2016年福建省高中数学竞赛
暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+??（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π??????，上的最大值为 。 2．已知集合{}2320A x x x =?+≤，13B x a x ??=
，若A B ?，则实数a 的取值范围为 。 3．函数22()ln 2f x x x x =+?零点的个数为 。
4．如图，在正方体1111ABCD A B C D ?中，二面角1B AC D ??的大小为 。
5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ?= 。
6．已知直线l 过椭圆C ：2
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x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。
7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i ?+
+=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为 。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）
9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +?≤+，(12)()6(5)f x f x x +?≥+，则
(2016)2016f = 。 10．当x ，y ，z 为正数时，222
4xz yz x y z +++的最大值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知数列{}n
a 的前n 项和22n n S a =?（*n N ∈）。 （1）求{}n
a 的通项公式n a ； （2）设11(1)
n n b a n n =?+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥； （3）设11(1)(1)n n n n a c a a ++=
++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<成立，求λ的
最小值。
12．已知2()ln()f x ax b x =++（0a ≠）。
（1）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，
处的切线方程为y x =，求a ，b 的值； （2）若2()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值。
13．如图，O ⊙为ABC △的外接圆，DA 是O ⊙的切线，且DBA ABC ∠=∠，E 是直线DB 与O ⊙的另一交点。点F 在O ⊙上，且BF EC ∥，G 是CF 的延长线与切线DA 的交点。求证：AG AD =。
14．如图，1F 、2F 为双曲线C ：2
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x y ?=的左、右焦点，动点00()P x y ，（01y ≥）在双曲线C 上的右支上。设12F PF ∠的角平分线交x 轴于点(0)M m ，
，交y 轴于点N 。 （1）求m 的取值范围；
（2）设过1F ，N 的直线l 交双曲线C 于点D ，E 两点，
求2F DE △面积的最大值。
F D O A B C E
G （第13题）
15．求满足下列条件的最小正整数n ：若将集合{}123A n =，
，，，任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A ）1A ，2A ，3A ，…，63A ，则总存在两个正整数x ，y 属于同一个子集i A （163i ≤≤）且x y >，3132x y ≤。