湖南省长沙市雅礼中学高三数学月考试题（七）文（含解析）
数学（文科）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,2,3,4}A =，{}0,1,2,4,5B =，全集B A U ?=，则集合)(B A C U 中的元素共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】A 【解析】 【分析】
利用交集与并集定义先求B A 与B A ，再利用补集定义求)(B A C U .
【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5A B ?=，{}1,2,4A B ?=，所以(){}0,3,5U C A B ?= 故选A.
【点睛】理解交集、并集、补集的概念，确定A 、B 中的公共元素、所有元素、B A 的补集中的元素，本题考查集合的基本运算.
2.若复数12i
z i
+=，则z 等于（ ） A. 2i -- B. 2i -+
C. 2i -
D. 2i +
【答案】D 【解析】
【分析】
由复数的四则运算，将复数化成bi a z +=的形式，再利用共轭复数的定义可得答案. 【详解】∵()121221
i i
i z i i ++===--，∴2z i =+. 故选D.
【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.
3.已知p ：12x +>，q ：x a >，且p ?是q ?的
充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥ B. 1a ≤
C. 3a ≥-
D. 3a -≤
【答案】A 【解析】 【分析】
首先解不等式x 12+>，求出p ?和q ?对应的不等式，再根据p ?是q ?的充分不必要条件，得到二者之间的关系，建立不等关系进而求解.
【详解】p ?是q ?的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q p ?，而p ?q ，p 化简为1x >或3x <-，所以当1a ≥时，q p ?. 故选A.
【点睛】本题考查了不等式和充分不必要条件的应用，对于充分不必要条件的考查，首先要根据题设写出命题所表示的不等式的解集，其次根据条件列出不等关系，再解不等式即可.
4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a 、b 为待定系数）（ ）
A. y a bx =+
B. x
y a b =+ C. b ax y +=2
D. b y a x
=+
【答案】B 【解析】 【分析】
可以逐一验证,若选A ，则y 的值增加幅度应比较接近；若选C ，则x=1,-1的值应比较接近；若选D ，则x=0不可取.
【详解】∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A 不成立； ∵C 是偶函数，∴1x =±的函数值应该相等，∴C 不成立； ∵0x =时，
b
x
无意义，∴D 不成立； 对于B ，当0x =时，1y =，∴11a +=，0a =；当1x =时， 2.02y b ==，经验证它与各教据比较接近. 故选B.
【点睛】函数模型的选择应充分利用函数的性质，函数的性质主要有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像的对称性等方面.
5.若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为
A. 2-
B. 2
C. 4-
D. 4
【答案】D 【解析】
解：椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故
选D 。
6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是3
32π
，则这个三棱柱的体积是（ ）
A. B. 316
C. D. 348
【答案】D 【解析】
3432
,233V r r 球ππ===,所以三棱柱的高为4,设底面边长为a,则
2,a =∴=24V ∴=?=三棱柱 7.若函数x e x f x sin )(=，则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为（ ）
A. 2
π B. 0
C. 钝角
D. 锐角
【答案】C 【解析】 【分析】
求出f （x ）的导数，斜率k=()'4f ，再根据三角函数值的符号，结合直线的斜率与倾斜角的关系，判断倾斜角为钝角.
【详解】由于()()'sin cos sin cos sin 4x
x
x
x f x e x e x e
x x x π?
?=+=+=
+ ??
?，
所以()4'4sin 404f π?
?=
+< ??
?，
则此函数的图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为钝角.故选C.
【点睛】本题考查了运用导数切线的倾斜角，考查了三角函数的化简和性质，考查了直线的斜率与倾斜角的关系；已知切点()()
00,x f x 求切线的斜率k ，即求在该点处的导数值()'f x .
8.在ABC ?中，已知D 是AB 边上一点，2AD DB ，1
3
CD
CA CB ，则λ等于（ ）
A.
2
3
B.
13 C. 13
-
D. 3
2-
【答案】A 【解析】
利用向量的减法将AD =3DB ，进行分解，然后根据条件1
CD CA 4
=+λCB ，进行对比即可得到结论
【详解】∵AD =3DB ， ∴CD CA -=3CB -3CD ， 即4CD CA =+3CB ，
则13
CD CA CB 44=+， ∵1
CD CA 4=+λCB ，
∴λ34
=，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键．
9.函数x x x x x f 2
2
cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0
B. 2π，0
C. π，22-
D. 2π，
22-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用倍角公式221cos2cos x x =+,再利用两角和与差的正余弦公式将()f x 化为正弦型（或余弦型）函数，利用正弦型（或余弦型）函数的性质求函数的的周期和最值. 【
详
解
】
()()
22sin 2sin cos 3cos 1sin21cos2224f x x x x x x x x π?
