第七讲
连续型随机变量(续)及 随机变量的函数的分布
3. 三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布
设连续型随机变量X 具有概率密度
)5.4(,,
0,,1
)(???
??<<-=其它b x a a
b x f
则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
X 的分布函数为
)6.4(.
,
1,,
,,0)(????
???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F
(2)指数分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)7.4(,
,
0,0,e
1)(/?????>=-其它x x f x θ
θ
其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.
容易得到X 的分布函数为
)8.4(.
,
0,0,1)(/??
?>-=-其它x e x F x θ
如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有
第二章 随机变量及其分布
§4 连续型随机变量
及其概率密度
1
=2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上
}.
{e e
e
)(1)(1}{}{}
{)}
(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=
>>?+>=>+>--+-θ
θθ
性质(4.9)称为无记忆性.
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. (3)正态分布
设连续型随机变量X 的概率密度为
)
10.4(,,e
21)(2
22)(∞<<-∞=
--
x x f x σμσ
π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为
μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为
X~N(μ,2σ).
显然f(x)≥0, 下面来证明
1d )(=?
+∞
∞
-x x f
令t x =-σμ/)(, 得到
dx e
dx e
t x 2
2)(22
22121-
∞
+∞
---
∞
+∞
-?
?
=
π
σ
πσμ
.
1d 21d 21
)
11.4(π
2d d e
,,
d d ,d e
2
2)(20
2
22
/)(2
2
/2
2
22
222==
====?
???
?
?
?∞
∞
--
∞
∞
---∞
-
+∞∞-+∞
∞
-+-∞∞
--x e
x e r r I u t e
I t I t x r u t t π
σ
πθσ
μπ
于是
得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:
f (x )的图形:
1.5
0.5
(1).曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有
P{μ-h .π21 )(σ μ= f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。在x=μσ±处曲线有拐点。曲线以Ox 轴为渐近线。 X 的分布函数为 )12.4(,d e π21)(2 22)(? ∞ --- = x t t x F σ μσ 特别:当μ=0, σ= 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用?(x)和 Φ(x)表示, 即有 ) 14.4(.d e π 21)() 13.4(,21 )(2 /2/22?∞ ---=Φ= x t x t x e x π ? 易知 Φ(-x)=1-Φ(x) (4.15) 人们已经编制了Φ(x)的函数表, 可供查用(见附表2). 引理 若X~N(μ,2σ), 则)1,0(~N X Z σ μ -= 证明:的分布函数为σμ -= X Z 得 令 ,, d e π21} {}{2 22)(u t t x X P x X P x Z P x t =-= +≤=? ?? ???≤-=≤? +∞ --- σ μ σ σμσμσμσμ ),(d e π 21 }{2 /2x u x Z P x u Φ== ≤? ∞ -- 由此知Z~N(0,1). 若X~N(μ,2σ), 则它的分布函数F(x)可写成: ) ( )16.4(}{} {)(σ μ σ μ σ μ -Φ=-≤ -=≤=x x X P x X P x F 则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(. }{122121?? ? ??-Φ-??? ??-Φ=?? ? ? ??-≤-<-=≤<σμσμσμσμσμx x x X x P x X x P 例如, 设X~N(1,4), 查表得 . 3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{=+-=Φ--=-Φ-Φ=? ? ? ??-Φ-??? ??-Φ=≤ 设X~N(μ,2σ), 由Φ(x)的函数表还能得到: P{σμ- 3223 =2Φ(1)-1=68.26% P{σμ2- =95.44% P{σμ3- =99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值围是(∞∞-,), 但它的值落在(σμ3-,σμ3+)几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3σ"法则. 例1 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器. 调节器整定在d °C, 液体的温度X(以°C 计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X 小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d 至少为多少? 解 (1)所求概率为 .0228.09772.01)2(1) 2(5.090895