[学习目标] 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用． 知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式 (1)三角形面积公式S ＝12ah . (2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2 ca sin B . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)． 2．证明 (1)三角形的高的计算公式 在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 对应的边长分别为a ，b ，c ，边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，则h a ＝b sin C ＝c sin B ，h b ＝c sin A ＝a sin C ，h c ＝a sin B ＝b sin A . 借助上述结论，如图，若已知△ABC 中的边AC ，AB ，角A ，那么AB 边上的高CD ＝b sin_A ，△ABC 的面积S ＝1 2 bc sin A . (2)三角形的面积与内切圆 已知△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积为S ＝1 2r (a ＋b ＋c )． 如图，设△ABC 内切圆圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，
则S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12cr ＋12br ＋12ar ＝1 2(a ＋b ＋c )r . 思考 (1)已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则A ＝________. (2)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2) 3 2 解析 (1)S ＝12bc sin A ＝3 2， ∴12·2·3·sin A ＝32，∴sin A ＝3 2， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝60°或120°. (2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝2·sin 30° 1＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝90°， ∴b ＝c 2－a 2＝22－12＝ 3. ∴S △ABC ＝12×1×3＝3 2. 知识点二 多边形的面积 对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决． 题型一 三角形的面积公式及其应用 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． 解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝3 5. 于是sin C ＝sin ????2π3－A ＝32cos A ＋1 2sin A ＝3＋4310 .
