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分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，y x +15、8a 2

b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、

21、212+x 、πxy 3、y x +3、m

a 1

+中分式的个数为（）

（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5

练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

⑴ 275x x -+； ⑵ 123

x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +.

⑵ 下列式子，哪些是分式？

5a -； 2

34x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145

-+. 2、分式有、无意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；

例1：当x 时，分式5

-x 有意义；

例2：分式x

x -+21

2中，当____=x 时，分式没有意义；

例3：当x 时，分式1

2-x 有意义；

例4：当x 时，分式12+x x

有意义；

例5：x ，y 满足关系时，分式

x y

-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）

A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x -

例7：使分式2

+x x

有意义的x 的取值范围为（）

A ．2≠x

B ．2-≠x

C ．2->x

D ．2

)

3)(1(2

-+-x x x 没有意义，则x 的值为（）

A. 2

B.-1或-3

C. -1

D.3

3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式1

21+-a a

的值为0；

例2：当x 时，分式1

2+-x x 的值为0

例3：如果分式

2+-a a 的值为为零,则a 的值为( )

A. 2±

B.2

C.2-

D.以上全不对

例4：能使分式1

22--x x

x 的值为零的所有x 的值是（）

A 0=x

B 1=x

C 0=x 或1=x

D 0=x 或1±=x

例5：要使分式6

22+--x x x 的值为0，则x 的值为（）

A.3或-3

B.3

C.-3 D 2 例6：若

01=+a

,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1：

aby a xy = ； z y z y z y x +=++2

)(3)

(6 ；如果

75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是________；

例2：)

332

b a ab

)

(

b a c

b --=+-

例3：如果把分式

a b

a ++2中的a 和

b 都扩大10倍，那么分式的值（） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变

例4：如果把分式

x x

+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的

1C B C A B A ??=

C B C A B A ÷÷=()0≠C

例5：若把分式

x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（） A ．扩大12倍 B ．缩小12倍 C ．不变 D ．缩小6倍

例6：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、2323y

例7：根据分式的基本性质，分式

a a

--可变形为（） A b a a -- B b a a + C b a a -- D b

a a +-

例8：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05

.0012

.02.0x x ；

例9：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，

11x

x x

-+--= 。 5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。

例1：下列式子（1）

y x y x y x -=--12

2；（2）c

a b

a a c a

b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y

x y

x y x y x +-=--+-中正确的是（）

A 、1个

B 、2 个

C 、 3 个

D 、 4 个例2：下列约分正确的是（）

A 、3

26x x x =； B 、

0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2

14222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A

022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a

c d c a d c a d c 例4：下列运算正确的是（）

A 、a a a b a b =--+

B 、2412x x ÷=

C 、22a a b b =

D 、111

2m m m

例5：下列式子正确的是（）

A ．22a b a b =

B ．0=++b a b a

C ．1-=-+-b a b a

D ．b a b

a b a b a +-=

+-232.03.01.0 例6：化简2

293m m m --的结果是（）

A 、

3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m

-3 例7：约分：=

-2

264xy y x ；932--x x = ； ()xy xy 132=； (

)y x y x y

x 536.03151+=-+。

例8：约分：

a a a -++＝；

=++)()

(b a b b a a ； =--2

)

(y x y x =-+2

2y x ay ax ；=++-16

81622x x x ；=+-629

2x x 233

14___________21a bc a bc -=29__________3m m -=+=+--9

22x x x __________。例9：分式

a 2

a 2++，22

b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。

例如：2

22--

+x x

x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。

例如：4

222

--+x x

x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x

“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：

()()

22-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。

例1：分式n

m n m n m --+2

1,122的最简公分母是（） A ．))((22n m n m -+ B ．222)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D ．22n m - 例2：对分式

x ，23x y

，14xy 通分时，最简公分母是（）

A ．２４x 2y ３

B ．１２ｘ２ｙ２Ｃ．２４ｘｙ２Ｄ．１２ｘｙ２

例3：下面各分式：221x x x -+,22

x y x y +-,11x x --+,22

22x y x y

+-，其中最简分式有（）个。

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

例4：分式

412-a ，4

2-a a 的最简公分母是 . 例5：分式a 与1

的最简公分母为________________；

例6：分式

x y x +--2221

,1的最简公分母为。 8、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

例1：m

m 22-=

例2：1

1322222--+-+a a a a =

例3：

y x

y x y -+-= 例4：

2222222y x x

x y y y x y x ---+-+=

计算（1）a b b

b a a -+- （2） 2222)()(a b b b a a --

例5：化简

1x +12x +13x

等于（） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x

例6：

c a b c a b +- 例7：221

a a a -

-- 例8：x

x x x x x 1

3632+-+-- 例9：

211x x x --- 练习题：（1） 22a b ab b a b -++ （2）x

x x x +-+

-+-21

44212 （3）b a b -a b 2++

例10：已知：0342=-+x x 求4

42122

++--+x x x

x x 的值。 `

分式的乘法：乘法法测：

b a ·d

c =b

d ac . 分式的除法：除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bc

例题：

计算：（1）7

6239251526y

x x x -? （2）13410431005612516a x a y x ÷

计算：（10） 2

2221106532x

x y y x ÷? 求值题：（1）已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷+--2

2222的值。

求值题：（1）已知：4

32z

y x == 求222

z y x xz yz xy ++++的值。

（2）已知：0325102

=-++-y x x 求y

xy x

x 222++的值。

9、分式的求值问题：

一、所求问题向已知条件转化

例2：若ab=1，则1

1++

+b a 的值为。

例3：已知x ＝2，y ＝1

2，求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??+ ?+-??

的值. 二、

由已知条件向所求问题转化

例4：已知13a a -= ，那么221

a a +=_________ ；

例5：已知

311=-y x ，则y

xy x y xy x ---+55的值为（）

A 27-

B 27

C 72

D 7

2- 例

6：如果b

=2，则2222b a b ab a ++-=

例7例8：已知

2+x a 与2-x b 的和等于4

42-x x ，则a= , b = 。例9：若0≠-=y x xy ，则分式=-x

y 1

1（）

A 、xy 1

B 、x y -

C 、1

D 、－1

练习

1：已知x 为整数，且23x ++23x -+2218

x x +-为整数，求所有符合条件的x 值的和.

2：已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+x

的值为________．

10、分式其他类型试题：

例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，48

，……．根据

其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）

例2：观察下面一列分式：2345124816

,,,,,...,x x x x x

---根据你的发现，它的第8项

是，第n 项是。

例3：（

A 10

B 20

C 55

D 50

例4：当x=_______时,分式x -51与x

3210

-互为相反数.

例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝b

a 1

1+，根据这个规则

x ☆23

)1(=+x 的解为（）

A ．32=x

B ．1=x

C ．32-=x 或1

D ．3

=x 或1