?=++=+++=+ ??
?，最小正
周期为π，当sin 214x π?
?
+
=- ??
?
时，取得最小值为2
【点睛】由正弦函数的性质可得正弦型函数sin()y A x B ω?=++（x R ∈，A>0）的周期为
2T π
ω
=
，最大值、最小值分别为A+B ，-A+B.
10.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A.
3 B.
42
3
C.
43
D.
83
【答案】C 【解析】
由三视图可得，该几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为
，因此
。故选C 。
11.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍然以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④12
12
c c a a <. 其中正确式子的序号是（ ） A. ①③ B. ②③
C. ①④
D. ②④
【答案】B 【解析】 【分析】
结合图形，比较椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值是否相同,离心率是否相同，即可进行判定.
【详解】对于①，因为椭圆中的a c +是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以1122a c a c +>+，所以①错误；对于②，因为椭圆中的a c -是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以
1122a c a c -=-，所以②正确；对于③，④，因为由图可以看出椭圆Ⅰ比Ⅱ的离心率大，所
以④是错误的，③正确. 故选B.
【点睛】由椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点),(y x P 到其左焦点F 的距离PF a ex =+，
得椭圆上一点到其一焦点的距离最大值、最小值分别为a+c 、a-c,而椭圆离心率的大小反映椭圆的扁平程度.
12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ） A. (2016)(2017)(2018)(2019)f f f f <<< B. (2018)(2017)(2019)(2016)f f f f <=< C. (2019)(2018)(2017)(2016)f f f f <<<
D. (2016)(2019)(2017)(2018)f f f f <=< 【答案】D 【解析】 【分析】
由函数()f x 为奇函数及(4)()f x f x -=-确定()f x 的周期为8 ，再利用周期性和函数的单调性判断选项.
【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=，所以定义在R 上的奇函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()201600f f ==，()()20171f f =，
()()
20182f f =，而由
()()
4f x f x -=-得
()()()()()201933141f f f f f ==--=--=，又因为()f x 在区间[]0,2上是增函数，所
以()()()2100f f f >>=，即()()()()2016201920172018f f f f <=<. 故选D.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,由函数的周期性将所给函数值转化到所给范围内的函数值.若函数()f x 满足)()(x f a x f -=+（a>0），则()f x 的周期为T=2a.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.变量x 、y 满足430
352501x y x y x -+≤??
+-≤??≥?
，设43z x y =-，则z 的最大值为__________．
【答案】14 【解析】 【分析】
作出约束条件对应的可行域，变动目标函数对应的直线，确定经过可行域上点5,2（）时z 取得
最大值.
【详解】由约束条件43
0352501x y x y x -+≤??
+-≤??≥?
，作出(),x y 的可行域如图所示，由43z x y =-，得
433z y x =
-.当直线433z y x =-过点B 时，3z
-最小，z 最大.由43035250x y x y -+=??+-=?
，解得
()5,2B ，∴max 453214z =?-?=.
故答案为14.
【点睛】线性规划问题一般用图解法：作出约束条件对应的可行域，找到目标函数的几何意义，判断目标函数对应的图形经过可行域上哪一点时z 取得最大（小）值，求出最优解，得目标函数的最大（小）值.
14.定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递增，103f ??= ???
，则满足
18
(log )0f x >的x 的取
值范围是__________． 【答案】10,(2,)2??
?+∞ ???
【解析】 【分析】
利用偶函数条件将不等式化为181
log ()3f x f ??> ? ???
，再利用函数()f x 在[)0,+∞上的单调性
化简，解出x 的范围.
【详解】由题意可得：()()()f x f x f x =-=，181log 3f x f ????
> ? ? ????
?，()f x 在[)0,+∞上
递增，于是18
1log 3x >
，解得x 的取值范围是()10,2,2??
?+∞ ???
. 故答案为()10,
2,2?
?
?+∞ ???
