巧等，并且通过这个交流的平台，分享教育实践中自己的想法、经验以及观点，这不仅有助于其教师专业素养的提高，也能够促使他们在毕业后较快地融入教师教研活动之中，并在与优秀教师的交流讨论中获得有利于小学数学教学开展知识经验，在提高自身数学核心素养的同时，不断推进以提高小学生数学核心素养为目标的课程教学改革。 六、结语 总之，新的教育形势下，高校的小学数学教育专业也应该顺应形式进行专业教学内容和方式的调整。数学核心素养能够真实地反映出小学数学教育教学的价值和本质，是小学数学教育教学过程当中最核心的问题。在整体的教学过程中，教师一定要重视培养学生的数学核心素养，不能一味地只重视学生对数学知识和技能的掌握，同时，还应该引导学生积极主动地参与到核心素养的提升和建立过程当中，提升小学数学教学质量。参考文献
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
《高等几何》学习指导
第一章仿射坐标与仿射变换 一、教学目的要求 1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系； 2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法； 3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质； 4、熟练掌握仿射变换的代数表示. 二、教学重点、难点 重点： 透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法. 难点：透视仿射对应的概念、特征及判断. 三、内容小结 本章主要介绍下述内容： 1、共线三点单比（简比）的概念 2、透视仿射对应 1）、概念： ①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应； ②、平面π到平面/π的透视仿射对应. 2）、判断：对应点连线互相平行.
3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系； 2）、共线三点单比的坐标表示： 设3131 1233232 (,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --== = --则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213 /212223 x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 1112 2122 0a a a a ?= ≠； 5、仿射性质 1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比. 3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题
《空间解析几何》教学指南 说明： 1．课程性质 空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。 2．教学目的 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 （1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一； （2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 3．教学内容与学时安排： 第一章矢量与坐标 20学时 第二章轨迹与方程 6学时 第三章平面于空间直线 18学时 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时 第五章二次曲线的一般理论 22学时 第六章二次曲面的一般理论 4学时 4．课程教学重点与难点： 重点：基本概念；矢量计算；做图能力； 难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。 5．教学方法 本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。 6. 课程考核方法与要求： 本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。 内容： 第一章矢量与坐标（20学时） 1. 主要内容 （1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 （2）矢量的加法及其运算法则。 （3）数量乘矢量及其运算法则。 （4）矢量的线形运算及矢量的分解。
[课外训练方案]部分 第一章、仿射坐标与仿射变换 第二章、射影平面 一、主要内容： 基本概念： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理： 德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点 对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。 二、疑难解析 无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点. 无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线. 平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面. 三、典型例题： 1、 求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标 解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行 所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x = +故无穷远点为1 (1,,0)3 或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点 (3,1,2),(2,A B 三点共线 证明：解方程组：1231230 220 x x x x x x +-=?? -+=?的交点 (1,4,3)C --