. 【点睛】本题考查抽象函数性质综合及不等式的求解问题，其中掌握函数基本性质是解决此类问题的关键，着重考查学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
15.直线230x y --=与圆C ：2
2
(2)(3)9x y -++=交于E 、F 两点，则ECF ?的面积为________．
【答案】【解析】 【分析】
首先利用点到直线的距离公式求C 到直线EF 的距离，再由勾股定理求得EF 的长，最后利用三角形的面积公式计算△ECF 的面积.
【详解】圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距
离d =
=，所
以
4EF ==
，所以1
42S =?
?=
【点睛】直线和圆相交求面积问题，首先利用几何法求出圆心到直线的距离，再由勾股定理
求出直线被圆截得的弦长公式AB =.
16.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则
cos cos A B c a
b ??+ ???的最小值为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
利用余弦定理将2233cos 0a b ab C -+=及cos cos A B c a
b ??
+
???化为三角形边的关系，可得
2221
33
c a b =+，再利用基本不等式可得最小值.
【详解】根据题意，
由余弦定理得2222
2
2
2
222
91333cos 3302222
a b c a b ab C a b ab a b c ab +--+=-+?=+-=，
得22
2
1
33
c a b =+， 依据正弦定理：()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin C A B A B A B B A c C a b A B A B ++??
+=?=
???
22sin 32sin sin 3C c a b
A B ab b a
===+≥，当且仅当
33a b b a =时取等号，综上所述，答案为2. 故答案为2.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件 “一正”“二定”“三相等”.
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且向量(,)n a n S =，*
(4,3)()b n n N =+∈共线.
（1）求证：数列{}
n a 等差数列.
（2）求数列1n na ??
????
的前n 项和n T .
【答案】（1）见解析；（2）n T = 21
n
n + 【解析】 【分析】
（1）首先利用向量共线可得()34
n n n S +=
，再利用1112n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，，即可求得通项；
（2）()1211211n na n n
n n ??==- ?++??
，再利用累加法求出n T . 【详解】（1）证明：∵(),n a n S =，()4,3b n =+共线， ∴()340n n n S +-=，∴()34
n n n S +=
.
∴111a S ==，当2n ≥时，11
2
n n n n a S S -+=-=， 又11a =满足此式，∴1
2
n n a +=. ∴112n n a a +-=
为常数，∴数列{}n a 是首项为1，公差为1
2
的等差数列. （2）∵()1211211n na n n n n ??==- ?++??
， ∴12111...2n n
T a a na =
+++ 111112212 (222311)
n n n n ??????=-+-++-= ? ? ?++??????. 【点睛】由数列的前n 项和n S 求n a 时，利用11,1
,2
n n n S n a S S n -=?
=?
-≥?，注意验证1n =与2
n ≥的式子能否统一，裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
18.如图所示，1A A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，12A A AB ==.
（1）求证：BC ⊥平面1AA C .
（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）2
3
【解析】 【分析】
（1）由点在圆周上可得BC AC ⊥，再证明1AA BC ⊥，即可证明；
（2）设AC x =，建立三棱锥1A ABC -的体积关于AC 长的函数，再利用二次函数即可求相应函数的最大值.
【详解】（1）∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC AC ⊥.
∵1AA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴1AA BC ⊥.
∵1AA AC A ?=，1AA ?平面1AA C ，AC ?平面1AA C ，∴BC ⊥平面1AA C .
（2）设AC x =，在Rt ABC ?中，2)BC x ==<<，
故1111111
2)3323
A ABC ABC V S AA AC BC AA x -?=?=????=<<，
即113A ABC
V -===
∵02x <<，204x <<，∴当22x =，即x =1A ABC -的体积最大，最大
值为
23
. 【点睛】利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是判断直线与平面内的两条相交直线垂直，求某个量的最值一般建立其关于另一变量（或几个变量）的函数关系，结合函数的单调性即可求得最值.
19.雅礼中学研究性学习课题小组针对长沙市工薪阶层对“长沙市楼市限购令”的态度进行调查，随机调查了50位市民，他们月收入频数分布表，以及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
赞成人数 4 8 12 5 2 1
（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）及22?列联表；
月收入不低于55百元人数 月收入低于55百元人数 合计
赞成 =a =c
不赞成 b =
d =
合计
（2）若从月收入（单位：百元）在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率. 【答案】（1）见解析；（2）2
5
【解析】 【分析】
（1）由所给数据计算各组频率，再计算频率除以组距，作频率分布直方图；
（2）列出从5人（其中4人赞同，1人不赞同）取出2人的所有基本事件，找到其中恰有一人不赞同的基本事件数，计算其概率.
【详解】（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1， 所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
月收入不低于55百元人数 月收入低于55百元人数 合计 赞成 3a = 29c =
32 不赞成 7b =
11d =
18 合计 10
40
50
（2）设月收入（单位：百元）在[
)15,25的被调查者中赞成的分别是1A ，2A ，3A ，4A ，不赞成的是B ，从中选出两人的所有结果有：()12A A ，()13A A ，()14A A ，()1A
B ，()23A A ，()24A A ，()2A B ，()34A A ，()3A B ，()4A B ，其中选中B 的有：()1A B ，()2A B ，()3A B ，()4A B .
所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是42
105
P =
=. 【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有补充列联表，作频率分布直方图，古典概型，熟练掌握基础知识是解题的关键.
20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点组成的四边形的面积为22，且经过点
2? ??
.
（1）求椭圆C 的方程； （2）若椭圆C
的
下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右
焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和
ONP ?的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）2212
x y +=（2）
2
2 【解析】
试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为
1
22222a b ??=2ab =又2? ?
?
在椭圆C 上，所以22
11
12a b
+
=，解方程组得22=a ，21b =
（2）先确定面积计算方法：
112S OM AB =?，2112
N S x =??，再确定计算方向：设()2,M t ，根据
两点间距离公式求OM ，根据两直线交点求N 点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长AB ，最后根据12S S 表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值） 试题解析：
（1）因为21,2? ??
在椭圆C 上，所以2211
12a b +=， 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2，所以
1
2222,22
a b ab ??== 解得2
2
2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ，
则当0t ≠时，:2t OM y x =
，所以2AB k t =-， 直线AB 的方程为()2
1y x t
=--，即()2200x ty t +-=≠，
由()2221220
y x t x y ?=--???+-=?得()222816820t x x t +-+-=， 则()(
)()()
2
2
2
4
2164882840t
t t
t ?=--+-=+>，
2
121222
1682,88t x x x x t t
-+==++，
)2
2
48t AB t +==+，
又OM =
，所以
)
22122
441288t t S OM AB t t
++=?==++ 由()212y x t
t y x
?
=--????=??
，得244N X t =+，所以2221421244S t t =??=++，
所以
2122
24
24842t S S t t +=
==<
++，
当0t =，直线:1l x =
，AB =
1122S =
=2111122S =??=
，12S S =， 所以当0t =时，(
)
12max
2
S S =
. 点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
21.已知2
1()ln ()2
f x x a x a R =
-∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）若()f x 存在极值且()0f x ≥，求实数a 的取值范围； （3）求证：当1>x 时，
2312
ln 23
x x x +<. 【答案】（1）见解析；（2）(0,]a e ∈；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，判断()f x '何时大于0，何时小于0.
（2）由()f x ≥0在(0,)x ∈+∞恒成立，所以0)(min ≥x f ，利用（1）确定()f x 的最小值，建立关于a 的不等式. （3）要证不等式
2312ln 23
x x x +<在x>1成立，即证3221
()ln 032F x x x x =-->在x>1成
立，即证min ()0F x >，对F （x ）求导，求F(x)的极小值，再确定F(x)的最小值.
【详解】（1）()2'(0)a x a
f x x x x x
-=-=>，
若0a ≤时，()'0f x >恒成立，∴函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间.
若0a >时，令()'0f x >，得x >
∴函数()f x 的单调增区间为
)
+∞，减区间为(.
（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >,
又()0f x ≥，∴()()min 1111
ln 1ln 02222
f x f a a a a a a a ==
-=-=-≥， ∴(]
0,a e ∈. （3）设()3221ln 32F x x x x ??
=
-+ ???
，故()21'2F x x x x =--，
∴()()()2121'x x x F x x
-++=
.
∵1x >，∴()'0F x >.∴()F x 在()1,+∞上为增函数. 又()F x 在()1,+∞上连续，()1106F =>，∴()1
6
F x >在()1,+∞上恒成立.∴()0F x >. 故当1x >时，
2312
ln 23
x x x +<. 【点睛】判断函数的单调性可利用导数，对()f x 求导，判断()f x '在()f x '=0的解的左右两侧的导数的正负，确定函数()f x 的单调区间.不等式恒成立问题一般先考虑转化为函数的最值问题，先求相应函数的最值，得所求参数的范围或不等式.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ??
∈????
.
（1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
【答案】（1）1cos {,(sin x y βββ=+=是参数，0)βπ≤≤；（2）3(2
【解析】 【分析】
（1）先求出半圆C 的直角坐标方程，由此能求出半圆C 的参数方程； （2）设点D 对应的参数为α，则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+，且,22ππα??
∈-
????
，半圆C 的圆心是()0,1C 因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直，故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等，由此能求出点D 的坐标.
【详解】（1）由ρ2cos θ=，得[]
22
20,01
x y y x ，+-=∈ ， 所以C 的参数方程为,ππ,1.
22x cos y sin ααα=???
∈-?
??=+???为参数
（2
）1sin 1πππ3tan ,,,cos 3322622D ααααα??+-??
=?=∈-∴= ??? ?????
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的
互化以及普
通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数2
()1f x x b x =+--+，2
2
2
()2g x x a c x b =+++-，其中a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ac ++=.
（1）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集； （2）当x R ∈时，求证()()f x g x ≤.
【答案】（Ⅰ）1,2??
+∞????
；（Ⅱ）见解析．
【解析】
试题分析：（1）当b=1时，把f （x ）用分段函数来表示，分类讨论，求得f （x ）≥1的解集． （2）当x ∈R 时，先求得f （x ）的最大值为b 2+1，再求得g （x ）的最小值，根据g （x ）的最小值减去f （x ）的最大值大于或等于零，可得f （x ）≤g （x ）成立． 试题解析：
（1）由题意，当1b =时，()2121121x f x x x x -≤-??
=-<
，
，，， 当1x ≤时，()21f x =-<，不等式()1f x ≥无解； 当11x -<<时，()21f x x =≥，解得12x ≥
，所以1
12
x ≤<； 当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1
2
??+∞????
，
（2）当x R ∈时，()()2
2
2
2
1111f x x b x x b x b b =+--+≤++-+=+=+；
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟（二）数学（理）试 题 一、单选题 1．集合10A x R x ??=∈≤???? ，{}2|10B x R x =∈-<，则A B =U （ ） A ．(]1,0- B ．()1,0- C ．(),1-∞ D ．(),1-∞- 【答案】C 【解析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，利用并集定义求A 与B 的并集即可． 【详解】 由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<， 根据并集的定义知：{|1}A B x x ?=<， 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查了并集及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C 【解析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】 解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+= ===-+--+Q ，1122 z i ∴=--， 对应点为11(,)22 --，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】 本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．
3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．． 的是（ ） A ．甲得分的平均数比乙大 B ．甲得分的极差比乙大 C ．甲得分的方差比乙小 D ．甲得分的中位数和乙相等 【答案】B 【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，1798882829391 85.86x +++++=≈； 对于乙，2727481899699 85.26 x +++++=≈， 故A 正确； 甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5， 对于乙，方差2 2 106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189 852 +=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】 本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 4．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若() //2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．2- B ．1- C ．12 - D ． 12 【答案】A 【解析】根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】 ()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r
云南省曲靖市高三上学期月考数学试卷（理科）（三） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则（） A . [1,2) B . [1,2] C . (1,2) D . (1,2] 2. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 复数的共轭复数是（） A . B . C . D . 3. （2分）在等比数列｛an｝中,a1<0,若对正整数n都有an B . C . D . 5. （2分） (2016高二上·翔安期中) 命题“若a＞﹣3，则a＞0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6. （2分） (2016高二上·山东开学考) 如图，该程序运行后输出的结果为（） A . 1 B . 2 C . 4 7. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的体积为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则 + （） 等于（） A . B . C . D . 9. （2分）在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（） B . C . D . 10. （2分）已知函数f（x）= ，若关于x的不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（） A . [﹣，﹣）∪（， ] B . （， ] C . [﹣，﹣）∪（， ] D . [﹣，﹣）∪（， ] 11. （2分）(2018·凯里模拟) 已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（） A . B . C . D . 12. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（） A . 0 B . 2 高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 长沙市雅礼中学物理内能专题练习（解析版） 一、初三物理 内能 易错压轴题（难） 1．在探究“冰熔化时温度的变化规律”的实验中。 (1)将适量碎冰放入试管中，利用水给冰加热，目的是______； (2)某时刻观察到温度计的示数如图甲所示，为______°C ； (3)图乙是根据所测数据绘制成的图象。由图象可知，冰的熔化特点是：持续吸热、______；AB 和CD 两段图象的倾斜程度不同，原因是______； (4)若不计热量损失，物质在AB 和BC 两段吸收的热量分别为Q 1和Q 2，则 12:Q Q =______。 【答案】使冰受热均匀 -4 温度不变 该物质状态不同时比热容不同 2:3 【解析】 【分析】 【详解】 (1)[1]将装有冰的试管放入水中加热，这是水浴法，这样冰的温度变化比较均匀，并且变化比较慢，便于记录实验温度。 (2)[2]由图甲知，温度计的分度值是1°C ，此时是零下，液柱上表面对准了0°C 下面第4个小格处，读作?4°C 。 (3)[3]由图像知冰在熔化过程中持续吸热、温度不变。 [4]冰化成水质量不变，但比热容发生了变化，所以同样受热情况下，温度变化快慢不同。 (4)[5]因为同一加热装置，在相同的时间内吸收的热量相同，已知在AB 段时间为2min ，BC 段为3min ，则 12:2:3Q Q 2．小军利用如图所示装置和器材，探究不同物质的吸热能力。 时间（min ） 1 3 4 5 6 7 8 9 温度 909294969798989898 （℃） (1)小军设计的电路中的R甲、R乙的阻值大小必须满足的条件是______； (2)只闭合开关S2，他首先观察了水的加热过程，测得数据如上表。分析数据可知，该地区气压______（选填“高于”或“低于”）标准大气压； (3)接着断开S2，待水冷却后，继续探究物质的吸热能力。小军控制水和煤油的质量、初温都相同，他应首先闭合开关______，再闭合另外一个开关，同时控制加热过程中水的末温度应低于______℃。实验表明：水的末温比煤油______，水的吸热能力比煤油强。 【答案】R甲＝R乙低于 S1 98 低 【解析】 【分析】 【详解】 (1)[1]探究不同物质的吸热能力时，应选用相同的热源，由图示电路图可知，两电阻并联，它们的电压相等，要使电阻在相等时间内产生的热量相等，应控制两电阻的阻值相等，即R甲＝R乙。 (2)[2]由表中实验数据可知，在水沸腾后，水不断吸收热量，但温度保持98℃不变，所以水的沸点是98℃，说明该地区气压低于标准大气压。 (3)[3]要探究水与油的吸热能力，应控制水与煤油的质量、初温相等，还要控制水与煤油在相同时间内吸收的热量相等，所以应控制两个电阻丝同时开始加热，则由图可知应先闭合支路开关S1，然后再闭合干路开关S2。 [4]实验过程中水不能沸腾，所以应控制加热过程中水的末温度应低于98℃。 [5]实验表明：水的末温比油低，水的吸热能力比煤油强。 3．阅读短文，回答问题 “鲲龙”AG600 国产大型水陆两栖飞机“鲲龙”AG600成功实现水上起降，如图所示。“鲲龙”AG600是国家为满足森林灭火和水上救援的迫切需要，研制的大型特种用途民用飞机，既能在陆地上起降，又能在水面上起降，是一艘会飞的船。AG600可以在20秒内一次汲水12吨，单 湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试 题理（扫描版） 雅礼中学2018年上学期期末考试试卷 高二理科数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. z 是z 的共轭复数. 若()2,2z z z z i +=+=（i 为虚数单位），则=z （ ） A.i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -1 【答案】D 2．设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B e （ ） A.{01}x x <≤ B. {01}x x << C. {12}x x ≤< D. {02}x x << 【答案】B 3．设x R ∈，则“11x -<”是38x <的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 4.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 （ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线1x =对称的是 （ ） () .ln 1A y x =- ().ln 2B y x =- ().ln 1C y x =+ ().ln 2D y x =+ 【答案】B 6．已知y x ,为正实数，则 （ ） A.lg lg lg lg 222x y x y +=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=?高三数学第一次月考试卷
长沙市雅礼中学物理内能专题练习(解析版)
湖南省长沙市雅礼中学高二数学下学期期末考试试题 理(扫描版)
高三数学月考试卷(附答案)